close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Расчет пространственного обтекания заостренных тел на режимах с отошедшей ударной волной.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ 3АПl(СКН ЦАГН
То.. XXlI
1991
Мб
УДК 533.6.011.5: 532.582.3
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОБТЕКАНИЯ
ЗАОСТРЕННЫХ ТЕЛ НА РЕЖИМАХ
С ОТОШЕДШЕЙ УДАРНОй ВОЛНОй
С. В. Михайлов, Н. С. Яцкевич
ЧиСленно решается задача о пространственном обтеканнн заостренных
на режимах с отошедшей и с присоединенной ударной волной. Веста­
ционарная система уравнений Эйлера интегрнруется при помощи схемы Году­
нова - Колгана - Родионова. Головная волна выделяется явным образом.
При водится описанне модифицированного аЛr'оритма выделения скачка уплот­
'нения. Проведено исследованне точности получаемых результатов. Показан6,
что преможенная методика позволяет получать решение с достаточной для
практики точностью.
тел
На практике достаточно часто реализуются режимы обтекания заост­
ренных носовых частей ЛА с отсоединенной головной :ударной волной. Свя­
зано это с тем, что любой сверхзвуковой летательный аппарат проходит
диапазон чисел м от нуля до значения" соответствующего максимальной
скорости полета. Режимы с отошедшей ударной волной характеризуlQТСЯ
резким ростом коэффициента сопротивления. Возникающая в связи с �тим
задача расчета аэродинамических коэффициентов сравнительно точно решается
при помощи методов расчета потенциальных течений (линейных н панель­
ных методов). Тем не менее, для определения полной картины течения в воз­
мущенной области (что имеет практическое значение, так как дает воз­
можность определять условия на входе силовой установки) необходимо ис­
пользовать численные методы, реализующие интегрирование полной системы
уравнений Эйлера. Orметим, что задача расчета течения с отошедшей удар­
ной волной в случае заостренного тела имеет принципиальное отличие от
аналогичной задачи в случае затупленного тела. Это отличие связано с не­
возможностью построения на заостренном теле регулярной расчетной сетки.
Сложностью вопроса обусловливается и сравнительно небольшое число работ,
посвященных его решению. Так, в работе [1] представлены примеры рас­
чета комбинации конус - цилиндр на режимах с отсоединенной ударной волной.
В этой работе используeiся разнрстная схема Годунова [5]. Головная удар­
ная волна в работе [1] представляется как область больших градиентов
параметров. В работах [2, 3] рассматривается задача об обтекании комби­
нации конус - сфера. Расчеты выполнены по модифицированной схеме Воскре­
сенского - Русанова - Бабенко [6] первого порядка аппроксимации. Суще­
ственной деталью работ [2, 3] является использование аналитического раз­
ложения решения и при.менение специального вида разностной схемы вблизи
особенностей течения (ось симметрии, острый носок тела). Головная удар27
ная волна в работах [2, 3] выделяется в виде разрыва. Форма волны
определяется путем численного решения дифференциального уравнения.
Авторами работы [4] предложен интересный подход к расчету обте­
кания осесимметричных и плоских воздухозаборников на режимах с выбитой
ударной волной. В их работах используется схема Годунова в совокупности
с явным выделением газодинамических разрывов. Расчет проводится на мно­
гоблочной адаптированной сетке. Из-за ограниченн�ти ресурсов ЭВМ рас­
чет пространственного течения (осесимметричный воздухозаборник под углом
атаки) проводится с при влечением полуэмпирического метода интерполиро­
вания решения по угловой переменной. Это позволяет авторам добиться
хорошего качества решения при малом количестве ячеек по угловой пере­
менной.
Целью настоящей работы является разработка методики для расчета
обтекания за�ренных носовых частей ЛА. Задача решается на основе
численного интегрирования нестационарной системы уравнений Эйлера при по­
мощи метода Годунова - Колгана - Родионова второго порядка аппрокси­
мации [11, 12]. Расчет ведется с явным выделением головной ударной волны.
Режимы, характеризующиеся отошедшей ударной волной, являются основ­
ным предметом исследования предлагаемой работы. Кроме того, разработанные
авторами методи�а и программа позволяют производить расчет заостренных
тел на режимах с присоединенной ударной волной. В случае присоединенной
ударной волны может реализоваться как чисто сверхзвуковое, так и сме­
шанное течение. Пред.лагаемая методика позволяет получать решение во всех
вышеназванных ситуациях. Естественно, что в случаях, когда задача является
гиперболической вдоль какой-либо оси, более рациональным является приме­
нение маршевых методов.
Одно из требований, предъявляемых авторами к методам расчета обте­
кания носовых частей -это универсальность и надежность. Исходя из этого,
предлагаемая в настоящей работе методика не требует учета априорной
инфор�ации о рассчитываемом течении. В частности -не постулируется ни
местоположение, ни даже факт существования точки торможения. Естественно,
это приводит к загрублению метода по отношению к подходам, исполь­
зующим априорную информацию о виде решения (например - [2, 3] ). в дан­
ной работе на примере задач об обтекании комбинаций конус -цилиндр
и конус - сфера рассмотрен вопрос о точности получаемого решения. Пока­
зано, что: 1) предложенная методика позволяет без специальных усилий
получать достаточно точное для практики решение даже в окрестности носка
конуса; 2) получаемое решение обладает сходимостью по шагу расчетной
сетки; '3) рассчитанные по предлагаемой методике поля течения с точнос-
Рис. 1
28
тью не хуже 1-3% соответствуют результатам работ [2, 3, 6]. Подробно
рассмотрен вопрос модификации алгоритма выделения скачка уплотнения
[13, 14]. Достигнуто практически полное совпадение положений ударной
волны, определенных по модифицированному алгоритму [13, 14] и по мето­
дике [6].
Схема рассматриваемой конфигурации и ее расположение в системе
координат представлены на рис. 1. Тело описывается полууглом раствора
конуса (8) и длиной конического участка ( Хкон ) '
1. Решается задача Коши для трехмерной нестационарной системы урав­
нений Эйлера. Система записана в правой прямоугольной системе координат:
да
at
дё = О .
+ ддха + ддуБ + az
'
(1)
где:
]
ри
0= pv ;
pw
еР
pv
puv
6= p+pv2
pvw
(e+p)v
ри
2
р+ри
а=
puv
puw
(е+р)и
-
с=
pw
puw
pvw
p+pw2
(e+p)w
где р - давление; р - плотность; и, v, w -компоненты вектора скорости;
е= р (е + (и2 + v2 + w2)/2) - полная энерг'
- I)p) -внутренняя энергия �диницы объема. Значения скорости отнесены
к v. (критической скорости) , плотности -к р"" (плотности набегающего по­
тока) , давления -к р ""v� . На границах расчетной области ставятся условия:
- условие непротекания на твердых границах и плоскостях симметрии;
- условие Ренкина - Гюгонщ) на скачках уплотнения;
- линейная экстраполяция параметров в случае, когда поток вытекает
из расчетной облаСТQ через рассматриваемый фрагмент границы со сверх­
звуковой скоростью.
С использованием теоремы Остроградского - Гаусса запишем систему
уравнений (1) в интегральной форме:
Ша. dxdydz + а dydzdt + Б ·dzdxdt + ё· dxdydt = О.
·
(2)
Задача Коши решается методом установления при помощи разностной
схемы Годунова - Колгана - Родионова [5, 7 - 12]. Для обеспечения кон­
сервативности схема записывается в декартовой системе координат. [7] . В рас­
четной области в моменты времени t и t + Т строится трехмерная расчет­
ная сетка, состояща� из шестигранных ячеек. Предполагается, что узлы
сетки движутся с постоянной скоростью на интервале [t, t + т].
В центре каждой ячейки в момент времени t задаются значения газо­
Динам"ческих параметров (ГДП) . в каждой ячейке имеет место линейное
распределение ГДП по пространственным переменным. Предполагается, что
значения ГДП в каждой точке пространства на интервале [t, t + Т] изме­
няются линейно. Значения ГДП в момент времени t + Т определяются при
помощи разностного аналога уравнения (2) :
o/V/= o/V/ +
6
�
N=I
( - o� V
N
+ (a�S:N + 6�S;N + ё�S:N) Т) ,
(3)
где 1 = (i - 1/2, j - 1/2, k - 1/2); индексы снизу означают, что ГДП берутся
в момент времени t, CBeex� --=- � момент времени t + Т; знак градуса -в мо­
мент времени t + т/2; о, а, Ь, с - векторы консервативных велlJЧИН из (1)
и V - объем ячейки в моменты времени, определяемые индексами� V N - при­
ращение объема яче�ки, т. е. -объем, заметаемый боковой гранью с номером
29
N за время т; S",,= (S�N' S;N' S�) -вектор внешней нормали к положению
грани с номером N в момент времени t + т/2. ПО абсолютной величине
он равен площади грани в момент времени t + т/2.
Переход к моменту времени t + т осуществляется в два шага (предиктор­
корректор) [11, 12]. Шаги отличаются способом определения параметров
на боковых гранях ячейки. Для того, чтобы сделать шаг предиктор, вели­
чины на гранях (в правой части формулы (3» вычисляются при помощи
значений функций и градиентов в каждой отдельно взятой ячейке. Законы
сохранения консервативных величин на шаге предиктор не выполняются.
При помощи этого шага вычисляются приближенные Зl:\ачения ГДП на момент
времени t + т. Они используются для определения ГДП по разные стороны
граней в формуле (3) I:\а шаге корректор. Значения ГДП на грани для
шага корректор определяются путем решения задачи о распаде произволь­
ного разрыва [5]. Величина шага по времени т вычисляется из условия
Куранта - Фридрихса - Леви [5]. При определении градиентов ГДП исполь­
зуется модификация принципа минимальных значений производной В. П. Кол­
гана [8, 9]. Обобщение на трехмерную неравномерную сетку проведено
в соответствии с рекомендациями [10]. Значения градиентов считаются пос­
тоянными на интервале [t, t + т].
2. Расчет проводится на сетке, состоящей из двух блоков. Блоком назы­
вается участок сетки, которому в пространстве индексов соответствует парал­
лелепипед. В каждом из блоков сетка строится отдельно. На границах блоков
(подобластей) обеспечивается стыковка расчетных сеток. Граница блоков,
а также некоторые сечения сетки представлены на рис. 1. В случае осе­
симметричного течения расчетная область, представленная на рис. 1, может
сокращаться до сектора, образованного плоскостью z=О и плоскостью, об­
разующейся в результате поворота плоскости z=О на угол, определяемый
необходимой точностью расчета. Для построения сетки используется алго­
ритм, предложенный в работе [5] для плоского криволинейного четырех­
угольника, а также процедура, позволяющая использовать этот алгоритм
для построения сетки внутри криволинейного шестигранника. Для задания
границ подобласти необходимо построить поверхностные сетки, соответ­
ствующие различным типам граничных условий (твердое тело, скачок уплот­
нения, поверхность стыковки подобластей, плоскость симметрии, граница сверх­
звукового выхода и т. д.) . Остановимся подробно лишь на алгоритме выде­
ления в процессе установления скачка уплотнения.
При разработке предлагаемого в данной работе алгоритма 'выделения
скачка уплотнения для трехмеРI:\ОЙ нестационарной задачи использованы идеи
работ [13, 14]. Представленные ниже рассуждения применимы в случае
выделения скачка уплотнения в равномерном набегающем (внешнем) потоке.
Пусть фронт ударной волны в момент времени t аппрок�имируется сеткой
из четырехугольных ячеек. Рассмотрим один из узлов сетки (точка О на рис. 2, а).
В этом узле сходятся грани, принадлежащие четырем соседним ячейкам.
Известны параметры по обе стороны от скачка уплотнения. Пусть с внешней
стороны от скачка расположен равномерный поток. Задача состоит в том,
чтобы определить положение узла О в момент времени t + т.
Обозначим четыре сходящиеся в узле грани как 1, 2, 3, 4. Для каждой
из них имеется единичный вектор внешней нормали Si и набор ГДП с внут­
ренней стороны от скачка уплотнения (р, р, и, и, ш). Набор ГДП с внеш­
ней стороны от скачка для всех четырех граней одинаков и соответствует
набегающему потоку.
Перейдем в подвижную систему координат. Скорость этой системы равна
скорости набегающего потока. Тогда первоначальные наборы ГДП заменятся
на следующие:
(р, р, (и, и, W)O)i= (Р, р, (и-иоо,и-иоо, W-Woo»i;
(Р, р , (и, и, ш)о)оо= (Р, р, (О, О, 0»00'
30
11)
1)
о)
,
Рис. 2
в дальнейшем изложении вплоть до возврата в неподвижную систему
координат знаки градуса у величин опускаются.
Определим нормальные (N1) и тангенциальные (1/) компоненты векторов
скорости по отношению к соответствующей грани:
v,w)/; Ni = Q/ . 8/; N/= N/· 8/;
1/=Q/-N/; 1"",=0.
N"".=O;
,
,
01= (и,
с полученными нормальными компонентами скорости для каждой из че­
тырех граней решим задачу о распаде разрыва, откуда получим зиачения
скорости крайнего внешнего возмущения вдоль соответствующей нормали
к грани:
N/, pi, Р /
Naoi' POOi' рОО;
}
--+:;
q/= q;. 8/.
в выбранной подвижной системе координат qt всегда положительно. Будем
считать, что узел О смещается по направлению средней нормали 8, которую
определим следующим образом:
4
8°= �8/;
/=1
Определим смещение фронта волны от каждой из четырех граней вдоль
средней нормали (в дальнейшем - смещ�ние грани) . При этом будем исходит,Ь
из того, что согласно принципу Гюйгенса фронт волны есть огибающая
элементарных возмущений. В нашем случае это означает, что за время 't
ВQзмущения от четырехугольной грани распространяются в пределах фигуры,
состоящей из двух четырехугольников и фрагментов сфер и цилиндров с ра31
f-сmllq"lJfIарНl/е
Р'Ш'Н'"
mll�
__--:-_
mi.n
о)
11)
Рис. 3
диусами, равными скорости крайнего возмущения, распространяющегося в со­
ответствующую сторону. Рассмотрим для простоты аналогичную двумерную
нестационарную задачу. На рис. 2, в и г изображены возмущения от двух
соседних отрезков фронта волны. Пусть а; -вектор, соединяющий центр
отрезка номер i и рассматриваемый узел. Тогда требуемое смещение будет
вычисляться по следующим СООТНошениям:
{
если (di· 5;) > О;
dS, = q;т:/ (5;· 5), если (di• 5;) <О.
dSi = qiТ:,
Для трехмерной нестационарной задачи формулы имеют тот же вид,
но dj представляет собой вектор. соединяющий центр грани с номером i
и рассматриваемый узел.
Для дальнейшего решения задачи необходимо предложить алгоритм вы­
числения смещения узла О вдоль средней нормали. Авторы работ [13, 14]
рекомендуют для этого выбирать максимально удаленную точку. В данной
работе также была предпринята попытка установить ударную волну, выбирая
максимальное смещение. Однако эта попытка не имела успеха. На рис. 3
в верхней части представлены положения ударной волны, характерные для
процесса установления при выборе максимального смещеttия. Внимательное
рассмотрение позволяет выяснить причину такого поведения решения. На
рис. 2, 6 представлены два различных способа определения смещения фраг­
мента ударной волны А В: смещение AmaxBmax - по максимуму, AminBmin­
по минимуму смещения вдоль средней нормали. Заштрихованный участок
соответствует области, для которой при выборе смещения AmaxBmax не может
быть указан источник возмущений. По существу, в этой области наруша­
ется условие Куранта - Фридрихса - Леви. Ска;занное выше заставляет авто­
ров данной работы использовать минимальное смещеН'tе вдоль средней
нормали:
dS= MIN{dSj}
•
Окончательно, смещение узла будет равно сумме смещения вдоль сред­
ней нормали с выбранной скоростью в подвижной системе координат и
32
смещения со скоростью набегающего потока. Учетом последнего слагаемого
возвращаемся в неподвижную систему координат:
""
k
"I
=
fijk
-
+ dS. S +
(и, V, w) 00
· Т.
н нижней части рис. 3, а и б представлены характерные положения
ударной волны в процессе установления. Orметим, что описанный выше
алгоритм надежно работает даже в том случае, когда для течения с при­
соединенной волной начальное положение волны задано в виде отсоединен­
ной волны и наоборот.
Для оценки точности определения положения скачка уплотнения про­
ведено сравнение с результатами работы [6J. Для этого выполнены рас­
четы обтекания комбинации конус - цилиндр на нескольких режимах, харак­
теризующихся присоединенной ударной волной. На всех режимах отличие
в положении ударной волны и в распределении параметров не превышает
0,5% от эталонного решения [6J. ЭТОТ результат говорит о том, что изло­
женный выше алгоритм выделения CKatlKa уплотнения может использоваться
при численном интегрировании нестационарной системы уравнений Эйлера.
3. Известно, что получение решения в ячейках с вырожденными гра­
ницами не может быть гарантировано. Связано это с тем, что теорети­
чески расчетный шаг для таких ячеек равен нулю. Для преодоления этого
затруднения применяются различные меры. Так, например: в работах [2, 3]
при применении дифференциальной схемы используется специальная асимпто­
тическая запись уравнений вблизи носка тела и оси симметрии; по данным
работы (lOJ при расчете обтекания внешних двугранных углов сверхзвуко­
вым потоком с применением веерных сеток и схемы Годунова удовлетво­
рительно работает процедура интерполяции или даже сноса ГДП в ячейках,
имеющих вырожденные границы.
В настоящей работе для всех ячеек применяется одна и та же про­
цедура определения параметров на новом временном слое. Для определения
величины временного шага необходима информация о .средних расстояниях
между противоположными гранями ячейки и о скоростях крайних внутренних
возмущений от всех гранеЙ ячейки. В случае вырождения границы ячейки
в качестве скорости крайнего внутреннего возмущения для вырожденной
границы используется значение аналогичной скорости из ближайшей ячейки
с невырожденными границами.
В связи со сказанным выше представляется необходимым выяснить,
с какой точностью предлагаемая методика позволяет получать решение на
носке конуса. Для исследования этого вопроса построены .эпюры х-компо­
ненты скорости и давления по поверхности тела и вдоль линии, соединяющей
точку ударной волны, расположенную на оси симметрии, и носок тела. Теоре­
тическн носок тела должен быть точкой торможения. В противном случае
дозвуковой поток не сможет развернуться на конечный угол. В расчете
нулевая скорость в ячейке получиться не может. Связано это '= конечным
размером ячейки. Однако при дроблении сетки мы должны ожидать в ячейке,
примыкающей к носку конуса, значения скорости, все более близкие к нулю.
Распределения ГДП построены для расчетов, выполненных на трех раз­
личных сетках:
10 Х 10 - сетка, содержащая 10 ячеек по вертикали и по горизонта';/lИ
в каждой подобластн;
20 Х 20 - сетка, содержащая 20 ячеек по вертикали и по горизонтали
в каждой подобласти;
..
30 Х 30 - сетка, содержащая 30 ячеек по вертикали и по горизонтали
в каждой подобласти.
Полуугол раствора конуса составлял 450, число М набегающего потока 1,5, угол атаки - 00.
Анализ зависимостей u(х) и р(х) (рис. 4) показывает, что при дроб­
лении сетки значения компонент скорости в ячейке, ближайшей к носку
33
р
fl
2,0
-
_.--
ЗО"JО
20,,20
Ш" (О
Рис. 4
reла, приближаются к нулю. Получаемая в расчете эпюра статического дав­
ления практически не зависит от шага сетки.
Критерием точности получаемых результатов могут· служить потери пол­
ного давления, обусловленные погрешностью схемы. Для решения, получен­
ного на сетке 30 Х 30, эти потери на отрезке оси симметрии от ударной
волны до носка тела составляют менее 1 %, на сетке 10 Х 10 -не более 2%.
Реализующееся в решении значение полного давления на оси симметрии
для всех сеток с точностью в 0,5% соответствует потерям в прямом скачке.
4. На практике основное требование к методике расчета обтекания носо­
вых частей ЛА -это возможность расчета аэродинамических коэффициентов
носовой части. В случае, если с некоторого сечения х const ведется мар­
шевый счет, методика. должна обеспечивать достаточную точНОсть параметров
в этом сечении. Для оценки точности получаемого решения произведено
сравнение с результатами работы [3J. Выполнен расчет обтекания комби­
нации конус - сфера. Полуугол раствора конуса -450. Число Маха набегаю­
щего потока - 2. На рис. 5 представлено распределение давления и х-компо­
ненты скорости по поверхности тела н в выходном сечении х const. При
построении графиков использовано обезразмеривание и координаты из ра­
боты [3J. Видно, что для давления отличие нигде не превышает 1 %. Для
плотности сравнение дает аналогичные результаты. Точность расчета х-ком­
поненты скорости в выходном сечении -не ниже 3%. Для значений х-компо­
ненты скорости вблизи заострения (не более 5-10% длины тела) имеет
место значительное расхождение. Однако на остальной части тела точность
опреДe./Jfния х-компоненты скорости не ниже 3%. Для оценки точности опре­
деления коэффициента сопротивления произведено сравнение с результатами
работы [6] на примере расчета обтекания конуса с полууглом раствора 450
на режимах с присоединенной ударной волной. Расчеты произведены на сет­
ке 10 Х 10 (см. п. 3) . В диапазоне 2,2 < М< 4,1 точность определения
коэффициента еж не ниже 1-2%. При М > 4,1 возможно применение марше­
вых методов.
=
=
34
р,1I
6,0
f,S
5,0
.,S
'1;0
�S
1.0
I,S
1,0
2,0
'.1
'-6
,
fS
1,0
�_....-�_
8,5 о
1,'1
1,2
1,11
8,1
о
����
pllc"m{Cl1mKII 60-.0)
n
[1]
О
«)
Рис. 5
Сll
1,0
J
8,9
D/lI
8,8
2
0,7
0,6
_
с:z-
0,"1.,0
1
f(1!.-p_ld/:z
1
_ F.
и
р... Т ,..'(,5
М
2,1
О (О
,
Рис. 6
з5
5. В качестве примера практического использования предлагаемой мето­
дики на рис. 6 представлены диаграммы коэффициента сопротивления и
относительного расстояния отхода ударной волны. Данные получены при
расчете на нулевом угле атаки комбинации конус -цилиндр в случае ото­
шедшей ударной волны. В расчетах варьировались полуугол раствора конуса
(6=350, 400, 450) и число Маха набегающего потока (1,01 <М<Мкр(6».
ИспользоваЛI:\СЬ сетка 1 О Х 10.
.
Авторы благодарят С. М. Боснякова за ряд полезных замечаний, вы­
сказанных в процессе подготовки.работы.
лиТt:РАТУРА
1. И в а н о в М. Я. К решению двумерных и пространственных задач
обтекания тел околозвуковым потоком.- Ж. вычисл. матем. н матем. фнз.,
1975, т. 15, М 5.
2. И в а н о в а В. Н., Р а д в о г н н Ю. Б. Численный метод расчета
трехмерных обтеканий головной части заостренных тел с отошедшей удар·
ной волной.- Препринт ИПМ, 1980, Н! 126.
3. И в а н о в а В. Н., Ра д в о г и н Ю. Б. Численное нсследование трех·
мерного обтекания заострен'!ых тел с отошедшей ударной волной.- Препринт
ИПМ, 1981, М 28.
4. М и л е ш н н В. И., Т н л Л Я е в а Н. И. Сравненне расчетных и
экспериментальных данных по обтеканию QCесимметричных воздухозаборников
на режимах с выбнтой ударной волной.- Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 13,
М 2.
5. Г о д у н о в С. К., 3 а б р о д н н А. В., И в а н о в М. Я., К р а й·
к о k Н., П р о к о п о в Г. П. Численное решенне многомерных
задач газо.
вой динамики.- М.: Наука, 1976.
6. Б а б е н к о .К. И., В о с к р е с е н с к и й Г. И., л ю б н м о в А. Н.,
Р у с а н о в В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным га·
зом.- М.: Наука, 1964.
7. 3 а р у б и н А. Г. О точности метода Годунова в различных сис·
темах.координат.- Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, Н! 4.
8. К о л г а н В. П. Применение принципа мннимальных значений произ·
водной к построению конечно· разностной схемы для расчета РаЗРЫВНЫХ ре·
шениil газовой динамики.- Ученые запискн ЦАГИ, 1972, т. 3, М 6.
9 . . К о л г а н В. П. Конечно-разностная схема для расчета разрывных
течениil нестационарной газовой дннамнки.- Ученые запискн ЦАГИ, 1975,
т. 6, Н! 1.
10. Т и л л я е в а Н. И. Обобщение модифицнрованной схемы С. К. Го·
дунова на произвольные нерегулярные сетки.- Ученые запискн ЦАГИ, 1986.
т. 17, Н! 2.
11. Р о д н о н о в А. В. Монотонная схема второго порядка аппрок,
симации для сквозного расчета неравновесных течеюIЙ.- Ж. вычнсл. матем.
и матем. физ., 1987, т. 27, Н! 4.
12. Р о д н о н о в А. В. Повышение порядка аппроксимацни схемы
С. К. Годунова.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987,13. К р а й к о А. Н., М а к а р о в В. Е., Т и л л я е в а Н. И. К чнс·
ленному построению ударных волн.- Ж. вычисл. матем. и матем. фнз., 1980.
т. 20, Н! 3.
14. М а к а р о в В. Е. К Вblделению поверхностей разрыва прн чис·
ленном расчете сверхзвуковых коннческих течениЙ.- Ж. вычисл. матем. и
матем. физ., 1982, т. 22, М 5.
Ру"оnись поступила 18/V/l 1990
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
357 Кб
Теги
ударной, волной, режимах, обтекании, отошедшей, расчет, тел, пространственной, заострённых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа