close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Проверка статистических гипотез при использовании полиномиальных решающих правил оптимальных по моментному критерию суммы асимптотических вероятностей ошибок.

код для вставкиСкачать
РАДИОТЕХНИКА
УДК 621.37:621.391
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШАЮЩИХ
ПРАВИЛ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО
МОМЕНТНОМУ КРИТЕРИЮ СУММЫ
АСИМПТОТИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОШИБОК
КУНЧЕНКО Ю.П., ПАЛАГИН В.В.
Рассматриваются вопросы проверки простых статистических гипотез на основе разработки и использования
нового моментного критерия суммы асимптотических
вероятностей ошибок для синтеза полиномиальных нелинейных решающих правил обнаружения постоянного
сигнала на фоне гауссовских помех. Показывается, что
учет нелинейной обработки выборочных значений приводит к уменьшению вероятностей ошибок первого и
второго рода решающих правил по сравнению с линейным решающим правилом, полученным из отношения
правдоподобия для классического критерия суммы вероятностей ошибок.
1. Постановка задачи
Использование хорошо разработанной теории проверки статистических гипотез позволяет эффективно
решать достаточно широкий спектр задач, в том числе
и задачи обнаружения сигналов на фоне помех. Как
известно, в основе теории лежит решающая функция,
представленная в виде сравнения отношения правдоподобия с тем или иным порогом, который выбирается по какому-либо из критериев качества (критерий
Байесса, идеального наблюдателя, Неймана-Пирсона
и т.д.). Такие критерии назовем вероятностными,
так как в их основе лежат вероятности ошибок первого и второго рода решающей функции.
Известно, что в теории вероятностей и математической статистике случайные величины количественно
можно охарактеризовать не только с помощью установления вероятности осуществления того или иного
события, но и с помощью более грубой количественной меры числовых характеристик случайных величин, таких как математическое ожидание, дисперсия
и т.д. [1]. Критерии, основанные на использовании
моментов решающей функции, назовем моментными [2-4].
Несмотря на то, что никаких ограничений не наложено
на использование вероятностных критериев относительно плотностей распределений сигналов и помех,
наиболее широкое распространение получило пост4
роение алгоритмов обнаружения сигналов на фоне
гауссовских помех. Это объясняется тем, что, с одной
стороны, такой вид распределения помех часто распространенный в каналах связи, а с другой – является
удобной математической идеализаций реальных природных процессов. Для негауссовских распределений помеховых ситуаций возникает ряд практических
трудностей, связанных с реализацией таких алгоритмов. В качестве альтернативы разрешению данной
проблемы можно успешно использовать новые моментные критерии качества проверки статистических
гипотез, где получены интересные результаты. Показано, что учет тонкой структуры негауссовской помехи может улучшить качественные показатели обнаружения по сравнению с гауссовской [5-7].
В данной работе представлен другой подход к решению классической задачи обнаружения сигналов на
фоне широко распространенных гауссовских помех
при использовании моментного критерия качества
проверки простых статистических гипотез — критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок,
основанного на моментном и кумулянтном описании
случайных величин. Данный критерий качества также
успешно использовался при построении эффективных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех в указанных работах.
Целью исследования является возможность показать
использование нового моментного критерия суммы
асимптотических вероятностей ошибок для построения высокоэффективных алгоритмов обнаружения
сигналов на фоне гауссовских помех по сравнению с
известными результатами.
2. Свойства стохастических полиномов и
построение моментного критерия суммы
асимптотических вероятностей ошибок
Применение критерия суммы асимптотических вероятностей ошибок основано на главных свойствах
стохастических полиномов, полученных в [8-10]. Как
отмечается в указанных работах, стохастические полиномы обладают множеством замечательных свойств,
которые до настоящего времени в полной мере не
изучены.
Одно из основных свойств заключается в том, что
стохастические полиномы способны уменьшать дисперсию исходной случайной величины [10]. На основе этого свойства будут получены уникальные результаты по улучшению качественных показателей
обнаружителей сигналов.
Другая отличительная особенность стохастических
полиномов состоит в возможности распространения
на них свойств центральной предельной теоремы, в
соответствии с чем появляется возможность обосновать и использовать моментный критерий суммы
асимптотических вероятностей ошибок для построения решающих правил.
Показано [2], что логарифм отношения правдоподобия для одинаково распределенных и n независимых
РИ, 2006, № 3
выборочных значений x v представляется в виде стохастического ряда
Следовательно, существуют такие коэффициенты k iv ,
что решающее правило (РП) для проверки статистических гипотез будет иметь вид
Η1
>
v =1 i =1
<
0
.
Η0
Если использовать не ряд, а полином конечной степени s , то РП в этом случае представляется в виде
Η1
n
s
k 0 + ∑ ∑ k iv x iv
v =1i =1
>
<
0
.
(1)
Η0
в общем виде можно представить как
1 ⎛ 1 n i ⎞
⎜⎜
∑ x v ⎟⎟ .
n ⎝ n v =1 ⎠
Так как математическое ожидание m i = E ( x i ) и дисперсия каждой случайной величины являются конечными величинами, то согласно центральной предельной теореме при n → ∞ вторая сумма (2) при любом
i распределена по нормальному закону. Поскольку в
стохастическом полиноме (2) имеется сумма случайных величин с таким свойством и коэффициентами
k i , не равных бесконечности и не всех равных нулю,
то и в целом выражение (2) при любом значении
степени полинома s асимптотически при n → ∞ также будет распределено по нормальному закону с
математическим ожиданием
s
Если выборочные значения одинаково распределены,
то РП будет отличаться от выражения (1). В этом
случае коэффициенты k i будут независимыми от
номера выборочных значений v . Тогда РП можно
записать в следующем виде:
H1
s
n
>
r
Λ ns (x ) = k 0 + ∑ k i ∑ x iv
0
< .
i =1 v =1
H0
Τ = n ∑ k i mi + k 0
i =1
и дисперсией
s s
G = n ∑ ∑ k i k jFi, j ,
i =1j=1
где Fi, j = E[( x i − m i )( x j − m j )] = m i + j − m i m j .
(2)
Очевидно, что неизвестные коэффициенты РП (2) k 0 ,
k i необходимо находить из условия минимума выбранного вероятностного критерия качества, что сделать в общем случае нельзя. Поэтому чтобы использовать РП для проверки простых статистических гипотез, необходимо так изменить критерии выбора РП,
чтобы они, с одной стороны, были связаны с хорошо
изученными вероятностными критериями, а с другой–
позволяли выразить критерий качества через неопределенные коэффициенты k 0 и k i . Минимизируя такой
критерий по данным коэффициентам, можно найти
сами коэффициенты. Таким условиям удовлетворяют
моментные критерии, а именно критерий суммы асимптотических вероятностей ошибок.
Рассмотрим некоторые асимптотические свойства
стохастических полиномов, в общем случае представленных в виде РП (2).
Пусть имеется последовательность независимых и
одинаково распределенных случайных величин
x1, x 2 , ..., x n , для которых математическое ожидание
Εx n = 0 и дисперсия Εx 2n = 1 . Показано [8], что в
этом случае плотность распределения суммы
РИ, 2006, № 3
v =1
Вторую сумму выражения (2) одинаково распределенных независимых случайных величин в степени i
где k 0 , k iv – коэффициенты такого ряда.
k 0 + ∑ ∑ k iv x iv
n
n
∑ xv
при n → ∞ сходится к гауссовскому распределению
с параметрами N (0,1) .
r
n ∞
Ρ(x Η1 )
ln r
= k 0 + ∑ ∑ k iv x iv ,
Ρ(x Η 0 )
v =1i =1
n ∞
1
xn =
Таким образом, для нахождения коэффициентов РП
(2) можно воспользоваться моментным критерием
суммы асимптотических вероятностей ошибок, который заключается в следующем.
В общем виде синтезированное РП должно быть таким, чтобы минимизировать один из вероятностных
критериев. Пусть критерием качества будет критерий
суммы вероятностей ошибок РП:
R = α +β.
(3)
В общем случае РП (2) необходимо подобрать так,
чтобы данная функция R (3) была минимальной.
r
Так как решающая функция Λ ns (x ) (2) распределена
по нормальному закону, то вероятность ошибок второго рода b при осуществлении гипотезы H1 будет
равна
β=
1
0
⎡
∫ exp ⎢−
2πG1 − ∞
⎢⎣
(x − Τ1 − k 0 )2 ⎤dx
2G1
{
⎥
⎥⎦
,
}
r
r
где T1 = E[Λ ns (x ) / H1 ] , G1= E [Λ ns (x ) − T1 ]2 / H1 .
5
Произведя замену переменных
x − Τ1 − k 0
= z , полу-
G10.5
чим, что вероятность ошибок второго рода b будет
иметь вид
G10.5 V1
β=
⎡ z2 ⎤
∫ exp ⎢− 2 ⎥dz ,
2πG1 − ∞
⎢⎣
⎥⎦
−Τ1 − k 0
где V1 =
.
G10.5
Аналогично, вероятность ошибок РП первого рода α
при осуществлении гипотезы H0 будет равна
⎡ (x − Τ − k )2 ⎤
0
0
exp
⎥dx ,
∫ ⎢−
2
G
2πG 0 0
0
⎣⎢
⎦⎥
r
r
где T0 = E[Λ ns (x ) / H 0 ] , G1= E{[ Λ ns ( x ) − T1 ]2 / H1} .
∞
1
α=
После замены переменных получим
α=
где V0 =
−Τ0 − k 0
G 00.5
∞
H i , i = 0,1 , то он примет вид
.
Используя полученные выражения, легко найти асимптотическое значение вероятностного критерия (3),
который в общем виде запишется как
R (α, β) ≈
V1
⎛ − z2 ⎞
⎛ 2⎞ ⎤
1 ⎡∞
⎟dz + ∫ exp⎜ − z ⎟dz ⎥
⎢ ∫ exp⎜
⎜ 2 ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎥ . (4)
2π ⎢⎣V0
−∞
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎦
Для оптимального решающего правила (2) константа k 0 должна быть такой, чтобы выбранный критерий
качества (4) принимал минимальное значение. Показано, что константа k 0 , которая минимизирует R (α, β) ,
имеет вид
k0 = −
Τ1G 00,5 + Τ0G10,5
G 00,5 + G10,5
.
(5)
Для этой константы пределы интегрирования V0 и V1
равны
V0 = Yu −0,5 , V1 = −Yu −0,5 ,
(G 0.5 + G 10.5 ) 2
r
Yu [Λ ns ( x )] = 0
.
(Τ1 − Τ0 ) 2
s s
[( ∑ ∑ k i k j F(i, j) (H 0
Yusn =
i =1 j=1
1
)) 2
s s
+ ( ∑ ∑ k i k j F(i, j) (H1
i =1 j=1
1
)) 2 ] 2
.
s
n( ∑ k i (m i − u i )) 2
i =1
Дифференцируя этот функционал по ki легко показать, что система уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов ki будет иметь вид
s
1
∑ k j [(1 + r )Fij (H 0 ) + (1 + )Fij (H1 )] = m i − u i , (7)
r
j=1
где i = 1, s,
r = (G 1 G 0 ) 0.5 ,
s s
G 0 = n ∑ ∑ k i k j Fij ( H 0 ) ,
i =1 j=1
s s
G1 = n ∑ ∑ k i k j Fij (H1 ) ,
i =1 j=1
где
Fij (H 0 ) = u i+ j − u i u j , Fij (H1 ) = m i + j − m i m j ,
(6)
Из (4) и (6) видно, что значение вероятностного
критерия R (α, β) зависит только от функционала Yu ,
причем чем меньше это значение, тем меньше вероятности ошибок первого и второго рода РП, а следовательно, меньше значение критерия R (α, β) . Но так
как G i и Ti (i = 0, 1) являются функционалом от РП,
то Yu в конечном итоге также является функционаr
лом от РП. Поэтому функционал Yu [ Λ ns ( x )] будем
6
Данный критерий имеет ясный физический смысл. В
качестве оптимальной решающей функции берется та,
для которой расстояние между математическими ожиданиями T0 , T1 решающей функции при гипотезах
H 0 и H1 наибольшее, а дисперсии G 0 , G1 при этом
минимальные. Полученный критерий тесно связан с
вероятностными критериями, в частности с (3).
Показано, что неопределенные коэффициенты k i находятся из минимума функционала (6). Если в данный
функционал подставить выражения для математического ожидания Ti и дисперсии G i РП при гипотезе
⎡ z2 ⎤
∫ exp ⎢− 2 ⎥dz ,
2πG 0 V0
⎣⎢
⎦⎥
G 00.5
считать критерием качества выбора решающих
правил.
r
Определение 1. Примем функционал Yu [Λ ns ( x )]
за критерий качества выбора решающих правил вида
(2) и будем считать наилучшим то правило, которое
при k 0 , равном (5), минимизирует по всем возможным выборочным значениям функционал
r
Yu [Λ ns ( x )] . Этот критерий будем называть моментным критерием суммы асимптотических вероятностей ошибок.
u i , mi – начальные моменты случайной величины x
при гипотезе H0 и альтернативе H1 соответственно.
При этом математическое ожидание РП общего вида
(2) при гипотезе и альтернативе имеет вид
s
s
i =1
i =1
T0 = n ∑ k i u i , T1 = n ∑ k i m i .
Некоторые свойства, характерные для коэффициентов ki стохастического полинома общего вида (2),
приведены ниже.
РИ, 2006, № 3
Свойство 1. Для коэффициентов k i , найденных из
решения системы уравнений (7), имеет место равенство
там обработки необходимо вынести решение о принятии гипотезы H1 , когда наблюдается полезный сигнал
n n
1
I Yusn = n ∑ ∑ k j k i [Fi, j (H 0 )[1 + r] + Fi, j (H1 )[1 + ]] =
r
j=1i=1
H 0 , когда принимается только помеха ξ = η с гауссовским законом распределения.
n
= n ∑ k i (m i − u i ) .
i =1
(8)
При этом минимальное значение моментного критерия Yu sn (6) является обратной величиной, определенной из (8), или
1
Yu sn min =
.
I Yusn
Определение 2. Величину Ι Yusn возьмем за количество извлекаемой информации из выборки x v объемом n о различии гипотез H 0 и H 1 с помощью РП в
виде стохастических полиномов степени s , размерности n и оптимальных по моментному критерию
суммы асимптотических вероятностей ошибок.
Согласно выражениям, определяющим математическое ожидание и дисперсию РП при гипотезе и альтернативе, выражение (8) можно записать в виде
G
G
G 0 [1 + ( 1 ) 0.5 ] + G 1[1 + ( 0 ) 0.5 ] = T1 − T0 .
G0
G1
После алгебраических преобразований легко показать, что выражение (8) имеет вид
Ι Yusn = [G 00.5 + G 10.5 ] 2 = Τ1 − Τ0 .
(9)
Свойство 2. Для коэффициентов k i , найденных из
решения системы уравнений (8), имеет место неравенство
s
I Yusn = ∑ k i (m i − u i ) ≥ 0 .
i =1
вида ξ = a + η , либо решение о принятии гипотезы
Для построения РП воспользуемся моментным критерием суммы асимптотических вероятностей ошибок
(6).
В качестве априорной информации о представлении
гипотез H 0 и H1 воспользуемся моментным описанием случайных величин [8, 11]. При рассмотрении
бесконечного числа таких моментов можно как угодно точно приблизиться к полному описанию представления гипотез H 0 и H1 . С практической точки зрения
целесообразно использовать конечное число моментов. Учитывая данную постановку задачи, когда принимается полезный сигнал на фоне гауссовской помехи, в начальных моментах при гипотезе и альтернативе будут фигурировать только дисперсия помехи
χ 2 и параметр q = a 2 / χ 2 , характеризующий отно-
шение сигнал/шум по мощности. Кумулянтные коэффициенты третьего и выше порядков (коэффициенты
асимметрии, эксцесса и т.д.) будут равняться нулю.
Рассмотрим построение нелинейных РП до степени
полинома s = 6 . При такой постановке задачи необходимо описать начальные моменты до 12 порядка при
гипотезе и альтернативе.
Начальные моменты принимаемой случайной величины ξ при гипотезе H 0 имеют вид
u1 = 0 , u 2 = χ 2 , u 3 = 0 , u 4 = 3χ 22 ,
u 5 = 0 , u 6 = 15χ 32 , u 7 = 0 , u 8 = 105χ 42 , u 9 = 0 ,
u10 = 945χ 52 , u11 = 0 , u12 = 10395χ 62 ,
где χ 2 – дисперсия гауссовской помехи.
При гипотезе H1 начальные моменты имеют вид
На основе приведенного моментного критерия суммы
асимптотических вероятностей ошибок приведем построение РП для проверки простой статистической
гипотезы о принятии решения наличия постоянной
величины a или случайной величины η .
m1 = χ12 2q1 2 , m 2 = χ 2 (1 + q) ,
3. Построение оптимальных решающих правил
по моментному критерию суммы
асимптотических вероятностей ошибок
m 5 = χ 2 (q 5 2 + 10q 3 2 + 15q1 2 ) ,
Пусть на входе системы наблюдается случайный сигнал ξ в виде аддитивной смеси полезного постоянного сигнала a и помехи η с нулевым математическим
ожиданием, которая распределена по гауссовскому
закону ξ = a + η .
72
m 7 = χ 2 (q 7 2 + 21q 5 2 + 105q 3 2 + 105q1 2 ) ,
Допустим, что из случайного сигнала ξ произведена
r
выборка x = {x 1 , x 2 ,...x n } объемом n . По результаРИ, 2006, № 3
32
m 3 = χ 2 (q 3 2 + 3q1 2 ) ,
m 4 = χ 22 (q 2 + 6q + 3) ,
52
m 6 = χ 32 (q 3 + 15q 2 + 45q + 15) ,
m 8 = χ 42 (q 4 + 28q 3 + 210q 2 + 420q + 105) ,
92
m 9 = χ 2 (q 9 2 + 36q 7 2 + 378q 5 2 +
+ 1260q 3 2 + 945q1 2 ) ,
m10 = χ 52 (q 5 + 45q 4 + 630q 3 + 3150q 2 +
7
+ 4725q + 945) ,
11 2
m11 = χ 2
(q11 2 + 55q 9 2 + 990q 7 2 +
32
F1, 2 (H1 ) = F2,1 (H1 ) = 2χ 2 q1 2 ,
+ 6930q 5 2 + 17325q 3 2 + 10395q1 2 ) ,
F1,3 ( H1 ) = F3,1 (H1 ) = 3χ 22 (1 + q ) ,
m12 = χ 62 (q 6 + 66q 5 + 1485q 4 + 13860q 3 +
F1, 4 (H1 ) = F4,1 (H1 ) = 4χ 2 (3q1 2 + q 3 2 ) ,
+ 51975q 2 + 62370q + 10395) ,
F1,5 ( H1 ) = F5,1 (H1 ) = 5χ 32 (3 + 6q + q 2 ) ,
a2
где q =
– отношение сигнал/шум по мощности.
χ2
Корреляты размером (i, j) , в данном случае при
степени полинома РП s = 6 , получаются размерностью (6,6). При гипотезе H 0 определяются как
Fi, j (H 0 ) = u i + j − u i u j и имеют вид
F1,1 ( H 0 ) = χ 2 ,
F1,2 (H 0 ) = F2,1 ( H 0 ) = 0 ,
F1,3 (H 0 ) = F3,1 (H 0 ) = 3χ 22 ,
F1, 4 (H 0 ) = F4,1 (H 0 ) = 0 ,
F1,5 ( H 0 ) = F5,1 (H 0 ) = 15χ 32 ,
F1,6 (H 0 ) = F6,1 (H 0 ) = 0 ,
F2, 2 (H 0 ) = 2χ 22 ,
F2,3 (H 0 ) = F3, 2 (H 0 ) = 0 ,
F2, 4 ( H 0 ) = F4, 2 ( H 0 ) = 12χ 32 ,
F2,5 (H 0 ) = F5, 2 ( H 0 ) = 0 ,
F2,6 (H 0 ) = F6,2 (H 0 ) = 90χ 42 ,
F3,3 (H 0 ) = 15χ 32 ,
F3,4 (H 0 ) = F4,3 (H 0 ) = 0 ,
F3,5 (H 0 ) = F5,3 (H 0 ) = 105χ 42 ,
F3,6 ( H 0 ) = F6,3 ( H 0 ) = 0 ,
F4, 4 (H 0 ) = 96χ 42 ,
F4,5 (H 0 ) = F5, 4 ( H 0 ) = 0 ,
F4,6 (H 0 ) = F6, 4 (H 0 ) = 900χ 52 ,
F5,5 (H 0 ) = 945χ 52 ,
F5,6 (H 0 ) = F6,5 (H 0 ) = 0 ,
F6,6 (H 0 ) = 10170χ 62 .
Аналогично, корреляты размером (6,6) при гипотезе
H1 определяются в виде Fi, j ( H1 ) = m i + j − m i m j . В
этом случае
8
F1,1 (H1 ) = χ 2 ,
52
72
F1,6 (H1 ) = F6,1 (H1 ) = 6χ 2 (15q1 2 + 10q 3 2 + q 5 2 ),
F2, 2 (H1 ) = 2χ 22 (1 + 2q ) ,
52
F2,3 (H1 ) = F3,2 (H1 ) = 6χ 2 (2q1 2 + q 3 2 ) ,
F2, 4 (H1 ) = F4, 2 (H1 ) = 4χ 32 (3 + 9q + 2q 2 ) ,
72
F2,5 (H1 ) = F5, 2 (H1 ) = 10χ 2 (9q1 2 + 8q 3 2 + q 5 2 ),
F2,6 (H1 ) = F6, 2 (H1 ) = 6χ 42 (15 + 60q + 25q 2 + 2q 3 ),
F3,3 ( H1 ) = 3χ 32 (5 + 12q + 3q 2 ) ,
72
F3,4 (H1 ) = F4,3 (H1 ) = 12χ 2 (8q1 2 + 7q 3 2 + q 5 2 ),
F3,5 ( H1 ) = F5,3 (H1 ) = 15χ 42 (7 + 25q + 11q 2 + q 3 ) ,
92
F3,6 ( H1 ) = F6,3 (H1 ) = 6χ 2 (150q1 2 +
+ 185q 3 2 + 48q 5 2 + 3q 7 2 ) ,
F4, 4 (H1 ) = 8χ 42 (12 + 48q + 21q 2 + 2q 3 ) ,
92
F4,5 (H1 ) = F5,4 (H1 ) = 20χ 2 ( 45q1 2 +
+ 57q 3 2 + 15q 5 2 + q 7 2 ) ,
F4,6 (H1 ) = F64 (H1 ) = 12χ 52 (75 + 375q +
+ 235q 2 + 41q 3 + 2q 4 ) ,
F5,5 (H1 ) = 5χ 52 (189 + 900q + 570q 2 +
+ 100q 3 + 5q 4 ) ,
11 2
F5,6 (H1 ) = F6,5 (H1 ) = 30χ 2
(339q1 2 +
+ 550q 3 2 + 208q 5 2 + 26q 7 2 + q 9 2 ) ,
F6,6 (H1 ) = 6χ 62 (1695 + 10170q + 8250q 2 + .
+ 2080q 3 + 195q 4 + 6q 5 ) .
В приведенных соотношениях фигурируют параметры, которые характерны только для гауссовских случайных величин. Для таких величин отличными от
нуля могут быть только математическое ожидание и
дисперсия, а кумулянты высших порядков равны
нулю.
На основании приведенной априорной информации,
которая характеризует и описывает поведение гауссовских случайных величин, ниже приведены РП
проверки статистических гипотез на основе использования стохастического полинома вида (2).
РИ, 2006, № 3
Пусть при осуществлении гипотезы H1 принимается n выборочных одинаково распределенных незавиr
симых значений x = {x 1 , x 2 ,..., x n } , имеющих вид
Легко показать, что сумма асимптотических вероятностей ошибок первого и второго рода линейного РП
(11) определяется согласно выражению (4) и имеет
вид
x v = a + η , v = 1, n , а при осуществлении гипотезы
H 0 – x v = η , v = 1, n .
Так как выборочные значения одинаково распределены как при гипотезе H 0 , так и при гипотезе H1 , то
легко показать, что РП (2) при степени полинома s=1
имеет линейный вид
Η1
>
r
0
Λ ( x )1n = k 1 ∑ x v + k 0
< .
v =1
n
(10)
Η0
Неизвестные коэффициенты данного РП находятся из
минимума приведенного выше критерия (6). Соответствующие выражения для математического ожидания
и дисперсии линейного РП (10) запишутся в виде
T0(sn ) = nk 1u1 = 0 , G 0(sn ) = nk12 χ 2 ,
T1(sn ) = nk1m1 = nk1a , G1(sn ) = nk12 χ 2 .
Показано, что неизвестный коэффициент k 1 находится из системы уравнений (7) и имеет вид
k1 =
q1 / 2
4χ12/ 2
.
Коэффициент k 0 , выполняющий роль порога РП,
имеет вид согласно выражению (5)
T
nk a
k0 = − 1 = − 1 .
2
2
Таким образом, линейное РП (10) запишется в окончательном виде как
Η1
r
a >
1 n
0.
Λ ( x )1n = ∑ x v −
2 <
n v =1
Η0
(11)
Необходимо отметить, что полученное линейное РП
(11) эквивалентно правилу, полученному из отношения правдоподобия по вероятностному критерию суммы вероятностей ошибок РП в предположении, что
рассматривается аддитивная модель принимаемого
полезного постоянного сигнала a на фоне гауссовских помех. Таким образом, показана тесная связь
моментного критерия (6) с вероятностным критерием.
Количество извлекаемой информации о различии гипотез определяется из (9) и имеет вид
Ι1n = n
РИ, 2006, № 3
q
.
4
(12)
R(α, β)1 ≈
∞
− nq
2
−z
− z2
[ ∫ exp(
)dz + ∫ exp(
)dz]
.
2
2
2π nq
−∞
1
2
2
Таким образом, видно, что с увеличением количества
выборочных значений n и отношения сигнал/шум q
сумма асимптотических вероятностей ошибок первого и второго рода уменьшается. Данное выражение
совпадает с выражением, которое характеризует вероятности ошибок линейного РП, полученного из
отношения правдоподобия в предположении приема
аддитивной смеси полезного постоянного сигнала и
гауссовской помехи.
Показано, что при увеличении степени полинома РП
(2) до s=2 при данной постановке задачи также получаем линейное РП вида (11) с теми же характеристиками вероятностей ошибок, при этом коэффициент РП
k 2 = 0 . Таким образом, никакой новой информации
о различии гипотез из выборочных значений не извлекается.
При увеличении степени полинома РП (2) до s=3 и s=4
получим другой результат, при котором наблюдаются
одинаковые коэффициенты РП при s = 3,4 , причем
при s = 4 коэффициент k 4 = 0 .
Показано, что согласно выражению (2) с учетом
определения коэффициента k 0 (5), при степени полинома s = 3,4 РП имеет окончательный вид:
q (1 + q ) n
r
q2 n 2
Λ(x )3, 4n =
∑ xv +
∑xv −
8nχ 2 v=1
n χ 2 v =1
Η1
q 3 2 n 3 q (24 + 24q + q 2 ) >
−
0
∑ xv −
< . (13)
48
12nχ32 2 v =1
Η0
Полученное РП принципиально отличается от хорошо
изученного линейного РП (11) и предполагает нелинейную обработку выборочных значений x v .
Показано, что количество извлекаемой информации о
различии гипотез для данного РП (13), согласно (9),
имеет вид
I 3 _ 4, n =
nq(24 + 18a + q 2 )
.
96 + 72q
(14)
Так же как и для линейного РП (11), найдена сумма
асимптотических вероятностей ошибок первого и второго рода синтезированного нелинейного РП (13).
9
Количественное значение данного выражения определяется согласно (4) и с учетом того, что в предел
интегрирования входит величина критерия Yu, которая обратно пропорциональна количеству извлекаемой информации о различии гипотез для РП вида (14).
Тогда выражение (14) примет следующий вид:
1
R (α, β)3 _ 4 ≈
+
2π
∞
∫
[
I3 _ 4,n
− I3 _ 4,n
∫
exp(
exp(
−∞
− z2
)dz +
2
− z2
)dz] .
2
+
v =1
v =1
Η1
>
+ C ∑ x 3v + D ∑ x 4v + E ∑ x 5v + F 0
< ,
v =1
v =1
v =1
Η0
n
n
(15)
где
q (192 + 432q + 264q 2 + 23q 3 − q 4 )
n χ2
B=
C=−
D=
2
,
q (24 + 54q + 7q )
,
nχ 2
q 3 2 (48 + 108q + 6q 2 − q 3 )
,
32
3nχ 2
2nχ 22
, E=
q 5 2 (8 + q )
52
5nχ 2
,
1
F = − q(5760 + 12960q + 8160q 2 +
6
+ 1230q 3 + 48q 4 + q 5 ) .
Легко показать, что количество извлекаемой информации о различии гипотез для РП (15) имеет вид
I 5 _ 6, n =
10
(
nq ⋅ M
480 48 + 96q + 45q 2 + 5q 3
2π
),
[
∞
∫
I5 _ 6 , n
− I5 _ 6,n
∫
exp(
exp(
− z2
)dz +
2
− z2
)dz] .
2
Для оценки количественных показателей нелинейных
РП вида (13) и (15) по сравнению с линейным РП (11)
были проведены исследования, позволяющие сравнить количество извлекаемой информации о различии
гипотез для линейного и нелинейных РП. Получены
принципиально новые результаты. Из рисунка видно,
что отношение количества извлекаемой информации
при степени полинома РП s=1 (11) к количеству
извлекаемой информации РП при степени полинома
s=2 от отношения сигнал/шум q дает значение 1, что
свидетельствует об их одинаковых значениях. При
дальнейшем увеличении степени полинома РП s=3,4 и
s=5,6 наблюдается увеличение количества извлекаемой информации о различии гипотез (14), (16) по
сравнению с количеством извлекаемой информации
для линейного РП (12). Такое увеличение характеризуется спадом кривых на рис.1 и соответственно
улучшением характеристик нелинейных РП при степени полинома s=3,4 (13) и s=5,6 (15) по сравнению
с линейным РП.
Как известно, одним из важных показателей синтезированных РП являются вероятности ошибок первого и второго рода. Отношение суммы асимптотических вероятностей ошибок для линейного РП при степени полинома s=1 совпадает с данной величиной при
степени полинома s=2. Таким образом, нелинейная
квадратичная обработка выборочных значений не дает
новых результатов. Однако с увеличением степени
полинома РП до s=3,4 сумма асимптотических вероятностей ошибок уменьшается по сравнению с линейным РП, что соответствует убывающей кривой. Дальнейшее увеличение нелинейной обработки выборочных значений (s=5,6) улучшает данный показатель.
При отношении сигнал/шум порядка q=1 сумма асимптотических вероятностей ошибок уменьшается приблизительно в 2 раза по сравнению с суммой вероятностей ошибок для линейного РП.
2
q 3 (8 + q )
1
−∞
n
n
r
Λ ( x ) 5 _ 6,n = A ∑ x v + B ∑ x 2v +
A=
Качественные показатели полученного нелинейного
РП (15) также характеризуются асимптотическими
вероятностями ошибок первого и второго рода. Проведя аналогичные рассуждения, можем записать
R (α, β )5 _ 6 ≈
При дальнейшем увеличении степени полинома РП
до s = 5 и s = 6 получен аналогичный результат, при
котором коэффициенты РП будут одинаковы, причем
при s = 6 коэффициент k 6 = 0 . В этом случае РП
примет следующий вид:
n
где M = 5760 + 11520q + 5640q 2 + 900q 3 + 48q 4 + q 5 .
(16)
Выводы
В результате проведенных исследований было показано использование нового моментного критерия качества проверки простых статистических гипотез,
который тесно связан с хорошо известными вероятностными критериями. На основе моментно-кумулянРИ, 2006, № 3
тного описания случайных величин и использования
стохастических полиномов высших порядков в качестве РП, оптимальные коэффициенты которых определяются по критерию суммы асимптотических вероятностей ошибок, были получены принципиально новые результаты. Синтезированы новые нелинейные
РП с лучшими качественными характеристиками по
сравнению с линейным РП, которое является оптимальным по вероятностному критерию суммы вероятностей ошибок. В качестве сравнительных показателей использовалась сумма вероятностей ошибок различных РП. Результаты исследований показали, что
на основе использования свойств стохастических
полиномов и нелинейной обработке выборочных значений принимаемого полезного постоянного сигнала
на фоне гауссовских помех уменьшаются вероятности ошибок нелинейных РП, а следовательно, увеличивается их эффективность.
Полученные результаты могут найти широкое применение в различных прикладных областях, где решаются вопросы проверки гипотез при использовании
гауссовских моделей помех.
Литература: 1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1979. 376 с. 2. Кунченко Ю.П., Палагин В.В. Критерий
асимптотической нормальности проверки простых статистических гипотез // Труды УНИИРТ, №3. Одесса. 1998.
С. 66-70. 3. Kunchenko Y.P. A Moment Performance Criterion
of a Decision Making for Testing Simple Statistical Hypothesis
// IEEE, International Symposium on Information Theory,
Ulm, Germany, June-July, 1997. 407 р. 4. Кунченко Ю.П.,
Палагин В.В. Построение моментного критерия качества
типа Неймана-Пирсона для проверки простых статистических гипотез //Вісник ІАУ, 2005. №1. С.26-30. 5. Палагин
В.В. Разработка алгоритмов обнаружения радиосигналов на фоне негауссовских помех //Праці УНДІРТ, №3,
РИ, 2006, № 3
Одеса. 1998. С.82-85. 6. Кунченко Ю.П., Палагин В.В. Построение эффективных обнаружителей постоянных сигналов на фоне негауссовских мультипликативных помех
//Міжнародний радіофорум 2002, Харків, частина 1. С.108111. 7. Палагин В.В. Исследование нелинейных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне негауссовских помех
по моментному критерию типа Неймана-Пирсона. 2-й
Международный радиоэлектронный форум «Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития.» МРФ-2005. Том 4. «Телекоммуникационные технологии и сети». Харьков: АНПРЭ, ХНУРЭ. С. 216-219. 8.
Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайным величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок параметров. Черкассы, 2001. 133с. 9. Kunchenko
Yuriy. Polynomial Parameter Estimations of Close to Gaussian
Random variables/ Yuriy Kunchenko. Germany, Aachen:
Shaker Verlag, 2002. 396 p. 10. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы. К.: Наук. думка, 2006. 275с. 11. Кунченко
Ю.П., Палагин В.В., Куринной А.А. Моделирование нелинейных алгоритмов обнаружения постоянных сигналов на
фоне гауссовских помех по критерию верхней границы
среднего риска. Вісник ЧДТУ №4, 2004. С.39-40.
Рецензент: д-р техн. наук, проф. А.А.Златкин
Кунченко Юрий Петрович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники Черкасского
государственного технологического университета. Научные интересы: нелинейная обработка сигналов при
негауссовских помехах. Адрес: Украина, 18006, Черкассы, бул. Шевченко, 460.
тел./факс – (0472)435171, E-mail: ykunchen@chiti.uch.net
Палагин Владимир Васильевич, канд. техн. наук, доцент
кафедры радиотехники Черкасского государственного
технологического университета. Научные интересы: нелинейная обработка сигналов при негауссовских помехах. Адрес: Украина, 18006, Черкассы, бул. Шевченко, 460.
тел./факс – (0472)435171, E-mail: palagin@chiti.uch.net
11
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа