close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенный метод построения почти периодических решений систем линейных дифференциальных уравнений в случае резонанса.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.917
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиев,
М.Собиров*, М.Г.Юмагулов**
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В
СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
x
f (t ) ,
Ax
(1)
где A – квадратная матрица размерности n с комплексными элементами aij (i, j
1,2,....., n) ,
f (t ) – почти периодическая (n.n) комплекснозначная вектор-функция. Вопрос о разрешимости системы (1) в пространстве ограниченных на всей оси (в частности, п.п.) вектор-функций
тесно связан со структурой спектра
A
1
,
2
,...,
n
матрицы A . Справедлива следующая
теорема, принадлежащая П. Болю (см. напр.[1]).
Теорема 1. Пусть собственные значения матрицы A удовлетворяют условию
Re j ( A)
0, j
(2)
1,2,..., n.
Тогда система (1) для каждой п.п. вектор-функции f (t ) имеет единственное п.п. решение.
Наряду с (1), следуя идеям [2] (см. также 3 ), рассмотрим возмущенную систему
x
где
(A
E) x
(3)
f (t ),
- комплексный числовой параметр.
В силу теоремы 1 для n.n. вектор- функции f(t) система (3) имеет единственное n.n.
решение- x (t ) , если число
удовлетворяет условию Re
условие выполнено при достаточно малых
, Re
Re
j
0, j
1,2,..., n. Последнее
0.
Ниже используется обозначение нормы f
sup f (t ) ,
t 
, ограниченной век-
тор-функцией f (t ).
Теорема 2. Пусть собственные значения матрицы A удовлетворяют
Тогда система (3) при малых по модулю
условию (2).
имеет п.п. решение- x (t ) , удовлетворяющее ус-
ловию
lim Sup x (t ) x0 (t )
0
t
где x0 (t ) - некоторое n.n. решение системы (1).
607
0,
(4)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №7
Доказательство. Через R A обозначим оператор, ставящий в соответствие каждой п.п.
функции f(t) п.п. решение x0 (t ) системы (1). Система (3) эквивалентна операторной системе
x
RA x
RA f в пространстве п.п. функций. Так как оператор R A ограничен в этом про-
RA  1 последняя система имеет решение x (t ) , которое имеет пред-
странстве, то при
ставление x
x0
RA ) 1 x0 , где x0
RA ( I
RA f . Отсюда следует справедливость равенст-
ва (4).
Теорема доказана.
Предположим, что условие (2) не выполнено, т.е. матрица A имеет мнимое собственное значение. Тогда система (1) либо не имеет п.п. решений, либо, если имеет решение, то
оно не единственное.
Дополнительно предположим, что для данной вектор-функции f (t ) система (1), полученная из системы (3) при
0 , имеет п.п. решение. Возникают следующие вопросы. Огра-
ничена ли вектор-функция x (t ) в совокупности, когда
ничено, то существует ли предел x0 (t )
lim x (t ) при
0 и Re
0 ? Если x (t ) огра-
0 ? Если существует x0 (t ) , то яв-
ляется ли вектор- функция x0 (t ) решением системы (1)?
Теорема 3. Пусть все мнимые собственные значения матрицы A являются полупростыми и система (1) для данной п.п. вектор- функции f (t ) имеет п.п. решение. Тогда существует такое п.п. решение x0 (t ) системы (1), что для любого K  0 имеет место равенство
lim x
0 при
x
0,
 K Re .
(5)
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, исследуем свойства однопараметрического семейства операторов
P x(t )
exp(t
s) x( s)ds, если Re
 0,
exp(t
s) x( s)ds, если Re
0
t
t
P x(t )
в пространстве ограниченных и непрерывных на всей оси вектор-функций.
Отметим некоторые легко проверяемые свойства операторов P :
1)
P exp(i t )
2) P x
Re
i
exp(i t ) для любого вещественного
x.
608
;
Математика
Э.М.Мухамадиев, М.Собиров, М.Г.Юмагулов
Лемма 1. Пусть K  1 и x(t ) - п.п. вектор-функция. Тогда справедливо равенство
lim P x M ( x)
0 при
 K Re ,
0,
(6)
где M (x) - среднее значение п.п. функции x(t ).
Доказательство. Пусть вектор-функция x(t) является тригонометрическим полиномом, т.е.
m
x(t )
c0
ck exp(i t ),
k 1
где вещественные числа
k
1,2,..., m. Для функции x(t ) имеет место равенство
0, k
c0 . Поэтому, в силу свойства 1) оператора P , имеем
M ( x)
m
P x(t ) M ( x)
i
k 1
В последнем равенстве, переходя к пределу при
exp(i t )ck .
k
0,
 K Re , получим справедли-
вость равенства (6) для любого тригонометрического полинома x(t ).
Пусть теперь x(t ) – произвольная п.п. функция. Для любого тригонометрического полинома c0
m
ck exp(i k t ) имеем
k 1
m
P x M ( x)
P ( x c0
m
ck exp(i k t )
P (c0
k 1
ck exp(i k t )) c0
M ( x) c0 .
(7)
k 1
В силу плотности множества тригонометрических полиномов в пространстве почти
периодических функций(см.напр. 1 ) для любого
m
c0
0
существует такой полином
ck exp(i k t ) , что
k 1
m
x c0
ck exp(i k t )  .
(8)
k 1
Из оценки (8) следует, что
m
M ( x) c0
ck exp(i k t ))  .
M ( x c0
(9)
k 1
Из неравенства (7), для выбранного полинома в силах оценок (8), (9) и свойства 2) оператора
P , имеем
m
P x M ( x)
K
P (c0
ck exp(i k t )) c0
k 1
609
.
(10)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №7
В неравенстве (10), переходя к пределу при
0,
 K Re , в силу справедливо-
0,
 K Re .
сти равенства (6) для любого полинома, получим
( K 1) при
lim P x M ( x)
Из (11), в силу произвольности
(11)
 0 , получим утверждение равенства (6).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3. Сначала рассмотрим случай, когда все собственные значения матрицы A являются мнимыми числами. Тогда в условиях теоремы матрица-функция
exp( At ) является почти периодической. Действительно, в силу полупростоты всех мнимых
собственных значений матрицы A существует невырожденная матрица
UAU
1
A0 , где A0
diag(i 1 , i
2
,..., i
N
U такая, что
) - диагональная матрица. Отсюда, в силу равенства
exp(iAt ) U 1 exp( A0t )U , следует, что exp( At ) есть п.п. матрица- функция.
Произведя замену x
exp( At ) y в системе (3), относительно искомой функции y , по-
лучим уравнение
y
y
П.п. решение системы (12) при Re
g (t ), g (t )
0 определяется по формуле
y (t )
где y0 (t ) - п.п. решение системы (11) при
lim y
y0
M ( y0 )
Вектор-функции x0 (t )
(12)
exp( At ) f (t ).
lim P y0
exp( At )( y0
y0 (t )
P y0 (t ) ,
0 . Согласно лемме 1, имеет место равенство
0 при
M ( y0 )
M ( y0 )) и x
0,
exp( At )( y0
 K Re .
(13)
P y0 ) являются п.п.
решениями систем (1) и (3) соответственно и в силу (13) удовлетворяют условию (5). В этом
частном случае теорема 3 доказана.
Теперь рассмотрим общий случай. В силу условий теоремы, спектр
можно представить как объединение двух непересекающихся подмножеств
где
0
( A) состоит из мнимых собственных значений, а
1
(A) матрицы A
0
( A)
1
( A) ,
( A) - из собственных значений с
ненулевой вещественной частью. В силу общих теорем о жордановой форме матрицы (см.
напр. 4 ), существует такая невырожденная матрица U , что выполнено равенство
U 1 AU
A0
0
0
A1
610
,
(14)
Математика
Э.М.Мухамадиев, М.Собиров, М.Г.Юмагулов
где A0 и A1 - квадратные матрицы, спектры которых совпадают, соответственно, с множествами
0
( A) и
1
( A) . При этом в силу полупростоты мнимых собственных значений матрицы
A все собственные значения матрицы A0 являются полупростыми.
Произведя замену x
Uy в системе (3) и учитывая равенство (14), получим системы
y 0
A0 y0
y0
g 0 (t ),
(15)
y1
A1 y1
y1
g1 (t ),
(16)
где
y
y0
y1
, U 1f
g0
g1
,
C k 0 , y1 , g1
y0, g0
C k1 , k0
k1
n.
Здесь k0 – сумма кратностей всех мнимых собственных значений матрицы A, C k
ное комплексное пространство. По предположению системы (15) и (16) при
k
мер-
0 соответст-
венно имеют п.п. решения y00 (t ) и y10 (t ) .
В силу теоремы 1, система (15) имеет п.п. решение y0 (t ) при всех
система (16) имеет п.п. решение y1 (t ) при всех
0, а
, Re
, с достаточно малой по модулю вещест-
венной частью Re . Таким образом, вектор- функция y (t )
решением системы (15)-(16) при всех достаточно малых
( y0 (t ), y1 (t )) является п.п.
с ненулевой вещественной ча-
стью Re .
Согласно теореме 2, вектор-функция y1 (t ) удовлетворяет условию
при
y1
y10
0
0 . Так как все собственные значения матрицы A0 мнимые и полупростые, то, как
выше показали, существует п.п. решение y0* системы (15) при
0 такое, что справедливо
равенство
lim y0
y0*
Очевидно, вектор-функция x (t )
функция x* (t )
Uy* (t ) , где y* (t )
0 при
0,
 K Re .
(17)
Uy (t ) является решением системы (3), а вектор-
( y0* (t ), y10 (t )) является решением системы (1) и они удов-
летворяют условию (5). Теорема 3 доказана.
Вологодский технический университет (Россия),
*
Поступило 18.10.2006 г.
Институт экономики Таджикистана,
**
Сибайский институт Башкирского государственного университета (Россия)
611
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №7
Л И Т Е РАТ У РА
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1969, 475 с.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979, 288 с.
3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир,1972, 740 с.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988, 552 с.
Э.М.Муњамадиев, М.Собиров, М.Г.Юмагулов
УСУЛИ ТАЌРИБИИ СОХТАНИ ЊАЛЊОИ ЌАРИБ ДАВРИИ СИСТЕМАИ
МУОДИЛАЊОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТЇ ДАР ЊОЛАТИ РЕЗОНАНС
Дар маќола барои сохтани њалњои ќариб даврии системаи муодилањои дифферентсиалии хаттии дар њолати резонанс ќарордошта усули таќрибї татбиќ шудааст.
E.M.Muhamadiev, M.Sobirov, M.G.Ymagulov
THE APPROACHED METHOD OF ONSTRUCTION OF THE ALMOST
PERIODIC SOLUTIONS OF SYSTEMS OF THE LINEAR DIFFERENTIAL
EQUATIONS IN CASE OF A RESONANCE
In clause the approached method is applied to construction of the almost periodic solutions
of systems of the linear differential equations in conditions of a resonance.
612
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа