close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Регуляризация уравнений Эйлера для условного экстремума функционала с матрицей связей неполного ранга.

код для вставкиСкачать
7
ИЗВЕСТИЯ ВолгГТУ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
⎞
N −1
−j
2 ⎛⎜
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
П =
(15)
⋅ max ∑ a (k )e N ⎟ .
2 πkn
p
⎟
N ⎜
k =0
⎝
⎠
Из полученных соотношений следует, что
ЧС-ШПС, обладающие значительной величиной взаимной корреляции в ансамбле, имеют
повышенное значение пик-фактора, и наоборот. При этом пик-фактор ЧС-ШПС определяется максимальным значением амплитудного спектра формирующей этот сигнал кодовой
последовательности. Поэтому при построении ансамбля ЧС-ШПС следует использовать
такие формирующие кодовые последовательности, амплитудный спектр которых не имеет
значительных пульсаций.
p
1. Захаров, Ю. В. Адаптивный прием сигналов в гидроакустическом канале с учетом доплеровского рассеяния /
Ю. В. Захаров, В. П. Коданев // Акустический журнал. –
1995. – Т. 41, № 2. – С. 254–259.
2. Варакин, Л. Е. Теория систем сигналов. / Л. Е. Варакин. – М.: Сов. радио, 1978. – 304 с.
3. Ланнэ, А. А. Задача Л.И. Мандельштама в радиотехнике и электросвязи / А. А. Ланнэ, А. А. Сикарев // Известия вузов СССР – Радиоэлектроника. – 1979. – Т. 22,
№ 5. – С. 3–19.
4. Бобровский, И. В. Анализ корреляционных свойств
ансамблей частотных сигналов / И. В. Бобровский;
ОАО "НИИ гидросвязи "Штиль". – Волгоград, 2008. –
11 с. – Деп. в ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова 25.06.08,
№ ДР 4120.
УДК 531.66
А. М. Бочкин, А. С. Горобцов, Н. В. Чигиринская
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА ДЛЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
ФУНКЦИОНАЛА С МАТРИЦЕЙ СВЯЗЕЙ НЕПОЛНОГО РАНГА
Волгоградский государственный технический университет
gorobtsov@avtlg.ru, NVTchi@Yandex.RU
Рассматривается метод приведения дифференциально-алгебраических уравнений Эйлера к виду, допускающему
решение задачи нахождения условного экстремума при описании динамических процессов. Описанный метод регуляризации позволяет точно определять значения множителей Лагранжа в уравнениях Эйлера.
Ключевые слова: Уравнение Эйлера, условный экстремум, уравнения связей, механическая система, множитель Лагранжа, регуляризация.
A. M. Bochkin, A. S. Gorobtsov, N. V. Chigirinskaya
REDUCTION A REGULARITY EULER'S EQUATIONS FOR A CONDITIONAL EXTREMUM
FUNCTIONAL WITH A MATRIX OF COMMUNICATIONS OF AN INCOMPLETE RANK
The method of reduction of the differential-algebraic equations of Euler to a kind supposing the decision of a problem
of a finding of a conditional extremum at the description of dynamic processes is considered. The described method of reduction
a regularity allows to define precisely values of multipliers Lagrange in Euler's equations.
Euler's equation, conditional extremum, the equations of communications, mechanical system, multiplier Lagrange, reduction a regularity.
Уравнения Эйлера для условного экстремума функционала [1] широко используются в приложениях для представления различных динамических процессов. Например, в динамике
механических систем таким уравнениям соответствуют уравнения Лагранжа первого рода.
Задача на условный экстремум функционала,
по сравнению с обычной экстремальной задачей, дополняется алгебраическими уравнениями, которым должны удовлетворять экстремали
функционала. Дифференциальные уравнения
Эйлера в этом случае принимают форму дифференциально-алгебраических уравнений, где в качестве алгебраических переменных выступают множители Лагранжа [2, 3]. Все методы решения та-
ких дифференциально-алгебраических уравнений,
как аналитические, так и численные включают
в себя этап приведения к системе дифференциальных уравнений через исключение множителей Лагранжа. В свою очередь множители Лагранжа
можно определить только в случае, когда уравнения связей являются независимыми или соответствующие линеаризованные матрицы коэффициентов этих уравнений являются матрицами полного ранга, т. е. все строки являются линейно независимыми. Такое условие не всегда выполняется
и целью данной работы является рассмотрение методов регуляризации, позволяющих, в этом случае, находить множители Лагранжа и решение исходной системы с заданной точностью.
8
ИЗВЕСТИЯ ВолгГТУ
Уравнения Эйлера для условного экстремума функционала, включающего в себя функции
одной независимой переменной и их производные, в форме системы дифференциально-алгебраических уравнений имеют вид:
⎧⎪Mx − DT p = f (x , x ,t )
(1)
⎨
⎪⎩Dx = h(x ,t )
Здесь x – вектор переменных всей системы
размерности n; M – матрица при вторых производных размерности n × n; f (x , x ,t ) – вектор
правых частей; D – матрица переменных коэффициентов уравнений связей размерности k × n
(k – число связей); h(x, t) – вектор правых частей уравнений связей; p – вектор множителей
Лагранжа. В системе (1) уравнения связей записаны во вторых производных, что не влияет
на вид первого уравнения системы.
Из уравнения (1) могут быть исключены
множители Лагранжа с помощью решения системы линейных уравнений:
⎛ M DT ⎞⎛ x ⎞ = ⎛ f ( x ,x ,t) ⎞
⎜
⎟
(2)
⎜ D 0 ⎟⎜⎜ − p ⎟⎟ ⎜⎜ h( x, x ) ⎟⎟ .
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠⎝
Уравнение (2) имеет однозначное решение
в случае, если rank (D) = k; если же rank (D) < k,
то нахождение множителей Лагранжа из системы (2) невозможно. В работе ставится задача модификации матриц M и D, которая бы обеспечивала единственность решения системы (2) и при
этом выполнялось заданное условие точности
решения (1), т. е. решение соответствовало бы
одному из возможных решений (1). Поставленная
задача распадается на две подзадачи – выделение
в матрице D линейно зависимых строк и, собственно, модификация матриц M и D.
Выделение в матрице D линейно зависимых
строк можно производить путем анализа матриц треугольного разложения матрицы коэффициентов системы (2), а именно:
⎛ M DT ⎞
⎟
⎜
⎜ D 0 ⎟ = A = LU.
⎠
⎝
где L и U – соответственно нижняя и верхняя
треугольные матрицы. Число обусловленности
матрицы A может быть записано:
l
l
rmax = d max ; ri = d i ,
ld min
ld min
где r – число обусловленности; ld max – максимальный диагональный коэффициент нижней
треугольной матрицы; ld min – минимальный
диагональный коэффициент этой же матрицы.
Сравнением числа ri обусловленности для всех
диагональных членов c rmax, можно определить
уравнения зависимых связей.
Система (1) после модификации матриц M
и D может быть записана:
⎧⎪M t xt − DTt pt = ft (xt ,xt ,t ) ,
(3)
⎨
⎪⎩Dt xt = ht (xt ,t )
где M t – матрица масс модифицированной системы; D t – модифицированная матрица коэффициентов уравнений связей. xt = (x, xf), xf – вектор
дополнительных переменных размерности m;
ft = (f (xt , xt ),0 ) , (0 – нулевая матрица размерности 1 × m). M t может быть записана в форме
0 ⎞
⎛M
⎟,
M t =⎜⎜
⎟
⎝ 0 Mf ⎠
где M = diag (m1, ..., mn), Mf = diag (mf1,..., mfm).
Модифицированная матрица коэффициентов уравнений связей должна быть составлена
таким образом, что бы решение уравнения (3)
стремилось к решению уравнения (1) при
ε = m / mf → 0. Такая модифицированная матрица коэффициентов может быть найдена как
линейная комбинация зависимых строк исходной матрицы D и дополнительных переменных.
Рассмотрим пример. Пусть уравнения Эйлера исходной системы в скалярном представлении имеют вид
⎧Mx + λ1 + λ2 = P
⎪
(4)
⎨x = 0
⎪
⎩x = 0
Матрица A в этом случае содержит две
одинаковые строки и, следовательно, не имеет
единственного решения. Введем дополнительные переменные x1 и x2, и скорректируем уравнения связей. Модифицированная система
уравнений может быть записана:
⎧Mx + λ1 + λ2 = P
⎪
⎪mx1 − λ1 = 0
⎪⎪
; xf = (x1, x2), (5)
⎨mx2 − λ2 = 0
⎪
⎪ x − x1 = 0
⎪
⎩⎪ x − x2 = 0
Скорректированные уравнения связей обеспечивают их линейную независимость. Выражения для значений множителей Лагранжа в (5)
имеют вид
λ1 = λ2 = P · m / 2 (m + M).
Эти значения множителей Лагранжа при m,
стремящемся к бесконечности, приближаются
к одному из возможных решений (4), а именно
ИЗВЕСТИЯ ВолгГТУ
λ1 = λ2 = P / 2. Таким образом, модифицированная система (5) имеет решение, асимптотически
стремящееся к решению исходной системы (4).
Рассмотренный метод может быть использован при решении ряда задач механики, в частности, динамики механических систем с избыточными связями.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и
вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – М. Наука. –
1969. – 279 с.
9
2. Горобцов, А. С. The Methods of the Transform of Multibody Systems with Redundant Constraints / А. С. Горобцов //
EUROMECH Colloquium 495. Advanced in simulation of multibody system dynamics, 18–21 February 2008, Брянск (Россия):
book of Abstracts = [тез. докл.] / Брянский гос. техн. ун-т [и
др.]. – Брянск, 2008, C. 36. – Англ.
3. Банах, Л. Я. Условия разбиения системы дифференциально-алгебраических уравнений на слабосвязанные
подсистемы / Л. Я. Банах, А. С. Горобцов, О. К. Чесноков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2006. – № 12, C. 2223–2227.
УДК 66.023.001.57
А. Б. Голованчиков, А. А. Шагарова, Н. А. Дулькина, А. В. Кузнецов
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ШНЕКОВЫХ РЕАКТОРОВ
С МАЛОВЯЗКИМ ПРИСТЕННЫМ СЛОЕМ
Волгоградский государственный технический университет
dnataly@mail.ru, golovanchikov@vstu.ru
Проведено сравнение обычного шнекового реактора со шнековым реактором с дополнительными перемешивающими устройствами, установленными между гребнями шнека и реактором с кольцевым течением высоковязкой реакционной жидкости и маловязким пристенным слоем.
Показано, что подача в пристенный слой шнекового реактора маловязкой жидкости позволяет в значительной мере
приблизить диффузионную модель течения реакционной массы к модели идеального вытеснения и увеличить степень
конверсии на 6 – 12%.
Ключевые слова: шнековый реактор, маловязкий пристенный слой, степень конверсии.
A.B. Golovanchicov, A.A. Shagarova, N.A. Dulkina, A.V. Cuznescov
THE MODELLING OF THE WORK OF THE SCREW REACTORS
WITH THE LOW-VISCOUSWALL LAYER
There is a comparing of the general screw reactor with the screw reactor with the additional intermixing facilities which are
fixed between the screw combs and a reactor with the circular current of the high-viscous reactionary liquid and a low-viscous
wall layer.
It is showed that the feeding of the low-viscous liquid to the wall layer of the screw reactor allows to approach a diffusion model
of the current of the reactionary mass to the model of the ideal displacement and to increase the degree of conversion for 6 – 12%.
Screw reactor, low-viscous wall layer, degree of conversion.
Известно, что для большинства простых реакций наибольшая степень конверсии обеспечивается в режиме идеального вытеснения, когда
профиль скорости является безградиентным по
поперечной координате и постоянным по длине
реактора [1]. Однако такой режим практически не
осуществим в промышленных реакторах. К нему
приближается турбулентное движение реакционной массы в трубчатых или цилиндрических аппаратах, требующее больших затрат энергии,
особенно для высоковязких жидкостей. Поэтому
высоковязкие реакционные массы целесообразно
перерабатывать в шнековых реакторах. Шнек
обеспечивает медленное принудительное перемещение реакционной массы вдоль оси реактора,
а гребни шнека – перемешивание реакционной
массы в радиальном направлении.
В этом случае структура потока значительно отличается от режима идеального вытесне-
ния и, чаще всего, описывается однопараметрической диффузионной моделью [2, 3].
d 2 са
d 2 ca
(1)
=
Pe
− Pe ⋅ τс ⋅ Wr (са ) ,
dZ 2
dZ 2
где Pe = vc ⋅ d D – критерий Пекле продольной
диффузии;
vс – средняя скорость реакционной массы, м/с;
d – диаметр аппарата, м;
D – коэффициент молекулярной диффузии,
м2/с;
са – концентрация реагирующего компонента А, Кмоль⋅А/м3;
Wr – скорость химической реакции,
Кмоль ⋅А/(м3⋅с);
τс – среднее время пребывания, с;
Z = z / l – относительная координата длины реактора l, м;
Профиль скорости высоковязкой жидкости
в шнековом аппарате приведен на рис. 1.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
370 Кб
Теги
ранга, уравнения, регуляризация, условного, функционал, неполного, матрицей, эйлера, связей, экстремума
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа