close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Расчет пространственного ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости методом интегральных соотношений.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о ом
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
Mr
1973
/V
532.526.3
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕНного ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНblХ СООТНОШЕНИЙ
В. А. Барuнов
Приводится ВЫВОД интегральных соотношений для пространст­
венного несжимаемого пограltнчного слоя. дано описание конечно­
разностной
схемы
расчета. В качестве примера расчета рассмотрен
случай скользящего КРЫJlа с неравномерным по х н
отсасывания.
дли
Приведены
значения
нескольких законов распределения скоростн
Расчет
характеристик
z
распределением
коэффициентов трения на степке
отсасывания.
пространственного
I10граничного
слок
представляет собой одну из актуальных задач аэродинамики. В
настоящее время имеется ряд работ, г де описываются точные ко­
нечнораЗНОСrные методы решения задачи [1]. [2] и [3]. Однако их
применение даже при наличии быстродействующих вычислитель­
ных
машин
стью
временем
В
ных
связано со значительными
запоминания
больших
массивов
трудностями-необходимо­
чисел,
довольно
большим
расчета.
1960
г.
А. А. Дородницын
соотношений
для
[4]
предложил
решения двумерных
метод
задач
интеграль­
в несжима~мой
жидкости. Это позволило существенно сократить время расчета,
сохранив при этом приемлемую для практики точность [5]. В ра­
боте [6] этот метод был распространен на случай сжимаемого
газа, а в работах [7]. [8] он применялея для расчета отдельных
случаев трехмерного пограничного слоя, сводящихся К двумерным­
скользящего крыла, линии
В настоящей
статье
растекания, конических течений.
при водится
метод
расчета более общего
случая
пространственного пограничного слоя
кости,
который
можно
гральных соотношений
1.
Уравнения
рассматривать
[4]
как
в несжимаемой жид­
развитие
трехмерного
пограничного
слоя
координатах в несжимаемой жидкости имеют вид
+ 'Vlly -+ Wll z =
llW x + 'VW.v -1- WW z =
lШ Х
10
метода инте­
на трехмерный пограничный слой.
llе и ех
ие W ex
в
[9]
+ W e ип + уи уу ;
+ W e W ez + VW yy ;
Ael\apTOBbJX
их
у=О;
+ Vy + Wz=O;
U=W=O;
V=Vo(x, z);
Введем безразмерные переменные:
y=y/bYRe; z=z/b; u=ujue; v=v/vooyRe;
x=xjb;
we=we/U oo ; и~=иe/иoo;
z-
где х, у.
динаты,
мали
к
Re=uoob/v;
w=w/we,
прямоугольные коор­
ось у
направлена
поверхности;
по нор-.
z-
х,
/\
вдоль
хорды и вдоль размаха крыла; Ь­
хорда
крыла;
и,
v,
компоненты
Wx> -
W,
ие ,
W e,
скорости
ния по координатам х, у,
z
и_
и оо •
lV_
тече­
внутри
пограничного слоя, на его внешней
границе и
'1 -
8 набегающем потоке;
кинематический коэффициент
вязкости. Заметим, что при этом
за характерную скорость набегаю­
щего
потока
взята величина и оо -
составляющая скорости по направ­
лению перпендикуляра к передней
кромке
крыла
(фиг.
так
1),
как
при водимые ниже результаты рас­
чета
относятся
зящего
по
х
и
крыла
z
к
случаю
сколь­
снеравномерным
отсасыванием.
Для безразмерных
величин
(черточки опустим) имеем
Фиг.
и(! ии х + vUy + We WU z = и ех (1-u 2 ) + We
d (1 Z
е
1
uw) + Иуу ;
и е UW_~ --/-- VW y + We WW z = и с :;х (1 - UW)+ WeZ (1 - w') - Wyy ;
(1}
(2)
е
+ v y + W •• W z :-= - иех U - w ez ·w;
у = О; U = W = О; v = 't'o (XZ);
ие их
у-н",;
Умножив уравнение
и е (UСР)х
(1)
на
и~1;
rp'
(и), а
w~l_
(3)
на ер (и) и сложив, получим
+ (V'P)y + We (W'P)z = и ех (1- и 2 ) '1"
+ ИууСР' Умножив
уравнение
(2)
на
(3)
+ We и е (1- Uw) "Р' +
е,
и
Uexll'P -- Wezwcp.
(' (w),
а
(3) -
на
f(w)
и сложив, по­
лучим
ие (илх
+ (vj)y + We (wf)z = и е wWex (1-- uw)f' + w ez (1- w )f' +
2
e
+Wyyf' - Uexuf- wez·wf·
11
При интегрировании
замену
этих уравнений по у от О до 00 сделаем
переменных:
1
ди/ду
&=
После
==
& (и, х, z),
интегрирования
9
=
1
awjay
9 (w, х, z).
=
инесложных преобразований получим
интеrральные соотношения:
ue(Surpfl'dU)
о
/х
+
we(SW'P&dU) =V o -
1
+ W e u~z S(l
ие
(!
е
W
z
.0
1
-
о
uj9 dw
о
<Р~Ш~ +U ex .((1-u 2 )ер'&dU +5rщ~& du- J ер&
1
urщ)ер' &du - и ех Sиер& du
- Wez
1
О
U
1
1
1
1
ez
'о
Отметим,' что,
',.
11
поскqльку исходные
симt.1~тричны· относительно
и, 'Щ, х,
.,
j"
\ о dw.
U ""
Следуя fЭаботе
в
[4],
z,
система
интегральных
возьмем систему функций (1-и)n, О-rщ)n,'n=1,
соотношений.
помощью
Функции
uk ,
многочленов
через
значения
k/N, k =0, ' .. , N - 1:
1 N-l
l' N-l
O=l-=-uL.&k(х, Z)Pk(U); ~=1_wL.9k(x, Z)Pk(W),
1-
Pk k
N '
этих
Wk =
k=O
где
f(w)
... ,N; будем иметь
& (и, х, z) и 9 (rщ, х, z) представлены
интерполяционных
функций в точках
z.
приближении в качестве ~ (и) и
N-M
(5)
уравнения и прео.бразова­
соотношений также симметрична относительно и, w'и х,
с
(4)
)х + 'Ще (! Wj 9dW) z=.Vo'-~ig~ + w ez j(I-W2)j~2 dw +
'leJ e о
2N
du;
О
+ ие --Е S(1--U'UJ)j' Qd'l~}'- W 5wj9dw-u ех S ujQdw ния
"
(6)
k=O
многочлены
степени
N -- 1,
в
точках
uk
=
kjN
равные
а во всех остальных узлах обращающиеся в нуль.
В соотношениях (4) и (5) ряд членов представляет собой инте­
гралы, содержащие в подынтегральной функции другую перемен­
ную. Зависимости u (rщ) и W (и) можно определить следующим образом:
профили скоростей и (у) и W (у) вычисляются по известным зна че­
ниям &k и Qk С использованием представлений (6):
и
w
У= S&du, у= S9dw.
u
u
Исключая из этих зависимостей координату у как параметр,
IIОЛУЧИМ функции и(rщ) И rщ(и). Таким образом, упомянутые выше
интегралы есть функции от &k И 9 k •
Практически
вычисление
этих
интегралов
осуществляется
с использованием соотношений
r(w)
II
=1 - 9(rщ) ,
q (и)
'Щ=1- 6(и) ,
]
,I
(7)
Значения
вспомогательных
функций
г,
q в узловых точках
определяются из уравнений связи
)
I
,I
N-1;
t
I
N-l.
(8)
Вычисляя из этих соотношений производные rkx> r/l z ' q/lx И Qkz
через производные от 6k и Q/I И используя ИХ в соотношениях (4),
(5), получим квазилинейную систему уравнений в частных произ­
водных относительно 6k и 2 k • В частных случаях течеций около
линии растекания [10] и на скользящем крыле [11] эта система
преобразуется в систему обыкновенных диФФеренциальных урав­
нений.
Отметим, что существует другой способ получения интеграль­
ного соотношения, заменяющего (5). Этот способ аналогичен из­
ложенным в работах [6], [7] и [8]. Основной переменной считается
и или в противоположном случае w. Умножив (1) на wep' (и), (2)на ер, (3) - на w:p, сложив и проинтегрировав с заменой перемен­
ной
U
у
на
и,
и
uwep6 du ) z
мости
w
(!
придем
к
частным
w 2 tf6du )
(и) представление
производным
от
интегралов
х' Использовав для получения зависи­
(7),
получим систему уравнений в част­
ных ПРС5Изводных относительно 6/1 и Q/l' Однако результаты расчетов,
проведенных для случая скользящего крыла, показали [11], что
ПОЛУЧ~~Ная таким способом система уравнений обладает меньшей
точностью в
описании
трехмерного
пограничного
слоя,
особенно
в отношении характеристик профиля составляющей вектора ско­
рости в направлении, перпендикул:Ярном, внешней линии тока, по
сравнению с изложенным.
.
2.
Система уравнений относительно 6k и 2k имеет вид
+
А6 х
B6 z
DQ х + EQz
г де матрицы. А, В,
... "
+ C2 z =Р;
+ 06 х = Н,
}
н есть функции х" z, 6,
(9)
ff.
В работе [12] показано, что во:>мущения в трехмерном' погра­
ничном слое распространяются вдоль линий тока (субхарактеристики
системы диФФеренциальных уравнений) с местной скоростью тече­
ния и в нормальном к поверхности направлении (характеристики)
путем диффузии. Зона влияния некоторой точки представляет
собой цилиндрическую поверхность, направляющими которой яв­
ляются
линии
тока, а
образующие церпендикулярнЫ
стенке.
Следовательно, течение в пог'раничном слое определяется гранич­
ными
условиями
на
стенке и
слоя и начальными условиями
дикулярных
стенке,
мую область.
из
на
на
которых
внешней
некоторых
ЛИlщи
тока
границе
пограничноr:о
поверхностях,
поп-адают, в
перпен­
исследуе-
.
у читывая резу льтэты работы [12], можно предположить, что
система (9) является гиперболической. Начальные условия для
13
этой системы можно задать в случае стреловидного крыла на двух
линиях растекания-критической линии и оси симметрии, в случае
-
скользящего крыла
на критической
пендикулярном передней кромке.
линии и в направлении, пер­
Пусть на прямых 1А и 1В (см. фиг. 1) заданы значения 6k и Qk'
дЛН составления конечно разностной схемы, аппроксимирующей
систему (9), рассмотрим элемент сетки с шагом 6х, !:1z. В точках
и 4 значения 6k и Qk известны, требуется найти их значения
в точке 3. Используя ряд Тейлора для некоторой функции У (х, z)
1, 2
в окрестности точки О -
ох 3
получить
следующие
+4 Уз + У
У 1 + У2
Уо=
OZ2
+ уох ох +УО zOZ + УОХХ2 + Уо zz -2-- + Уо xz ox8z + ... ,
У =УО
можно
центра элемента сетки
УОХ=
соотношения:
!:1х
4,
2
-'Уо.&'х8
2
+YOZZ8'
!:1z -+-
УЗ--У2+У4-УI
26х
+
~ !:1
~
х
2k
6
2
•
ZN,
~ !:1x2k 6~2n.,
(11 )
~
n. k >-1
_УЗ-У4+У2-УI + ~ !:1x2~6z2n;
УOz2!:1~
~
,n, k>!
У2 +
У 4 ТУОХХ8
I
!:1х
:г
2
Уо=
---'I
!:1z
2
пренебречь
квадратичными
~
-
центре элемента
х
2
zn.
(] 2)
(13)
k>2
членами и выразить
значение Уз через Уо, подста~ить в (11) и
в точке О
(12)
- +-~.., !:1 2k!:1
!:1
-
Yozzt-Уохz х6",
?,
Если
(10)
II,k>!
из
(10)
и записать систему (9)
сетки, то получим систему нелиней­
ных уравнений относительно Уо.
{6 k, g-k}О' решить которую можно
последовательными итерациями, а затем из (10) найти Уз. Точность
при этом равна О (!:1х 2 , !:1z 2). Этот способ можно рассматривать как
распространение методики, описцнной для двумерного случая в [13].
Однако возможен и другой способ (3). Система (9) записывается
также в точке О, но если коэффициенты А, В, ... , н вычислить
по соотношению (13), куда входят известные величины У2' У4'
а производные заменить выражениями (11), (121, то получим ли­
нейную систему относительно У.. При этом необходимость итера­
ций отпадает, а порядок точности сохраняется. В конкретных
примерах расчета были опробованы оба способа; второй способ
требует примерно в четыре раза меньше времени.
3.
В качестве
с
примера
зящего
крыла
вания.
Распределение
расчета
неравномерным
был рассмотрен
по х и
коэффициента
z
статического
поверхности крыла с углом стреловидности Z
фиг.
;о f
-1 8,1
rL -
)(.=J';°l 1
_ 2(!!.-~
~
~ =р(u!. "W_)
(
k
IJ
О
Ir-:--..
\
1.5' I I
~
1"'--.
z
11;4'"
(--;r- ~ 1-
го
2;
случай сколь­
раСl1ределением
= 350
отсасы­
давления
по
приведено на
видно, что о грыв погранично­
слоя
() 1 сутствии
при
отсасывания
имеет место при х ~ n,3.
Расчеты проводились при N = 4;
!:1х = 0,0005 -;- О,О()I; !:1z = 0,001 -;- 0,005,
точность
сравнения
ми
ков
при
расчетов
с
проверялась
путем
результатами, полученны­
шаге,
вдвое
неустойчнвости
меньшем;
призна­
использованной
конечноразностной схемы при этом не
Фиг.
14
2
отмечалось.
ЧRrПlll1
o,l/l.f
z
.z=://,1J7.f- u,(I/)
г--..
r:---
г-...
г--...
~.
---lIr..(I/)
i',t'--..
I
I I'T
I
11
z
I
~!-l
l.z =//, 15"
:I
J~t±t~
Г-Т!Т""
Фиг.3
-
Фиг.4
I
/
1/
г'\ .z=IJ.1J7J - . ",(1/)
,,~
/,
I
--- ",.,(1/)
\\
'-
-, r-'
.-.I
.z =1l,17.f
-,
---
..;.::: ~
II,I/Y z
0,1/25
ФИГ.5
На фиг.
1'рения
по
для
3
и
4
приведены
распределения
результаты
закону
"'о ~=
"'о
=-
о ( 1 - -~a-·
Х-ХI)
- 6 х-х
а
-
6 Х-Х
а о
(1 -
расчета
интенсивности
Х-Х)(
а о
1 --
"'о = О вне области Х о
')'
при
Z)
Ь
коэффициентов
отсасывания
стенке
z < О;
при
< Х < Хо -+- а,
на
о <z
< Ь;
z> ь.
15
Расчеты проводились при Х О = О, 125, а = 0,025, Ь = 0,025 (см.
фиг. 3); Ь=0,005 (см. фиг. 4).
Начальные условия для системы (9) при х= хо' z> о ИХ> Ха.
Z = О были взяты из расчетов на скользящем крыле. Видно, как
изменяются величины и у (О) и W y (О) от величин, соответствующих
скользящему крылу с отсасыванием, до
величин,
соответствующих
случаю без отсасывания.
Результаты,
приведенные
V o =_
vo=O
36
на
фиг.
соответствуют
5,
случаю
(1 _ Х ~ Х о ) ~ (1 _ ~ ) ;
х ~ ХО
вне области хо<х<х о
+ а, O<z<b.
Приведенные. результаты показывают, что практически влия­
ние возмущения (в рассматриваемых примерах.- изменение ско­
рости отсасывания) имеется в основном в области следа по нап­
равлению
внешнего
течения.
ЛИТЕРАТУРА
1. D е r J., R а е t z О. S. Solution of general three-'dimensional laminar boundary layer probIern. Ьу ап exact numerical шеthоd, New York,
JAS, Paper No 62-70.
.
2. Ш е в е л е в Ю. д. Численный расчет пространствrнного по­
граничного
1966,
5.
3. D w У
слоя
М
.
в
несжимаемой
жидкости.
Изв,
АН
СССР,
МЖГ,
е r Н. А. Calculation of thгее-diшепsiопаl and timc dependent
boundary f1ows. AIAA Paper, 1968, No 740.
4. Д о Р о Д н и Ц ы н А. А. Об одном методе решения уравнений
ламинарного пограничного слоя . • Прикладная механика и техниче­
ская физика", .N.! 3, 1960.
5. В е t h е 1 Н. Е. ОП а convergent mиlti-шотеп! method for the
lашiпаг boundary eqtlations. The Aeronautical Quarterly, 1967, у. 'XVIII,
pt. 11.
6. П а в л о в.С К ий Ю. Н. Численный расчет ламинарного погра­
ничного слоя в сжимаемом газе .• Журн. вычислит." матем. и математ.
физ.·, т, 2, N2 5, 1962.
7. Б а ш к и н В. А. Ламинарный пограничный, слой на беско­
нечнu
длинных
эллиптических
цилиндрах
скольжения. Изв. АН СССРiМЖГ,
8.
Б а ш к и н B~
нарного
А.
Расчет уравнений
пограНИЧНQГО
слоя
при
методом
9.
С т Р у м ин с к и й
10.
ности
на
В.
Общая
произвольной
теория
прострзнственного
поверхности.
А.
Тру дыl
ЦАГИ,
Трехмернь!Й пограничный слой в окрест­
линии
скользящего
отсасывании .• Ученые записки ЦАГИ", т.
11.
соотношений,
'8, N2 8, 1968.
.
Б а р и н о В. В.
критической
В.
угле
пространственного лами­
интегральных
.Журн. вычислит: матем. и матема!. физики', т.
пограничного слоя
вып. 693, 1956.
произвольном
1967, N2 5.
Б а р и н о в В. А.
крыла
111,
N~
при' неравномерном
1, 1972.
Расчет ламинарного пограничного слоя на
скользящем крыле методом
интегральных соотношений .• Ученые за­
писки' ЦАГИ·, т.
111, М 5, 1972.
12. Wа n g К. С. Оп the determinlltlon of the zones of фfJиеще and
dependence for thгее-diшепsiопаl boundary-layer equations. J. F1uidMech.,
1971,
у.
48, pt. 2.
П е т у Х о в И. В. ЧислеllНЫЙ расчет двумерных течений в
пограничном слое. Сб . • Численные методы решения дифференциаль­
13.
ных
и
.Нllука",
интенсивных
уравнений
и
квадратурные
формулы". М.,
1964.
Рукопись nосmуnцла б/1V
1972
г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа