close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение характеристических функций для асимптотического исследования сетей связи со статическими протоколами случайного множественного доступа.

код для вставкиСкачать
УДК 519.812
С.А. Цой
ПРИМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ СО СТАТИЧЕСКИМИ ПРОТОКОЛАМИ
СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА
Рассматриваются сети связи со статическими протоколами случайного множественного доступа, для исследования которых строится математическая модель в виде системы массового обслуживания. Исследование проводится методом асимптотического анализа с применением теории характеристических функций и матричного подхода, что позволяет в значительной степени сократить
трудоемкость исследования и получить асимптотические результаты сразу для целого класса моделей.
Рассмотрим одноканальную сеть связи, управляемую
статическим протоколом случайного множественного
доступа, состоящую из абонентских станций и разделяемого ресурса, служащего для передачи данных.
В качестве модели рассмотрим систему массового
обслуживания, на вход которой поступает простейший
с параметром λ поток заявок. Продолжительность обслуживания и время оповещения о конфликте имеют
экспоненциальное распределение с параметрами μ1 = 1
и μ 2 . Интенсивность повторного обращения из источника повторных вызовов (ИПВ) составляет σi , где i –
число заявок в ИПВ, а k – состояние прибора: 0 – свободен, 1 – занят обслуживанием, 2 – реализуется этап
оповещения о конфликте. В этом случае процесс
{k (t ), i(t )} является двумерной цепью Маркова, поэтому ее распределение P(k , i, t ) = P{k (t ) = k , i (t ) = i}
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
Колмогорова
∂P0 (i, t )
= −(λ + iσ) P0 (i, t ) + μ1 P1 (i, t ) + μ 2 P2 (i, t ) ,
∂t
∂P1 (i, t )
= −(λ + iσ + μ1 ) P1 (i, t ) +
∂t
+ λP0 (i, t ) + (i + 1)σP0 (i + 1, t ) ,
∂P2 (i, t )
= −(λ + μ 2 ) P2 (i, t ) + λP2 (i − 1, t ) +
∂t
+ λP1 (i − 2, t ) + (i − 1)σP1 (i − 1, t ) .
(1)
Для сокращения записи обозначим
H (u, t ) = {H 0 (u, t ), H 1 (u, t ), H 2 (u , t )}
и матрицы
⎡− 1 e − y 0 ⎤
A( y ) = ⎢ 0 − 1 e y ⎥ ,
⎢0 0 0⎥
⎣
⎦
⎡− λ
⎤
λ
0
⎥,
λe 2 y
B ( y ) = ⎢ μ1 − ( λ + μ1 )
⎢
⎥
y
λ(e − 1) − μ 2 ⎦
0
⎣ μ2
(3)
тогда систему (2) можно записать в виде
∂H (u, t )
∂H (u , t )
+ jσ
A( ju ) = H (u, t ) B( ju ) .
∂t
∂u
(4)
Отметим, что уравнение (4) будет иметь совершенно аналогичный вид для целого класса математических
моделей сетей связи, управляемых статическими протоколами случайного множественного доступа, что
позволяет исследовать их одним методом, который
будет рассмотрен ниже.
Уравнение (4) будем решать методом асимптотического анализа в условиях большой задержки σ → 0 ,
когда среднее значение времени задержки требований
в ИПВ неограниченно возрастает.
Обозначим
Асимптотика первого порядка
∞
H k (u, t ) = ∑ e jui Pk (i, t ) =
i=0
{
}
= P{k (t ) = k}M e jui ( t ) | k (t ) = k ,
Для H (u, t ) выполним следующие замены:
тогда систему (1) можно переписать в виде
τ = σt , u = σv , H (u , t ) = F1 (v, τ, σ) .
∂H 0 (u, t )
∂H 0 (u, t )
− jσ
= −λH 0 (u, t ) +
∂t
∂u
+μ1 H 1 (u , t ) + μ 2 H 2 (u, t ) ,
Тогда
F1 (v, τ, σ) = H (u , t ) =
∂H 0 (u, t )
∂H 1 (u, t )
∂H (u, t )
+ jσe − ju
− jσ 1
=
∂t
∂u
∂u
= λH 0 (u , t ) − (λ + μ1 ) H 1 (u , t ) ,
∂H 2 (u , t )
∂H 2 (u, t )
+ jσe ju
=
∂t
∂u
= λe 2 ju H 1 (u, t ) + λ e ju − 1 − μ 2 P2 (u, t ) .
((
)
)
(5)
{
}
= P{k (t ) = k}M e jvσi ( τ / σ ) k (t ) = k .
(6)
Пусть E – единичный вектор-столбец, тогда
F1 (v, τ, σ) E = Me jvσi ( τ / σ ) .
(7)
(2)
129
Теорема 1. Если при s → 0 существует предел
lim F1 (v, τ, σ) = F1 (v, τ) , то
σ →0
lim F1 (v, τ, σ) = F1 (v, τ) = Re jvκ1 ( τ ) ,
σ →0
(8)
где вектор R определяется системой линейных алгебраических уравнений (16), а скалярная функция k1 (τ)
является решением обыкновенного дифференциального уравнения (17).
Доказательство. В уравнении (4) выполним замены
(5), получим
∂F (v, τ, σ)
∂F (v, τ, σ)
σ 1
+ j 1
A( jσv) =
∂τ
∂v
= F1 (v, τ, σ) B ( jσv) .
(9)
В этом уравнении перейдем к пределу и обозначим
lim F1 (v, τ, σ) = F1 (v, τ) .
σ→0
(10)
При σ → 0 уравнение (9) приобретет вид
j
∂F1 (v, τ)
A(0) = F1 (v, τ) B(0) ,
∂v
(11)
откуда при σ → 0 получим равенство
∂F (v, τ, σ)
∂F1 (v, τ, σ)
jvA′(0) E =
E+ j 1
∂v
∂τ
= F1 (v, τ, σ) jvB ′(0) E ,
подставив в которое (12), запишем уравнение для
функций k1 (τ) в виде
jvκ1′ (τ) RE − κ1 (τ) jvRA′(0) E = jvRB′(0) E ,
откуда получим, что функция k1 (τ) является решением
обыкновенного дифференциального уравнения
(12)
jRjκ1 (τ) A(0) = RB (0) .
То есть вектор R является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений
Обозначив матрицу K (v, κ1 ) = B(v) + κ1 A(v) , ее зна-
(13)
∂K (v, κ1 )
= V ( κ1 ) ,
∂v
v =0
уравнения (13) и (15) запишем в виде
R( κ1 ) K ( κ1 ) = 0 ,
′
κ1 (τ) = R( κ1 )V ( κ1 ) E .
(16)
(17)
Теорема доказана.
Следствие. Последовательность случайных процессов σi (τ / σ) при σ → 0 сходится по распределению к
детерминированной функции κ1 (τ) , т.е. имеет место
предельное равенство
lim σi (τ / σ) = κ1 (τ) .
(18)
σ→0
он также удовлетворяет условию нормировки RE = 1 .
Теперь найдем функцию k1 (τ) . Для этого просуммируем по k все уравнения системы (9). Получим следующее равенство:
σ
∂F1 (v, τ, σ)
∂F (v, τ, σ)
E+ j 1
A( jσv) E =
∂τ
∂v
= F1 (v, τ, σ) B( jσv) E .
Равенства (8) и (18) будем называть асимптотиками
первого порядка.
Асимптотика второго порядка
(14)
Используя разложения
A( jσv) = A(0) + jσvA′(0) + O(σ 2 ) ,
B( jσv) = B(0) + jσvB′(0) + O(σ 2 ) ,
а также свойства A(0) E = 0 и B(0) E = 0 , равенство
(14) перепишем в виде
130
(15)
чение при v = 0 – K (0, κ1 ) = K ( κ1 ) , значение ее производной по v в нуле
где R – вектор, а k1 (τ) – скалярная функция. В силу
равенства (6) вектор R имеет смысл распределения
вероятностей значений предельного процесса k(τ / σ)
при σ → 0 . Найдем этот вектор, подставив (12) в (11),
получим
R{B (0) + κ1 (τ) A(0)} = 0 ,
∂F1 (v, τ, σ)
∂F (v, τ, σ)
E+ j 1
j σvA′(0) E =
∂τ
∂v
= F1 (v, τ, σ) jσvB′(0) E + O (σ 2 ) ,
κ1′ (τ) = R( κ1 ){B′(0) + κ1 A′(0)} .
решение F1 (v, τ) этого уравнения имеет вид
F1 (v, τ) = Re jvκ1 ( τ) ,
σ
Из равенства (8) имеем
F1 (v, τ) E = e jvκ1 ( τ ) = e
u
j κ1 ( σt )
σ
.
Функцию H (u, t ) запишем в виде
H (u, t ) = e
откуда следует, что
u
j κ1 ( σt )
σ
H 2 (u, t ) ,
(19)
H 2 (u , t ) = H (u , t ) e
u
− j κ1 ( σt )
σ
F2 (v, τ){B(0) + κ1 A(0)} = 0 ,
=
= P{k (t ) = k}M {exp( ju (i (t ) − κ1 (σt ) σ )) k (t ) = k } ,
следовательно
H 2 (u, t ) E = M {exp( ju (i (t ) − κ1 (σt ) σ ))} ,
(21)
где I – диагональная единичная матрица.
Обозначив σ = ε 2 , в уравнении (21) выполним замены
Для F2 (v, τ, ε) получим следующее уравнение:
(22)
F2 (v, τ, ε) E = M {exp( jvε(i (τ / σ ) − κ1 (σt ) / σ )} =
т.е. F2 (v, τ, ε) E является характеристической функцией
случайного процесса
σ
ε →0
ε →0
,
(24)
×{ K ( κ1 ) + j εv (V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I )} + O (ε 2 ) =
= Φ 2 (v, τ) RK ( κ1 ) + Φ 2 (v, τ) Rjεv(V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I ) +
+ jεf 2 (v, τ) K ( κ1 ) + O(ε 2 ) .
∂Φ 2 (v, τ)
RA(0) =
∂v
= vΦ 2 (v, τ) R(V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I ) + f 2 (v, τ) K ( κ1 ) ,
f 2 (v, τ) = vΦ 2 (v, τ)h1 −
Теорема 2. Если при ε → 0 существует предел
lim F2 (v, τ, ε) = F2 (v, τ) , то
( jv ) 2
κ2 ( τ)
2
F2 (v, τ, ε) = Φ 2 (v, τ) R + jεf 2 (v, τ) + O (ε 2 ) .
из которого получаем, что f 2 (v, τ) имеет вид
ε 2i (τ / ε 2 ) − κ1 (τ)
.
ε
lim F2 (v, τ, ε) = F2 (v, τ) = Re
Решение F2 (v, τ, ε) этой системы будем искать в виде
Так как RK ( κ1 ) = 0 , то при ε → 0 можно записать
равенство
⎧⎪ ⎛ σi (τ / σ) − κ1 (τ) ⎞⎫⎪
⎟⎟⎬ ,
= M ⎨exp⎜⎜ jv
⎪⎩ ⎝
σ
⎠⎪⎭
=
= F2 (v, τ, ε){K ( κ1 ) + jεv(V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I )} + O(ε 2 ) .
∂Φ 2 (v, τ)
RA(0) =
∂v
= {Φ 2 (v, τ) R + jεf 2 (v, τ)} ×
Здесь для F2 (v, τ, ε) в силу (22) выполняется равенство
σi (τ / σ) − κ1 (τ)
∂F2 (v, τ, ε)
A(0) =
∂v
= F2 (v, τ, ε){K ( jεv, κ1 ) − jεvκ1′ (τ) I } =
O(ε 2 ) + jε
jε
ε2
y (τ, ε) =
где вектор R определен выше, а скалярная функция
Φ 2 (v, τ) будет определена ниже.
Этап 2. Систему (22) перепишем следующим образом:
Подставляя это разложение в предыдущее равенство, получим
tσ = tε 2 = τ , u = εv , H 2 (u , t ) = F2 (v, τ, ε) .
∂F2 (v, τ, ε)
∂F (v, τ, ε)
+ jε 2
A( jεv) =
∂t
∂u
= F2 (v, τ, ε){B( jεv) + κ1 (τ) A( jεv) − jεvκ1′ (τ) I } .
F2 (v, τ) = Φ 2 (v, τ) R ,
(20)
т.е. H 2 (u, t ) E является безусловной характеристической функцией асимптотически центрированного слу1
чайного процесса i (t ) − κ1 (σt ) . Подставляя (19) в (4),
σ
получим, что H 2 (u, t ) удовлетворяет уравнению
∂H 2 (u , t )
∂H 2 (u , t )
+ jσ
A( ju ) =
∂t
∂u
= H 2 (u , t ){B ( ju ) + κ1 (σt ) A( ju ) − juκ1′ (σt ) I } ,
совпадающее с (13), поэтому его решение F2 (v, τ) запишем в виде
(23)
где функция κ 2 (τ) является решением обыкновенного
дифференциального уравнения (31).
Доказательство теоремы выполним в три этапа.
Этап 1. В уравнении (22) выполним предельный
переход при ε → 0 , получим уравнение
∂Φ 2 (v, t )
h2 ,
∂v
(25)
где векторы h1 и h2 определяются системами
h1 K ( κ1 ) + R(V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I ) = 0 ,
h2 K ( κ1 ) + RA(0) = 0 .
(26)
Так как K ( κ1 ) = B(0) + κ1 A(0) , то A(0) = K ′( κ1 ) , поэтому h2 = R′( κ1 ) , следовательно, (25) запишем в виде
f 2 (v, τ) = vΦ 2 (v, τ)h1 −
∂Φ 2 (v, t )
R′( κ1 ) .
∂v
131
Очевидно, что R′( κ1 ) E = 0 , можно также полагать,
что решение h1 системы (26) удовлетворяет условию
h1 E = 0 , поэтому (24) запишем в виде
F2 (v, τ, ε) = Φ 2 (v, τ) R +
∂Φ 2 (v, t )
⎧
⎫
+ jε ⎨vΦ 2 (v, τ)h1 −
R ′( κ1 )⎬ + O(ε 2 ) .
∂v
⎩
⎭
(27)
Этап 3. Для нахождения функции Φ 2 (v, τ) просум-
мируем по k все уравнения системы (22), получим
ε2
∂F2 (v, τ, ε)
∂F (v, τ, ε)
E + jε 2
A( jεv) E =
∂t
∂u
= F2 (v, τ, ε){K ( jεv, κ1 ) − jεvκ1′ (τ) I }E .
∂Φ 2 (v, τ)
v2
Φ 2 (v, τ) RD( κ1 ) E + v
R ′( κ1 )V ( κ1 ) E −
2
∂v
− v 2 Φ 2 (v, τ)h1V ( κ1 ) E =
∂Φ 2 (v, τ)
{RA′(0) E + R′(κ1 )V (κ1 ) E} −
=v
∂v
v2
− Φ 2 (v, τ){RD( κ1 ) E + 2h1V ( κ1 ) E} .
2
−
Так как V ( κ1 ) = B′(0) + κ1 A′(0) , то A′(0) = V ′( κ1 ) ,
следовательно,
′
RA′(0) E + R′( κ1 )V ( κ1 ) E = {R( κ1 )V ( κ1 ) E} ,
(28)
поэтому функция Φ 2 (v, τ) является решением уравнения
Раскладывая в ряд матрицы
A( jεv) = A(0) + jεvA′(0) + O(ε 2 ) ,
K ( jev, κ1 ) = K ( κ1 ) + jεvV ( κ1 ) +
+
( jεv) 2
D ( κ 1 ) + O (ε 2 ) ,
2
∂Φ 2 (v, τ)
∂Φ 2 (v, τ)
(R(κ1 )V (κ1 ) E )′ −
=v
∂τ
∂v
v2
− Φ 2 (v, τ){RD ( κ1 ) + 2h1V ( κ1 )}E (29)
2
и поэтому имеет вид
где матрица
D( κ1 ) =
∂ 2 K (v, κ1 )
,
∂v 2
v =0
уравнение (28) перепишем в виде
∂F2 (v, τ, ε)
∂F (v, τ, ε)
{A(0) + jεvA′(0)}E =
E + jε 2
∂t
∂u
= F2 (v, τ, ε) ×
ε2
⎧
⎫
( j εv ) 2
D( κ1 ) ⎬ E +
× ⎨ K ( κ1 ) + jεv (V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I ) +
2
⎩
⎭
+ O (ε 3 ) .
Так как A(0) E = 0 , K ( κ1 ) E = 0 , то последнее равенство имеет вид
∂F (v, τ, ε)
∂F (v, τ, ε)
ε2 2
E + jε 2
jεvA′(0) E =
∂t
∂u
⎧
⎫
( jεv) 2
= F2 (v, τ, ε)⎨ jεv(V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I ) +
D( κ1 )⎬ E +
2
⎩
⎭
+ O (ε 3 ) .
∂Φ 2 (v, τ)
∂Φ 2 (v, τ)
=v
RA′(0) E −
∂τ
∂v
v2
κ2 ( τ)
2
,
(30)
где, подставляя (30) в (29), получим, что функция
κ 2 (τ) является решением обыкновенного дифференциального уравнения
′
κ′2 (τ) = 2κ 2 (τ)(R( κ1 )V ( κ1 ) E ) +
+ {R ( κ1 ) D( κ1 ) + 2h1 ( κ1 )V ( κ1 )}E ,
(31)
где вектор h1 ( κ1 ) является решением системы (26),
удовлетворяющим условию h1 E = 0 , которую, принимая во внимание (17), запишем в виде
h1 ( κ1 ) K ( κ1 ) + R( κ1 ){V ( κ1 ) − R( κ1 )V ( κ1 ) EI } = 0 .
(32)
Теорема доказана.
Равенство (23) будем называть асимптотикой второго порядка. Очевидно, что функция Φ 2 (v, τ) является
характеристической функцией предельного процесса
y (τ) последовательностей y (τ, ε) , где
y (τ, ε) =
Подставляя сюда разложение (27) и учитывая тот
факт, что в силу (17) R{V ( κ1 ) − κ1′ (τ) I }E = 0 при ε → 0 ,
получим следующее уравнение относительно функции
Φ 2 (v, τ) :
132
Φ 2 (v, τ) = e
−
ε 2i (τ / ε 2 ) − κ1 (τ)
.
ε
(33)
Так как Φ 2 (v, τ) , определяемая равенством (30), является характеристической функцией нормального
распределения, то процесс y (τ) – Гауссовский. Выполним его исследования методами теории случайных
процессов.
Для первого интеграла из (39) получим
Диффузионная аппроксимация
процесса изменения числа заявок в ИПВ.
Локальная диффузионная
аппроксимация
∞
∫
e − jyv v
−∞
∞
Очевидно из (33), имеет место равенство
∞
∂Φ 2 (v, τ)
dv = ∫ e − jyv vdΦ 2 (v, τ) =
∂v
−∞
(
)
= − ∫ Φ 2 (v, τ)d ve − jyv =
−∞
ε 2i (τ / ε 2 ) = κ1 (τ) + εy (τ) + O (ε 2 ) ,
(34)
которое будем называть локальной аппроксимацией
процесса i (t ) , так как процесс y (τ) определяет величину отклонения значений процесса i (t ) от значений
асимптотического среднего κ1 (τ) .
Теорема 3. Случайный процесс y (τ) является диффузионным процессом авторегрессии, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению
′
dy (τ) = (R( κ1 )V ( κ1 ) E ) y (τ)dτ + L( κ1 )dw(τ) ,
(35)
где
(36)
Доказательство. Уравнение (29) для характеристической функции Φ 2 (v, τ) запишем в виде
∂Φ 2 (v, τ)
∂Φ 2 (v, τ)
(R(κ1 )V (κ1 ) E )′ −
=v
∂τ
∂v
v2
− Φ 2 (v, τ) L2 ( κ1 ) ,
2
∞
−∞
−∞
∞
⎫
∂ ⎧∞
− jyv
⎨ ∫ Φ 2 (v, τ)e dv ⎬ =
∂y ⎩− ∞
⎭
= − ∫ Φ 2 (v, τ)e − jyu dv − y
−∞
= −y
Обозначив обратное преобразование Фурье π( y, τ)
1 2
∂ 2 π( y, τ)
,
L ( κ1 )
2
∂y 2
которое является уравнением Фоккера–Планка для
плотности распределения вероятностей π( y, τ) диффузионного процесса авторегрессии y (τ) , являющегося
решением стохастического дифференциального уравнения (35). Теорема доказана.
Глобальная диффузионная
аппроксимация
Принимая во внимание равенство (34), рассмотрим
случайный процесс
от функции Φ 2 (v, τ)
z (τ) = κ1 (τ) + εy (τ) .
∞
π( y, τ) = ∫ e − jyv Φ 2 (v, τ)dv ,
(38)
из уравнения (37) получим
(39)
Выразим интегралы через функцию π( y, τ) и ее
производные. Из (38) получим
∂ 2 π( y, τ) ∞
= ∫ (− jv ) 2 e − jyv Φ 2 (v, τ)dv =
2
∂y
−∞
∞
= − ∫ v 2 e − jyv Φ 2 (v, τ)dv .
Теорема 4. Случайный процесс z (τ) с точностью
dz (τ) = (R( z )V ( z ) E )dτ + εL( z )dw(τ) ,
∞
∂Φ 2 (v, τ)
∂π( y, τ)
′
= (R ( κ1 )V ( κ1 ) E ) ∫ e − jyv v
dv −
∂τ
∂v
−∞
∞
v2
− L2 ( κ1 ) ∫ e − jyv v 2 Φ 2 (v, τ)dv .
2
−∞
(42)
до O(ε 2 ) является диффузионным, удовлетворяющим
стохастическому дифференциальному уравнению
−∞
−∞
(41)
∂π( y, τ)
′ ∂
= −(R ( κ1 )V ( κ1 ) E )
{yπ( y, τ)} +
∂τ
∂y
(37)
где L2 ( κ1 ) определяется равенством (36).
∂
{yπ( y, τ)} .
∂y
Подставляя (40) и (41) в (39), получим уравнение
+
L2 ( κ1 ) = R ( κ1 ) D( κ1 ) E + 2h1 ( κ1 )V ( κ1 ) E .
∞
= − ∫ Φ 2 (v, τ)e − jyu dv + jy ∫ Φ 2 (v, τ)ve − jyv dv =
(40)
(43)
где L( z ) определено равенством (36).
Доказательство. Дифференцируя (42) получим:
dz (τ) = κ1′ (τ)dτ + εdy (τ) .
Подставляя сюда κ1 (τ) из (17), а dy (τ) из (35), получим
dz (τ) = R( κ1 )V ( κ1 ) Edτ +
′
+ ε (R( κ1 )V ( κ1 ) E ) y (τ)dτ + L( κ1 )dw(τ) =
′
= R( κ1 )V ( κ1 ) E + εy (τ)(R ( κ1 )V ( κ1 ) E ) dτ +
{
{
}
}
+ εL( κ1 )dw(τ) .
(44)
133
Так как выражение в фигурных скобках является
первыми двумя членами разложения для
R( z )V ( z ) E = R( κ1 + εy )V ( κ1 + εy ) E =
′
= R( κ1 )V ( κ1 ) E + εy (R( κ1 )V ( κ1 ) E ) + O (ε 2 ) ,
решение которого не представляет труда. Обозначив
L( z )G ( z ) = G1 ( z ) и проинтегрировав по z равенство
(45), получим уравнение первого порядка
G1′( z ) =
а L( κ1 ) является первым членом разложения для
решение G1 ( z ) которого имеет вид
L( z ) = L( κ1 + εy ) = L ( κ1 ) + O(ε) ,
⎧2
G1 ( z ) = C exp⎨ 2
⎩ε
то (44) можно записать в виде
dz (τ) = (R( z )V ( z ) E )dτ + εL( z )dw(τ) + O(ε 2 ) ,
R ( x )V ( x) E ⎫
dx ⎬ ,
L( x)
−∞
⎭
z
∫
откуда получим вид стационарной плотности распределения G (z ) :
которое с точностью до o(ε) совпадает с уравнением
(43). Теорема доказана.
Из уравнения (43) нетрудно получить, что плотность G ( z , τ) распределения вероятностей значений
процесса z (τ) удовлетворяет уравнению Фоккера–
Планка вида
G( z ) =
⎧2
C
exp⎨ 2
L( z )
⎩ε
R( x)V ( x) E ⎫
dx ⎬ ,
L( x)
−∞
⎭
z
∫
(46)
где константа C определяется условием нормировки
∞
∂G ( z , τ)
∂
= − {(R ( z )V ( z ) E )G ( z , τ)} +
∂τ
∂z
ε2 ∂2
+
{L( z )G ( z, τ)} .
2 ∂z 2
∫ G ( z )dz = 1 .
−∞
Если для процесса z (τ) существует стационарный
режим, то стационарное распределение G ( z , τ) = G ( z )
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению
ε2
(L( z )G ( z ))″ − (R( z )V ( z ) EG ( z ))′ = 0 ,
2
2 R ( z )V ( z ) E
G1 ( z ) ,
L( z )
ε2
(45)
Таким образом, в (46) получена основная вероятностная характеристика рассматриваемых неустойчивой
сети связи со статическими протоколами случайного
множественного доступа, так как G (z ) является плотностью распределения вероятностей процесса z (τ) ,
аппроксимирующего ε 2 i (t / ε 2 ) – нормированное число
заявок в ИПВ. Используя полученную характеристику,
можно определить все интересующие нас основные
вероятностно-временные характеристики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2004. 228 с.
2. Назаров А.А., Цой С.А. Общий подход к исследованию марковских моделей сетей передачи данных, управляемых статическими протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 2004. № 4. С. 73–85.
3. Цой С.А. Применение общего подхода к сравнению функционирования двухканальных сетей случайного множественного доступа // Вестник
Томского государственного университета. Приложение. 2005. № 14. С. 271–274.
4. Колоусов Д.В., Назаров А.А., Цой С.А. Исследование вероятностно-временных характеристик бистабильных сетей случайного доступа //
Автоматика и телемеханика. 2006. № 2. С. 90–105.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.
134
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа