close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Расчеты термоакустической конвекции на многопроцессорной ЭВМ.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
Том XLI
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
2010
№2
УДК 534.83 + 532.511
536.25
РАСЧЕТЫ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОЙ КОНВЕКЦИИ
НА МНОГОПРОЦЕССОРНОЙ ЭВМ
А. А. ГОРБУНОВ, С. А. НИКИТИН, В. И. ПОЛЕЖАЕВ
Численно исследуется одномерная и двумерная термоакустическая конвекция в замкнутом объеме, заполненном углекислым газом при нормальных условиях (совершенный газ)
или вблизи критической точки (газ Ван-дер-Ваальса), в диапазоне чисел Рейнольдса 103 — 105
на параллельной ЭВМ Межведомственного Суперкомпьютерного Центра РАН. Достигнутые
ускорения расчетов по сравнению с однопроцессорной ЭВМ равны 60 для одномерной задачи и 300 для двумерной.
Исследованы поля течения и температуры в зависимости от параметров задачи, показана необходимость использования подробной разностной сетки в обоих направлениях для
разрешения тонких пограничных слоев и фронтов (104 узлов сетки для числа Рейнольдса,
равного 105).
Ключевые слова: термоакустическая конвекция, математическое моделирование, параллельные ЭВМ, совершенный и околокритический газ.
Термоакустические (ТА) течения относятся к классу естественных течений негравитационного типа, возникающих в сжимаемой среде при подводе тепла. Иногда к этому классу течений
относят и течения, возникающие при взаимодействии тепловой гравитационной конвекции с заданными акустическими возмущениями. Несмотря на то, что ТА течения известны давно (повидимому, первые упоминания об этом механизме течения содержатся в [1]), они до настоящего
времени мало изучены. Теплообмен, обусловленный ТА течениями, представляет особый интерес в невесомости и вблизи термодинамической критической точки, что привлекло внимание
к ним в эпоху развития космических исследований [2, 3].
ТА течения относятся к числу небуссинесковских эффектов и возникают на начальном этапе прогрева при развитии тепловой конвекции после внезапного подвода тепла. Это быстропротекающий процесс с резкими фронтами волн скорости, давления и температуры, что требует
для адекватного численного расчета очень подробных сеток по пространству и значительного
числа шагов по времени. Наиболее интенсивны течения этого типа в сильно сжимаемых средах
при мгновенном росте температуры нагревателя в начальный момент времени, что с методической точки зрения привлекло внимание в период разработки методов численного решения уравнений Навье — Стокса сжимаемого газа [4, 5].
В 70 — 80-х годах были существенно продвинуты приближенные теоретические модели и
начато применение ТА явлений в криогенной технике (см., например, [6, 7]). Модель осредненных течений, вызываемых взаимодействием заданных акустических возмущений и тепловой
конвекции, рассмотрена в [8].
Однако работы, относящиеся к численному моделированию ТА, выполненные в последние
годы, немногочисленны [9, 10]. Интерес к численному моделированию ТА течений возник в последнее время в связи с расчетами трехмерных конвективных течений сжимаемых небуссинесковских сред, в том числе вблизи критического состояния (влияние на формирование небуссинесковских трехмерных структур, вклад в теплообмен и др.) [11]. В первых одномерных расчетах ТА
течений совершенного газа [4, 5], а также околокритических жидкостей [12] использованы
25
недостаточно подробные для таких течений сетки, что было обусловлено ограниченным быстродействием ЭВМ в те годы. Высокие требования к сеточному разрешению предполагают использование высокопроизводительных многопроцессорных ЭВМ, и в этом отношении в данной работе продолжен подход, предпринятый в [13]. Ввиду значительных требований к сеточному разрешению этих течений использована параллельная ЭВМ МВС-100К Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.
Постановка задачи. Прямоугольная область длиной L и высотой H заполнена вязким сжимаемым теплопроводным газом (идеальным или околокритическим). Внешние силы отсутствуют. Предполагается, что коэффициенты переноса постоянны. В декартовой системе координат
Oxy (ось x направлена параллельно стороне L прямоугольника, начало координат, точка O,
расположена посредине левой вертикальной границы) безразмерные нестационарные уравнения
Навье — Стокса, включающие уравнение неразрывности, уравнения движения, уравнение энергии, а также уравнения состояния, имеют следующий вид:
∂ρ ∂ (ρu ) ∂ (ρv)
+
+
= 0,
∂t
∂x
∂y
du
1 ∂p
1 ⎡ 4 ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂ 2 v ⎤
=−
+
+
+
⎢
⎥,
ργ ∂x ρ Re ⎣⎢ 3 ∂x 2 ∂y 2 3 ∂x∂y ⎦⎥
dt
dv
1 ∂p
1 ⎡ 4 ∂ 2 v ∂ 2 v 1 ∂ 2u ⎤
=−
+
+
+
⎢
⎥,
ργ ∂y ρ Re ⎢⎣ 3 ∂y 2 ∂x 2 3 ∂x∂y ⎥⎦
dt
γ ⎛ ∂ 2T ∂ 2T
dT
T ⎛ ∂ρ ⎞ ⎛ ∂u ∂v ⎞
= −( γ − 1) ⎜
+
=
+
⎜
⎟
⎟ ⎜
ρ ⎝ ∂T ⎠ρ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ρ Re Pr ⎝⎜ ∂x 2 ∂y 2
dt
⎞
⎟⎟ +
⎠
2
2
2
2
γ ( γ − 1) ⎪⎧⎛ ∂u ∂v ⎞
2 ⎡⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ ⎪⎫
⎢
+
⎨⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ ,
3 ⎢⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎥ ⎪
ρ Re ⎪⎝ ∂y ∂x ⎠
⎣
⎦⎭
⎩
ρT
9
p =ρT — совершенный газ; p =
− ρ2 — газ Ван-дер-Ваальса (VDW).
1− ρ 3 8
Здесь u, v — компоненты вектора скорости; ρ — плотность; p — давление; Т — температура; d/dt = ∂/∂t + u∂/∂x + v∂/∂y.
При приведении системы к безразмерному виду приняты масштабы: длины — L, температуры — Tс (критическая температура), давления — RρсTс (ρс — критическая плотность),
1/2
1/2
скорости — (γRTс) , времени — L/(γRTс) . В уравнениях появляются безразмерные параметры:
1/2
γ = cp/cv — для совершенного газа; Pr = μcp/λ — число Прандтля, Re = ρс(γRTс) L/μ — число
Рейнольдса. Так как в дальнейшем будут рассматриваться и сравниваться газ VDW и совершенный газ, в приведенном выше безразмерном виде для совершенного газа Tс, ρс заменяются на T0,
ρ0 — начальные значения температуры и плотности.
Начальные условия: неподвижный, однородный по температуре, плотности и давлению газ
находится при температуре T0 (T0 = 1.01Tс для газа VDW). В начальный момент времени температура левой стенки (x = 0) повышается до T1 (T1 = 1.1T0 для совершенного газа и T1 = 1.1Tс для
газа VDW), что приводит к возникновению в области ТА конвекции, затухающей со временем. Граничные условия для компонент скорости на всех границах — условия прилипания, температура левой стенки равна T1, температура правой стенки (x = 1) равна T2 = T0, остальные границы — теплоизолированы.
Методика численного решения и оценка ускорения вычислений. В основу методики
положен явный конечно-разностный подход к дискретизации дифференциальных уравнений и
граничных условий на равномерной разностной сетке узлов. Используется метод контрольных
объемов на разнесенных сетках (давление, плотность и температура определяются в центре
26
объема, а компоненты скорости на границах объема) и разбиение (декомпозиция) расчетной
области на фиксированное количество подобластей, каждая из которых соотносится с одним
из процессоров многопроцессорной вычислительной системы с распределенной памятью.
По разработанной методике и программам на параллельной ЭВМ МВС-100К Межведомственного суперкомпьютерного центра (www.jscc.ru) были проведены расчеты задач 1D и 2D
ТА конвекции. Исследовались зависимости времени расчета задач от числа процессоров.
На рис. 1, а представлена зависимость ускорения вычислений от количества процессоров при
расчетах одномерной задачи на сетке 55 440 узлов, а на рис. 1, б — аналогичная зависимость для
двумерной задачи на сетке 1680 · 1680 узлов. Видно, что существует число процессоров, при котором ускорение максимально (для 1D задачи — максимальное ускорение 65 на 800 процессорах,
а для 2D задачи — максимальное ускорение 300 на 256 процессорах). Аналогичные результаты
были ранее получены на ЭВМ МВС-1000М и теоретически объяснены в [13]. На рис. 1, б обращает на себя внимание то, что в диапазоне 100 ÷ 300 процессоров ускорение выше теоретической
прямой, это, по-видимому, связано с влиянием кэшей процессоров.
Ускорение
1
Ускорение
1
2
2
Число процессоров (ядер)
а)
Число процессоров (ядер)
б)
Рис. 1. Ускорение вычислений для 1D (a) и 2D (б) задач термоакустики в зависимости от числа процессоров (ядер)
для ЭВМ МВС-100К:
1 — теоретическая кривая; 2 — реальное ускорение
Результаты расчетов. Выполнено моделирование затухания одномерной и двумерной
ТА конвекции в совершенном газе и газе VDW (двуокись углерода СО2, γ = 1.3, Pr = 0.726) для
3
5
значений числа Рейнольдса: Re = 10 — 10 и H/L = 0.25 для 2D задач.
3
Рассмотрим результаты для одномерной задачи (Re = 10 ). Профили температуры на начальном этапе (t < 1, рис. 2) показывают существенный вклад ТА течения «на хвосте» температурной волны, что обусловлено эффектами вязкой диссипации и адиабатического сжатия. При
этом отличия указанных эффектов (проявляющихся в характерных поднятиях, а затем выравниваниях «на хвосте» температурной волны) в совершенном газе и газе VDW очень существенны.
На промежуточном этапе (t < 10, рис. 3) эффект адиабатического сжатия («piston» эффект [12])
приводит к полному выравниванию упомянутых температурных неоднородностей в центре слоя,
наиболее явно проявляющихся в газе VDW. Отметим также для более отчетливого понимания
T − Tc
= 0.01, причем
результатов, что в газе VDW удаление от критической точки составляло ε =
Tc
на боковой стенке ε = 0.1 (рис. 2, 3).
На рис. 4, а, б показаны зависимости теплового потока (т. е. числа Нуссельта) на правой
границе (x = 1) от времени на промежуточном интервале прогрева совершенного газа и газа VDW
3
в одномерном и двумерном случаях при Re = 10 . Видно резкое увеличение и резкий спад тепло27
T
T
1.08
1.08
1.04
1.04
2
2
1
1
1
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
0
1
0.4
0.6
0.8
x
1
Рис. 3. Профили температуры на промежуточном этапе
(t = 10) развития ТА течения в совершенном (1) и VDW (2)
газах
Рис. 2. Профили температуры на начальном этапе
(t = 0.5) развития ТА течения в совершенном (1) и
VDW (2) газах
6
0.2
Nu
60
4
Nu
40
1
2
20
2
t
t
а)
0
2
4
6
8
10
б)
0
2
4
6
8
10
Рис. 4. Зависимость Nu (x = 1) от времени в совершенном газе (а) (1D задача — 1, 2D задача — 2) и газе VDW (б)
(1D задача)
вого потока, когда ТА волна периодически достигает правой границы. В двумерном случае
(кривая 2 на рис. 4, а) заметно существенное ослабление конвекции и уменьшение теплообмена
в связи с влиянием трения на боковых стенках. Важно отметить, что перенос тепла к границе х = 1
на порядок больше в газе VDW (рис. 4, б), чем в совершенном газе, а скорость волны в газе VDW
меньше, чем в совершенном газе. Аналогично и влияние уравнения состояния и размерности задач
на затухание ТА течения (рис. 5). Здесь следует отметить, что максимальные значения скорости
ТА течений, имеющие место в начальный период времени, более чем на порядок меньше скорости
звука. Видно также, что из-за трения на боковых стенках затухание намного быстрее в двумерном
случае (t = 40), чем в одномерном (t = 100), причем в газе VDW затухание медленнее (t = 180).
–4
Значения безразмерной (через скорость звука) скорости, равное 10 , принято как условие,
при котором ТА конвекция предполагается затухшей. Это связано с тем, что обычное значение
числа Рейнольдса (определенное через вязкость и характерный размер) равно 0.1, т. е. течение
оказывается в области так называемых вязких медленных течений, где роль конвективных членов пренебрежимо мала.
28
10–1
|u|m ax
10–2
10–3
3
10–4
2
1
10–5
10–6
0
40
80
120
160
t
200
Рис. 5. Затухание ТА течений в совершенном газе (1D задача — 1,
2D задача — 2) и газе VDW (1D задача — 3)
а)
б)
в)
Рис. 6. Изолинии модуля вектора скорости для 2D ТА течения совершенного
газа при Re = 103 и t = 0.8 (а, umax = 8.5 · 10–3), t = 1.5 (б, umax = 4.7 · 10–3),
t = 10 (в, umax = 2.9 · 10–4)
Величина первого импульса этого теплового потока была выбрана для оценки требуемой
разностной сетки (изменения этого значения менее чем на 1% при увеличении сетки вдвое, означали, что разрешение достаточно для последующих расчетов). Ниже в таблице приведены результаты этих методических расчетов, на основе которых были выбраны сетки по оси х (средний
столбец). В 2D случаях использовалась квадратная сетка (hx = hy = h) с числом узлов по х, как
в 1D задачах. Шаг по времени был равен h h .
29
Зависимость числа Нуссельта от числа Рейнольдса и числа узлов сетки
Re
3
10
104
105
(100)/5.12
(500)/16.1
3000/53.4
(размер сетки по х)/Nu
(200)/5.43
(1000)/17.65
(6000)/57.81
(400)/5.45
(2000)/17.75
(12 000)/58.02
Интересные результаты относятся к полю скорости ТА течений на разных режимах во времени. Здесь (рис. 6) приведены изолинии поля модуля скорости для трех характерных моментов
времени: а — до столкновения фронта волны с противоположной стенкой (t = 0.8); б — возвратное течение после первого столкновения с противоположной стенкой (t = 1.5); в — структура ТА
течения после многократного отражения от противоположной стенки (t = 10). Последнее имеет
очень сложный характер, в котором разделяются пристеночные пограничные слои, течения в ядре и противоположное ему возвратное течение между ядром и пограничным слоем. Отметим
также, что для разрешения структуры течения в пристеночном пограничном слое применяемые
в работах [8, 9] разностные сетки в поперечном сечении (50 узлов) недостаточны. Вместе с тем
следует заметить, что диапазон определяющего критерия подобия — числа Рейнольдса, отнесенного к скорости звука, на практике может на несколько порядков превышать максимальное значение, достигнутое в данной работе в двумерном случае, поэтому потребности в продолжении
методических исследований для численного решения этого класса задач остаются.
Выводы. Применение высокопроизводительных, в том числе многопроцессорных ЭВМ,
в которых достигнуто ускорение вычислений от 60 (1D) до 300 (2D), позволяют получить качественно новые результаты по структуре термоакустических течений и переноса ими тепла, выявить
характерные режимы течений во времени и при изменении основного критерия подобия числа Re
совершенного газа и газа VDW вблизи критической точки CO2 (ε = 0.01), а также характерные
эффекты теплообмена и затухания при наличии вязкой диссипации, адиабатического сжатия в одномерных и двумерных течениях. Отметим, что большая часть этих эффектов не была известна и не
могла быть реализована при применявшемся ранее пространственном разрешении ТА течений.
Работа выполнена при финансовой поддержке Ведущей научной школы № 2496.2008.8,
Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 06-01-00281 и 09-01-00230), а также
программы Президиума РАН № 17.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р е л е й. Теория звука. — М. — Л.: ОГИЗ, 1944, 476 c.
2. П о в и ц к и й А. С., Л ю б и н Л. Я. Основы динамики и тепломассообмена в жидкостях и газах при невесомости. — М.: Машиностроение, 1972, 252 c.
3. П о л е ж а е в В. И. Конвекция и процессы, тепло- и массообмена в условиях космического полета // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 5, с. 67 — 88.
4. П о л е ж а е в В. И. Численное решение системы одномерных нестационарных
уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 6, с. 34 — 43.
5. В а с и н В. Г., П о л е ж а е в В. И. Разностные схемы для уравнений Навье — Стокса
сжимаемого газа и расчет термоакустических волн. — М.: ИПМ АН СССР. Препринт № 124,
1977, 47 с.
6. R o t t N. Thermoacoustics / In: Advances in Applied Mechanics 1980. V. 20, p. 135 — 175.
7. W h e a t l y J., C o x A. Natural engines // Physics Today. 1985, N 5, p. 50 — 57.
8. Л ю б и м о в Д. В. О тепловой конвекции в акустическом поле // Изв. РАН. МЖГ.
2000. № 2, c. 28 — 36.
9. F a r o u k B., O r a n E. S., F u s e g i T. Numerical study of thermoacoustic waves in enclosure // Physics of Fluids. 2000. V. 12, N 5, p. 1052 — 1061.
10. A k t a s M. K., F a r o u k B., N a r a y a n P., W e a t l e y A. A numerical study of the
generation and propagation of thermoacoustic waves in water // Physics of Fluids. 2004. V. 16,
N 10, p. 3786 — 3794.
11. Г о р б у н о в А. А., П о л е ж а е в В. И. Метод возмущений и численное моделирование конвекции для задачи Рэлея в жидкости с произвольным уравнением состояния. —
М.: ИПМех РАН. Препринт № 897, 2008, 46 c.
12. Z a p p o l i B., D u r a n d - D a u b i n A. Heat and mass transport in a near supercritical
fluid // Physics of Fluids. 1994. V. 6, N 5, p. 1929 — 1936.
13. Г о р б у н о в А. А., Н и к и т и н С. А., П о л е ж а е в В. И. Численное моделирование
конвекции Релея — Бенара в сжимаемом газе на параллельных вычислительных системах //
Вестник Нижегородского ун-та. Сер. Матем. моделир. и опт. управл. 2005, вып. 1 (28), с. 75 — 82.
_________________
Рукопись поступила 13/III 2009 г.
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
327 Кб
Теги
конвекция, многопроцессорных, эвм, расчет, термоакустических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа