close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к исследованию многослойных пластин произвольной формы.

код для вставкиСкачать
№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
Э. С. Вентцель, И. В. Бойков, С. П. Алаткин
ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ МНОГОСЛОЙНЫХ
ПЛАСТИН ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Аннотация. Методами граничных интегральных уравнений и гиперсингулярных интегральных уравнений исследована деформация трехслойных пластин
произвольной формы.
Ключевые слова: метод граничных интегральных уравнений, гиперсингулярные интегральные уравнения, композитные материалы.
Abstract: The article investigates deformation of three-layer plates of random form
by means of boundary integral equations and hypersingular integral equations.
Key words: boundary integral equations, hypersingular integral equations composits.
Введение
В современной аэрокосмической технике широко применяются композитные матрицы, в частности, многослойные пластины со слоями различной
толщины и с различнвми свойствами составляющих материалов. Исследование композитных материалов связано с большими теоретическими и вычислительными трудностями, особенно в случае, если изделия имеют произвольную форму.
Известно, что одним из наиболее распространенных методов решения
задач теории упругости и теории оболочек является метод граничных интегральных уравнений [1]. В случае многослойных пластин произвольной формы непосредственное применение стандартой процедуры метода граничных
элементов затруднительно и приходится использовать аппарат гиперсингулярных интегральных уравнений.
Напомним определения гиперсингулярных интегралов.
Определение 1 [1]. Интеграл вида
b
A( x) dx
 (b  x) p
a
при целом p и 0 <  < 1 определяет величину («конечную часть»)
рассматриваемого интеграла как предел при x  b суммы
x
A(t ) dt
B ( x)
 (b  t ) p  (b  x) p1 ,
a
если предположить, что A( x) имеет p производных в окрестности точки b .
Здесь B( x) – любая функция, на которую налагаются два условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) B( x) имеет по крайней мере p производных в окрестности точки
x=b.
37
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Произвольный выбор B( x) никак не влияет на значение получаемого
предела: условие (а) определяет значения ( p  1) первых производных от
B( x) в точке b , так что произвольный добавочный член в числителе есть
бесконечно малая величина по меньшей мере порядка (b  x) p .
Определение 2 [3]. Интегралом
b
() d 
 (  c) p ,
a < c < b,
a
в смысле главного значения Коши – Адамара называется следующий предел:
b
 c v () d 
() d  (v) 
,
= lim 


p
p
p
p 1 
v 0 
c
c
c
v
(
)
(
)
(
)






a
cv
 a

b

() d 


где (v) – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел
существовал.
В концевых точках a и b гиперсингулярный интеграл определен
следующим образом.
b
Определение 3. Интегралом
() d 
 (  a) p
называется предел
a
 b ( ) d  (v)

= lim 

 1 (v)ln | v | ,

(  a ) p v0  a v (   a) p v p 1
a

b

() d 

где (v) – некоторая функция, имеющая непрерывные производные до
( p  1) порядка, удовлетворяющие условию Дини – Липшица в окрестности
нуля; 1 (v) – некоторая функция, удовлетворяющая условию Дини –
Липшица в окрестности нуля. Функции (v) и 1 (v) выбираются так, чтобы
указанный процесс существовал.
Непосредственное вычисление гиперсингулярных интегралов и точное
решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому для решения прикладных задач активно развиваются численные методы.
Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов изложены в работах [4–6], причем в книге [4] приведена обширная библиография.
Численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений в настоящее время активно развиваются. Разработан ряд приближенных
методов решения одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений,
полигиперсингулярных интегральных уравнений, многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений [7].
1. Постановка задачи
Рассматривается изотропная упругая трехслойная пластина  (одно
или многосвязная), у которой внешние слои имеют толщину h0 , а внутрен-
38
№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
ний слой – h1 . Пластина  расположена в плоскости Oxy , ограничена контуром  и имеет поперечную нагрузку p ( x, y ), ( x, y )  .
Деформация пластины при небольших отклонениях описывается
системой дифференциальных уравнений
 
L31  Qx   L32  Q y   L33    p  0
Li1  Qx   Li 2 Q y  Li 3    0, i  1, 2;
(1)
(2)
с дифференциальными операторами
L11 (..) 
2
2
2
 ..
Ds  .. 1  ..
1 1  v  ..

 .. , L12 (..) 
, L13 (..)  
,
DQ x 2
x
 2 y 2
 2 1  v xy
L12 (..)  L21 (..), L22 (..) 
2
2
 ..
Ds  .. 1  ..
,

 .. , L23 ..  
2
2
2
DQ y
y
 x
L31 (..)  DQ L13 (..), L32 (..)  Dq L23 .. , L33 ..  DQ  .. ,
(3)
где Ds и DQ – коэффициенты, характеризующие изгиб и сжатие пластины
соответственно:
Ds 
E j h0 h 2

2 1  v2

, h  h1  h0 ,  2 
2 DQ
Ds 1  v 
, DQ 
h2
Gc .
h
(4)
Здесь    2 / x 2   2 / y 2 – оператор Лапласа; v – коэффициент
Пуассона внешних пластин; E j – модуль упругости внешних пластин; Gs –
модуль сдвига внутренней пластины.
Для решения системы уравнений вида (1)–(3) в работе [8] использован
операторный метод, приведший к новому классу гиперсингулярных
интегралов, численные алгоритмы вычисления которых даны в [9].
Наряду с методом работы [8] представляет значительный интерес и
развитие других методов, в частности метода, предложенного в [10].
Введя оператор
L( F ) = F 
F
(5)
2
и воспользовавшись представлением
Qx = ( L12 L23  L22 L13 ) F = 

L( F );
x
(6)
Q y = ( L21L13  L23 L11 ) F = 

L( F );
y
(7)
w = ( L11L22  L12 L21 ) F = L( F ) 
Ds
L( F ),
DQ
(8)
39
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Э. С. Вентцель [10] показал, что этой подстановкой тождественно
удовлетворены уравнения (1), а уравнение (2) сводится к уравнению
Ds ( L( F )) = p,
(9)
которое может быть переписано в следующем виде:
Ds  ( 2 F  F ) =  2 p.
(10)
Решив уравнение (10), можно найти общее решение системы уравнений
(1), (2).
В самом деле, пусть un – решение уравнения Ds u =  2 p; {u j } –
множество нормированных линейно-независимых
Ds u = 0.
Решив последовательность уравнений
решений
уравнения
 2 F  F = un ,
(11)
 2 F  F = u j
(12)
и найдя линейно независимые решения уравнения
 2 F  F = 0,
(13)
получаем полную систему линейно-независимых решений уравнения (9), из
которой по формулам (6)–(8) получаем полную систему линейнонезависимых решений системы уравнений (1), (2). Произвольные константы
в этой системе находятся из начальных условий. Описанный алгоритм
численно реализован в [10].
В данной работе к решению системы уравнений (1), (2) применяется
метод потенциалов.
Введем поверхностный потенциал  и граничный потенциал 
следующими формулами:
Qx  
D


, Qy  
, w    s ;
x
y
DQ
(14)


, Qy  
, w  0.
y
x
(15)
Qx  
Тогда система дифференциальных уравнений (1), (2) может быть
преобразована к следующим уравнениям, выраженным через потенциалы 
и :
Dc   p;
(16)
   2   0.
(17)
Таким образом, задача определения малых прогибов изотропной
трехслойной пластины сведена к бигармоническому уравнению (16) и
уравнению Гордона – Клейна (17).
40
№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
Изгибы, крутящиеся моменты и сдвиг средней поверхности пластины
выражаются через потенциалы  и  по формулам
  2
 2
2 
M x   Ds 
v
 1  v 
;
2
xy 
y 2
 x
  2
 2
2 
M y   Ds 
v
 1  v 
;
2
xy 
x 2
 y
  2 1   2   2   
 

M xy   Ds 1  v  
 ;
 xy 2  x 2
y 2  
Qx   D




, Q y   D   DQ
.
  DQ
x
y
y
x
(18)
(19)
Различным методом решения уравнений (16) и (17) посвящено большое
число работ. В частности, детальный анализ нескольких численных методов
приведен в [11].
Ниже для решения уранений (16), (17) применяется метод граничных
интегральных уравнений.
Опишем ограничения, при которых будем решать поставленную выше
задачу:
1) верхний и нижний слои имеют одиниковую тощину h0 , причем
h0  h1 , где h1 – толщина внутреннего слоя;
2) изгибом внешних слоев можно принебречь;
3) во внутреннем слое рассматривеются только поперечная деформация
сдвига;
4) прогиб w постоянный по всей толщине пластины  w  w( x, y )  ;
5) и внешние и внутренний слои сделаны из изотропного материала.
Перечисленные выше условия дают возможность перейти от трехмерной трехслойной пластины к двумерной задаче моделирования деформации
средней поверхности однородной пластины, определенной несколькими
физическими параметрами: жесткостью на изгиб Ds и жесткостью
поперечного сдвига DQ .
Излагаемый ниже метод может быть использован для решения
уравнений (1), (2) при следующих граничных условиях, сформулированных
для функций  и  .
1. Граница  j закреплена:

Ds
  

,
  0,


.
DQ
n s s
n
(20)
2. Легкий тип свободно опертой границы  j :

Ds
    
  0, (1  ) 

    0;
DQ
n  n s 
41
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
     1


    0.
n  s n  2
3.Тяжелый тип свободно опертой границы  j :
  0,

 0,   0.
n
(21)
4. Свободная граница  j :
(1  )
    
     1



    0,

    0,
n  n s 
n  s n  2
 Ds


  DQ
 0.
n
s
(22)
Здесь  / n и  /s означает дифференцирование в направлении внеш1  (..)  2 (..)

–
 n
n 2
s 2
оператор Лапласа; 1/  – кривизна границы в рассматриваемой точке.
Для краткости ниже ограничимся рассмотрением уравнений (1), (2) при
жестко закрепленной границе. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
ней нормали и касательной к контуру  j ; (..) 
 2 (..)

2. Многослойная пластина с жестко закрепленной границей
Рассмотрим случай, когда граничный компонент  j закреплен. Получим систему следующих уравнений:

Ds
  

  0,


,
,
DQ
n s s
n
где  / n и /s – частные производные по нормали и направлению каса1  (..)  2 (..)

– оператор
 n
n 2
s 2
Лапласа; 1/  – кривизна границы в интересующей точке, а неизвестные
функции  и  имеют следующее интегральное представление:
тельной к обходу границы  j ; (..) 
 2 (..)

G ( x, y; , )


 ( x, y )  G ( x, y; , ) qn (, )  
mn (, ) ds  G pd , (23)
n







 ( x, y )  G ( x, y; , )t (, )ds ; (, )  , ( x, y )   .
(24)

Функции Грина уравнений (23), (24) при рассматриваемых граничных
условиях имеют следующий вид:
G ( x, y; , ) 
42
1 2
r ln r ;
8Ds
№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
G ( x, y; , ) 
1
K o (r ),
2
1/ 2
где r  ( x  ) 2  ( y  ) 2  ; K 0 (r ) – модифицированная функция Бесселя


нулевого порядка.
Функция Бесселя представима в интегральной форме следующим образом:

K 0 (r ) 
d

r 
2
1   1e
.
Подставляя интегральные представления (23) и (24) в граничные условия, приходим к системе гиперсингулярных интегродифференциальных
уравнений

 G  x, y; ,  qn (, ) 
G  x, y; , 
n



G  x, y; ,  pd  


G  x, y; , 
n

mn (, )  ds 

Ds  
  G  x, y; ,  qn (, ) 
DQ  




mn (, )  ds  G  x, y; ,  pd    0;





G  x, y; , 

  
mn (, )  ds 
G  x, y; ,  qn (, ) 
n  
n




 

G  x, y; ,  pd     G  x, y; ,  t (, )ds  ;
 s 







G  x, y; , 

  
mn (, )  ds 
G  x, y; ,  qn (, ) 
s  
n




  

G  x, y; ,  pd     G  x, y; ,  t (, )ds 
 n 







(25)
относительно неизвестных функций источника qn , mn и t .
Аналитическое решение данной системы представляется невозможным,
и поэтому приходится рассмотреть численные методы. При разработке численного метода необходимо задать границу исследуемой пластины. Для простоты
обозначений будем рассматривать единичный квадрат (отметим, что в общем
случае в рамках сплайн-коллокационного метода нулевого порядка необходимо границу области аппроксимировать кусочно-линейной границей).
43
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В этом случае границей является периметр единичного квадрата.
Приближенное решение будем искать в виде кусочно-постоянных функций.
Для этого каждую из сторон квадрата   [0,1;0,1] разобъем на конечное
число сегментов точками ( xk ,0), xk  k / n, k  0,1, ..., n; (1, yk ), yk  k / n,
k  0,1, ..., n; (1, xk ), xk  k / n, k  0,1, ..., n; (0, yk ), yk  k / n, k  0,1, ..., n.
Функции q(, ), m(, ), (, ) аппроксимируются кусочно-постоянными функциями
qn (, ) 
4 n 1

k 0
 k  k (, ), mn (, ) 
Qn (, ) 
4 n 1
 k  k (, ),
k 0
4 n 1
  k  k (, ),
k 0
1,  ,    k
где  k  ,   
0,  ,    k .
Здесь l (l  0,1, ..., 4n  1) – пронумерованные в положительном нап-
равлении (против часовой стрелки) сегменты:  xk , xk 1  , k  0, 1, ..., n  1, лежащие на прямой y  0;  yk , yk 1  , k  0,1, ..., n  1, лежащие на прямой x  1;
 xk , xk 1  ,
k  n  1, ..., 0, лежащие на прямой y  1;  yk , yk 1  , k  n  1, ..., 0,
лежащие на прямой x  0.
Положим для определенности N  4n.
Так как граница области – квадрат, лапласиан примет вид
(..) 
 2 (..)
x 2

 2 (..)
y 2
.
 (..)  (..)
 (..)
 (..)

,а

.
s
x
n
y
Приближенная система состоит из четырех систем уравнений – отдельной для каждой стороны квадрата. Для стороны  x,0  , 0  x  1, система примет вид
Отметим также, что для точек  x,0  :

  2G  x, y; ,    2G  x, y; ,    
 G  x, y; ,   Ds 
  qn (, ) 

2
2

DQ 



x
y


 


 G  x, y; ,  D   3G  x, y; ,    3G  x, y; ,    


  mn (, )  ds 
 
 s 



y
DQ 

x 2y
y 3





44
2
2

D   G  x, y; ,   G  x, y; ,    
G  x, y; ,    s 
  pd   0;

2
2

DQ 



x
y




№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
 G  x, y; , 
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
2
y

y




G  x, y; , 
x

G  x, y; ,  
t (, )  ds 
pd   0;
y



 G  x, y; ,  
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
x
xy




G  x, y; ,  
y

G  x, y; , 
t (, )  ds 
pd   0;
x



для стороны  x,1 ,(0  x  1) :
 (..)
 (..)
 (..)  (..)

,а

;
s
x
n
y

  2G  x, y; ,    2G  x, y; ,    
 G  x, y; ,    Ds 
  qn (, ) 

2
2

DQ 



x
y


 


 G  x, y; ,   D   3G  x, y; ,   3G  x, y; ,    


  mn (, )  ds 
 
 s 



y
DQ 

x 2 y
y 3





2
2

D   G  x, y; ,   G  x, y; ,    
G  x, y; ,    s 
  pd   0;

2
2

DQ 



x
y





 G  x, y; ,  
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
y

y 2



G  x, y; ,  
x

G  x, y; , 
t (, )  ds 
pd   0;
y



 G  x, y; ,  
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
x
xy




G  x, y; , 
y

G  x, y; ,  
t (, )  ds 
pd   0;
x


для стороны 1, y  ,(0  y  1) :

 (..)  (..)
 (..)  (..)
,а
;


n
x
s
y

  2G  x, y; ,    2G  x, y; ,    
 G  x, y; ,    Ds 
  qn (, ) 

2
2

DQ 



x
y


 

45
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 G  x, y; ,   D   3G  x, y; ,   3G  x, y; ,    


  mn (, )  ds 
 
 s 



DQ 
x

y 2 x
x3





2
2

D   G  x, y; ,   G  x, y; ,    
G  x, y; ,    s 
  pd   0;

2
2

DQ 

x
y






 G  x, y; ,  
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
2
x

x




G  x, y; , 
y

G  x, y; , 
t (, )  ds 
pd   0;
x



 G  x, y; ,  
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
y
xy





G  x, y; , 
x

G  x, y; , 
t (, )  ds 
pd   0;
y



для стороны  0, y  ,(0  y  1) :
 (..)
 (..)
 (..)
 (..)


,а
;
n
x
s
y

  2G  x, y; ,    2G  x, y; ,    
 G  x, y; ,    Ds 
  qn (, ) 

2
2

DQ 



x
y


 


 G  x, y; ,  D   3G  x, y; ,    3G  x, y; ,    


  mn (, )  ds 
 
 s 



x
DQ 

y 2 x
x3





2
2

D   G  x, y; ,   G  x, y; ,    
G  x, y; ,    s 
  pd   0;

2
2

DQ 



x
y




 G  x, y; , 
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
2
x

x




G  x, y; ,  
y

G  x, y; , 
t (, )  ds 
pd   0;
x



 G  x, y; , 
 2G  x, y; , 

qn (, ) 
mn (, ) 
y
xy



46
№ 3 (19), 2011

Физико-математические науки. Математика
G  x, y; ,  
x

G  x, y; , 
t (, )  ds 
pd   0.
y



(26)
В этом случае система будет включать частные производные функций
Грина следующего вида:
G
G
1
1

 2ln r  1 x    ;  
 2ln r  1 y   ;
x
y
8Ds
8Ds
 2G
x 2

2
2
2  x      2G
2  y   
1 
1 
;
;

2ln r  1 
2ln r  1 
2
2
 y 2

8Ds 
8Ds 
r
r




 2G
1 2  x    y  

;
xy 8Ds
r2
1  2  x    4  x    r  2  x   


8Ds  r 2
r4
x3

3

;


1  2  y   4  y   r  2  y  


8Ds  r 2
r4
y 3


;


2
 3G
2
 3G
3
3G

2
1  2  y   4  x     y   
;

4

8Ds  r 2
r


3G

2
1  2  x    4  y    x    
;

4

8Ds  r 2
r


x 2 y
y 2 x

  G ( x, y; , ) 
1   x    d 
;

2
rer 
2  1
1
  G ( x, y; , ) 
1   y    d 
.

r 
2
2
re


1
1
x
y



Подставляя эти функции в систему уравнений (26), приходим к системе
гиперсингулярных интегральных уравнений, в состав которой входят гиперсингулярные, сингулярные и слабосингулярные операторы.
После приведения к каноническому виду гиперсингулярные интегралы
в системе уравнений (26) имеют следующий вид:
a

a
f ( x) dx
.
| x|
Определение интеграла в смысле главного значения по Коши, а также
определения 1 и 2 к этому интегралу не применимы. Введем следующее
определение, аналогичное определению 3.
47
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Определение 4. Пусть функция f ( x) имеет производную
удовлетворяющую условиям Дини – Липшица. Тогда
f ' ( x),
a
 

f ( x) dx
f ( x)dx
f ( x)dx

= lim

 F ()ln  ,

| x|
| x|
| x|
0 
a

 a

a



где F () – произвольная функция, удовлетворяющая в окрестности нуля
условиям Дини – Липшица и выбираемая таким образом, чтобы предел
существовал.
После этих предварительных замечаний изложим построение квадратурных формул, используемых при решении системы уравнений (26) и аналогичных систем, на примере интеграла, определенного на отрезке прямой.
Рассмотрим интеграл
1

1
f ()d 
.
t
(27)
Введем две сетки узлов:
tk = 1 
2k
2k  1
, k = 0,1,, N , t k = 1 
, k = 0,1,, N  1.
N
N
Интеграл (27) будем вычислять на сетке узлов t k по квадратурной
формуле
1

1
tl 1
f ()d  N 1
=
  tk
l =0

tl
f ()d  N 1
=
f (t l )
  tk
l =0

N 1
=
 f (t l ) ln
l =0
tl 1  t k
tl  t k
tl 1

tl
d
 RN ( f ) =
  tk
 RN ( f ) .
(28)
На классе функций Гельдера H  погрешность квадратурной формулы
(28) оценивается неравенством
| RN ( f ) |
B
N
ln N ;
на классе функций W r (1) погрешность квадратурной формулы (28) оценивается неравенством
| RN ( f ) |
B
Nr
ln N .
В случае, если сингулярный интеграл задан на гладкой кривой L, то
квадратурная формула строится следующим образом. Рассмотрим интеграл
()
   t d .
L
48
(29)
№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
На кривой L построим две сетки узлов. Пусть  – длина кривой L.
Построим на кривой L последовательность узлов sk , k = 0,1,, N , в которой
узел s0 совпадает с началом кривой, узел s N совпадает с концом кривой, а
узлы sk – равноотстоящие. Введем еще одну сетку узлов: s k , k = 0,1,, N  1,
в которой узел s k находится на равном расстоянии от узлов sk и sk 1 ,
k = 0,1,  , N  1.
Квадратурная формула имеет вид
N 1
N 1
()
()
()
( s k )
 RN () =
d =
d =
  sk
  sk
l =0
l =0 L   s k
L
L
l



N 1
=
 (sk ) ln
l =0
sk =1  s k
sk  s k

 RN ().
 ln N 
Погрешность этой формулы равна O 
 на классе Гельдера H  ,
 N 
 ln N 
O
– на классе W r H  (1).
r  
N

Рассмотрим способ вычисления гиперсингулярных интегралов.
Вначале опишем способ вычисления гиперсингулярного интеграла на отрезке
прямой. Рассмотрим интеграл
1
()
 |   t | d .
1
Введем две системы узлов:
tk = 1 
2k
2k  1
, k = 0,1,, N , t k = 1 
, k = 0,1,, N  1.
N
N
Гиперсингулярный интеграл будем вычислять
t k , k = 0,1,, N  1, по квадратурной формуле
1

1
N 1
()
d =
|   tk |
l =0
tl 1
 

tk 1
tl
на
сетке
узлов
k 1tl 1
N 1 tl 1
()
()
()
d =
d 
d 




|   tk |
t
t
k
k
l =0
l = k 1

 
tl
tl
k 1
N 1
t k  tl 1
t  tk
()
d  = (t l ) ln

(t l )ln l 1

tl  t k
t k  tl
|   tk |
=0
l
l
k

=
1
tk

(t k ) ln

| tk 1  t k |
| tk  t k |
 RN () =

N 1
 (t l )ln
l =0
| tl 1  t k |
 RN ().
| tl  t k |
49
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 ln N 
Погрешность этой формулы равна O 
 на классе функций
 N 
 ln N 
r
Гельдера H  и O 
 на классе функций W H  (1).
 N r  
()
d  на гладком контуре L , точно так
При вычислении интеграла
|t |

L
же как в предыдущем случае (для сингулярных интегралов), вводится две
системы узлов sk , k = 0,1,, N , и s k , k = 0,1,, N  1. Интеграл вычисляется
по квадратурной формуле:

L
N 1
N 1
()
()
d
d =
d =
( s l )
 RN () =
|   sk |
|   sk |
l =0 |   s k |
l =0


Ll
N 1
=
 (sl )  (
l =0

Ll
Ll
d
2
2
1  x k )  ( 2  y k )
 RN ().
 ln N 
Погрешность этой формулы оценивается величиной O 
 на классе
 N 
 ln N 
функций Гельдера и O 
на классе W r H  . Интегралы в последней
r  
N

формуле вычисляются по хордам, соединяющим точки sk и sk 1. При
достаточно большом числе узлов и достаточно высокой гладкости контура L
погрешность, вносимая заменой дуги Lk на хорду, не превышает
погрешности квадратурной формулы.
Применение этих квадратурных формул для решения системы
уравнений (26) при различных областях  продемонстрировало высокую
эффективность изложенной модификации метода граничных элементов и используемого алгоритма вычислений.
Список литературы
1. Б е н е р д ж и , П . Метод граничных элементов в прикладных задачах / П. Бенерджи, Р. Батерфилд. – М. : Мир, 1984. – 494 с.
2. А да м а р , Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.
3. Ч и к и н , Л. А . Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. – 1953. –
Т. 113, № 10. – С. 53–105.
4. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. –
Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. – 252 с.
5. Bо ik о v , I . Y . Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I. Y. Bоikоv // International Journal of Mathematics and // Mathematiical Sciences. – 2001. – V. 28, № 3. – P. 127–179.
50
№ 3 (19), 2011
Физико-математические науки. Математика
6. Bо y k о v , I . V . Accuracy optimal methods for evaluating hypersingular integrals /
I. V. Bоykоv, E. S. Ventsel, A. I. Bоykоva // Applied Numerical Mathematics. –
2009. – V. 59, № 6. – P. 1366–1385.
7. Bо y k о v , I . V . An approximate solution of hypersingular integral equations /
I. V. Bоykоv, E. S. Ventsel, A. I. Bоykоva // Applied Numerical Mathematics 60. –
2010. – V. 6. – P. 607–628.
8. Bо y k о v , I . V . Fundamental Solutions for Thick Sandwich Plate / I. V. Bоykоv,
A. I. Bоykоva, E. S. Ventsel // Engineering Analisis and Boundry Elements. – 2004. –
V. 28. – P. 1437–1444.
9. Bо y k о v , I . V . An approximation methods for evaluating hypersingular integrals /
I. V. Bоykоv, A. I. Bоykоva, E. S. Ventsel // Engineering analisis with Boundry elements. – 2006. – V. 30. – P. 799–807.
10. V e n t s e l , E . S . A Boundary element method applied to sandwich plates of arbitrary
plan form / E. S. Ventsel // Engineering Analisis with Boundry Elements. – 2002. –
V. 27, № 6. – P. 597–601.
11. К а н то р о в и ч , Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович. – Л. – М. : ГИТТЛ, 1949. – 696 с.
Вентцель Эдуард Сергеевич
доктор физико-математических наук,
профессор, Пенсильванский
государственный университет (США)
Ventsel Eduard Sergeevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, The Pennsylvania
State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Алаткин Сергей Павлович
аспирант, Пензенский
государственный университет
Alatkin Sergey Pavlovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.392
Вентцель, Э. С.
Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к исследованию многослойных пластин произвольной формы / Э. С. Вентцель,
И. В. Бойков, С. П. Алаткин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 3 (19). – С. 37–51.
51
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа