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Пространства содержащие мультипликативные эта-произведения.

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??????? ????? ? ?????????????????? ?????. 2012. ? 6(97)
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c 2012
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N X (n, ?)2 r?
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24
(n, N
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?|N
2.
2.1.
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7
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0
2sp 6 rp = 2r0 ,
? p + pr ?1 ,
0
r
?(rp , sp , p) =
2p ,
2sp 6 rp = 2r0 + 1,
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rp ?sp
2p
,
2sp > rp
?
? 0, k ? 1 (mod 2),
? 1 , k ? 2 (mod 4),
?k =
? 41
k ? 0 (mod 4)
4,
?
? 0, k ? 1 (mod 3),
? 1 , k ? 2 (mod 3),
хk =
? 31
4 , k ? 0 (mod 3).
??????? 3. ???? k ?????, ? ? ???????? ??????? ?? ?????? N, ?(?1) = (?1)k ,
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Y
X
(k ? 1)N
1 Y
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?(rp , sp , p) + ?k и
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12
2
2
p|N
p|N
x:x +1?0(N )
X
.
x:x2 +x+1?0(N )
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dimC (Sk (?0 (N ), ?)). ???? k 6 0, ?? dimC (Sk (?0 (N ), ?)) = 0. ????? ????? ?????????? ????? ?dimC (M2?k (?0 (N ), ?)) = 0.
2.2.
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??? ??????????? ????????? ??????????.
????????? x2 + 1 ? 0 (mod N ) ?? ????? ???????, ???? N ??????? ?? 4 ???
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????????? x2 + x + 1 ? 0 (mod N ) ?? ????? ???????, ???? N ??????? ?? 2
??? 9, ? ????? ?? ??????? ???????? p ? 2 (mod 3).
2.3.
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????? Sk (?0 (N )) ? ?????????? ????????????, ??????????? ?????????????????? ?-?????????????? ? ????????? ???????????. ?? ?????????? ??
? ?????? ??????? ???????. ?? ???????? ???? ??????????? ???????????
Sk (?0 (2N )), Sk (?0 (3N )), Sk (?0 (pN )), (N, p) = 1 ? ??????????? ????????????
Mk (?0 (N )). ????? 2 ? 3 ?????? ? ?????? ?????????? ???? ?????? ???? ? ??????? ?????????? ????????????. ??????????? ???????? ? ??????????????? ???????
???????.
3.
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??? ????????? ? ??????? ???????? ????? ? ???????. ????? ? ????? ?? ?????
???????????? ???????????? ? ?????? ???-??????? ?????? ???????? ???????????
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8
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? 2 (10z)? 2 (2z)
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?(15z)?(5z)?(3z)?(z)
?(14z)?(7z)?(2z)?(z)
? 2 (9z)? 2 (3z)
? 2 (11z)? 2 (z)
2
? (6z)? 2 (3z)? 2 (2z)? 2 (z)
? 4 (5z)? 4 (z)
? 8 (3z)
4
? (4z)? 4 (2z)
? 6 (3z)? 6 (z)
? 12 (2z)
8
? (2z)? 8 (z)
? 24 (z)
k
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
3.1.
N
36
32
27
24
20
15
14
11
9
8
6
5
4
6
3
8
2
12
1
k
2
2
2
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2
2
4
4
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4
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6
8
12
N
36
32
20
24
15
14
27
11
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5
9
8
3
4
2
1
Sk (?0 (2N ))
5
3
3
3
3
2
4
2
3
3
5
3
3
3
2
2
Sk (?0 (pN ))
6p ? 5
4p ? 3
3p ? 2
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3p ? 2
2p ? 1
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3p ? 1
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2
2 , p ? 3(4)
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2
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3 ,p
3, p = 3
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6
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5
2
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5
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4
3
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Sl (?0 (N ))
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4l ? 8
3l ? 6
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l?3
l?3
l?3
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,
l
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l?4
2
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l?5
3 ,l
l?3
3 ,l
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4 , p ? 1(4)
7p?1
4 , p ? 3(4)
11p+13
12 , p ? 1(12)
11p+5
12 , p
11p+7
12 , p
Sk (?0 (3N ))
10
9
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3
5
4
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5
4
6
8
3
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5
3
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4 ,l
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? 1(3)
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? 0(3)
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3 ,l
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l
, l 6? 2(12)
12
l
12 ? 1, l ? 2(12)
?????? Sk (?0 (2N ))
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? ?????????????? ???????? ?? ??????? 2. ??? ???????? ??????????????? ???-
9
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k
2
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2
2
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4
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6
8
12
2N
72
64
54
48
40
30
28
22
18
16
12
10
8
6
4
2
?????
64 ; 124 ; 12 и 6 и 4 и 2; 36 и 18 и 12 и 6; 2?2 и 44 и 62
42 и 82 ; 82 и 162 ; 2?2 и 45 и 8
32 и 92 ; 62 и 182 ; 1 и 24 и 3?3 и 6 и 18; 3 и 9 и 18?3 и 274 и 54
12 и 6 и 4 и 2; 24 и 12 и 8 и 4; 34 и 4?2 и 6?2 и 84
102 и 22 ; 202 и 42 ; 2?1 и 44 и 10
15 и 5 и 3 и 1; 30 и 10 и 6 и 2; 13 и 32 и 5?3 и 152
14 и 7 и 2 и 1; 28 и 14 и 4 и 2
12 и 112 ; 22 и 222
8
8
3
?3
?2
10
3 ; 6 ; 1 и 2 и 3 и 6 и 93 и 18?3 ; 1?3 и 23 и 310 и 6?2 и 9?3 и 183
24 и 44 ; 44 и 84 ; 2?4 и 8?4 и 416
2
2
2
1 и 2 и 3 и 62 ; 22 и 42 и 62 и 122 ; 2 и 4 и 69 и 12?3
14 и 54 ; 24 и 104 ; 1?1 и 25 и 55 и 10?1
212 ; 412 ; 112 и 2?12 и 412
16 и 36 ; 26 и 66 ; 1?3 и 29 и 39 и 6?3
18 и 28 ; 28 и 48
124 ; 224
????. ???????? ????????????? ????? ????????, ???????????? ?????? ???????????? ????? ????? ??? ?????????? ????????? ? ?????????????? ????????.
3.2.
?????? Mk (?0 (N ))
k
N
2
36
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4
4
4
6
6
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3
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1
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????? Mk (?0 (N ))
64 ; 2?4 и 48 ; 18 и 2?4 ; 13 и 3?2 и 93 ;
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6 и 128 ; 38 и 6?4 ; 18?4 и 368 ; 98 и 18?4 ;
4
?2
4
1 и 2 и 3 и 6?2 ; 6?2 и 124 и 18?2 и 364 ; 23 и 6?2 и 183 ; 43 и 12?2 и 363
2?4 и 48 ; 4?4 и 88 ; 8?4 и 168 ; 16?4 и 328 ;
18 и 2?4 ; 28 и 4?4 ; 48 и 8?4 ; 88 и 16?4
13 и 3?2 и 93 ; 16 и 3?2 ; 3?2 и 96 ; 36 и 9?2 ; 9?2 и 276 ; 32 и 92
24 и 4?8 ; 18 и 2?4 ; 28 и 4?4 ; 44 и 8?8 ;
38 и 6?4 ; 64 и 12?8 ; 124 и 24?8 ; 68 и 12?4
2?4 и 48 ; 18 и 2?4 ; 10?4 и 208 ; 58 и 10?4 ; 14 и 2?2 и 54 и 10?2 ; 22 и 102
1 и 3 и 5 и 15; 1?2 и 34 и 54 и 15?2 ; 12 и 3?6 и 58 ; 38 и 5?6 и 152
4
1 и 2?2 и 74 и 14?2 ; 1?2
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7?2 и 144 ; 114 и 76 и 2?16 ; 1 и 2 и 7 и 14;
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1 + n=1 ( d|n d)q n ; 12 и 112
6
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6
1 и 3 и 9 ; 3?4 и 912 ; 112 и 3?4 ; 13 и 3?4 и 99 ; 19 и 3?4 и 93
2?4 и 48 ; 4?4 и 88 ; 18 и 2?4 ; 28 и 4?4 ; 24 и 44
?4
8
?4
8
1 и 2 и 3 и 6 ; 18 и 2?4 и 38 и 6?4 ; 14 и 216 и 3?12 ; 212 и 3?8 и 64 ; 12 и 22 и 32 и 62
14 и 54 ; 1?2 и 510
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24
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2
и 4 ; 1 и 2 ; 116 и 2?12 и 48 ; 18 и 2?12 и 416
16 и 36 ; 1?6 и 318 ; 118 и 3?6
18 и 28 ; 1?16 и 232 ; 132 и 2?16
124 ; (E6 (z))2
10
?.?. ?????????????
4.
??????? ? ????????? Sk (?0 (N )), N = 2, 4, 6, 8, 9
??????? 4. ????? k ??????, k > k0 , N = 4, 6, 8, 9, ????? ????? ??????? ??
Sk (?0 (N )) ???????? ?????????? ??????????? ??????? k2 ?? ??????? G1 , ..., Gs ,
????????? ?? ????????????????? ?-???????????? F (z).
??????? Gi (z) ? M2 (?0 (N )), k0 , F (z) ??????? ? ????. 5.
k0
6
4
4
4
N
4
6
8
9
Gi
2?4 и 48 ; 1?8 и 220 и 4?8
1?2 и 24 и 32 и 64 ; 14 и 2?2 и 34 и 6?2 ; 12 и 28 и 3?6
2?4 и 48 ; 28 и 4?4 ; 4?4 и 88 ;
3
1 и 3?2 и 93 ; 1?3 и 310 и 9?3 ; 3?2 и 96
??????? 5
F (z)
212 = G1 G22 ? 16G21 G2
62 и 32 и 22 и 12 = G1 G2
44 и 24 = G1 G2
38 = G1 G2
??????????????.
1. ??????? ?? ????????, ??? ??? ?????? ????? ? ??????? ??????? ???????????? Mk (?0 (N ) ???????? ?????????? ??????????? ?? G1 , ..., Gs ??????? k2 . ???
M2 (?0 (N ) ??? ???????????. ? M2 (?0 (N ) ??????? ?????????? ????? g(z), ?? ???????????? ? ???? ?? ? ????? ?????????????? ???????. ????????, G1 + G2 .
????? f (z) ? Mk (?0 (N ), ?????
f (z)
g(z) ? Mk?2 (?0 (N ).
??????? f (z) = g(z)f1 (z), g(z), f1 (z)? ?????????? ?????????? ?? G1 , ..., Gs .
2. ?????, ????? h(z) ? Sk (?0 (N ). ???? k = k0 , ?? h(z) ??????????????? F (z).
????????? ??? F (z) ????????? ? ????????? ??????? ???????.
????? k > k0 . ? ???? ?????? Fh(z)
(z) ? Mk?k0 (?0 (N ), ??? ??? F (z) ? ??????
?????????????? ??????? ????? ???? ??????? ???????, h(z) = F (z)h1 (z), h1 (z) ?
?????????? ????????? ?? G1 , ..., Gs .
???????, ??? ??? ???????? ?? f (z) ? f1 (z)??????? ??????????? ????? ????? ?????????? ? ??????? ?????????. ??? ???????? ?? h(z) ? h1 (z) ???????? ??????????? ? ????????????? ???????????. ??? ??????????????? ???????
dim Sk (?0 (N )) = dim Mk?k0 (?0 (N )).
?????????????? ????, ??? ??? Gi ??????????? M2 (?0 (N )) ? ?? ???????? ?????????????, ?????????? ? ???????????? ? ????????? 1 ? 2.
??????? 5. ????? N = 2, 3, 5, k = 4l, 3l, 2l ??????????????, ????? ????? ??????? ?? Sk (?0 (N ), ?l ) ???????? ?????????? ??????????? ?? ??????? G1 , G2 , ????????? ?? ????????????????? ?-???????????? F (z).
??????? Gi (z), ?, F (z) ??????? ? ????????? ???????.
??????????? ????????? ???????? l ????? 1.
k
4l
3l
2l
N
2
3
5
?
1
3
и
5
и
Gi
1?8 и 216 ; 2?8 и 116
1?3 и 39 ; 19 и 3?3
1?1 и 55 ; 15 и 5?1
F (z)
18 и 28 = G1 G2
16 и 36 = G1 G2
14 и 54 = G1 G2
??????????????.
?????????????? ?????????? ?????????? ? ?????????????? ???? ?????, ??? ????
f1 (z) ? Mk1 (?0 (N ), ?1 ) ?f2 (z) ? Mk2 (?0 (N ), ?2 ), ?? f1 (z)f2 (z) ? Mk1 +k2 (?0 (N ), ?1 ?2 ).
11
????????????, ?????????? ????????????????? ???-????????????
5.
??????? ? ???????? ? ?????????????? ??????
??????? 6. ????? s = m
n ? ?????????????? ???????, f (z)??-???????, ???????
f ? s ????? ?(n), f (z) ? Mk (?0 (N ), ?) ??? ?????????? ?????? N ? ????????? ?.
????? f (z) ? Mk (?0 (M N ), ?), ??????? f (z) ? ?????????????? ??????? s1 = m
n
????? ?(n).
?????
1) ? ? ??????? ?????????;
2) ?(0) = M ?(0);
3) ???? n|N, (n, M ) = 1, ?? ?(n) = M ?(n);
4)
5)
???? n|M, (n, N ) = 1, ?? ?(n) =
HOK(n, M
n )
n
?(1);
???? (n, N ) = n1 > 1, (n, M ) = n2 > 1, ?? ?(n) =
HOK(n, MnN )
HOK(n,N )
?(n1 ).
??????????????.
???????? 1 ????????, ??? ??? ?????????? ????? ?? ????????.
??????? ???????? 5, ???????? 2?4 ? ??? ??????? ??????. ??? ???? ?????????????? ??????? 0 = 10 , n = 1.
?(n) =
=
X (n, ?)2 r?
X (n1 , ?)2 r?
MN
MN
=
=
n
MN
M
N
?
?
24(n, n )n ?|N
24(n, n ) (n,N ) )n1 ?|N
HOK(n, MnN )
M (n, N )
M и N (n, N )
?(n1 ).
?(n1 ) =
?(n1 ) =
MN
MN
HOK(n, N )
n(n, n )
n и N (n, n )
??????????
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Biagioli A.J.F. The construction of modular forms as products of transforms of
the Dedekind eta-function // Acta Arithm. 1990. LIV. 4. P. 273?300.
Dummit D., ?isilevsky H., ???Kay J. Multiplicative products of ?-functions //
Contemp. Math. 1985. V. 45. P. 89?98.
Martin Y. Multiplicative eta-quotients // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348.
P. 4825?4856.
Mason G. Finite groups and Hecke operators // Math.Ann. 1989. V. 283.
P. 381?409.
Newman M. Construction and application of a certain class of modular forms //
Proc. L.M.S. 1956. V. 7. P. 334?350.
Ono K. The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms
and q-series. Providence: Amer. Math. Soc., 2004. 216 p.
Voskresenskaya G.V. One special class of modular forms and group
representations // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 1999.
V. 11. P. 247?262.
????????? ? ???????? 22/III /2012;
? ????????????? ???????? ? 22/III /2012.
12
?.?. ?????????????
THE SPACES THAT CONTAIN MULTIPLICATIVE
ETA-FUNCTIONS
c 2012
G.V. Voskresenskaya2
In the article we study the structure of the spaces of modular forms that
contain the multiplicative eta-functions.We find dimensions and basises. We also
study the behavior of the functions in cusps.
Key words: spaces of modular forms, Dedekind eta-function, cusps.
Paper received 22/III /2012.
Paper accepted 22/III /2012.
2 Voskresenskaya Galina Valentinovna (galvosk@mail.ru), Dept.of Algebra and Geometry, Samara
State University, Samara, 443011, Russian Federation.
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