close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение вероятностных методов в исследовании Европейского опциона.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щербаков Р.Н. Щербаков Н.Р. Построение репера неголоном
ной поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве //
Известия Томского политехнического университета. – 2005. –
Т. 308. – № 3. – С. 11–16.
2. Кованцов Н.И. Теория комплексов. – Киев: Издво Киевского
унта, 1963. – 292 с.
3. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой диф
ференциальной геометрии. – Томск: Издво ТГУ, 1973. – 236 с.
4. Кованцов Н.И. К теории неголономных комплексов // Докл.
Второй сибирской конф. по матем. и мех. – Томск, 1962. –
С. 85–87.
5. Щербаков Р.Н. Эквиаффинная теория комплексов прямых //
Докл. научной конф. по теоретич. и прикладным вопросам ма
тематики и механики. – Томск, 1960. – С. 82–83.
6. Щербаков Р.Н. Основной цилиндроид линейчатого комплекса
// Известия вузов. Математика. – 1962. – № 3 (28). –
С. 177–178.
7. Гринцевичюс К.И. О неголономном комплексе // Литовский
математический сб. – 1969. – Т. 9. – № 1. – С. 85–99.
8. Близникас В.И. Некоторые вопросы теории неголономных
комплексов // Труды геометрического семинара. – М.: Издво
ВИНИТИ, 1974. – № 5. – С. 69–96.
9. Барыктабасов Э.Д. К эквиаффинной теории неголономных
комплексов. О связи неголономных конгруэнций W с точками
неголономности // Труды Томского унта. Геометрический сб.
– 1975. – Т. 258. – № 15. – С. 122–151.
10. Печников И.А. Репераж сопряжённых пар пфаффовых под
многообразий // Геометрический сб. – 1978. – № 19. –
С. 122–126.
11. Щербаков Р.Н. О неголономных конгруэнциях W // Доклады
АН СССР. – 1961. – Т. 138. – № 4. – С. 802–804.
12. Кованцов Н.И. Линейчатогеометрический аналог триортого
нальной системы поверхностей // Доклады АН СССР. – 1957.
– Т. 113. – № 3. – С. 497–500.
13. Барыктабасов Э.Д. Неголономные конгруэнции в неголоном
ном комплексе // Тр. Томского унта. Геометрический сб. –
1974. – Т. 255. – № 14. – С. 172–191.
14. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная
геометрия. – М.: Гос. издво физ.мат. литературы, 1959. – 319 с.
УДК 519.865
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА
А.В. Аникина, Н.С. Демин*
Томский политехнический университет
*Томский государственный университет
Email: oceanann@rambler.ru
Проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для европейского опциона купли с последействием при на
личии выплат по дивидендам в случае непрерывного времени.
1. Постановка задачи
Рассмотрение задачи проводится на стандарт
ном вероятностном пространстве (Ω,Ft,F
F=(Ft)t≥0,P
P)
[1, 2]. Через Pt=P
P|Ft обозначается сужение меры P
на Ft. На финансовом рынке обращаются рисковые
(акции) и безрисковые (банковский счет, государ
ственные облигации) активы, текущие цены кото
рых St и Bt в течение интервала времени t∈[0,T]
определяются уравнениями из [3, 4]
dSt = St ( μ dt + σ dWt ), dBt = rBt dt ,
(1.1)
где Wt – стандартный винеровский процесс, σ>0,
r>0, S0>0, B0>0, решение которых имеет вид
St = S 0 exp{( μ − (σ 2 2)) t + σ Wt }, Bt = B0 exp{ rt}. (1.2)
Считаем, что текущее значение капитала инвесто
ра Xt определяется в виде [1, 2]
X t = βt Bt + γ t St ,
(1.3)
где πt=(βt,γt) пара Ft – измеримых процессов, соста
вляющая портфель ценных бумаг инвестора. За
обладание акцией происходят выплаты дивидендов
в соответствии с процессом Dt со скоростью δγtSt,
пропорциональной рисковой части капитала с ко
эффициентом δ, таким, что 0≤δ<r, т.е.
dDt = δγ t St dt .
(1.4)
Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами
происходит в виде
(1.5)
dX t = βt dBt + γ t dSt + dDt .
Из (1.3) следует, что
dX t = βt dBt + γ t dSt + Bt d βt + St d γt .
(1.6)
Тогда согласно (1.5), (1.6), Btdβt+Stdγt=dDt, что яв
ляется балансовым соотношением, заменяющим
условие самофинансируемости в стандартной зада
че [3]. Из (1.1), (1.3)–(1.5) следует, что капитал
определяется уравнением
dX t = rX t dt + σγ t St dWt μ −r +δ ,
Wt μ −r +δ = Wt + ( μ − r + δ )t σ .
(1.7)
Далее нам потребуется результат, связанный с
преобразованием мер вида
(1.8)
d Pt* = Zt d Pt ,
математические ожидания относительно которых
E и E* соответственно.
Теорема Гирсанова [1, 2]. Пусть Yt – диффузион
ный процесс, определяемый уравнением
11
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
dYt = b (t , Yt )dt + dWt ,
В данной работе: 1) находится формула, опреде
ляющая рациональную (справедливую) стоимость
опциона CT(δ), как начального капитала X0=x, при
котором достигается выполнение платежного усло
вия; 2) находятся формулы, определяющие эволю
цию текущего капитала Xt(δ) и портфеля
πt(δ)=(βt(δ),γt(δ)); 3) исследуются свойства решения.
где Wt – винеровский процесс. Пусть
t
⎧ t
⎫
1
Z t = exp ⎨− ∫ b(τ , Yτ ) dWτ − ∫ b 2 (τ , Yτ ) dτ ⎬,
20
⎩ 0
⎭
причем
EZ t = 1.
(1.9)
Тогда процесс Yt является винеровским относи
тельно меры P*.
μ−r+δ
Пусть Yt=Wt . Согласно (1.7)
dYt = dWt μ − r +δ = (( μ − r + δ ) σ )dt + dWt . (1.10)
Так как, согласно (1.10), b(τ,Yt)=(μ–r+δ)/σ, то
Z t = Ztμ − r +δ
2
⎧⎪ μ − r + δ
1 ⎛ μ − r + δ ⎞ ⎫⎪
= exp ⎨−
Wt − ⎜
⎟ t ⎬.
σ
σ
2⎝
⎠ ⎪⎭
⎩⎪
Так как
E exp{σ Wt } = exp{(σ t ) 2},
2
μ−r+δ
μ−r+δ
то EZt =1, т.е. условие (1.9) для Zt выполняется.
μ−r+δ
P , определяемая
преобразованием
Пусть Pr *=P
μ−r+δ
μ− +δ
μ−r+δ
dP
Pt =Zt dP
Pt, и пусть E*=E
Er . Тогда, согласно тео
μ− +δ
реме Гирсанова, процесс Wt вида (1.7) является ви
μ−r+δ
неровским относительно меры P , т.е. для t>τ,
r+δ
μ−r+δ
μ−r+δ
μ−r+δ
μ−
μ−r+δ
E (Wt –Wτ |Fτ)=0, Eμ−r+δ([Wt –Wτ ]2|Fτ)=t–τ.
μ−r+δ
Таким образом, обозначая через Law(.|P
P) и Law(.|P
P )
μ−r+δ
свойства процессов относительно P и P , получаем
Law(W μ − r +δ Pμ − r+δ ) = Law(W P).
(1.11)
Тогда, согласно (1.2), (1.7), (1.11),
Law( St ; t ≤ T | P μ − r +δ ) =
= Law( S 0 exp{( μ − (σ 2 2))t +
+σ Wt }; t ≤ T P μ − r +δ ) =
= Law( S 0 exp{( r − δ − (σ 2 2))t +
+σ Wt μ − r +δ }; t ≤ T Pμ −r +δ ) =
= Law( S 0 exp{( r − δ − (σ 2 2))t + σ Wt }; t ≤ T P). (1.12)
μ−r+δ
Таким образом, Law(S(μ,r,δ)|P
P )=Law(S(μ,r,δ)|P
P),
т.е. вероятностные свойства процесса S(μ,r,δ),
определяемого уравнением
d t St ( μ , r , δ ) = St ( μ , r , δ )(( r − δ ) dt + σ dWt μ − r +δ ),
μ−r+δ
относительно P
совпадают со свойствами про
цесса S(r,δ), определяемого уравнением
dt St (r , δ ) = St (r , δ )(( r − δ ) dt + σ dWt ), (1.13)
относительно меры P.
Задача: сформировать портфель πt(δ)=(βt(δ),γt(δ))
таким образом, чтобы формирование капитала со
гласно (1.3) в конечный момент времени T обеспе
чило выполнение платежного условия XT=fT(S), где
fT ( S ) = ST − min St
(1.14)
0 ≤ t ≤T
является платежной функцией с последействием в
случае опциона купли (колл – опцион) [3].
12
2. Стоимость опциона
Поскольку платежная функция вида (1.14) яв
ляется естественной, то [3]
CT (δ ) = e − rT E fT (S (r , δ )).
(2.1)
Согласно (1.1), (1.2), (1.12), (1.13)
St ( r , δ ) = S 0 exp{( r − δ − (σ 2 2)) t + σ Wt } =
= S0 exp{σξ t },
(2.2)
ξt = Wt + (ht ) σ , h = r − δ − (σ 2 2).
(2.3)
Далее R=(–∞,+∞), N{a;b} – нормальное ра
спределение с параметрами a и b, а Ф(x) – функция
Лапласа, т.е. (Ф(x)=N{0;1})
Φ ( x) =
1
2π
x
∫e
− y2 2
dy.
−∞
Лемма 1 [2]. Пусть τx=inf{t≥0: σ W t ≥x}, x∈R.
Тогда процесс Wt* такой, что
σ Wt * =
{2xσ−Wσ,Wt ≤, tτ>,τ ,
t
x
t
x
является винеровским процессом.
Лемма 2. Пусть ϕ(y,z)≥0 – биномиальная функ
ция событий. Тогда
Eϕ (min(σ Wτ + hτ ), σ Wt + ht ) =
0≤τ ≤ t
= E exp{( h σ )Wt − ( h 2 2σ 2 )t}ϕ (min σ Wτ , σ Wt ). (2.4)
0≤τ ≤ t
Доказательство. Относительно теоремы Гирсанова
Yt=ξt, b(t,Yt)=b(t,ξt)=h/σ, Zt=exp{–(h/σ)Wt–(h2/2σ2)t}.
Тогда последовательно с учетом (1.8), (2.3) получаем
Eϕ (min(σ Wτ + hτ ), σ Wt + ht ) = E ∗Zt−1ϕ (min σξτ , σξt ) =
τ ≤t
τ ≤t
2
= E exp{ h Wt + h 2 t}ϕ (min σξτ , σξt ) =
τ ≤t
σ
2σ
2
∗
h
h
h
= E exp{ (ξt − t) +
t}ϕ (min σξτ , σξt ) =
τ ≤t
σ
σ
2σ 2
2
∗
h
h
= E exp{ ξ t − 2 t}ϕ (min σξτ , σξt ) =
τ ≤t
σ
2σ
2
h
h
= E exp{ Wt − 2 t}ϕ (min σ Wτ , σ Wt ),
τ ≤t
σ
2σ
∗
т.е. пришли к (2.4). Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть для t≤T
mt = min σξτ = min(σ Wτ + hτ ).
0≤τ ≤ t
0≤τ ≤ t
(2.5)
Тогда для x≤0 и h∈R функция распределения
P(mt≤x) и плотность вероятности p(t,x)=дP
P(mt≤x)/дx
имеют вид
Естественные науки
P ( mt ≤ x ) = P (min(σ Wτ + hτ ) ≤ x) =
P (min(σ Wτ + hτ ) ≤ x, σ Wt + ht ≥ x ) =
0 ≤τ ≤ t
⎛ − x + ht ⎞
⎧ 2hx ⎫ ⎛ x + ht ⎞
= Φ⎜
⎟ − exp ⎨ σ 2 ⎬ Φ ⎜
⎟,
σ
t
⎩
⎭ ⎝σ t ⎠
⎝
⎠
⎛ ( − x + ht ) 2 ⎞
exp ⎜ −
⎟+
2σ 2t ⎠
σ 2π t
⎝
2h
⎧ 2hx ⎫ ⎛ x + ht ⎞
+ 2 exp ⎨ 2 ⎬ Φ ⎜
⎟+
σ
⎩σ ⎭ ⎝ σ t ⎠
⎛ ( x + ht ) 2 ⎞
1
⎧ 2hx ⎫
+
exp ⎨ 2 ⎬ exp ⎜ −
⎟.
2σ 2t ⎠
σ 2π t
⎩σ ⎭
⎝
τ ≤t
(2.6)
Так как I(σWt≤x)=I(Wt≤(x/σ)), а Wt~N{0;t}, то
1
p (t , x ) =
⎧ 2hx h 2 ⎫
⎧ h ⎫
= exp ⎨ 2 −
t E exp ⎨− Wt ⎬ I (σ Wt ≤ x). (2.12)
2 ⎬
σ
σ
2
⎩ σ ⎭
⎩
⎭
⎧ h ⎫
E exp ⎨− Wt ⎬ I (σ Wt ≤ x) =
⎩ σ ⎭
x /σ
⎧ y2 ⎫
1
⎧ h ⎫
=
exp ⎨− y ⎬ exp ⎨− ⎬ dy.
∫
2π t −∞
⎩ σ ⎭
⎩ 2t ⎭
(2.7)
Утверждение 1. Если
1
J=
exp{cx}exp{− ( x − a) 2 2 d}dx, (2.14)
∫
2π d
Доказательство. Пусть A и B – некоторые собы
–
тия. Тогда
– очевидно, что A=AB+AB и
A=B+AB , если B⊂A. Пусть
A = (min(σ Wτ + hτ ) ≤ x), B = (σ Wt + ht < x).
τ ≤t
тo
Так как B⊂A, то
P (min(σ Wτ + hτ ) ≤ x) = P(σ Wt + ht < x ) +
τ ≤t
+ P (min(σ Wτ + hτ ) ≤ x, σ Wt + ht ≥ x ).
τ ≤t
(2.8)
Так как σWt~N{0,σ2t}, то
P (σ Wt + ht < x ) = P(σ Wt < x − ht ) =
x − ht
1
− y 2σ t
=
dy =
∫e
σ 2π t −∞
2
1
2π
=
x − ht
σ t
∫
−∞
2
⎛ x − ht ⎞
e − z 2 dz = Φ ⎜
⎟.
⎝σ t ⎠
(2.9)
Пусть ϕ (min σξτ , σξ t ) = I (min σξτ ≤ x, σξt ≥ x), где
τ ≤t
τ ≤t
I(D) – индикатор, т.е. EI(D)=P
P(D). Тогда с учетом
(2.4) и Леммы 1
P(min(σ Wτ + hτ ) ≤ x, σ Wt + ht ≥ x) =
τ ≤t
= Eϕ (min σξτ , σξ t ) =
τ ≤t
2
⎧h
h ⎫
= E exp ⎨ Wt − 2 t ⎬ ϕ (min σ Wτ , σ Wt ) =
2σ ⎭ τ ≤t
⎩σ
2
⎧h
h ⎫
= E exp ⎨ Wt − 2 t ⎬ I (min σ Wτ ≤ x, σ Wt ≥ x) =
2σ ⎭ τ ≤t
⎩σ
⎧h
h2 ⎫
= E exp ⎨ Wt * − 2 t ⎬ I (min σWτ* ≤ x, σWt * ≥ x). (2.10)
2σ ⎭ τ ≤t
⎩σ
Так как σWt<x для t<τx, то на интервале t∈[0,τx], где
Wt*=Wt, события {σWt*≥x} и {min
σWt*≤x} являются
τ≤t
несовместными. Таким образом, σWt*<2x–σWt. Тогда
⎧h
h2 ⎫
exp ⎨ Wt * − 2 t ⎬ =
2σ ⎭
⎩σ
⎧ 2hx h 2 ⎫
⎧ h ⎫
= exp ⎨ 2 − 2 t ⎬ exp ⎨− Wt ⎬ ,
2
σ
σ
σ ⎭
⎩
⎩
⎭
I (min σ Wτ* ≤ x, σ Wt * ≥ x) =
τ ≤t
= I (min σ Wτ ≤ x, σ Wt ≤ x ) = I (σ Wt ≤ x ),
τ ≤t
и из (2.10), (2.11) следует
⎧
c2d ⎫
J = exp ⎨ca +
⎬×
2 ⎭
⎩
⎧ [ x − (a + cd )]2 ⎫
1
×
exp ⎨−
⎬ dx.
∫
2d
2π d
⎩
⎭
Пусть X~N{a;d}. Тогда
E exp{cX }I ( X ≤ b) =
= exp{ca + ( c 2 d 2)}Φ(( b − ( a + cd ))
d ),
E exp{cX }I ( X ≥ b) =
= exp{ca + (c 2 d 2)}Φ ( − ( b − ( a + cd ))
2
(2.11)
(2.13)
(2.15)
(2.16)
d ). (2.17)
Представление (2.15) для J следует из (2.14) в
результате элементарных преобразований, (2.16)
следует непосредственно из (2.14), (2.15), а (2.17) –
из (2.16) с учетом того, что 1–Ф(z)=Ф(–z).
Применение (2.16) к (2.13) дает, что
E exp{−( h σ )Wt }I (σ Wt ≤ x) =
= exp{h 2t 2σ 2 }Φ (( x + ht ) σ t ).
(2.18)
Использование (2.18) в (2.12) дает, что
P (min(σ Wτ + hτ ) ≤ x, σ Wt + ht ≥ x ) =
τ ≤t
= exp{2 hx σ 2}Φ(( x + ht ) σ t ).
(2.19)
Подстановка (2.9), (2.19) в (2.8) приводит к (2.6),
откуда непосредственно следует (2.7). Лемма дока
зана.
Теорема 1. Пусть
⎛ r −δ σ ⎞
+ ⎟ T −t,
d1 (δ , t ) = ⎜
(2.20)
2⎠
⎝ σ
⎛ r −δ σ ⎞
− ⎟ T − t.
d 2 (δ , t ) = ⎜
2⎠
⎝ σ
(2.21)
Тогда
CT (δ ) = S 0{e − δ T Φ ( d1 (δ )) − e− rT Φ ( d 2 (δ )) +
σ2
+
e − rT [Φ (d 2 (δ )) − e (r − δ )T Φ (− d1 (δ ))]}, (2.22)
2( r − δ )
где d1(δ)=d1(δ,t), d2(δ)=d2(δ,t) при t=0.
Доказательство. Из (2.1) с учетом (1.14), (2.2),
(2.3), (2.5) последовательно получаем
13
Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 1
–
дению
⎯
⎯ CT(δ) с заменой S0 на s, T на (T–t) и √T на
√T–t . Таким образом, получаем
CT (δ ) = e − rT E(ST (r , δ ) − min S t ( r , δ )) =
0 ≤ t ≤T
⎡
⎧⎪
⎛ σ 2 ⎞ ⎫⎪
= S0 e − rT ⎢e− δ T E exp ⎨σ WT + ⎜ r −
⎟T ⎬ −
2 ⎠ ⎪⎭
⎪⎩
⎝
⎣⎢
⎧⎪
⎛
⎛
σ 2 ⎞ ⎞ ⎫⎪ ⎤
− E exp ⎨min ⎜ σ Wt + ⎜ r − δ −
⎟ t ⎟⎬⎥ =
0 ≤ t ≤T
2 ⎠ ⎠ ⎭⎪ ⎥⎦
⎝
⎝
⎩⎪
= S0 e − rT [e− δ T e rT − Ee mT ].
FT −t ( s ) = s{e −δ (T −t )Φ ( d1 (δ , t )) −
σ2
e − r (T −t ) Φ (d 2 (δ , t )) +
×
2( r − δ )
×e − r (T −t ) [Φ (d 2 (δ , t )) − e (r − δ )(T −t )Φ (− d1 (δ , t ))]}.
Использование (3.7) в (3.4)–(3.6) приводит к
(3.1)–(3.3). Теорема доказана.
Итак,
CT (δ ) = S 0 [e −δ T − e − rT Ee mT ] =
0
⎡
⎤
= S0 ⎢ e −δ T − e− rT ∫ ex p (T , x )dx ⎥ .
−∞
⎣
⎦
4. Свойства решения
(2.23)
Используя (2.7) в (2.23), получаем
CT (δ ) =
⎧
⎡ 1
= S 0 ⎨e −δ T − e− rT ⎢
×
⎣ σ 2π T
⎩
0
⎧ ( − x + hT ) 2
⎫
× ∫ exp ⎨ −
+ x ⎬ dx +
2
2σ T
⎩
⎭
−∞
0
2h
⎧ 2hx
⎫ ⎛ x + hT ⎞
+ 2 ∫ exp ⎨ 2 + x ⎬ Φ ⎜
⎟ dx +
σ −∞
⎩σ
⎭ ⎝σ T ⎠
0
⎧ ( x + hT ) 2
1
2hx ⎫ ⎤ ⎫⎪
+
+ x + 2 ⎬ dx ⎥ ⎬ . (2.24)
exp
⎨−
2
∫
2σ T
σ ⎭ ⎦ ⎭⎪
σ 2π T −∞
⎩
Вычисление интегралов в (2.24) (см. Приложение)
приводит к (2.22). Теорема доказана.
3. Портфель и капитал
Теорема 2. Капитал Xt(δ) и портфель
πt(δ)=(γt(δ),βt(δ)) определяются формулами
X t (δ ) = St {e −δ (T −t )Φ ( d1 (δ , t )) −
−e
×e
− r (T −t )
− r (T − t )
Φ (− d1 (δ , t ))]}, (3.1)
βt (δ ) = 0.
(3.2)
(3.3)
Доказательство. Из [3] следует
X t (δ ) = e − r (T −t ) E[ fT ( S ( r , δ )) St ] = e−r (T −t ) FT −t ( St ), (3.4)
βt (δ ) =
1
BT
∂FT −t ( s )
( St ),
∂s
∂FT −t ( s )
⎡
( St
⎢ FT −t ( St ) − St
∂s
⎣
(3.5)
⎤
)⎥ .
⎦
(3.6)
Из (2.1) и (3.4) следует, что вычисления по нахож
дению FT–t(s) аналогичны вычислениям по нахож
14
~
~
C T (δ ) = S0 e −δ T Φ ( d1 (δ )) − Ke− rT Φ ( d 2 (δ )),
~
(4.1)
~
X t (δ ) = St e −δ (T −t )Φ (d1 (δ , t )) − Ke−r (T −t )Φ ( d 2 (δ , t )), (4.2)
~
γ t (δ ) = e −δ (T −t )Φ ( d1 (δ , t )),
~
βt (δ ) = −( K BT )Φ ( d 2 (δ , t )),
(4.3)
~
d1 (δ , t ) = [ln( S t K ) +
+ ( r − δ + (σ 2 2))(T − t )] σ T − t ,
(4.4)
~
d 2 (δ , t ) = [ln( St K ) +
(4.5)
+ ( r − δ + (σ 2 2))(T − t )] σ T − t .
~
Сравним CT(δ) и CT (δ) при K=S0, когда цена ис
полнения в случае стандартного опциона равна на
чальной цене рискового актива. Из (2.20), (2.21),
(4.4) и (4.5) следует, что в этом случае d~1(δ)=d1(δ),
d~2(δ)=d2(δ) и формула (4.1) принимает вид
(4.6)
Тогда согласно (2.22), (4.8)
(r − δ )(T −t )
γ t (δ ) = e −δ (T −t )Φ ( d1 (δ , t )) −
σ2
−e − r (T −t )Φ (d 2 (δ , t )) +
×
2( r − δ )
×e − r (T −t ) [Φ ( d 2 (δ , t )) − e (r − δ )(T −t )Φ (− d1 (δ , t ))],
γ t (δ ) = e − r (T −t )
I. Утверждение 2 [5]. В случае стандартного опцио
на купли, когда fT(S)=max(ST–K,0), где K – оговорен
ная цена продажи владельцем опциона рискового ак
тива в момент исполнения T, решение имеет вид:
C T (δ ) = S0 [e −δ T Φ ( d1 (δ )) − e− rT Φ ( d 2 (δ ))].
σ2
Φ (d 2 (δ , t )) +
×
2( r − δ )
[Φ (d 2 (δ , t )) − e
(3.7)
σ2
×
2( r − δ )
×e − rT [Φ ( d 2 (δ )) − e (r − δ )T Φ (− d1 (δ ))] = C T (δ ) + Δ CT (δ ).
CT (δ ) = C T (δ ) + S 0
Из (2.20), (2.21) и свойства Ф(y2)>Ф(y1) при y2>y1
следует, что ΔCT(δ)>0, т.е. CT(δ)>C~T(δ). Следова
тельно, при K=S0 цена опциона купли с последей
ствием всегда больше цены стандартного опциона
купли. Очевидно, что при цене исполнения опцио
на, равной min
St, риск его неисполнения ниже, не
0≤t≤T
жели при цене исполнения K=S0. Поскольку за ме
ньший риск необходимо больше платить, то этим и
объясняется полученнoе свойство.
II. Если в случае стандартного опциона капитал
формируется из рисковых и безрисковых активов
(γ~t (δ)≠0,β~t (δ)≠0), см. (4.3), причем безрисковые ак
тивы берутся в долг (β~t (δ)<0), то в случае опциона
с последействием капитал формируется только на
основе рискового актива βt (δ)=0. Последнее объяс
няется тем, что платежная функция зависит только
от цены рискового актива.
Естественные науки
III. Теорема 3. Асимптотические свойства реше
ния заключаются в следующем:
Тогда
⎧ ( x + hT ) 2 ⎫
exp ⎨
⎬ dx,
2
σ 2π T
⎩ 2σ T ⎭
σ2
⎧ 2hx
⎫
exp ⎨ 2 + x ⎬
v=
σ
2h + σ 2
⎩
⎭
1. lim γ t (δ ) = e −δ (T −t ) − e− r (T −t ) ; lim γ t (δ ) = e− δ (T −t ) ;
σ →0
2. lim X t (δ ) = St ( e −δ (T −t ) − e
σ →0
lim X t (δ ) = 0;
St → 0
); lim Xt (δ ) = St e− δ (T −t ) ;
lim Xt (δ ) = ∞;
σ →∞
S t →∞
3. lim CT (δ ) = S 0 ( e −δ T − e − rT ); lim CT (δ ) = S 0e−δT ;
σ →0
lim CT (δ ) = 0;
S0 → 0
σ →∞
и следовательно
lim CT (δ ) = ∞.
S 0 →∞
Доказательство сформулированных результатов
проводится непосредственно с использованием
свойств функции Лапласа: lim Φ ( x) = 1; lim Φ( x) = 0;
x →∞
x →−∞
Φ( x) + Φ( − x) = 1; Ф(x) – непрерывна справа по x.
Экономическая интерпретация этих свойств
очевидна: стоимость опциона равна нулю в ситуа
ции, когда предъявлять его к исполнению не имеет
смысла; стоимость опциона резко возрастает, когда
он всегда будет предъявлен к исполнению.
Обозначения и терминология соответствуют
принятым [1–5].
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пусть
J1 =
1
σ 2π T
⎧ ( x − hT ) 2
⎫
exp
∫−∞ ⎨⎩− 2σ 2T + x ⎬⎭ dx.
0
(П.1)
Из сравнения (П.1) с (2.14), (2.17), следует: b=0,
c=1, a=hT, d=σ2T. Тогда согласно (2.17) с учетом
(2.3) из (П.1) следует
J1 = e ( r −δ )T Φ (− T ((( r − δ ) σ ) + (σ 2))).
(П.2)
Пусть
0
2h
⎧ 2hx
⎫ ⎛ x + hT
∫ exp ⎨⎩ σ 2 + x ⎬⎭ Φ ⎜⎝ σ T
σ 2 −∞
⎞
⎟ dx.
⎠
Воспользуемся формулой интегрирования по ча
стям ∫udv=uv–∫vdu. Возьмем
J2 =
⎛ x + hT
u = Φ⎜
⎝ σ T
1
du =
σ →∞
− r (T −t )
⎞
⎧ 2hx
⎫
⎟ , dv = exp ⎨ σ 2 + x ⎬ dx.
⎩
⎭
⎠
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.
– М.: Наука, 1974. – 696 с.
2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных
процессов. – М.: Наука, 1977. – 568 с.
3. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В.
К теории расчетов опционов Европейского и Американского
типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее приме
нения. – 1994. – Т. 39 (Вып. 1). – С. 80–129.
⎡ ⎛h T
2h
Φ⎜
2 ⎢
(2h + σ ) ⎣⎢ ⎝⎜ σ
⎞
⎟⎟ −
⎠
0
⎧ 2hx
1
( x + hT ) 2 ⎫ ⎤
−
exp
+
−
x
⎬dx ⎥ .
∫ ⎨⎩ σ 2
2σ 2T ⎭ ⎦
σ 2π T −∞
J2 =
(П.3)
Как и при нахождении J1 для вычисления интегра
ла в (П.3) применим Утверждение 1. Из сравнения
(П.3) с (2.14), (2.17) следует: b=0, c=(2h/σ2)+1,
a=–hT, d=σ2T. Тогда согласно (П.2) с учетом (2.3)
из (П.3) следует
⎛
σ2 ⎞
J 2 = ⎜1 −
⎟×
⎝ 2(r − δ ) ⎠
⎡
⎛
⎛ r −δ σ ⎞⎞
× ⎢ −e( r −δ )T Φ ⎜ − T ⎜
+ ⎟⎟ +
2 ⎠⎠
⎝ σ
⎝
⎣
⎛
⎛ r − δ σ ⎞ ⎞⎤
(П.4)
+Φ ⎜ T ⎜
− ⎟ ⎟⎥ .
2 ⎠ ⎠⎦
⎝ σ
⎝
Пусть
J3 =
1
σ 2π T
⎧ ( x + hT ) 2
2hx ⎫
exp
∫−∞ ⎨⎩− 2σ 2T + x + σ 2 ⎬⎭ dx. (П.5)
0
Из сравнения (П.5) с (П.3) следует, что вычисление
J1 аналогично вычислению интеграла в (П.3), т.е.,
согласно (П.4),
J 3 = e ( r −δ )T Φ (− T (( r − δ ) σ + σ 2)).
(П.6)
Использование (П.2), (П.4), (П.6) в (2.24) с учетом
(2.20), (2.21) и свойства 1=Ф(z)+Ф(–z) приводит к
(2.22).
4. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой матема
тики // Обозрение прикладной и промышленной математики.
– 1994. – Т. 1 (Вып. 5). – С. 780–820.
5. Аникина А.В., Демин Н.С. Нахождение и анализ свойств це
ны, капитала и портфеля в случае непрерывных опционов ку
пли и продажи с выплатой дивидендов // Теория вероятностей,
случайные процессы, математическая статистика и приложе
ния: Труды Междунар. конф. – Минск: БГУ, 2005. – С. 27–35.
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
339 Кб
Теги
методов, европейской, опциона, вероятностный, применению, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа