close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Декабрь
№ 293
2006
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.2
О.Н. Галажинская
ПРОДАЖА ТОВАРА НЕТЕРПЕЛИВЫМ ПРОДАВЦОМ
ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕНЫ
Рассматривается продажа одиночного товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены, когда длительность
фазы поддержания цены на одном уровне зависит от числа пришедших покупателей.
Теория микроструктуры рынка является в настоящее время одним из самых бурно развивающихся разделов финансовой математики [1]. В ней рассматриваются рынок, состоящий из «нетерпеливых» продавцов и покупателей, и процессы изменения цены на таком рынке.
Очевидно, что R( S ) есть монотонно убывающая
функция.
Исследуем основные характеристики этой модели.
Распределение номера продажной фазы
Описание модели
В работе рассматривается продажа единичного товара (например, объекта недвижимости) нетерпеливым
продавцом, модель поведения которого следующая.
Пусть в момент начала продажи устанавливается
цена S1 . Продавец ждет, пока за товаром не обратится
m1 потенциальный покупатель. Если товар будет продан – процесс закончен. Если из пришедших m1 никто
товар не купил, то устанавливается цена S2 , которая
Обозначим через Pi безусловную вероятность того,
что при нахождении на i-й фазе товар не будет куплен.
Так как покупатели независимы, то
Pi = (1 − Ri ) i .
m
Пусть Qn есть вероятность того, что товар будет
куплен на п-й фазе. Это означает, что он не будет куплен на фазах с номерами 1, 2, 3, …, n − 1 . Поэтому
держится на m2 потенциальных покупателях. Если
товар будет продан – процесс закончен, если нет – устанавливается цена S3 , которая держится на m3 потенциальных покупателях и т.д. Этот процесс может быть
пояснен рис. 1.
Qn = P1 P2 P3 K Pn −1 (1 − Pn ) =
n −1
(
)
= ∏ (1 − Ri ) mi ⋅ 1 − (1 − Rn ) mn .
i =1
0
При этом считается, что
S
(1)
∏ (1 − R )
i
i =1
mi
(2)
= 1.
Проверим выполнение условия нормировки. Имеем
S1, m1
N
∑Q
n =1
S2, m2
n
1
2
⎛
⎞ ⎛ 1
⎞
= ⎜ 1 − ∏ Pi ⎟ + ⎜ ∏ Pi − ∏ Pi ⎟ +
i =1
i =1
⎝
⎠ ⎝ i =1
⎠
3
⎛ 2
⎞
+ ⎜ ∏ Pi − ∏ Pi ⎟ + ...
⎝ i =1
⎠
i =1
N −1
N
N
⎛
⎞
... + ⎜ ∏ Pi − ∏ Pi ⎟ = 1 − ∏ Pi
⎝ i =1
⎠
i =1
i =1
S3, m3
S4, m4
t
и поэтому
∞
Рис. 1
∑Q
n =1
Будем считать поток потенциальных покупателей
пуассоновским потоком постоянной интенсивности λ.
На п-й фазе покупатель купит товар с вероятностью
Rn = R ( Sn ) , где R( S ) – некоторая функция от цены S.
n
∞
= 1 − ∏ Pi .
(3)
i =1
В дальнейшем будем считать, что
∞
N
∏ P = lim ∏ P = 0 .
i =1
i
N →∞
i =1
i
(4)
5
В этом случае товар будет продан с вероятностью 1.
Запишем это условие в несколько другой форме.
∞
Условие
∏ P = 0 эквивалентно условию [2]:
i =1
i
∞
∑ ln P = −∞ ,
купил k-й. Вероятность такой комбинации равна
(1 − R) k −1 R . Так как мы выставили дополнительное условие – товар куплен на этой фазе, то условная вероятность покупки его k-м покупателем при условии, что
товар куплен, равна
i
i =1
что может быть записано так:
πk =
(1 − R) k −1 R
,
1 − (1 − R) m
(8)
∞
∑ m ln(1 − R ) = −∞ .
i =1
i
(5)
i
так как вероятность покупки равна 1 − (1 − R )m .
m
Это условие более простое для проверки.
Обычно при i → ∞ Ri → 1 . Так как lim(1 − R) = −∞ ,
R →1
то условие lim Ri = 1 является достаточным условием
i →∞
расходимости ряда (5) и продажи товара с вероятностью 1.
Характеристики продажной цены
Если товар будет продан на п-й фазе, то продажная
цена будет равна Sn . Поэтому продажная цена Se есть
дискретная случайная величина, принимающая значения Sn с вероятностями Qn :
P{Se = Sn } = Qn , n = 1, ∞ .
(6)
Легко проверить, что
k =1
m
R ∑ (1 − R) k −1 = R
k =1
m
n =1
i =1
m
k
1
M {τ1} = ∑ πk = ⋅ k =1
.
λ 1 − (1 − R) m
k =1 λ
M {Se2 } = ∑ S n2 Qn =
n =1
∞
n −1
n =1
i =1
= ∑ Sn2 ∏ (1 − Ri ) mi [1 − (1 − Rn ) mn ],
k −1
=
1 − a m +1 − (m + 1)a m (1 − a)
,
(1 − a) 2
поэтому
m
R ∑ k (1 − R )k =
k =1
1 − (1 − R )m +1 − (m + 1) R(1 − R) m
=R
.
R2
(10)
Обозначим
и
D{S e } = M {S e2 } − M 2 {S e } .
(9)
Однако в соответствии с [5]:
k =1
∞
= 1.
m
∑ ka
(7)
k
R ∑ k (1 − R) k
∞
= ∑ Sn ∏ (1 − Ri )mi [1 − (1 − Rn ) mn ],
= 1 . Действительно,
Найдем теперь условную среднюю длительность τ1
периода времени от начала фазы до момента покупки
при условии, что товар будет куплен. Так как среднее
значение интервала времени между приходами покупателей для пуассоновского потока равно 1 λ [3, 4], то
M {Se } = ∑ S n Qn =
n =1
∑π
k =1
m
n −1
k
1 − (1 − R )m
= 1 − (1 − R) m ,
1 − (1 − R)
откуда и следует, что
Отсюда
∞
∑π
ϕ( R, m) =
1 − (1 − R) m +1 − (m + 1) R (1 − R )m
,
R
(11)
1 ϕ( R, m)
.
⋅
λ 1 − (1 − R) m
(12)
тогда получаем
Среднее время до продажи товара
Прежде чем выводить формулу для среднего времени до продажи товара, рассмотрим один вспомогательный результат.
Пусть фаза характеризуется величинами R (вероятность покупки) и m (максимально возможное число
потенциальных покупателей). Найдем условное распределение номера покупателя, купившего товар, при
условии, что он будет куплен на этой фазе.
Пусть товар купил покупатель k-й по счету. Это означает, что первые k − 1 покупателей его не купили, а
6
M {τ1} =
Обозначим теперь через τ длительность промежутка
времени, проходящего от начала продажи товара до его
покупки, и пусть τ = M {τ} . Вычислим эту величину.
Пусть товар куплен на п-й фазе. Средняя длительность s-й фазы ( s = 1, n − 1 ), на которой товар не был
продан, равна ms λ , так как на ней пришло ms покупателей. Поэтому средняя длительность времени
до момента покупки при условии, что товар куплен на
п-й фазе, равна
ϕ( Rn , mn )
1 ⎛ n −1
⎜ ∑ ms +
λ ⎝ s =1
1 − (1 − Rn ) mn
⎞
⎟.
⎠
(13)
ψ ( R , m) =
∞
n −1
n =1
i =1
+ ∑ ϕ( Rn , mn )∏ (1 − Ri )mi ,
(17)
Графики этой функции в зависимости от аргумента
т при различных R приведены на рис. 2. Заметим, что
ψ ( R,1) = 1 , а при m → ∞ lim ψ ( R, m) = 1 R .
m →∞
Усредняя по номеру продажной фазы п, получим
∞
⎛ n −1 ⎞ n −1
λM {τ} = ∑ ⎜ ∑ ms ⎟∏ (1 − Ri )mi (1 − (1 − Rn )mn ) +
n =1 ⎝ s =1
⎠ i =1
1 − (1 − R) m
.
R
10
R=0
R = 0.1
R = 0.2
R = 0.3
R = 0.5
R = 0.7
ψ(R, m)
(14)
8
так как в последней сумме сомножитель (1 − (1 − Rn ) mn )
сокращается.
Преобразуем первую сумму. Переставляя местами
суммы, получим
6
4
2
n −1
∞
∑ ∏ (1 − R )
i
n =1 i =1
∞
= ∑ ms
s =1
mi
m
(1 − (1 − Rn ) ) ⋅ ∑ ms =
2
s =1
n −1
∞
n −1
mn
∑ ∏ (1 − R )
i
n = s +1 i =1
mi
∞
n −1
i
n = s +1 i =1
s+ 2
⎛ s +1
+ ⎜ ∏ (1 − Ri ) mi − ∏ (1 − Ri ) mi
⎝ i =1
i =1
⎞
⎟ + ... =
⎠
i =1
Меняя индекс суммирования в окончательной сумме на п, получим
n = s +1 i =1
∞
i
= ∑ mn (1 − Rn )
(1 − (1 − Rn ) ) =
mi
mn
n =1
n −1
∏ (1 − R )
i =1
i
mi
20
∞
n −1
n =1
i =1
(18)
Пусть τ есть промежуток времени, проходящий между моментом выставления товара на продажу и его
покупкой. Введем функцию
(19)
представляющую собой преобразование Лапласа от
плотности вероятностей p(τ) величины τ.
Пусть товар продается на п-й фазе. Обозначим через
ti , i = 1, n − 1 , время пребывания на i-й фазе, на которой
.
∞
n −1
n =1
i =1
λM {τ} = ∑ ⎡⎣ mn (1 − Rn ) mn + ϕ( Rn , mn ) ⎤⎦∏ (1 − Ri ) mi . (15)
товар не был продан, и через τ n величину интервала
времени от начала п-й фазы до момента его продажи
при условии, что товар на п-й фазе продан. Тогда, при
условии, что товар продан на п-й фазе,
τ = t1 + t2 + ... + tn −1 + τn .
Введем функцию
ψ ( R, m) = m(1 − R) m + ϕ( R, m) =
1 − (1 − R )
18
mn
Подставляя это в (14), будем иметь
= m(1 − R) m +
16
G (q ) = M {e − qτ } ,
n −1
∑ m ∑ ∏ (1 − R )
s
14
Плотность вероятностей длительности
продажи товара
s −1
s =1
12
λM {τ} = λτ = ∑ ψ ( Rn , mn )∏ (1 − Ri )mi .
= (1 − Rs )ms ∏ (1 − Ri ) mi .
∞
10
Теперь окончательно выражение для λτ = λM {τ}
можно записать в виде
s +1
⎛ s
⎞
= ⎜ ∏ (1 − Ri ) mi − ∏ (1 − Ri ) mi ⎟ +
i =1
⎝ i =1
⎠
∞
8
Рис. 2
(1 − (1 − Rn )mn ) =
mi
6
(1 − (1 − Rn ) mn ),
но
∑ ∏ (1 − R )
4
m +1
− (m + 1) R(1 − R)
. (16)
R
m
(20)
Вычислим M {exp(−q(t1 + t2 + ... + tn −1 + τn ))} . Учитывая, что приходы покупателей и совершаемые ими покупки независимы, будем иметь
После упрощений получим
7
так что
M {exp(−q(t1 + t2 + ... + tn −1 + τ n ))} =
n −1
= ∏ M {e − qti } ⋅M {e − qτn }.
M {exp(−q(t1 + t2 + ... + tn −1 + τ n ))} =
(21)
i =1
На i-й фазе, где товар не был продан, пришло ровно
mi покупателей. В силу пуассоновости потока плотность вероятностей интервалов τ между их приходами
имеет экспоненциальное распределение p(τ) = λe −λτ ,
преобразование Лапласа от которой имеет вид
λ (q + λ ) . Поэтому
⎛ λ ⎞
M {exp(−qti )} = ⎜
⎟
⎝q+λ⎠
=
Rn λ ⎛ λ ⎞
G (q) = ∑
⋅⎜
⎟
n =1 q + Rn λ ⎝ q + λ ⎠
∞
mi
(22)
⎡
× ⎢1 − (1 − Rn ) mn
⎣⎢
∏ M {e
⎛ λ ⎞∑
i =1
}=⎜
.
⎟
+
λ
q
⎝
⎠
mi
i =1
n
∑m
Обозначим для краткости
i =1
(23)
= M n , считая, по
i
определению, M 0 = 0 . Тогда окончательно
n −1
∏ M {e
i =1
− qti
⎛ λ ⎞
}=⎜
⎟
⎝q+λ⎠
.
Так как произведению изображений соответствует
свертка оригиналов, то
M
τ
Rλ ⎛ λ ⎞
λR ⋅ λ M
⋅⎜
⇔
x M −1e −λx ⋅ e −λR ( τ− x ) dx =
⎟
( M − 1)! ∫0
q + Rλ ⎝ q + λ ⎠
τ
=
=
k
k −1
n
⎠
R λ mn ⎛ λ(1 − Rn ) ⎞
1
⋅ n ∑⎜
⎟
mn
q + λ k =1 ⎝ q + λ ⎠
1 − (1 − Rn )
1
=
1 − (1 − Rn ) mn
=
∑⎜ q + λ ⎟ (1− R )
⎝
=
k −1
⎛ λ(1 − Rn ) ⎞
1− ⎜
⎟
q+λ ⎠
Rλ
⋅ n ⋅ ⎝
λ(1 − Rn )
q+λ
1−
q+λ
=
λ M +1 R −λRτ M −1 −λ (1− R ) x
e
dx =
∫0 x e
( M − 1)!
λ M +1 R −λRτ
1
⋅
e
( M − 1)!
(λ(1 − R )) M
λ (1− R ) τ
∫
z M −1e − z dz =
0
λR
=
Γ( M , λ(1 − R)τ)e−λRτ ,
( M − 1)!(1 − R ) M
(28)
где Γ( M , x) – неполная гамма-функция
mn
x
=
mn
⎤
Rnλ ⎡
1
mn ⎛ λ ⎞
=
⋅
⋅
−
−
R
1
(1
)
⎢
⎜
⎟ ⎥,
n
mn
1 − (1 − Rn ) q + Rn λ ⎢⎣
⎝ q + λ ⎠ ⎥⎦
8
(27)
M
Поэтому
k =1
(26)
⎛ λ ⎞
Rλ
λ M τ M −1 −λτ
e .
⇔ Rλe − Rλτ , ⎜
⎟ ⇔
( M − 1)!
q + Rλ
⎝q+λ⎠
ностей этого временнóго интервала равна ( λ (q + λ ) ) .
⎛ λ ⎞
mn
⎛ λ ⎞ ⎤ n −1
mi
⎜
⎟ ⎥ ⋅ ∏ (1 − Ri ) ,
q
+
λ
⎝
⎠ ⎥⎦ i =1
Имеет место соответствие [6, 7]:
k
Rn
1 − (1 − Rn )mn
×
Rλ ⎛ λ ⎞
⋅⎜
⎟ .
q + Rλ ⎝ q + λ ⎠
(24)
Но раз он был куплен k-м покупателем, то до совершения покупки наступило k событий пуассоновского потока, и преобразование Лапласа от плотности вероят-
M{e−qτn } =
M n−1
M
(1 − Rn )k −1 Rn
.
1 − (1 − Rn )mn
mn
(25)
что и дает окончательный результат (сомножитель
1 − (1 − Rn ) mn сократился с соответствующим сомножителем в Qn ).
Для нахождения p(τ) найдем сначала обратное
преобразование Лапласа от слагаемого вида
M n −1
Вычислим теперь M {e − qτn } . Как уже указывалось
выше, условная вероятность того, что товар будет куплен k-м покупателем при условии, что он вообще продан на п-й фазе, имеет вид
πk =
×
Усредняя по номеру п продажной фазы, получим
n −1
− qti
M n −1
mn
⎡
⎛ λ ⎞ ⎤
× ⎢1 − (1 − Rn ) mn ⎜
⎟ ⎥.
⎢⎣
⎝ q + λ ⎠ ⎥⎦
и
n −1
Rn λ ⎛ λ ⎞
1
⋅
⋅⎜
⎟
1 − (1 − Rn ) mn q + Rn λ ⎝ q + λ ⎠
Γ( M , x) = ∫ z M −1e− z dz .
0
Возвращаясь к (30), получим
∞
⎡
λRn
p(τ) = ∑ e−λRn τ ⎢
Γ(M n −1 , λ(1 − Rn )τ) −
M n−1
n =1
⎣ (M n −1 − 1)!(1 − Rn )
−
n −1
∞
M {Se } − Sm
= ∑ z n (1 − z nm )∏ z im .
SM − Sm
n =1
i =1
⎤ n−1
λRn
⋅ (1− Rn )mn Γ(Mn , λ(1− Rn )τ)⎥ ⋅ ∏(1− Ri )mi ,
Mn
(Mn −1)!(1− Rn )
⎦ i =1
Так как
или, в более кратком виде,
i =1
⎡
λRn
1
e−λRn τ ⎢
Γ(M n −1 , λ(1 − Rn )τ) −
M n−1
(
M
(1
)
R
−
n =1
⎣ n −1 − 1)!
n
∞
p(τ) = ∑
−
n −1
∑i =
⎤ n −1
1
⋅ (1 − Rn ) mn Γ( M n , λ (1 − Rn )τ) ⎥ ⋅ ∏ (1 − Ri ) mi .
( M n − 1)!
⎦ i =1
Заметим, что первый аргумент у гамма-функции
есть целое число. Тогда [8, 9]:
n(n − 1)
, то
2
n ( n −1)
∞
n+
m
M {Se } − Sm
2
= ∑z
(1 − z nm ) = f ( z , m) , (33)
S M − Sm
n =1
и это отношение зависит только от z и т.
Графики зависимости f ( z, m) от z при различных т
приведены на рис. 3. Заметим, что f (0, m) = 0 .
1,0
f (z, m)
m=1
m=2
m=5
m = 10
0,9
0,8
z
⎛ M −1 x s ⎞
1
x M −1e− x dx = 1 − ⎜ ∑ ⎟ e− x ,
∫
( M − 1)! 0
⎝ s=0 s! ⎠
(32)
0,7
0,6
0,5
поэтому
0,4
1
1
Γ(M n−1 , λ(1 − Rn )τ) −
Γ(M n , λ(1 − Rn )τ) =
(M n−1 −1)!
(M n −1)!
= e−λ (1− Rn ) τ
M n −1
(λ(1 − Rn )τ)
s!
s = M n−1
∑
s
0,3
0,2
0,1
z
0,0
0,0
0,2
0,4
и поэтому окончательно
0,8
λRn
×
M n −1
n =1 (1 − Rn )
∞
Находя среднюю длительность продажи товара, получим
⎞ n −1
m
⎟⎟ ∏ (1 − Ri ) i ,
⎠ i =1
(29)
что и дает окончательный результат.
ψ ( Rn , mn ) =
1 − z nm
,
1− zn
n −1
∏ z im = z
n ( n −1)
m
2
i =1
и поэтому
1 − z mn n ( n2−1) m
z
.
n
n =1 1 − z
∞
λτ = ∑
Иллюстративный пример
Рассмотрим случай, когда R( S ) имеет вид
(34)
Графики этой функции приведены на рис. 4.
SM − S
,
SM − Sm
а закон изменения цены – вид
Si = S m + ( S M − S m ) z i , 0 ≤ z < 1 .
Тогда
S M − Si = ( S M − S m )(1 − z i )
и поэтому
Ri = 1 − z i , 1 − Ri = z i , i = 1, ∞ .
R( S ) =
11
10
λτ
m=1
m=2
m=5
m = 10
9
8
7
6
(30)
5
4
Будем считать, что все фазы имеют одинаковую
длину т. Тогда (1 − Ri ) mi = z im . Поэтому
3
2
1
∞
n −1
M {Se } = ∑ ⎡⎣ Sm + ( S M − Sm ) z ⎤⎦ ⋅ ∏ z ⋅ (1 − z ) , (31)
n =1
откуда следует, что
1,0
Рис. 3
p(τ) = e −λτ ∑
⎛ M n −1 (λ(1 − Rn )τ) s
× ⎜⎜ ∑
s!
⎝ s = M n−1
0,6
n
im
nm
0
0,0
z
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
i =1
Рис. 4
9
Оптимизационная задача
Fl =
Рассмотрим задачу на максимизацию функционала
∞
n −1
n =1
i =1
Φ = ∑ ( Sn − K n )(1 − Pn )∏ Pi ,
ml R ′( Sl )
(36)
l −1
)∏ P ,
i =1
(41)
Аналогично,
(1 − R( Sl +1 )) ⎡⎣1 − (1 − R( Sl +1 )) ml +1 ⎤⎦
ml +1 R ′( Sl +1 )
+
+ ( Sl +1 − Kl +1 )(1 − R( Sl +1 )) ml +1 = Fl +1 .
(42)
Можно показать, что имеет место рекуррентное соотношение
i
причем в Pi , i = 1, l − 1 , величины Sl нет. Производная
от этого слагаемого по Sl равна
l −1
⎡⎣1 − (1 − R(Sl ))ml + (Sl − Kl )ml R′(Sl )(1 − R(Sl ))ml −1 ⎤⎦ ∏ Pi .(37)
Fl = ( Sl +1 − Kl +1 ) Pl (1 − Pl +1 ) + Pl Fl +1 .
Это дает нам
(1 − R ( Sl )) ⎡⎣1 − (1 − R( Sl ))ml ⎤⎦
ml R ′( Sl )
i =1
В слагаемых с n > l величина Sl присутствует
только в сомножителе Pl = (1 − R ( Sl )) ml , производная от
которого равна
Pl ′ = −ml R ′( Sl )(1 − R ( Sl )) ml −1 = −
+
+ ( Sl − Kl )(1 − R ( Sl ))ml = Fl .
Выведем явный вид этих уравнений. Первый раз
величина Sl встречается в слагаемом, равном
(
i =l
(1 − R ( Sl )) ⎡⎣1 − (1 − R( Sl )) ml ⎤⎦
(35)
l = 1, ∞ .
( Sl − K l ) 1 − (1 − R ( Sl ) ml )
n = l +1
n −1
n − K n )∏ Pi (1 − Pn ) .
Из (44) имеем
которая сводится к решению системы уравнений
∂Φ
= 0,
∂Sl
∞
∑ (S
ml R′( Sl )
Pl .
1 − R ( Sl )
(38)
+ ( Sl − K l )(1 − R ( Sl )) ml =
= ( Sl +1 − K l +1 )(1 − R ( Sl )) ml ⎣⎡1 − (1 − R( Sl +1 )) ml+1 ⎦⎤ +
+(1− R(Sl ))ml ×
⎡ (1− R(Sl +1 )) ⎡1− (1− R(Sl +1 ))ml+1 ⎤
⎤
⎣
⎦ + (S − K )(1− R(S ))ml+1 ⎥ .
×⎢
l +1
l +1
l +1
ml +1R′(Sl +1 )
⎢⎣
⎥⎦
Деля на (1 − R( Sl ))ml , раскрывая скобки и упрощая,
получим следующее рекуррентное соотношение:
Поэтому
∂Φ
= ⎡1− (1− R(Sl ))ml + (Sl − Kl )ml R′(Sl )(1− R(Sl ))ml −1 ⎤⎦ ×
∂Sl ⎣
l −1
n −1
m R′( Sl ) ∞
×∏ Pi − l
⋅ ∑ ( Sn − K n )∏ Pi (1 − Pn ) . (39)
1 − R ( Sl ) n = l +1
i =1
i =1
Sl − K l +
(1 − R ( Sl )) ⎡⎣1 − (1 − R ( Sl )) ml ⎤⎦
= Sl +1 − K l +1 +
ml R ′( Sl )(1 − R ( Sl )) ml
=
(1 − R( Sl +1 )) ⎡⎣1 − (1 − R ( Sl +1 )) ml +1 ⎤⎦
ml +1 R′( Sl +1 )
. (43)
l −1
Приравнивая это выражение нулю и деля на
∏P ,
i =1
i
получим уравнение
1 − (1 − R( Sl ))ml + ( Sl − K l )ml R ′( Sl )(1 − R ( Sl )) ml −1 −
m R ′( Sl )
Fl = 0,
− l
(40)
1 − R ( Sl )
где, как и ранее,
Оно дает уравнение, связывающее Sm и Sm +1 . Использовать его можно, например, следующим образом: задаваясь S0 , находить S1 (разумеется, только численно),
затем, зная S1 , находить S2 и т.д. После этого можно
сосчитать величину Φ , которая будет зависеть теперь
только от S0 . Далее надо численно найти max Φ , исS0
пользуя известные численные методы нахождения максимума функции одной переменной.
ЛИТЕРАТУРА
1. O’Hara M. Market Microstructure Theory. Blackwell Publisher Inc., 2002. 290 p.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1957. Т. 4. 812 с.
3. Крамер А.И., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987. 313 с.
10
4. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука,
1985. 640 с.
5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2003. Т. 1. 630 с.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. Т. 1. 343 с.
7. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 466 с.
8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
9. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган и др.
М.: Наука, 1979. 830 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 31 мая 2006 г.
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
335 Кб
Теги
цены, товара, нетерпеливый, продажи, продавцом, изменения, ступенчатой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа