close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приведение нелинейных дискретных систем к форме Крылова-Луенбергера.

код для вставкиСкачать
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
Раздел I
Математические методы синтеза систем
А.Р. Гайдук, С.В. Василенко
ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
К ФОРМЕ КРЫЛОВА-ЛУЕНБЕРГЕРА
Преобразование переменных состояния часто позволяет привести
уравнения системы к простым каноническим формам, что значительно
упрощает решение задач анализа и синтеза [1, 2].
Широкое применение получило преобразование, предложенное
Луенбергером для приведения уравнений линейных систем к канонической
управляемой (КУФ) или наблюдаемой (КНФ) формам [1]. Если правые
части уравнений нелинейной непрерывной системы дифференцируемы и
управление входит в них линейно, то модель системы с одним входом и
одним выходом можно представить [3] в квазилинейной форме
x& = A( x )x + b( x )u( x ) ,
(1)
T
y = c ( x )x ,
(2)
T
где A( x ) , b( x ) , c ( x ) – функциональные матрица и векторы, u( x ) –
скалярное управление, y – управляемая переменная.
При определенных условиях эти уравнения можно привести к такому
виду, когда матрица A и вектор b или c совпадают по форме с матрицей
и вектором канонических управляемой или наблюдаемой форм систем с
постоянными параметрами. Однако имеются и существенные отличия. Вопервых, в процессе приведения необходимо двукратное последовательное
преобразование переменных состояния, так как элементы матрицы второго
преобразования определяются по результатам первого преобразования.
Причем преобразование к той или иной форме осуществляется по сути
одними и теми же матрицами, только в различной последовательности. Вовторых, что наиболее существенно, в общем случае коэффициенты
канонических форм оказываются функциями переменных состояния и
часто зависят от производных по времени переменных состояния системы.
Это приводит к зависимости от производных найденного таким путем
управления, и, следовательно, правых частей уравнений синтезируемой
системы. Однако условия существования и устойчивости решений таких
дифференциальных систем до сих пор неизвестны, что сужает область
применения подобного подхода.
Покажем, что аналогичные преобразования можно провести и в
случае нелинейных дискретных систем. Для большей ясности выкладок
рассмотрим указанный переход на примере одномерной системы третьего
порядка.
5
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
Уравнения нелинейной одномерной
квазилинейной форме [3] имеют вид
x k +1 = Ak x k + bk u k ,
дискретной
системы
в
(3)
y k = c xk ,
k = 0 ,1,2 ,K ,
(4)
где x k = x( kT ) ; T – период квантования; Ak = A( x k ) , bk = b( x k ) ,
ck = c( xk ) – функциональные матрица и векторы; u k – скалярное
управление; yk – управляемая переменная.
T
k
Приведение системы уравнений (3), (4) к каноническим формам можно
осуществить с помощью преобразования Крылова-Луенбергера по входу
или по выходу.
Предположим, существуют матрицы S k = S ( x k ) , ограниченные и
неособенные при всех k = 0 ,1,2 ,K . Положим
xk = S k −1 ~
x k , x k +1 = S k ~
x k +1 ,
(6)
где ~
xk – новый вектор переменных состояния.
В новых переменных состояния система (3), (4) описывается
уравнениями вида
~
~
~
xk +1 = Ak ~
xk + bk u k ,
y =~
c~
x ,
k
где
~
Ak = S k−1 Ak S k −1 ,
Здесь S
−1
k –
k
(7)
(8)
k
~
bk = S k−1bk ,
c~k = ck S k −1 .
(9)
−1
k
матрица, обратная к S k , т.е. такая, что S S k = E .
Определение 1. Система уравнений (7), (8) имеет каноническую
форму Крылова по входу, если
⎡0 0 − χ 0 k ⎤
~ ⎢
Ak = ⎢1 0 − χ 1k ⎥⎥ ,
⎢⎣0 1 − χ 2 k ⎥⎦
⎡ 1⎤
~ ⎢ ⎥
bk = ⎢0 ⎥ ,
⎢⎣0 ⎥⎦
⎡ c~1k ⎤
~
ck = ⎢⎢~
c2 k ⎥⎥ ,
⎢⎣ ~
c3 k ⎥⎦
(10)
~ –
где χ ik = χ i ( xk , xk −1 , xk −2 , xk −3 ) – некоторые нелинейные функции, c
ik
некоторые функции.
Определение 2. Система уравнений (7), (8) имеет каноническую
форму Крылова по выходу, если
⎡ 0
~ ⎢
Ak = ⎢ 0
⎢⎣− α 0
где
1
0
− α1
0 ⎤
1 ⎥⎥ , c~k = [1 0 0 ] ,
− α 2 ⎥⎦
α ik = α i ( xk + 2 , xk +1 , xk , xk −1 ) –
~
⎡b1k ⎤
~ ⎢~ ⎥
bk = ⎢b2 k ⎥ ,
⎢b~3 k ⎥
⎣ ⎦
(11)
~
некоторые нелинейные функции, bik –
некоторые функции.
Приведенные названия указанных канонических форм связаны с тем,
что они получены с помощью преобразования Крылова-Луенбергера.
6
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
~
Причем в первом случае “каноническую форму” имеет вектор входа bk , а
во втором - вектор выхода ~
ck .
В данной работе рассматривается задача построения матриц
перехода к каноническим формам Крылова.
Приведение к канонической форме по входу. Обозначим Pk –
матрицу перехода к канонической форме по входу.
Pk = [ Pk1 Pk2 Pk3 ] , где
Положим
Pki – столбцы матрицы Pk ,
определяемые соотношениями
Pk1 = bk , Pk2 = Ak Pk1 − Δ2k ,
где
Pk3 = Ak Pk2 − Δ3k ,
(12)
Δ2k , Δ3k – неизвестные пока составляющие.
Таким образом, для определения матрицы перехода достаточно найти
эти составляющие.
Полагая в (9) S k −1 = Pk −1 , а S k = Pk , с учетом (12) получим
⎡ P1k ⎤
~
−1
Ak = Pk Ak Pk −1 = ⎢⎢P2k ⎥⎥ Ak Pk1−1
⎢⎣ P3k ⎥⎦
[
Ak Pk2−1
⎡ P1k Ak Pk1−1 P1k Ak Pk2−1 P1k Ak Pk3−1 ⎤
⎢
⎥
= ⎢P2k Ak Pk1−1 P2k Ak Pk2−1 P2k Ak Pk3−1 ⎥ ,
⎢ P3k Ak Pk1−1 P3k Ak Pk2−1 P3k Ak Pk3−1 ⎥
⎣
⎦
где
]
Ak Pk3−1 =
(13)
Pik – i-я строка матрицы Pk−1 .
Так как мы считаем, что Pk – матрица перехода к канонической форме
по входу, то, согласно (10) и (13), должно выполняться следующее
равенство:
⎡ P1k Ak Pk1−1
⎢
1
⎢ P2 k Ak Pk −1
⎢ P3 k Ak Pk1−1
⎣
P1k Ak Pk2−1
P2 k Ak Pk2−1
P3 k Ak Pk2−1
P1k Ak Pk3−1 ⎤ ⎡0 0 − χ 0 ⎤
⎥
P2 k Ak Pk3−1 ⎥ = ⎢⎢1 0 − χ 1 ⎥⎥ .
P3 k Ak Pk3−1 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 − χ 2 ⎥⎦
(14)
−1
С другой стороны, произведение Pk Pk с учетом (12) принимает
следующий вид:
7
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
⎡ P1k ⎤
P P = ⎢⎢P2 k ⎥⎥ Pk1 Pk2 Pk3
⎢⎣ P3k ⎥⎦
⎡ P1k Pk1 P1k ( Ak Pk1 − Δ2k )
⎢
= ⎢P2 k Pk1 P2 k ( Ak Pk1 − Δ2k )
⎢ P3k Pk1 P3k ( Ak Pk1 − Δ2k )
⎣
[
−1
k
k
]
⎡ P1k ⎤
= ⎢⎢P2 k ⎥⎥ Pk1
⎢⎣ P3k ⎥⎦
[
Ak Pk1 − Δ2k
]
Ak Pk2 − Δ3k =
(15)
P1k ( Ak Pk2 − Δ3k )⎤
⎥
P2 k ( Ak Pk2 − Δ3k )⎥ = E.
P3k ( Ak Pk2 − Δ3k )⎥⎦
Отсюда следует равенство
⎡ P1k Pk1
⎢
1
⎢ P2 k Pk
⎢ P3 k Pk1
⎣
P1k ( Ak Pk1 − Δ2k ) P1k ( Ak Pk2 − Δ3k )⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎥
P2 k ( Ak Pk1 − Δ2k ) P2 k ( Ak Pk2 − Δ3k )⎥ = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ .
P3 k ( Ak Pk1 − Δ2k ) P3 k ( Ak Pk2 − Δ3k )⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
(16)
Видно, что первые два столбца правой части равенства (14) совпадают со
вторым и третьим столбцами правой части равенства (16). Следовательно, для
обеспечения требуемого преобразования должны выполняться следующие
равенства:
Ak Pk1−1 = Ak Pk1 − Δ2k ,
Ak Pk2−1 = Ak Pk2 − Δ3k .
(17)
Δ3k = Ak ( Pk2 − Pk2−1 ) .
(18)
Отсюда получим
Δ2k = Ak ( Pk1 − Pk1−1 ) ,
Подставим (18) в (12) с учетом того, что P = bk . В результате
1
k
получим
Pk2 = Ak Pk1 − Ak ( Pk1 − Pk1−1 ) = Ak bk − Ak bk + Ak bk −1 = Ak bk −1 ,
(19)
Pk3 = Ak Pk2 − Ak ( Pk2 − Pk2−1 ) = Ak2bk−1 − Ak2bk−1 + Ak Ak−1bk−2 = Ak Ak−1bk−2 .
(20)
С учетом выражений (18), (19) переходная матрица Pk при n = 3
примет вид
Pk = [bk
Ak bk −1
Ak Ak −1bk −2 ] .
Теперь мы можем найти значения функций
(21)
χ ik
из (10). Сравнивая
последние столбцы матриц в (14), получим, с учетом (21), равенства
χ 0 = − P1k Ak Pk3−1 = − P1k Ak Ak −1 Ak −2 bk −3 ;
χ 1 = − P2 k Ak Pk3−1 = − P2 k Ak Ak −1 Ak −2 bk −3 ;
χ 3 = − P3 k Ak Pk3−1 = − P3 k Ak Ak −1 Ak −2 bk −3 .
8
(22)
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
На основании (9) с учетом (16) найдем
⎡ P1k Pk1 ⎤ ⎡1⎤
~
⎢
⎥
bk = Pk−1bk = Pk−1 Pk1 = ⎢ P2 k Pk1 ⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ .
⎢ P3 k Pk1 ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦
⎣
⎦
(23)
Из выражений (22) и (23) видно, что если столбцы матрицы Pk
~ ~
выбраны согласно (18), (19), то матрицы A , b в выражении (7) полностью
совпадают по форме с матрицами (10). Другими словами, найденная
матрица Pk (21) и есть искомая матрица перехода к канонической форме
по входу при n = 3 . Отметим, что матрица перехода и результат
преобразования зависят здесь не от производных по времени переменных
состояния, как в случае непрерывных систем, а от их предыдущих
значений, что значительно упрощает синтез регулятора. Строго говоря,
предыдущие значения являются здесь эквивалентом разностей
переменных состояния, т. е. физический смысл преобразования в
дискретном случае тот же, что и в непрерывном.
В общем случае выражения (21) и (22) примут вид
⎡
Pk = ⎢bk
⎣
Ak bk −1
Ak Ak −1bk −2
n −2
⎤
K ( ∏ Ak − j )bk −n+1 ⎥ , (24)
j =0
⎦
n −1
χ i = − P( i +1 )k ( ∏ Ak − j )bk −n .
(25)
j =0
Приведение к канонической форме по входу. Пусть Tk – матрица
перехода
−1
k
T
= [T1k
к
канонической
T2 k
T3 k ] , где
T
форме
по
выходу.
−1
k ,
Tik – столбцы матрицы T
Положим,
определяемые
соотношениями
T1k = ckT ; T2 k = T1k Ak − Δ 2 ; T3 k = T2 k Ak − Δ 3 ,
где
(26)
Δk2 , Δk3 – также неизвестные пока составляющие. Найдем их, действуя
аналогично предыдущему случаю.
Подставив (26) в (9), получим
−1
k
Ak = T Ak Tk −1
⎡T1k ⎤
= ⎢⎢T2 k ⎥⎥ Ak Tk1−1 Tk2−1 Tk3−1 =
⎢⎣T3 k ⎥⎦
[
⎡T1k Ak Tk1−1 T1k Ak Tk2−1 T1k Ak Tk3−1 ⎤
⎢
⎥
= ⎢T2 k Ak Tk1−1 T2 k Ak Tk2−1 T2 k Ak Tk3−1 ⎥ ,
⎢T3 k Ak Tk1−1 T3 k Ak Tk2−1 T3 k Ak Tk3−1 ⎥
⎣
⎦
]
(27)
i
где Tk −1 – i-я строка матрицы Tk −1 .
9
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
Так как мы считаем, что Tk – матрица перехода к канонической форме
по входу, то, согласно (11) и (27), должно выполняться следующее
равенство:
⎡T1k Ak Tk1−1 T1k Ak Tk2−1 T1k Ak Tk3−1 ⎤ ⎡ 0
⎢
⎢
1
2
3 ⎥
⎢T2 k Ak Tk −1 T2 k Ak Tk −1 T2 k Ak Tk −1 ⎥ = ⎢ 0
⎢T3 k Ak Tk1−1 T3 k Ak Tk2−1 T3 k Ak Tk3−1 ⎥ ⎢⎣− α 0
⎣
⎦
1
0
− α1
0 ⎤
1 ⎥⎥ .
− α 2 ⎥⎦
(28)
−1
Произведение Tk −1Tk −1 равно:
⎡T1 k −1 ⎤
⎢
⎥
Tk−−11Tk −1 = ⎢T2 k −1 ⎥ Tk1−1 Tk2−1 Tk3−1 =
⎢T3 k −1 ⎥
⎣
⎦
1
⎡T1 k −1Tk −1 T1 k −1Tk2−1 T1 k −1Tk3−1 ⎤
⎢
⎥
= ⎢T2 k −1Tk1−1 T2 k −1Tk2−1 T2 k −1Tk3−1 ⎥ = E .
⎢T3 k −1Tk1−1 T3 k −1Tk2−1 T3 k −1Tk3−1 ⎥
⎣
⎦
[
]
(29)
Из (29) следует равенство
⎡T1 k −1Tk1−1 T1 k −1Tk2−1 T1 k −1Tk3−1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎢
⎥
1
2
3 ⎥
⎢T2 k −1Tk −1 T2 k −1Tk −1 T2 k −1Tk −1 ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥ .
⎢T3 k −1Tk1−1 T3 k −1Tk2−1 T3 k −1Tk3−1 ⎥ ⎣⎢0 0 1⎥⎦
⎣
⎦
(30)
Видно, что первые две строки правой части равенства (28) совпадают со
второй и третьей строками правой части равенства (30). Следовательно, для
обеспечения требуемого преобразования должны выполняться следующие
равенства:
T2 k −1 = T1k Ak ,
T3 k −1 = T2 k Ak .
(31)
Сместившись на один шаг вправо, получим
T2 k = T1 k +1 Ak +1 ,
T3 k = T2 k +1 Ak +1 .
(32)
Подставив (26) в (32), получим
T1k Ak − Δ2 = T1 k +1 Ak +1 ,
T2 k Ak − Δ3 = T2 k +1 Ak +1 .
(33)
Δ3 = T2 k Ak − T2 k +1 Ak +1 .
(34)
Отсюда получим
Δ2 = T1k Ak − T1 k +1 Ak +1 ,
Подставим (34) в (26), с учетом того, что T1k = c ,
T
k
T2 k = T1k Ak − Δ2 = ckT Ak − ckT Ak + ckT+1 Ak +1 = ckT+1 Ak +1 ,
T3k = T2k Ak − Δ = c Ak +1 Ak − c Ak +1 Ak + c
3
T
k +1
T
k +1
= ckT+2 Ak +2 Ak +1 .
−1
С учетом (35), (36) матрица Tk
10
примет вид
T
k +2
Ak +2 Ak +1 =
(35)
(36)
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
Tk−1
⎡
⎤
ckT
⎢ T
⎥
= ⎢ ck +1 Ak +1 ⎥ .
⎢ckT+ 2 Ak + 2 Ak +1 ⎥
⎣
⎦
Подставив (37) в (28), мы найдем значения функций
(37)
αi :
α 0 = −ckT+ 2 Ak + 2 Ak +1 Ak Tk1−1 ;
α 1 = −ckT+2 Ak + 2 Ak +1 Ak Tk2−1 ;
α 2 = −ckT+ 2 Ak + 2 Ak +1 Ak Tk3−1 .
(38)
В общем случае выражения (37) и (38) имеют вид
Tk−1
⎡
⎤
ckT
⎢
⎥
T
ck +1 Ak +1
⎢
⎥
⎢ ckT+ 2 Ak + 2 Ak +1 ⎥
⎥,
=⎢
K
⎢
⎥
n −1
⎢ckT+ n−1 ∏ Ak +( n − j ) ⎥
⎢
⎥
j =1
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
(39)
n
α i = −ckT+( n−1 ) ( ∏ Ak +( n− j ) )Tki−+11 .
(40)
j =1
Таким образом, из (26) видно, что Tk - матрица являющаяся обратной
к матрице (37), есть искомая матрица перехода к канонической форме по
входу при n = 3 . При этом необходимо отметить, что выражения (38), а
следовательно и преобразованная каноническая модель нелинейной
динамической системы, зависят от будущих значений переменных
состояния.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред.
А.А.Красовского. -М.: Наука, 1987.
2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического
управления. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
3. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем
управления // АиТ. 2003.-№10: С. 144-148.
4. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы:
геометрические методы анализа и синтеза.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2005.
Л.Ж. Шугунов, Куповых Г.В.
МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛАГОВ В АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ
РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
453 Кб
Теги
нелинейные, дискретное, система, луенбергера, приведения, крылов, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа