close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями.

код для вставкиСкачать
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку
алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
Введение
Несмотря на многочисленные приложения гиперсингулярных интегралов в аэродинамике [1–4], электродинамике [4], квантовой теории [5] и других областях физики и техники, их исследование и развитие приближенных
методов их вычисления началось только в последнее двадцатилетие.
Изложение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов и достаточно подробная библиография содержатся в [6–8].
При этом гиперсингулярные интегралы с интегралами в смысле главного значения Коши–Адамара рассматривались, как правило, в предположении,
что особая точка лежит внутри области интегрирования.
Однако многочисленные приложения в механике (см., например [9] и
литературу, приведенную в ней), электродинамике, геофизике [10], требуют
разработки приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе области.
В данной работе построены оптимальные по порядку квадратурные
формулы в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
1 Классы функции
В этом разделе описываются классы функций, которые используются в
работе.
Класс W r (1) ( r – натуральное число) состоит из функций, заданных на
отрезке [a, b] , непрерывных и имеющих непрерывные производные до
( r − 1 )-го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную r -го
r
порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству f ( ) ( x ) ≤ 1 .
Обозначим через W r1 , ..., rl (1, Ω ) класс функций f ( x1 , ..., xl ) , опреде-
ленных в области Ω = [ a1 , b1; ...; al , bl ] , l = 2, 3, ... , имеющих частные производные
f
v , ..., vl )
f( 1
( x1, ..., xl ) =
v
( x1, ...,
xl )
v
v
∂x11 ... ∂xl l
, при 1 ≤ vi ≤ ri , i = 1, 2, ..., l ,
удовлетворяющих следующим условиям:
21
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
f(
1)
частные
производные
i = 1, 2, ..., l непрерывны,
2) f ( r1, ..., rl ) ( x1 , ..., xl )
f(1
r , v2 , ..., vl )
( x1, ...,
xl )
C(Ω)
C(Ω)
v1 , ..., vl )
( x1, ...,
xl ) ,
1 ≤ vi ≤ ri − 1 ,
≤1,
≤ 1 , 1 ≤ vi ≤ ri − 1 , i = 2, 3, ..., l ,
…
f(
v1 , ..., vl −1 , rl )
( x1, ...,
xl )
C(Ω)
≤ 1 , 1 ≤ vi ≤ ri − 1 , i = 1, 2, ..., l − 1 ,
здесь v = ( v1 , ..., vl ) , v = v1 + ... + vl .
Пусть Ω = [ a1 , b1; ...; al , bl ] , l = 2, 3, ... Через Clr (1, Ω ) обозначим класс
функций l независимых переменных, у которых существуют и ограничены
по модулю единицей все частные производные до r -го порядка включительно. Если известна область Ω определения функций из класса Clr (1, Ω ) , то для
простоты обозначений будем писать Clr (1) .
2 Определение гиперсингулярных интегралов
Несмотря на то, что понятие гиперсингулярных интегралов определено
для широкого класса функций (см., например, [11]), в данной работе рассматриваются гиперсингулярные интегралы, возникающие в теории и практике
граничных интегральных уравнений. Их определение является некоторым
обобщением классического определения конечной части интеграла, данного
Ж. Адамаром [12] и его обобщение на интегралы в смысле главного значения
Коши–Адамара, предложенного Л. А. Чикиным [13].
В определении Л. А. Чикина существенным является то, что особая
точка лежит внутри интервала интегрирования. Так как при решении многих
прикладных задач возникает необходимость определить гиперсингулярный
интеграл в случае, когда особая точка лежит на границе области интегрирования, в работах [14], [15] введен гиперсингулярный интеграл более общего вида.
Следуя [14], дадим следующее определение гиперсингулярных интегралов.
Определение 1. Конечной частью гиперсингулярного интеграла называется предел
⎡ b f τ dτ
( )
1
p −1
= lim ⎢
+
f ( ) ( a + η) ln η −
p η→0 ⎢
p ( p − 1)!
τ − a)
a (τ − a)
⎣ a +η (
b
∫
−
f ( τ) d τ
f(
1
( p − 1)!
p −2 )
∫
( a + η) − ... −
η
1
( p − 1)( p − 2 )
f ′ ( a + η)
η p −2
−
1 f ( a + η) ⎤
⎥=
p − 1 η p −1 ⎥
⎦
p −2 )
f(
f ′(b )
(b)
1
1
1
p −1)
(
f
=
− ... −
−
( b ) ln ( b − a ) −
( p − 1)!
( p − 1)( p − 2 ) ( b − a ) p −2
( p − 1)! b − a
b
−
f (b )
1
1
p
f ( ) ( τ ) ln ( τ − a ) d τ.
−
p
−
1
p − 1 (b − a )
( p − 1)!
∫
a
22
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Далее с целью упрощения последующих выкладок при выделении конечной части гиперсингулярных интегралов дадим следующее обобщение
интеграла в смысле главного значения Коши.
Рассмотрим интеграл
1
Af =
f ( τ)
∫
τ
0
d τ , f ∈W 1 ( M ) .
Определение 2. Конечной частью интеграла Af называется предел
1
Af =
∫
0
⎡1 f τ
( ) d τ + f η ln η ⎤⎥ = − 1 f ′ τ ln τ d τ .
d τ = lim ⎢
( ) ⎥
( )
τ
τ
η→0 ⎢
0
⎣η
⎦
f ( τ)
∫
∫
Введем определения полигиперсингулярных интегралов с особыми
точками, лежащими на границе области интегрирования. Для простоты обозначений в этом и следующих разделах будем рассматривать бигиперсингулярные интегралы. Из приведенных ниже определений и формул следует, что
они легко распространяются на полигиперсингулярные интегралы любой конечной размерности.
Рассмотрим интеграл
11
Bf =
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
.
p1 p2
τ
τ
00
1 2
∫∫
Пусть функция f ( t1 , t2 ) ∈W r1 , r2 (1) , где r1 ≥ p1 , r2 ≥ p2 , p1 ≥ 2 , p2 ≥ 2 .
Введем обозначения: Ω = [ 0, 1] , Ωη = [ η, 1] , где η ( η > 0 ) – достаточно малое вещественное число.
Определение 3. Конечной частью интеграла Bf называется предел
2
11
Bf =
∫∫
00
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
p
p
τ1 1 τ2 2
2
⎡
⎤
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
g ( η) ⎥
⎢
,
= lim
−
p1 p2
p1 + p2 − 2 ⎥
η→0 ⎢
η
τ
τ
1 2
⎣⎢ Ωη
⎦⎥
∫∫
(1)
где g ( η) – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) предел (1) существует;
2) функция g ( η) имеет по крайней мере p1 + p2 − 1 производную в окрестности нуля.
Укажем один из способов вычисления интеграла Bf . Вычислив по частям интеграл
1
1
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
d τ1 f ( τ1 , τ2 ) d τ2
=
p p
p1
p
τ1 1 τ2 2
τ2 2
Ωη
η τ1 η
∫∫
∫
∫
и воспользовавшись определением (1), имеем
23
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Bf =
−
p2 − 2
(p −2−k )
∑ 2( p2 − 1) 2!
k2 =0
! p1 − 2 ( p1 − 2 − k1 ) ! ( k1 ,k2 )
f
(1, 1) −
p − 1) !
k =0 ( 1
∑
1
p2 − 2
p1 − 2
( p − 2 − k1 ) ! 1
−∑ 1
p − 1) ! ( p2 − 1)
k1 =0 ( 1
+
1
1
( p1 − 1) ! ( p2 − 1) !
p2 − 2
( p2 − 2 − k2 )
= ∑
( p2 − 1) !
k 2 =0
11
∫∫
f(
!
p1 −1, k2 )
f(
!∫
( τ1, 1) d τ1 −
τ1
0
k1 , p2 −1)
(1,
τ2 ) d τ2
τ2
0
p1 −1, p2 −1)
( τ1,
τ2 )
τ1τ2
00
+
d τ1d τ2 =
! p1 − 2 ( p1 − 2 − k1 ) ! ( k1 ,k2 )
f
(1, 1) +
p − 1) !
k =0 ( 1
∑
1
( p2 − 2 − k2 ) ! 1
+∑
( p2 − 1) ! ( p1 − 1)
k2 =0
p1 − 2
(p −2−k ) ! 1
∑ 1( p1 − 1) 1 ! ( p2 − 1)
k1 =0
1
1
+
( p1 − 1) ! ( p2 − 1) !
∫
1
p2 − 2
+
f(
1
(p −2−k ) ! 1
∑ 2( p2 − 1) 2! ( p1 − 1)
k2 =0
11
∫∫ f
( p1,
1
!
∫f
( p1, k2 ) ( τ , 1) ln τ d τ +
1
1
1
0
1
f
!∫
( k1,
p2 )
(1,
τ2 ) ln τ2 d τ2 +
0
p2 )
( τ1,
τ2 ) ln τ1 ln τ2 d τ1d τ2 .
00
Рассмотрим теперь гиперсингулярный интеграл
11
Cf =
∫∫
00
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
τ1 1 ( τ2 − t2 )
p
p2
, 0 < t2 ≤ 1 ,
в предположении, что f ( t1 , t2 ) ∈W r1 , r2 (1) , где r1 ≥ p1 , r2 ≥ p2 , p1 ≥ 2 , p2 ≥ 2 .
Пусть η ( η > 0 ) – достаточно малое вещественное число. Введем обозначение:
⎧⎪([ 0, η] × [ 0, 1]) ∪ ([ 0, 1] × [t2 − η, t2 + η]) при t2 ≠ 1,
dη = ⎨
⎪⎩([ 0, η] × [ 0, 1]) ∪ ([ 0, 1] × [t2 − η, 1]) при t2 = 1.
Обозначим через Ωη = Ω \ dη .
Определение 4. Конечной частью интеграла Cf называется предел
⎡
⎤
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
g ( η) ⎥
⎢
,
= lim
−
Cf =
p2
p2
p1 + p2 − 2 ⎥
p1
p1
η→0 ⎢
η
t
t
τ
τ
−
τ
τ
−
(
)
(
)
2
2
2
2
00 1
⎢⎣ Ωη 1
⎥⎦
11
∫∫
∫∫
где g ( η) – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
24
(2)
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
1) предел (2) существует;
2) функция g ( η) имеет по крайней мере p1 + p2 − 1 производную в окрестности нуля.
Укажем один из способов вычисления интеграла Cf . Вычислим по час-
∫∫
тям интеграл
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
Ωη
τ1 1 ( τ2 − t2 )
p
p2
, предварительно представив его в виде
суммы
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
p
τ1 1
Ωη
( τ2 − t2 )
p2
=
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
p
τ1 1
Ω1η
( τ2 − t2 )
p2
+
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
∫∫
τ1 1 ( τ2 − t2 )
p
Ωη2
p2
,
где Ω1η = [ η, 1] × [ 0, t2 − η] , Ωη2 = [ η, 1] × [t2 + η, 1] .
В результате этих вычислений из определения 4 следует формула
Cf = −
+
p2 − 2
p1 − 2
(p −2−k ) !
∑ −t p22 −1−k2 p2 − 1
( 2 )
k2 =0 ( 2 )
(p
−2−k
)
1
1
∑
! k =0 ( p1 − 1) !
! ( k1,k2 )
f
(1, 0 ) +
1
1 ( p1 −1, k2 )
f
( p2 − 2 − k2 )!
( τ1, 0 ) d τ1
1
−
∑ −t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫
τ
1
(
)
(
)
k2 =0
2
2
0
p2 − 2
−
t
( p1 − 2 − k1 )! 1 2 f ( k1, p2 −1) (1, τ2 ) d τ2
+
∑ ( p1 − 1)! ( p2 − 1)! ∫
τ
−
t
2
2
k1 =0
0
+
(
d τ1 2 f
1
1
( p1 − 1)! ( p2 − 1)! η τ1 0
p1 − 2
1
∫
t
∫
p1 −1, p2 −1)
( τ1,
τ2 )
τ 2 − t2
d τ2 +
+
p2 − 2
p1 − 2
( p2 − 2 − k2 )!
( p − 2 − k )!
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ∑ 1( p1 − 1)!1 f ( k1,k2 ) (1, 1) −
( 2 ) k1 =0
k2 =0 (
2)
−
1 ( p1 −1, k2 )
f
( p2 − 2 − k2 )!
( τ1, 1) d τ1 −
1
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫
τ1
( 2 )
k2 =0 (
2)
0
p2 − 2
−
( p1 − 2 − k1 )! 1 1 f ( k1, p2 −1) (1, τ2 ) d τ2 +
∑ p − 1)! ( p2 − 1)! ∫
τ 2 − t2
k1 =0 ( 1
t
p1 − 2
2
1
d τ1
1
1
+
( p1 − 1)! ( p2 − 1)! τ1
∫
η
1
∫
t2
f(
p1 −1, p2 −1)
( τ1,
τ2 − t2
τ2 )
d τ2 =
p2 − 2
( p2 − 2 − k2 )! p1 −2 ( p1 − 2 − k1 )! ( k1,k2 )
=− ∑
f
(1, 0 ) −
∑
p2 −1− k2
( p2 − 1)! k1 =0 ( p1 − 1)!
k 2 = 0 ( −t 2 )
25
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
−
p2 − 2
1
( p2 − 2 − k2 )!
1
∑ −t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫ f ( p1, k2 ) ( τ1, 0 ) ln τ1 d τ1 −
( 2 )
k2 =0 ( 2 )
0
p1 − 2
(p
− 2 − k )!
1
∑ 1( p1 − 1)!1 ( p2 − 1)! ×
k =0
−
1
t2
⎛
⎞
k , p −1
k, p
× ⎜ − f ( 1 2 ) (1, 0 ) ln 0 − t2 − f ( 1 2 ) (1, τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟ +
⎜
⎟
0
⎝
⎠
∫
1
+
(
1
1
p , p −1
ln τ1 d τ1 + f ( 1 2 ) ( τ1 , 0 ) ln 0 − t2 +
( p1 − 1)! ( p2 − 1)!
∫
η
t2
+ f(
∫
p1 , p2 )
( τ1,
0
+
+
⎞
τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟ +
⎟
⎠
p2 − 2
p1 − 2
( p2 − 2 − k2 )!
( p − 2 − k )!
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ∑ 1( p1 − 1)!1 f ( k1,k2 ) (1, 1) +
( 2 ) k1 =0
k2 =0 (
2)
p2 − 2
1
( p2 − 2 − k2 )!
1
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫ f ( p1, k2 ) ( τ1, 1) ln τ1 d τ1 −
( 2 )
k2 =0 (
2)
0
−
p1 −2
∑ 1( p1 − 1)!1 ( p2 − 1)! ( f ( k , p −1) (1, 1) ln 1 − t2 −
k =0
(p
− 2 − k )!
1
1
2
1
1
− f(
∫
k1 , p2 )
(1,
t2
⎞
τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟ +
⎟⎟
⎠
1
+
(
1
1
p , p −1
ln τ1 d τ1 − f ( 1 2 ) ( τ1 , 1) ln 1 − t2 +
( p1 − 1)! ( p2 − 1)!
∫
η
⎞
( τ1, τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟⎟ .
⎟
t2
⎠
Введем определение многомерных гиперсингулярных интегралов в
предположении, что особая точка лежит на границе области интегрирования.
Как и выше, для простоты обозначений ограничимся двумерным случаем.
Рассмотрим интеграл
1
p,
+∫ f( 1
p2 )
11
Df =
∫∫
00
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
.
(
τ12 + τ22
)
p
2
Пусть η ( η > 0 ) – достаточно малое вещественное число. Введем обозначение Ωη = [ η, 1] × [ η, 1] .
26
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Определение 5. Конечной частью интеграла Df называется предел
⎡
⎤
⎢
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 g ( η) ⎥
⎥,
Df =
= lim ⎢
−
p
p
p −2 ⎥
η→0 ⎢
η
00
τ12 + τ22 2
τ12 + τ22 2
⎢ Ωη
⎥
⎣
⎦
11
∫∫
(
∫∫
)
(
)
(3)
где g ( η) – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) предел (3) существует;
2) функция g ( η) имеет производные по крайней мере до ( p − 1) -го порядка в окрестности нуля.
Представим интеграл Df в виде выражения, пригодного для непосредственных вычислений, по крайней мере, для наиболее употребительных значений p (например, для p = 3 ). Для этого вычислим по частям интеграл
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
∫∫
(
Ωη
τ12 + τ22
)
3
2
1
1
∫ ∫
= d τ1
η
f ( τ1 , τ2 ) d τ2
(
η
τ12 + τ22
3
)2
и затем воспользуемся определением 5. В результате получаем формулу
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
= − 2 f (1, 1) +
∫∫
(
Ω
1
+
∫
(
τ12
1 + τ22
)
+ τ22
1
2
)
3
2
∫
(
)
1
1,0
τ12 + 1 2 f ( ) ( τ1 , 1) d τ1
τ1
0
0,1
f ( ) (1, τ2 ) d τ2
τ2
0
1
11
+
∫∫
(
τ12 + τ22
+
) 2 f (1,1) ( τ1, τ2 ) d τ1d τ2 .
1
τ1τ2
00
Аналогичные вычисления можно провести и для других значений параметра p .
В ряде случаев более удобным является следующее определение. Введем область Ω∗η = Ω \ R ( 0, η) , где R ( 0, η) – круг радиуса η с центром в начале координат.
Определение 6. Конечной частью интеграла Df называется предел
⎡
⎤
⎢
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 g ( η ) ⎥
⎥.
Df =
= lim ⎢
−
p
p
p −2 ⎥
η→0 ⎢ ∗
η
00
τ12 + τ22 2
τ12 + τ22 2
⎢ Ωη
⎥
⎣
⎦
11
∫∫
(
)
∫∫
(
)
(4)
Здесь на функцию g ( η ) налагаются следующие условия:
1) предел (4) существует;
2) функция g ( η ) имеет производные по крайней мере до ( p − 1) -го порядка в окрестности нуля.
27
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Можно показать, что последние два определения эквивалентны.
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
Ef =
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
Δ
(
τ12
+ τ22
)
p
,
2
где Δ – треугольник ABC с вершинами в точках A ( 0, 0 ) , B ( b, 0 ) , C ( c, d ) ,
0 < c ≤ b , 0 < d . Для определенности будем рассматривать прямоугольный
треугольник с прямым углом в точке B . Это обстоятельство, в связи со свойством аддитивности по области интегрирования гиперсингулярных интегралов,
не налагает никаких ограничений на рассматриваемые интегралы.
Пусть 0 < b1 < b . Обозначим через ΔA1B1C1 треугольник, подобный
треугольнику
ΔABC , с координатами в точках
C1 ( c1 , d1 ) .
A1 ( 0, 0 ) ,
B1 ( b1 , 0 ) ,
Определение 7. Пусть f ( t1 , t2 ) ∈ C2r (1) , r ≥ p . Конечной частью интеграла Ef называется предел
⎡
⎤
⎢ f (τ , τ ) dτ dτ
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
g
η
( ) ⎥⎥ ,
1 2
1 2
= lim ⎢
−
Ef =
p
p
η→0 ⎢
η p −2 ⎥
Δ
τ12 + τ22 2
τ12 + τ22 2
⎢ Δ1
⎥
⎣
⎦
∫∫
(
∫∫
)
(
)
(5)
где Δ1 = Δ \ ΔA1B1C1 .
На функцию g ( η) налагаются следующие условия:
1) в выражении (5) предел существует;
2) функция g ( η) имеет производные по крайней мере до ( p − 1) -го порядка в окрестности нуля.
Замечание. Интегралы вида Ef выделены отдельно, т.к. они находят
широкое применение в механике разрушений.
3 Определение оптимальных алгоритмов
вычисления гиперсингулярных интегралов
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
1
Jϕ =
∫
0
ϕ ( τ)
τv
dτ ,
(6)
где v = 2, 3, ... , ϕ ( τ ) ∈ W r (1) , r ≥ v , который будем вычислять по квадратурной формуле
Jϕ =
N
∑ pk ϕ ( sk ) + RN ( sk , pk , ϕ )
k =1
с узлами и весами sk и весами pk , k = 1, 2, ..., N .
28
(7)
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Если Ψ – некоторый класс заданных на сегменте [ 0, 1] функций, то
положим
RN ( sk , pk , Ψ ) = max RN ( sk , pk , ϕ ) .
ϕ∈Ψ
Через ζ N [ Ψ ] обозначим величину
ζ N [ Ψ ] = inf
( sk ,
pk )
RN ( sk , pk , Ψ ) ,
(8)
в которой нижняя грань берется по всевозможным N узлам sk и весами pk
( k = 1, 2, ..., N ). Квадратурную формулу (7), построенную по узлам sk* и
весам pk* ( k = 1, 2, ..., N ), будем, согласно работам [16, 17], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
(
RN sk* , pk* , Ψ
ζ N [Ψ]
) =1,
lim
(
RN sk* , pk* , Ψ
ζ N [Ψ]
N →∞
) =1, R
N
( sk* , pk* , Ψ ) ∪∩ ζ N [Ψ ]
∪
(слабая эквивалентность) означает, что имеются две
∩
константы A и B , не зависящие от N , и такие, что
соответственно. Знак
(
)
Aζ N [ Ψ ] ≤ RN sk* , pk* , Ψ ≤ Bζ N [ Ψ ] .
Аналогичным образом определяются оптимальные кубатурные формулы для многомерных гиперсингулярных интегралов.
4 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных
интегралов с фиксированной особенностью
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
1
Jϕ =
∫
ϕ ( τ)
τv
0
dτ ,
(9)
где v = 2, 3, ... , ϕ ( τ ) ∈W r (1) , r ≥ v .
Сегмент
[0,1]
покроем более мелкими сегментами Δ k = [tk , tk +1 ] ,
q
r +1
⎛k ⎞
.
k = 0,1, ..., N − 1 , где tk = ⎜ ⎟ , k = 0, 1, ..., N , q =
r +1− v
⎝N⎠
Сегмент Δ 0 покроем еще более мелкими сегментами Δ 0, j = ⎡⎣t0, j , t0, j +1 ⎤⎦ ,
j
1 r +1−v )
j = 0,1,..., M − 1 , где M = [ ln N ] (
, t0, j =
, j = 0,1, ..., M .
1 r +1−v )
q
N [ ln N ] (
В каждом сегменте Δ k , k = 0,1, ..., N − 1 , функцию ϕ ( τ ) аппроксимируем интерполяционным полиномом Lr ( τ, Δ k ) , который строим по r + 1 узлу
29
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
tkj , k = 0,1, ..., N − 1 , j = 0,1, ..., r . В качестве узлов интерполяции можно взять
равноотстоящие узлы или узлы ортогональных полиномов, отображенных с
[ −1,1] на Δ k . Аналогично, в каждом сегменте Δ0, j , j = 0,1, ..., M − 1 , функ-
(
)
цию ϕ ( τ ) будем приближать интерполяционным полиномом Lr τ, Δ 0, j ,
j = 0,1, ..., M − 1 .
Интеграл J ϕ будем вычислять по квадратурной формуле
Jϕ =
(
M −1
Lr τ, Δ 0, j
∑ ∫
τv
j =0 Δ 0, j
)d τ + N −1 Lr ( τ, Δk )d τ + R ( ϕ) .
N
∑ ∫ τv
(10)
k =1 Δ k
Оценим погрешность квадратурной формулы (10).
Нетрудно видеть, что
RN ( ϕ ) ≤
ψ 0, j ( τ )
M −1
∑ ∫
τv
j =0 Δ 0, j
dτ +
N −1
∑ ∫
ψk ( τ)
k =1 Δ k
τv
dτ =
M −1
N −1
j =0
k =1
∑ r0, j + ∑ rk ,
(
(11)
)
где ψ k ( τ ) = ϕ ( τ ) − Lr ( τ, Δ k ) , при τ∈ Δ k , ψ 0, j ( τ ) = ϕ ( τ ) − Lr τ, Δ 0, j , при
τ ∈ Δ 0, j .
Отдельно оценим слагаемые при k = 0 и при 1 ≤ k ≤ N − 1 .
При k = 0 на сегменте Δ 0,0 , пользуясь определением интеграла Адамара, имеем
∫
Δ 0,0
ψ0 ( τ)
τ
v
t0,1
dτ =
∫
ψ 0,0 ( τ )
0
τv
dτ =
( v −2 )
⎡t0,1
ψ 0,0 ( τ )
1
1 ψ 0,0 ( η)
v −1)
(
⎢
dτ +
= lim
ψ
− ...
( η) ln η −
v
v − 1)! 0,0
v − 1)!
η
η→0 ⎢
(
(
τ
⎢⎣ η
∫
... −
( v − 3)! ψ′0,0 ( η) − ( v − 2 )! ψ 0,0 ( η) ⎤ =
⎥
( v − 1)! ηv −2 ( v − 1)! ηv−1 ⎥⎦
( v−2)
( )
1
1 ψ 0,0 t0,1
( v −1)
=
ψ 0,0 t0,1 ln t0,1 −
− ...
( v − 1)!
( v − 1)! t0,1
( )
( v − 3)! ψ′0,0 ( t0,1 ) − ( v − 2 )! ψ 0,0 ( t0,1 ) − 1 0,1 ψ( v ) τ ln τd τ.
... −
( )
v −2
v −1
( v − 1)! t0,1
( v − 1)! t0,1
( v − 1)! ∫0 0,0
t
Тогда
r0,0 =
∫
Δ 0,0
30
ψ 0,0 ( τ )
τ
v
( v−2)
( )
1
1 ψ 0,0 t0,1
( v −1)
dτ =
ψ 0,0 t0,1 ln t0,1 −
− ...
( v − 1)!
( v − 1)! t0,1
( )
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
0,1
v − 3)! ψ′0,0 ( t0,1 ) ( v − 2 )! ψ 0,0 ( t0,1 )
(
1
(v)
... −
−
−
ψ 0,0 ( τ ) ln τd τ ≤
∫
−
−
v
v
2
1
( v − 1)! 0
( v − 1)! t0,1
( v − 1)! t0,1
t
( v−2)
⎡
ψ 0,0 t0,1
⎢ ( v −1)
≤ B ⎢ ψ 0,0 t0,1 ln t1 +
+ ... +
t0,1
⎢
⎢⎣
( )
( )
( )
ψ′0,0 t0,1
+
v−2
t0,1
+
( )
⎤
(v)
ψ 0,0 ( τ ) ln τd τ ⎥ .
⎥
0
⎦⎥
t0,1
ψ 0,0 t0,1
+
v −1
t0,1
∫
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Используя неравенство
А. А. Маркова, обратные теоремы конструктивной теории функций [18],
можно показать, что
( )
ψ 0,0 t0,1
0
r0,0
=
( j)
j
r0,0
=
v −1
t0,1
( )
ψ 0,0 t0,1
( v −1− j )
t
r −v +1
≤ At0,1
≤A
r −v +1
≤ At0,1
≤A
0,1
1
N
r +1
1
N
r +1
1
;
ln N
1
, j = 1, 2, ..., v − 2 ;
ln N
( v −1) t ln t ≤ At r −v +1 ln t ≤ A 1 ;
( 0,1 ) 0,1 0,1
0,1
r +1
v −1
r0,0
= ψ 0,0
v
r0,0
t0,1
=
N
(v)
r −v +1
∫ ψ0,0 ( τ ) ln τd τ ≤ At0,1
ln t0,1 ≤ A
0
1
N r +1
.
Собирая полученные оценки, приходим к неравенству
∫
r0,0 =
ψ 0,0 ( τ )
Δ 0,0
τ
v
dτ ≤ A
1
N r +1
.
(12)
При k = 0 для сегментов Δ 0, j , j = 1, 2, ..., M − 1 имеем
M −1
M −1
r +1
h0,
j
j =1
j =1
0, j
∑ r0, j ≤ ∑ A t v
≤A
M −1 N vq
∑
j =1
( ln N )v ( r +1−v ) ×
jv
⎛
⎞
j +1
j
⎟
×⎜
−
⎜ N q ( ln N )1 ( r +1−v ) N q ( ln N )1 ( r +1−v ) ⎟
⎝
⎠
≤A
M −1
∑
1
v
j =1 j N
1
r +1
r +1
≤
1
1
1
1
.
≤A
≤A
r
+
1
ln N
ln N
N
N r +1
(13)
31
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Приступая к оценке слагаемых rk =
∫
ψk ( τ)
d τ при 1 ≤ k ≤ N − 1 , за-
τv
Δk
метим, что
∫
rk ≤
ψk ( τ)
Δk
τ
v
dτ ≤
1
∫
tkv Δ
k
A ⎡⎛ k + 1 ⎞ ⎛ k ⎞
≤ ⎢⎜
⎟ −⎜ ⎟
tkv ⎢⎣⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠
Следовательно,
q
ψk ( τ) d τ ≤
q ⎤ r +1
N −1
⎥
⎥⎦
⎛N⎞
⎜ ⎟
⎝k ⎠
qv
A
tkv
≤
⋅ hkr +1 ≤
A
N r +1
A
∑ rk ≤ N r .
.
(14)
k =1
Собирая оценки (12)–(14) и подставляя в выражение (11), окончательно
A
A
и, следовательно, RN ⎡W r (1) ⎤ ≤
. Оценка сверху
получаем RN ( ϕ ) ≤
r
⎣
⎦
N
Nr
получена.
В следующем разделе при исследовании многомерных гиперсингулярных интегралов на классе функций Clr (1) будет получена оценка снизу вели-
чины функционала ζ N ⎡Clr (1) ⎤ .
⎣
⎦
Повторяя рассуждения, проведенные в разделе 6, применительно к одномерному случаю можно показать, что ζ N ⎡W r (1) ⎤ ≥ AN − r .
⎣
⎦
Из сопоставления последних двух неравенств вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть Ψ = W r (1) . Среди всевозможных квадратурных
формул вида J ϕ =
N
∑ pk ϕ ( tk ) + RN ( tk , pk , ϕ)
оптимальной по порядку явля-
k =1
∪
ется формула (10). Ее погрешность равна RN [ Ψ ] N − r .
∩
5 Приближенное решение многомерных гиперсингулярных интегралов
с фиксированной особенностью на границе области
В этом разделе строятся оптимальные по порядку кубатурные формулы
для вычисления гиперсингулярных интегралов вида
Ff =
∫∫
Ω
f ( τ1 , τ2 , ..., τl ) d τ1d τ2 ...d τl
(
τ12
где Ω = [ 0,1] , p > l , f ∈ Clr , r ≥ p .
l
32
+ τ22
+ ... + τl2
)
p
2
,
(15)
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Интеграл (15) будем вычислять по кубатурным формулам
Ff =
N ρ1
ρl
∑ ∑ ∑ pk , i , ..., i f (i , ..., i ) ( M k ) + RN ( pk , i , ..., i ,
...
k =1 i1 =0 il =0
где
l
1
l
1
l
1
)
M k , f , (16)
i
∂ f ( τ1 , ..., τl )
i1 , ..., il )
(
f
, i = ( i1 , ..., il ) , i = i1 + ...+ il ,
( τ1, ..., τl ) =
i
i
∂τ11 ...∂τll
pk , i1 , ..., il
– коэффициенты кубатурной формулы (16), k = 1, 2, ..., N ,
i j = 0, 1, ..., ρ j , j = 1, 2, ..., l , ρ = ( ρ1 , ..., ρl ) , ρ = ρ1 + ...+ ρl , ρ ≤ r ,
M k ( k = 1, 2, ..., N ) – узлы кубатурной формулы (16), M k ∈ Ω .
Теорема 2. Пусть f ∈ Ψ ∈ Crl (1) . Для кубатурных формул вида (16)
справедливо неравенство ς N [ Ψ ] ≥ AN − r l .
Доказательство. Обозначим через Δ k множество точек t = ( t1 , ..., tl ) ,
расстояние от которых до точки Θ = ( 0, ..., 0 ) удовлетворяет неравенству
v
v
⎛ k ⎞
⎛ k +1⎞
⎜ ⎟ ≤ ρ (t, Θ) ≤ ⎜
⎟ , k = 0, 1, ..., M − 1 .
⎝M ⎠
⎝ M ⎠
Здесь ρ ( t , Θ ) = min min ( tk , 1 − tk ) , v = ( r + l ) ( r + l − p ) . Величина
1≤k ≤l
M будет определена ниже.
v
v
v
⎛ 1 ⎞
⎛ k +1⎞ ⎛ k ⎞
Введем обозначения: h0 = ⎜ ⎟ , hk = ⎜
⎟ − ⎜ ⎟ , k = 1, 2, ..., M − 1 .
⎝M ⎠
⎝ M ⎠ ⎝M ⎠
Каждую из областей Δ k покроем кубами с ребрами длиной hk параллельными осям координат. То обстоятельство, что в каждой из областей Δ k может
оказаться несколько параллелепипедов, у которых, наряду с ребрами длиной
hk , имеются ребра с меньшей длиной, не влияет на дальнейшие рассуждения.
Для краткости в дальнейшем кубы и параллелепипеды, покрывающие область
Δ k , будем называть кубами. Обозначим кубы, покрывающие область Δ k , че-
рез Δik , ..., i , k = 1, 2, ..., M − 1 .
1
l
Оценим число m кубов Δik , ..., i , покрывающих область Ω . Очевидно,
1
l
m
∪ l
M .
∩
В самом деле
v
⎛
⎛ k +1⎞
⎜
⎜
⎟
∪ M −1⎜
⎝ M ⎠
m
∩ k =1 ⎜ ⎛ k + 1 ⎞v ⎛ k
⎜⎜
⎜ M ⎟ −⎜ M
⎠ ⎝
⎝⎝
∑
⎞
⎟
⎠
v
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
l −1
l −1
v
∪ M −1⎛ ( k + 1) ⎞
⎜
⎟
∩ k =1 ⎜ ( k + θ )v −1 ⎟
⎝
⎠
∑
∪ M −1 l −1 ∪
k
Ml,
∩ k =1
∩
∑
где 0 < θ < 1 .
33
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При этом нетрудно видеть, что число параллелепипедов Δik , ..., i , у ко1
l
торых по крайней мере одно из ребер будет меньше hk , k = 1, 2, ..., M − 1 ,
не превосходит величину порядка M l −1 .
Теперь можно определить величину M . Так как кубатурная формула
(16) использует N узлов, то для получения оценки снизу погрешности кубатурной формулы (16) нужно покрыть область Ω не менее чем 3N кубами
Δik , ..., i , k = 1, 2, ..., M − 1 .
1
l
Выберем M таким образом, чтобы число m элементов покрытия
Δik , ..., i , k = 0, 1, ..., M − 1 , удовлетворяло неравенству m ≥ 3N . Очевидно,
1
l
1
∪
для этого достаточно положить M [3N ]l + 1 .
∩
Так как в результате описанного построения область Ω оказалась покрытой более чем 3N кубами и параллелепипедами Δik , ..., i и т.к. число паl
1
раллелепипедов
Δik , ..., i
1
l
, у которых длина по крайней мере одного ребра
меньше hk , k = 1, 2, ..., M − 1 , есть величина порядка M l −1 , то имеется по
крайней мере N кубов Δik , ..., i с ребрами, равными hk , k = 0, 1, ..., M − 1 , в
1
l
которых нет узлов кубатурной формулы (16). Назовем эти кубы отмеченными. Пусть Δik , ..., i = [aik , aik +1; ...; aik , aik +1 ] – отмеченный куб. В этом кубе
1
l
1
l
1
l
построим функцию
((
)(
))
)(
)(
r
⎛
t1 − aik aik +1 − t1 ... tl − aik aik +1 − tl
⎜
1
1
l
l
⎜A
при t ∈ Δik , ..., i ,
k
2
1
r
l
−
(
)
l
1
ϕi , ..., i ( t ) = ⎜
hk
1
l
⎜
⎜⎜ 0 при t ∉ Δ k
.
i1 , ..., il
⎝
Здесь константа A подбирается из условия, чтобы функция
((
A t1 − aik
1
)( a
k
−t
i1 +1 1
)...(t − a )( a
l
k
il
k
−t
il +1 l
)) h
r − r 2l −1
( )
k
принадлежала
классу
Clr (1) . Очевидно, такая константа существует и не зависит от индексов k и
i1 , ..., il . В неотмеченных кубах положим ϕik , ..., i ( t ) ≡ 0 .
1
l
Сплайн, являющийся объединением функций ϕik , ..., i ( t ) , обозначим
1
l
через ϕr ( t ) .
Нетрудно видеть, что
ς N ⎡Clr (1) ⎤ ≥
⎣
⎦
34
∫∫
Ω
ϕr ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
(( τ − t )
1
1
2
+ ... + ( τl − tl )
2
)
p
≥
2
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
≥
M −1
∑ ∑
∫∫
'
k =0 i1 , ..., il Δ k
i1 , ..., il
≥
M −1
∑ ∑
k =0 i1 , ..., il
ϕir , ..., i ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
1
(( τ − t )
1
'
1
A1hkr +l
2
+ ... + ( τl − tl )
1
( (k + 1)
⎛ ⎛ k + 1 ⎞v ⎛ k
≥
−
A1 ⎜ ⎜
⎜ ⎝ M ⎠⎟ ⎝⎜ M
k =0 i1 , ..., il
⎝
M −1
∑ ∑
≥
M −1
∑ ∑
k =0 i1 , ..., il
'
A1
≥
l
'
⎞
⎟
⎠
M)
v ⎞r +l
⎟
⎟
⎠
vp
2
)
p
2
≥
⎛ M ⎞
⎜
⎟
⎝ k +1⎠
vp
≥
( k + θ )( v−1)( r +l )
A1N
AN
1
≥
≥ 1
( k + 1)vp M v( r − p +l ) M v( r − p ) M r +l
где суммирование ведется по отмеченным кубам.
=
A1
Nr l
,
( )
Напомним, что здесь v = ( r + l ) ( r + l − p ) , M = O N 1 l , 0 < θ < 1 .
Таким образом, получена оценка снизу погрешности кубатурной формулы вида (16) на классе Clr : ς N ⎡Clr (1) ⎤ ≥ AN −r l .
⎣
⎦
Построим кубатурную формулу, с таким порядком погрешности. Пусть
N – целое число. Обозначим через Δ k области, состоящие из точек
t = ( t1 , ..., tl ) , для которых расстояние до начала координат удовлетворяет неравенствам
v
v
⎛k ⎞
⎛ k +1⎞
⎜ ⎟ ≤ ρ ( x, Θ ) ≤ ⎜
⎟ , k = 0, 1, ..., N − 1 , v = ( r + l ) ( r + l − p ) .
⎝N⎠
⎝ N ⎠
ми,
Впишем в каждую из областей Δ k максимальное число кубов с ребрапараллельными осям координат, с длинами ребер, равными
v
v
⎛ k +1⎞ ⎛ k ⎞
hk = ⎜
⎟ − ⎜ ⎟ , k = 1, 2, ..., N − 1 . Незаполненную кубами часть области
⎝ N ⎠ ⎝N⎠
Δ k покрываем параллелепипедами с ребрами, параллельными координатным
осям, причем часть ребер имеет длину hk , а остальные меньше hk . Как и
раньше, такое покрытие обозначим через Δik , ..., i , k = 0, 1, ..., N − 1 .
1
l
Обозначим через Lr ( ϕ, [ a, b ]) полином порядка r , интерполирующий
функцию ϕ ( t ) , t ∈ [a, b] , по r + 1 узлу. Отметим, что в качестве узлов интерполяции можно взять отображение с сегмента [−1, 1] на сегмент [a, b] корней
ортогональных полиномов, определенных на сегменте [−1, 1] или, при небольших значениях r , равноотстоящие узлы.
Пусть ϕ ( t1 , ..., tl ) – функция l независимых переменных, определенных в параллелепипеде [a1 , b1; ...; al , bl ] .
35
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введем полином ϕr , ..., r ( t1 , ..., tl ; [a1 , b1; ...; al , bl ]) , определенный
оператором интерполяции
( ((
)
)
)
Lr , ..., r ( ϕ, [a1 , b1; ...; al , bl ]) = Ltr1 Ltr2 ... Ltrl ( ϕ,[al , bl ]) , ... , [a2 , b2 ] , [a1 , b1 ] ,
т.е. функцию ϕ ( t1 , ..., tl ) в начале интерполируем по r узлам по переменной tl на сегменте [al , bl ] , затем полученное выражение интерполируем по
переменной tl −1 на сегменте [al −1 , bl −1 ] и т.д., пока не проведем интерполяцию по переменной t1 на сегменте [a1 , b1 ] . Верхний индекс в обозначении
оператора Ltri , i = 1, 2, ..., l , обозначает переменную, по которой проводится
интерполяция; сам оператор Lr описан выше. В каждом кубе Δik , ..., i ,
1
l
k = 0, 1, ..., N − 1 функцию ϕ ( t1 , ..., tl ) аппроксимируем интерполяцион-
)
(
ным полиномом ϕr , ..., r t1 , ..., tl ; Δik , ..., i .
1
l
Для вычисления интеграла (15) введем кубатурную формулу
Gf =
N −1
∑ ∑ ∫ ... ∫
k =0 i1 , ...,
(
)
ϕr , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
il Δ k
i1 , ..., il
p
+ RN ( ϕ ) . (17)
2
Оценим погрешность кубатурной формулы (17). Нетрудно видеть, что
RN ( ϕ ) ≤
N −1
∑ ∑
∫ ∫
...
(
(
k =0 i1 , ..., il Δ k
i1 , ..., il
∫ ∫
где I1 = ...
I2 =
τ12
+ τ22
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ0
N −1
∑ ∑
k =1 i1 , ...,
(
)
ψ r , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
∫ ... ∫
p
+ ... + τl2
)
p
= I1 + I 2 ,
2
,
2
(
)
ψ r , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
il Δ k
i1 , ..., il
)
p
.
2
(
)
Здесь ψ r , ..., r t1 , ..., tl ; Δ ik , ..., i = ϕ ( t1 , ..., tl ) − ϕr , ..., r t1 , ..., tl ; Δ ik , ..., i ,
1
l
1
l
( t1,
..., tl ) ∈ Δik , ..., i , k = 0, 1, ..., N − 1 .
1
l
Оценим в отдельности каждое из выражений I1 и I 2 .
36
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
При оценке интеграла I1 воспользуемся определением гиперсингулярного интеграла. Для удобства представим интеграл I1 в виде суммы двух интегралов:
I1 =
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
∫ ... ∫
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ0,0
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ 0,1
∫ ∫
...
∫ ∫
≤
2
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
(
Δ 0,0
+ ...
p
τ12 + τ22 + ... + τl2
)
(
Δ 0,1
+ τ22
+ ... + τl2
)
p
+
p 2
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
τ12
+
2
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
∫ ∫
+ ...
≤
p
= I1,0 + I1,1 ,
2
где Δ 0, 0 – пересечение куба Δ 0 с шаром радиуса h0 с центром в начале координат, Δ 0, 1 = Δ 0 \ Δ 0, 0 .
Очевидно,
...
η→0 ∫ ∫
I1,0 = lim
Δ 0,0
ψ ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
∫ ∫
I1,1 = ...
p
≤
Ah0r +l −1
2
ψ ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ 0,1
p
h0 l −1
ρ
η→0 ∫
lim
ρ
η
≤ Ah0r +l − p ≤
2
p
dρ =
A
N r +l
A
N r +l
,
.
A
Следовательно, I1 ≤ I1, 0 + I1, 1 ≤
.
N r +l
Приступим к оценке суммы I 2 . Очевидно,
I2 ≤
N −1
∑ ∑ ∫ ∫
...
k =1 i1 , ..., il Δ k
i1 , ..., il
)
(
ψ r , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
(
τ12
+ τ22
+ ... + τl2
)
p
≤
2
37
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N −1
⎛N⎞
≤A
⎜ ⎟
k
k =1 i1 , ..., il ⎝ ⎠
∑ ∑
⎛N⎞
≤ An ⎜ ⎟
⎝k ⎠
vp
vp ⎛
v
⎛ k +1⎞ ⎛ k ⎞
⎜⎜
−
⎜ ⎝ n ⎟⎠ ⎜⎝ n ⎟⎠
⎝
( k + θ )( v−1)( r +l ) ≤
N
v( r + l )
v ⎞ r +l
⎟
⎟
⎠
An
N r +l
≤
,
где n – число элементов покрытия области Ω кубами и параллелепипедами
Δik , ..., i , k = 1, 2, ..., N − 1 ; 0 < θ < 1 .
1
l
Повторим рассуждения, приведенные выше при оценке снизу функционала ς N ⎡Clr (1) ⎤ для кубатурных формул вида (16), получаем соотноше⎣
⎦
∪ l
ние n N . Отсюда следует, что
∩
I1 ≤
A
N
I2 ≤
r +l
A
N
r
≤
≤
A
n
r l +1
A
nr l
;
.
(18)
(19)
A
.
Из неравенств (18) и (19) получаем оценку RN ( ϕ ) ≤
nr l
В кубатурной формуле (17) используется n r l узлов. Поэтому предыA
, где n* – число уздущую оценку можно представить в виде RN ( ϕ ) ≤
n*r l
лов кубатурной формулы (15).
Так как предыдущая оценка справедлива для произвольной функции
r
ϕ∈ Cl (1) , то
A
RN ⎡Clr (1) ⎤ ≤
.
⎣
⎦ nr l
*
(20)
Из сопоставления оценки ζ N ⎡Clr (1) ⎤ ≥ An −r l и неравенства (20) сле⎣
⎦
дует, что
∪ −r l
.
RN ⎡Clr (1) ⎤
n
⎣
⎦ ∩ *
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть Ψ = Clr (1) . Среди всевозможных кубатурных формул
вида (16) оптимальной по порядку является формула (17). Ее погрешность рав∪ −r l
на RN [ Ψ ]
, где n* – число узлов кубатурной формулы (17).
n
∩ *
38
№ 1, 2008
n*
∪
∩
Физико-математические науки. Математика
Замечание. Величины N и n* связаны между собой выражением
Nl .
6 Модельные примеры
Приведем ряд примеров, иллюстрирующих эффективность предложенного метода.
Рассмотрим модельный пример [8]
1
I1 =
∫
2
0t
dt
=
( t − 2 )2 + 1
(
)
2
2
1
5 ln ⎡10 10 − 3 ⎤ −
5−
2.
⎣
⎦
25
25
5
ϕ(t ) =
Как видно, плотность интеграла
1
(t − 2)
2
+1
∈W r (1) , где
r = 1, 2, ... Вычисления проводились по квадратурной формуле (10) при раз-
личных значения N , где N – число элементов покрытия отрезка [ 0,1] . Абсолютная погрешность для N = 3...10 при r = 2 имеет порядок 10−4...10−6 и
при r = 5 , соответственно, 10−6...10−7 .
Рассмотрим следующий модельный пример:
1
I2 =
∫
(1 − t 2 )
52
t
0
dt
2
(
Плотность интеграла ϕ ( t ) = 1 − t 2
=−
)
52
15
π.
16
∈W 2 (1) . Значения абсолютной
погрешности вычисления I 2 , согласно квадратурной формуле (10), для
N = 2...12 при r = 2 имеет порядок 10−2...10−4 и при r = 3 соответственно
10−3...10−5 .
Далее рассмотрим модельный пример для двумерного случая
11
I=
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
τ12 τ22
00
52
где решение f ( τ1 , τ2 ) = (1 − τ2 )
Вычислительная схема
I=
1 1 Tr
∫∫
00
(
=
15
3
π+ ,
16
2
− τ12 − τ32 .
⎡ Lτ2 Lτ1 ( f ( τ , τ ) )
1 2
⎢⎣ n n
τ12 τ22
)⎤⎥⎦ d τ1d τ2 ,
где Lτni ( f ( τ1 , τ2 ) ) – интерполяционный полином степени n по переменной
τi , i = 1, 2 ; Tr ⎡⎣ ϕ ( τ1 , τ2 ) ⎤⎦ – ряд Тейлора порядка r = n по каждой переменной
39
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
для функции ϕ ( τ1 , τ2 ) в окрестности точки ( 0,0 ) . Значение абсолютной погрешности при n = 6...10 имеет порядок 10−2...10−3 .
Список литературы
1. Н е к р а с о в, А . И . Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. –
М. : Изд-во АН СССР, 1947. – С. 3–65.
2. Э ш л и , Х . Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / Х. Эшли,
М. Лэндал. – М. : Машиностроение, 1969. – 130 с.
3. Б и с п л и н г х о фф, Р . Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, Х. Эшли, Р. Халфмен. –
М. : Изд-во иностранной литературы, 1958. – 284 с.
4. Л и фа н о в , И . К . Метод сингулярных интегральных уравнений и численный
эксперимент / И. К. Лифанов. – М. : ТОО «Янус», 1995. – 520 с.
5. Бо г о л ю б о в , Н . Н . Применение методов Н. И. Мусхелишвили в теории элементарных частиц / Н. Н. Боголюбов, В. А. Мещеряков, А. Н. Тавхелидзе // Труды
симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. –
Тбилиси : Мецниереба, 1971. – 1 т. – С. 5–11.
6. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, Л. Н. Домнин. – Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ, 1996. – 188 с.
7. Bo ik o v , I . V . Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I. V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2001. – V. 28. – № 3. – P. 127–179.
8. M o n e g a t o , G . The Numerical Evaluation of One-Dimensional Cauchy Principal
Value Integrals / G. Monegato // Computing. – 1982. – V. 20. – P. 337–354.
9. М и х а с ь к и в , В. В. О численном решении трехмерных статических задач теории упругости для тела с включением неканонической формы / В. В. Михаськив,
Б. М. Стасюк // Прикладная механика. – 2007. – Т. 43. – № 4. – С. 27–35.
10. Гравиразведка / под ред. Е. А. Мудрецовой. – М. : Наука, 1981. – 398 с.
11. Г е л ь фа н д, И . М . Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – Вып. 1. – М. : Физматгиз, 1959. – 470 с.
12. А да м а р , Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 352 с.
13. Ч и к и н , Л. А . Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. – 1953. –
Т. 113. – № 10. – C. 53–105.
14. Л и н ь к о в , А . М . Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости / А. М. Линьков, С. Г. Могилевская // ПММ. – 1980. – Т. 54. – № 1. – С. 116–122.
15. Л и н ь к о в , А . М . Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А. М. Линьков. – СПб. : Наука, 1999. – 382 с.
16. Ба х в а л о в , Н . С . О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. – 1970. –
Т. 10. – № 3. – С. 555–568.
17. И в а н о в, В. В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных
интегральных уравнений / В. В. Иванов // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. – М. : Наука, 1972. – С. 209–219.
18. Н а та н с о н, И . П . Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М. ; Л. :
ГИФМЛ, 1949. – 688 с.
40
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
363 Кб
Теги
интеграл, вычисления, метод, фиксированный, особенностями, приближенные, гиперсингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа