close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Расширенная гипотеза Римана и нули функций заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОНИК
Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конеренции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной памяти проессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511.3
асширенная гипотеза имана и нули ункций, заданных рядами
Дирихле с периодическими коэициентами
В. Н. Кузнецов, О. А. Полякова (г. Саратов)
Аннотация
Получены условия, при которых расширенная гипотеза имана является следствием основной гипотезы.
Введение
В одной из работ [1? В.. Спринджук исследовал задачу о взаимосвязи гипотезы имана о нулях дзета-ункции и расширенной гипотезы имана, которая
предполагает, что нули L-ункции L(s, ?), s = ? + it, для неглавного числового характера Дирихле ? лежат на критической прямой ? = 12 . С этой целью
В.. Спринджук рассмотрел класс ункций ?(s), удовлетворяющих следующим
условиям:
1) ?(s) = O(1), ? > c1 , и разлагается в ряд Дирихле;
2) ?(s) = O e(?/2??)|t| , ? > c2 , (0 < ? < ?/2), |t| > 1;
3) ?(s) = o |s||?|+c3 e??1 |?|+?(s)|t| , ? 6 c3 , s > 2;
P
4)
|?(?)|e?? |?| = O (? ?? ), где суммирование ведется по всем нетривиальным
?
нулям ? дзета-ункции, 0 < ? < ?, ? ? +0.
Для таких ункций он доказал, что из гипотезы имана о нулях дзетаункцииследует, что нули L-ункции Дирихле, лежащие в полуплоскости ? >
max 21 , ? , являются так же нулями ункции ?? (s), где
?? (s) =
?
X
?n ?(n)
n=1
ns
и где
?(s) =
?
X
?n
n=1
ns
АСШИЕННАЯ ИПОТЕЗА ИМАНА И НУЛИ ...
189
любая ункция из указанного класса.
Таким образом, если показать, что существуют две ункции ?1 (s) и ?2 (s),
для которых ? 6 12 , и для которых ?1? (s) и ?2? (s) имеют различные нули в
полуплоскости ? > 12 , то расширенная гипотеза имана является следствием
основной гипотезы. Сложность последней задачи связана с проверкой последнего условия для рассматриваемых ункций.
Данная работа также посвящена задаче о взаимосвязи основной и расширенной гипотез имана. А именно, подход, в основе которого лежит, так называемый, метод редукции к степенным рядам, разработанный в работах В.Н. Кузнецова [2?, [3?, позволил обойти трудности, связанные с описанием класса ункций, рассматриваемого в работе В.. Спринджука, и позволил показать, что
расширенная гипотеза имана сводится к проверке следующих двух утверждений:
1) для ункции Мангольда ?(n) и для любого рационального ? имеет место
асимптотическое равенство
1 X
?(n)e2?i?n = Ax + O x 2 +? ,
(1)
n6x
где ? произвольное положительное число, а A некоторая константа, которая
в зависимости от ? может равняться нулю;
2) существуют два ряда Дирихле с периодическими коэициентами, которые определяют целые ункции и которые не имеют общих нулей в полуплоскости ? > 12 .
Замечание 1. Как будет показано ниже, из условия (1) следует основная
гипотеза имана, но нет никаких оснований предполагать, что из условия
(1) следует расширенная гипотеза имана.
Замечание 2. Ниже будет показано, что ряд Дирихле с периодически-
ми коэициентами тогда и только тогда определяет целую ункцию, когда
сумматорная ункция его коэициентов является ограниченной ункцией.
Замечание 3. Известно, что существуют ряды Дирихле с периодическими коэициентами, определяющие целые ункции, и которые имеют нули,
лежащие в полуплоскости ? > 21 . Примером такого ряда является известная
ункция Девенпорта-Хейльброна, которая к тому же удовлетворяет ункциональному уравнению типа имана (например, см. [4?).
190
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. ПОЛЯКОВА
Основная часть
Основным результатом данной работы является доказательство следующего
утверждения.
Теорема 1. Предположим, что для ункции Мангольда ?(n) и для любого
рационального числа ? выполняется асимптотическое равенство (1). Тогда
для любого числового характера Дирихле ? нули L-ункции L(s, ?), s = ? + it,
лежащие в полуплоскости ? > 12 являются нулями любой целой ункции,
определенной рядом Дирихле с периодическими коэициентами.
Доказательству теоремы 1 предпошлем доказательство ряда лемм.
Лемма 1. яд Дирихле
f (s) =
?
X
bn n?s ,
s = ? + it,
n=1
абсолютно сходящийся в полуплоскости ? > 1 определяет целую ункцию,
если соответствующий степенной ряд (с теми же коэициентами)
g(z) =
?
X
bn z n
n=1
определяет ункцию, которая в точке z = 1 имеет радиальные производные
любого порядка, то есть существуют пределы вида
lim g (n) (x),
x?1?0
n = 0, 1, 2, . . .
(2)
Доказательство.
ассмотрим преобразование Меллина ([5?)
f (s)?(s) =
Z?
0
g e?x xs?1 dx,
? > 1.
(3)
Ясно, что существование радиальных производных вида (2) равносильно
существованию производных вида
(n)
lim g(e?x )
,
n = 0, 1, 2, . . .
x?0+0
Для ункции g(e?x ) запишем при x > 0 ормулу Тейлора n-го порядка с
остаточным членом в орме Пеано:
?x
g(e ) =
n
X
k=0
?k xk + o(xn )
(4)
АСШИЕННАЯ ИПОТЕЗА ИМАНА И НУЛИ ...
191
Подставим выражение (4) в правую часть равенства (3) и запишем полученное
равенство в виде
f (s)?(s) =
Z?
0
n
X
?k xk
k=0
+
Z?
!
#
Z? "
n
X
xs?1 dx +
g(e?x ) ?
?k xk xs?1 dx+
k=0
0
g(e?x )xs?1 dx,
где
? > 0.
?
В этом равенстве первое слагаемое равно
n
P
k=0
?k k+s
? ,
k+s
второе слагаемое опре-
деляет ункцию, регулярную в полуплоскости ? > ?n. Если записать подынтегральную ункцию третьего слагаемого в виде
!
?
X
x
x
e? 2
bn e?nx+ 2 xs?1 ,
n=1
то легко видеть, что последний интеграл абсолютно сходится в любой полуплоскости ? > N , и, следовательно определяет целую ункцию. Итак, ункция f (s)
регулярна в полуплоскости ? > ?n. В наших рассуждениях n произвольное,
натуральное число, поэтому лемма 1 полностью доказана.
Как следствие леммы 1 получаем следующее утверждение.
Лемма 2. яд Дирихле с периодическими коэициентами an тогда и
только тогда определяет целую ункцию, когда
X
an = O(1).
n6x
Доказательство. Пусть d период последовательности {an }. Тогда, как
легко видеть, соответствующий степенной ряд g(z) определяет рациональную
ункцию вида
Pd (z)
g(z) =
,
1 ? zd
а условие
X
an = O(1)
n6x
равносильно тому, что Pd (1) = 0. Отсюда в силу леммы 1 получается утверждение леммы 2.
Лемма 3. Следующие условия эквивалентны:
192
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. ПОЛЯКОВА
?
P
1) ряд Дирихле f (s) =
bn n?s , абсолютно сходящийся в полуплоскости
n=0
? > ?0 > 1, определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? >
1
с единственным возможным полюсом первого или второго порядка в
2
точке s = 1;
2) степенной ряд g(z) =
?
P
bn z n при подходе к точке z = 1 вдоль веще-
n=0
ственного направления асимптотически ведет себя следующим образом
A
? 12 ??
,
+
O
(1
?
x)
(1 ? x)?
g(x) =
(5)
где ? произвольное положительное число, ? равно либо 0, либо 1, либо
2.
Доказательство.
Пусть ряд f (s) =
кости ? >
?
P
bn n?s определяет ункцию, мероморную в полуплос-
n=0
с единственным простым полюсом в точке s = 1, вычет в котором
?
P
равен A. Тогда ряд Дирихле f1 (s) =
bn n?s ?A?(s), где ?(s) дзета-ункция
1
2
n=0
имана и A подходящая константа, определяет ункцию регулярную в полуплоскости ? > 12 . Таким образом можно считать, что ряд Дирихле в лемме 1
определяет целую ункцию, регулярную в полуплоскости ? > 12 .
ассмотрим преобразование Меллина ([5?)
f (s)?(s) =
Z?
0
g e?x xs?1 dx,
? > 1.
(6)
Ясно, что асимптотическая оценка (5) (в случае A = 0) равносильна асимптотической оценке вида
?x
? 12 ??
g(e ) = O x
при
x ? +0.
(7)
В силу (7) интеграл в равенстве (6) сходится абсолютно при ? > 12 и следовательно, определяет в этой полуплоскости регулярную ункцию.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим обратное преобразование Меллина
g(e?x ) =
b+i?
Z
f (s)?(s)x?s ds,
b?i?
x > 0, b > 1.
(8)
АСШИЕННАЯ ИПОТЕЗА ИМАНА И НУЛИ ...
193
Сдвигая в интеграле (8) контур интегрирования влево до величины b = 12 +?,
получаем
1
+?+i?
2 Z
f (s)?(s)x?s ds.
(9)
g(e?x ) =
1
+??i?
2
Легко
видеть, что интеграл в равенстве (9) имеет порядок роста модуля
? 12 ??
O x
при x ? +0, что и доказывает обратное утверждение леммы 3.
Замечание. Отметим, что в силу леммы 1 и леммы 3 из условия (1) при
? = 0 следует основная гипотеза имана. Для этого достаточно воспользоваться
известным разложением в ряд Дирихле логаримической производной дзетаункции [6?:
?
? ?(s) X
=
?(n)n?s , .
?(s)
n=1
Лемма 4. При условии (1) ряд Дирихле
?
X
?(n)e2?i?n n?s ,
s = ? + it,
n=1
где ? рациональное число, определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственным возможным простым полюсом в точке s = 1.
Доказательство.
ассмотрим степенной ряд
g(z) =
?
X
?(n)e2?i?n z n .
n=1
В силу (1) выполняется второе условие леммы 3, и как следствие леммы 3
получаем утверждение леммы 4.
Лемма 5. Пусть выполняется условие (1) и
f (s) =
?
X
?n n?s ,
s = ? + it,
n=1
ряд Дирихле с периодическими коэициентами, который определяет целую
ункцию. Тогда ряд Дирихле
? ?(s) X
f (s) ·
=
an n?s ,
(10)
?(s)
где ?(s) дзета-ункция имана, определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственным простым полюсом в точке s = 1.
194
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. ПОЛЯКОВА
Доказательство.
Доказательство леммы 5 следует из замечания к лемме 3.
Лемма 6. При условиях леммы 5 ряд Дирихле
?
X
an e2?i?n n?s ,
s = ? + it,
(11)
n=1
почти для всех рациональных ? определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственным возможным либо простым полюсом, либо
полюсом второго порядка в точке s = 1. Последнее возможно в случае, когда
знаменатель рационального числа ? не взаимнопрост с периодом d последовательности {?n }.
Доказательство.
ассмотрим ряд Дирихле вида
f1 (s) =
?
X
?n e2?i?n n?s ,
s = ? + it.
(12)
n=1
Так как степенной ряд g(z), отвечающий ряду Дирихле
f (s) =
?
X
?n n?s ,
s = ? + it,
n=1
определяет рациональную ункцию вида
g(z) =
Pd?1 (z)
,
1 + z + . . . + z d?1
где d период последовательности {?n }, то степенной ряд
g1 (z) =
?
X
?n e2?i?n z n
n=1
для всех рациональных ?, знаменатели которых взаимнопросты с периодом d,
определяет рациональную ункцию, регулярную в точке z = 1. Следовательно,
в силу леммы 1 ряд Дирихле (12) определяет целую ункцию.
ассмотрим теперь ряд Дирихле
?
X
n=1
?(n)e2?i?n n?s ,
s = ? + it.
(13)
АСШИЕННАЯ ИПОТЕЗА ИМАНА И НУЛИ ...
195
В силу леммы 4 этот ряд при всех рациональных ? определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственным возможным простым полюсом
в точке s = 1. Следовательно, ряд Дирихле
?
X
n=1
2?i?n ?s
an e
n
=
?
X
2?i?n ?s
?n e
n
n=1
·
?
X
?(n)e2?i?n n?s ,
s = ? + it,
n=1
для рациональных ?, знаменатели которых взаимнопросты с периодом d, определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственным возможным простым полюсом в точке s = 1.
При рациональных ?, знаменатели которых не взаимнопросты с периодом
d, ряд Дирихле (12) может иметь простой полюс в точке s = 1. При таких ?
возможно, что и ряд Дирихле (13) имеет простой полюс в точке s = 1. Тогда
ряд Дирихле (11) при таких ? определяет в полуплоскости ? > 12 мероморную
ункцию с полюсом второго порядка в точке s = 1, что и завершает доказательство леммы 6.
Доказательство. (теоремы 1)
Пусть ? характер Дирихле, пусть f (s) целая ункция, определенная рядом Дирихле с периодическими коэициентами
f (s) =
?
X
?n n?s .
(14)
n=1
ассмотрим ряд Дирихле с периодическими коэициентами вида
f1 (s) =
?
X
?n ?(n)n?s ,
(15)
n=1
где ? характер, сопряженный с характером ?.
В силу леммы 1 f1 (s) определяет мероморную ункцию с единственным
возможным простым полюсом в точке s = 1.
ассмотрим тождество
?
где
L? (s, ?) X
f1,? (s) ·
=
an ?(n)n?s ,
L(s, ?)
n=1
f1 (s) ·
Так как
?
? ? (s) X
=
an n?s .
?(s)
n=1
f1,? (s) = f (s),
(16)
(17)
196
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. ПОЛЯКОВА
то равенство (16) запишем в виде
?
L? (s, ?) X
f (s) ·
=
an ?(n)n?s .
L(s, ?)
n=1
(18)
Степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле (18)
g(z) =
?
X
an ?(n)z n ,
(19)
n=1
является композитом двух степенных рядов
g1 (z) =
?
X
an z n
(20)
?(n)z n .
(21)
n=1
и
g2 (z) =
?
X
n=1
Степенной ряд (21) определяет рациональную ункцию вида
g2 (z) =
Pm?1 (z)
,
1 + z + . . . + z m?1
(22)
где m период характера ?.
яд Дирихле (17) в силу условия (1) и замечания к лемме 3 определяет
ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственной особенностью
в точке s = 1: либо простым полюсом, либо полюсом второго порядка. В силу
леммы 6 ряд Дирихле
?
X
an e2?i?n n?s ,
s = ? + it,
(23)
n=1
для любого рационального ? определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственной особенностью в точке s = 1: либо простым полюсом,
либо полюсом второго порядка. Отсюда в силу леммы 3 соответствующий степенной ряд
?
X
g1,? (z) =
an e2?i?n z n
n=1
при подходе к точке z = 1 вдоль вещественного направления имеет асимптотику
вида
A
? 12 ??
g1,? (x) =
+ O (1 ? x)
,
(24)
(1 ? x)?
где ? произвольное положительное число, ? равно либо 0, либо 1, либо 2.
АСШИЕННАЯ ИПОТЕЗА ИМАНА И НУЛИ ...
197
Запишем известное интегральное представление для степенного ряда (19),
имеющее место для композита двух степенных рядов [7?:
Z
z du
1
g(z) =
g1 (u)g2
,
(25)
2?i
u u
C
где точка z лежит внутри окружности C , |z| < 1.
азложим рациональную ункцию (22) в сумму простейших
g2 (z) =
m?1
X
j=1
Aj
z ? ?j
и подставим это разложение в интеграл (25). Тогда получим
Z
m?1
m?1
X
g1 (u)
1 X
z
g(z) =
Aj
Aj g1
.
z du =
2?i j=1
u ? ?j
?j
j=1
(26)
C
Когда z радиально приближается к единице, то ?zj радиально приближается к
?j . Так как ?j = e2?i? , где ? рациональное, то в силу (24), (25) получаем:
при подходе к точке z = 1 вдоль вещественного направления степенной ряд
g(z) вида (19) ведет себя следующим образом:
A
? 12 ??
+ O (1 ? x)
g(x) =
,
(1 ? x)?
(27)
где ? произвольное положительное число, ? равно либо 0, либо 1, либо 2.
Из асимптотики (27) в силу леммы 3 получаем, что ряд Дирихле (18) определяет ункцию, мероморную в полуплоскости ? > 12 с единственным возможным полюсом в точке s = 1.
В силу левой части равенства (18) отсюда получаем утверждение теоремы
1.
СПИСОК ЦИТИОВАННОЙ ЛИТЕАТУЫ
[1? Спринджук В.. Вертикальное распределение нулей дзета-ункции и расширенная гипотеза имана. // Ata Arithmetia, XXVII, 1975, p. 317332.
[2? Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле.
// Математ. заметки, 1984. Т. 36. Вып. 6. С. 805813.
[3? Кузнецов В.Н. Об аналитических свойствах рядов Дирихле с конечнозначными коэициентами. // Диссертация на соискание уч. степени к..-м.н.
Минск, 1983г.
198
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. ПОЛЯКОВА
[4? Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-ункция имана. М.: Физматгиз,
1994. 376 с. ISBN 5-02-014120-8.
[5? Прахар К. аспределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.
[6? Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975. 183 с.
[7? Титчмарш Е. Теория ункций. М.: Наука, 1980. 463 с.
Саратовский государственный университет им. Н. . Чернышевского
Поступило 09.07.2010
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
367 Кб
Теги
заданным, римана, гипотезы, рядами, расширенная, нулик, функции, коэффициента, дирихле, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа