close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Расстояние между соседними нулями производной j-го порядка функции Харди.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2016, том 59, №5-6
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ш.А.Хайруллоев
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУЛЯМИ ПРОИЗВОДНОЙ
j-го ПОРЯДКА ФУНКЦИИ ХАРДИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 20.09.2016 г.)
Получена новая оценка длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль
нечётного порядка производных конечного порядка функции Харди; эта оценка улучшает известную
оценку А.А.Карацубы.
Ключевые слова: функция Харди, экспоненциальная пара, дзета-функция Римана, критическая
прямая.
Функция Харди Z (t ) , которая задается равенством
1
Z (t ) = e
it

1

 1 it   1 it 
   it  , ei ( t ) =  2         ,
2

4 2 4 2
i ( t )
принимает вещественные значения при вещественных значениях t и вещественные нули Z (t )
являются нулями  ( s ) , лежащими на критической прямой.
Первым результатом о нулях дзета-функции Римана  ( s ) на критической прямой является
теорема Г.Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что  (1/ 2  it ) имеет бесконечно много вещественных
нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (T , T  H ) при H  T 1/4
содержит нуль нечётного порядка  (1/ 2  it ) . Ян Мозер [3] в 1976 г. показал, что это утверждение
имеет место при H  T 1/6 ln 2T . В 1981 г. А.А.Карацуба [4] доказал теорему Харди-Литллвуда уже
при H  T 5/32 ln2 T .
В работе [5] найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в котором
содержится нуль нечётного порядка дзета-функции и она выражена через константу Ранкина.
Полученный результат в рамках данного метода является окончательным.
А.А.Карацуба, наряду с задачей о соседних нулях функции Харди, рассмотрел более общую
задачу о соседних нулях функции Z ( j ) (t ) . Он показал, что с увеличением j длина промежутка, на
котором заведомо лежит нуль Z ( j ) (t ) , уменьшается и доказал следующее: если j – натуральное
число,
T  T0 ( j ) > 0 ,
H  cT 1/(6 j 6) ln2/( j 1)T ,
c = c( j ) > 0 , тогда промежуток
(T , T  H )
( j)
содержит нуль нечётного порядка функции Z (t ) [4].
Адрес для корреспонденции: Хайруллоев Шамсулло Амруллоевич. 734063, Республика Таджикистан,
г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: shamsullo@rambler.ru
185
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №5-6
В работе [6] эта задача сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки
специальных тригонометрических сумм, то есть доказана
Теорема 1. Пусть (k , l ) – произвольная экспоненциальная пара, j – целое неотрицательное
число, c = c0 ( j ) > 0 – постоянное число, T  T0 ( j ) > 0 ,
 j (k ; l ) =
Тогда при H  cT
j
(k ;l )
l j
,
0,5  k  j
1
2
 j (k ; l ) = 1 


.
2   (k ; l ) 
1
1
j
2
(ln T ) j 1 промежуток (T , T  H ) содержит нуль нечётного порядка
функции Z ( j ) (t ) .
Заметим, что теорема А.А.Карацубы является следствием теоремы 1, при
1
1
1 2
1 2
1 2
(k , l ) =  ,  = AB(0,1),  j  ,  = 1 
, j  ,  =
.
3 j 1
6 3
6 3
6 3 6 j 6
В работе [7] найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в которой
содержится нуль нечётного порядка производной первого порядка функции Харди.
Нам удалось методом оценки специальных тригонометрических сумм Вандера Корпута,
методом оптимизации экспоненциальных пар [8] в сочетании с методами работ [6,9,10] доказать
новую теорему о нулях производной j -го порядка функции Харди.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть T  T0 > 0 , H  cT
æj =
æj
ln T ,
35
, c = c0 > 0,
220  212 j
j  N.
Тогда промежуток (T , T  H ) содержит нуль нечётного порядка функции Z ( j ) (t ) .
Полученный результат
æj =
35
1
5 j
=

220  212 j 6  6 j 12(1  j )(55  53 j )
является уточнением теоремы А.А.Карацубы при любом j  N .
Поступило 20.09.2016 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Hardy G.H. Sur les zeros de la fonction  ( s ) de Riemann. – Compt.Rend. Acad.Sci., 1914, v.158,
pp. 1012-1014.
2. Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line. – Math.Z., 1921,
bd. 10, s. 283-317.
186
Математика
Ш.А.Хайруллоев
3. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана. – Acta arith., 1976, 31, s. 31-43.
4. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на
критической прямой. – Труды МИАН, 1981. т. 157, c. 49-63.
5. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана,
лежащими на критической прямой. – ДАН РТ, 2006, т. 49, №5, с. 393-400.
6. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической
прямой. – ДАН РТ, 2009, т. 52, №5, с. 331-337.
7. Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями функции Z(j)(t), j  1. – ДАН РТ, 2006,
т. 49, №9, с. 803-809.
8. Graham S.W., Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. – Cambridge university press.,
1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne, Sydney.
9. Рахмонов З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана. – Успехи математических наук,
1994, т. 49, №2, с. 161-162.
10. Рахмонов З.Х. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой. –
Чебыш. сборник, 2006, т. 7, вып. 1, с. 263-279.
Ш.А.Хайруллоев
МАСОФАИ БАЙНИ НУЛЊОИ ЊАМСОЯИ ЊОСИЛАЊОИ ТАРТИБИ
j-уми ФУНКСИЯИ ХАРДИ
Институти математикаи ба номи А.Љўраеви Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон
Бањои нав оиди дарозии порчањои хати рости критикї, ки дорои нули тартиби тоќи
њосилањои тартиби охирноки функсияи Харди мебошанд, гирифта шудааст; ин бањо бањои
маълуми А.А.Каратсубаро бењтар менамояд.
Калимањои калидї: функcияи Харди, љуфтњои экспоненсиалї, дзета-функсияи Риман, хати рости
критикї.
Sh.A.Khayrulloev
THE DISTANCE BETWEEN CONSECUTIVE ZEROS OF THE DERIVATIVE
OF j-th ORDER FUNCTION HARDY
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences the Republic of Tajikistan
We obtain a new estimation of the critical line length period, which contains a zero of odd order
derivatives of functions of finite order Hardy; this result improves the well-known estimation of
A.A.Karatsuba.
Key words: Hardy function, exponential pair, the Riemann zeta function, critical line.
187
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
414 Кб
Теги
нулями, харді, между, функции, соседними, расстоянии, производной, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа