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Редукции частично инвариантных решений ранга 1 дефекта 2 пятимерной надалгебры конической подалгебры.

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ISSN 2074-1863
???????? ?????????????? ??????. ??? 5. ? 1 (2013). ?. 125-129.
??? 517.3
???????? ???????? ???????????? ???????
????? 1 ??????? 2 ?????????? ??????????
?????????? ??????????
?.?. ???????
?????????. ?????????? ??????? ? ???????????? ??????? ????? 1 ????????? ??????? ???????? ?? ?????????? ??????????, ???????? ??????????? ????????, ???????? ?? ??????? ? ??????????? ???????????. ????????? ?????????? ??????? ? ???????? ???????????? ??????? ????? 1 ??????? 2 ?????????? ?????????? ??????????
??????????, ??????????? ??????????? ????????? ?? ????????????, ?? ????????????? ? ?????????. ????????, ??? ????????? ?????????? ??????? ???????????? ????
? ?????????????-???????????? ??????? ???????????? ????????, ???? ? ???????
????? ????????????? ????????, ???? ? ??????? ?????.
???????? ?????: ??????? ????????, ?????????? ???????, ???????? ????????????
???????.
????????
????????? ??????? ???????? ????????? 11-?????? ??????? ?? ??????????. ??????????? ??????? ????????? ????????? [1]. ?????????? ?????????? ?? ??????????? ??????? ?
????????? ??????????? X7 = ?? , X10 = ?t , X11 = t?t + x?x + r?r ? ?????????????? ??????? ???????? (x, r, ?) ????????? ???????????? ????????? ????? 1 ?????????? ???????
[2]. ?????????? ?????????? ????? ?????????????? ????????? ????????? ?? ??????????
?????????? y, z:
X2 = ?y = cos ??r ? r?1 sin ?(?? + W ?V ? V ?W ),
X3 = ?z = sin ??r ? r?1 cos ?(?? + W ?V ? V ?W ).
????????? ?????????? ??????? ?? ?????????? ?????????? ???? ???????? ????????????
??????? ????? 1 ??????? 2. ?????????????? ?????????? ???????? ~u ?????? ???????????
? ???? U , V = Q cos ?, W = Q sin ? (Q 6= 0, ????? ?????????? ?????????? ????????). ?????????? ?????????? ??????: U , Q, ? ? ?????????, S ? ????????, ???????? ????????????
?? ????????? ????????? p = f (?, S).
S.V. Khabirov, Reductions of partially invariant solutions of rank 1 defect 2 fivedimensional overalgebra of conical subalgebra.
c ??????? ?.?. 2013.
?????? ?????????? ???? (?????? 11-01-00026-?, 11-01-00047-a), ??????? ?? ??????? ?????????? ??
??? ??????????????? ????????? ??????? ???? (???-2826.2008.1), ??????? ? 11.G34.31.0042 ????????????? ?? ?? ????????????? ?220.
????????? 10 ?????? 2012 ?.
125
126
?.?. ???????
????????? ??????? ???????? ? ?????????? ?????????? ????????? ???
Ut + U Ux + Q(Ur cos ? + r?1 U? sin ?) + ??1 px = 0,
Qt + U Qx + Q(Qr cos ? + r?1 Q? sin ?) + ??1 (pr cos ? + r?1 p? sin ?) = 0,
?t + U ?x + Q(?r cos ? + r?1 (?? + 1) sin ?)+
+??1 Q?1 (?pr sin ? + r?1 p? cos ?) = 0,
?t + U ?x + Q(?r cos ? + r?1 ?? sin ?)+
+? Ux + Qr cos ? + r?1 Q? sin ? + Q ? ?r sin ? + r?1 (?? + 1) cos ? = 0,
St + U Sx + Q(Sr cos ? + r?1 S? sin ?) = 0.
????????????? ???????? ????????????? ??????? ????? 1 ??????? 2 ??????: ??????? U ,
Q, ?, S, p ??????? ?? ?????? ????????????? ????????? ?; ??????? ?, ? ? ?????? ????, ?.?.
??????? ?? t, x, r, ?.
??????????? ????????????? ??????? ? ????????? ??????? ???????? ???? ???????????????? ??????? ????????? (???????? ????????? ?????????):
S? Y ? = 0,
U? Y ? + ??1 p? ?x = 0,
Q? Y ? + ??1 p? (?r cos ? + r?1 ?? sin ?) = 0,
??1 ?? Y ? + U? ?x + Q? (?r cos ? + r?1 ?? sin ?) +
+Q (??r sin ? + r?1 (?? + 1) cos ?) = 0,
?t + U ?x + Q (?r cos ? + r?1 (?? + 1) sin ?) +
+??1 Q?1 p? (??r sin ? + r?1 ?? cos ?) = 0,
??? Y ? = ?t + U ?x + Q (?r cos ? + r?1 ?? sin ?).
1.
????????????????? ????????
???? S? 6= 0, ?? ???????? ????????? ????????? ????????? ???
Y ? = 0,
p? ?x = 0,
p? (?r cos ? + r?1 ?? sin ?) = 0,
U? ?x + Q? (?r cos ? + r?1 ?? sin ?) +
+Q (??r sin ? + r?1 (?? + 1) cos ?) = 0,
?t + U ?x + Q (?r cos ? + r?1 (?? + 1) sin ?) +
+??1 Q?1 p? (??r sin ? + r?1 ?? cos ?) = 0.
1.1.
??????????????? ????????. ???? p? 6= 0, ?? ?? (1.1) ???????
?r cos ? + r?1 ?? sin ? = 0 ?
??r sin ? + r?1 ?? cos ? ?? = 0, ? = t, x.
?t = ?x = 0,
(1.1)
???????? ???????? ???????????? ???????. . .
127
?????? ??????? ?t = ?x = 0, ??? ??? ??????? ? ???????????. ?????????? ???????? ?
???????? ????????????? ??????? ? ????????????? ??????? ?? ?????????? {?t , ?x }. ??
??????? (1.1) ???????? ??? ?????????
?? + 1 = tg ??? ,
??? n(?) =
R
n? = tg ??? ,
n? + tg ?n? = 0,
p? ??1 Q?2 d?, ? = ln r. ???? ?? ????????? ?????????????
n = ? ln | cos ?| + k(?),
??? ?????? ????????? ???
cos?2 ??? = ?k 0 + tg ?,
cos?2 ??? = ?1 ? tg?k 0 .
(1.2)
??????? ???????????? ???? ????????? ?? ??????? k(?): k 00 + k 02 + 1 = 0, ???????
???????? k = ln | cos ?|+k0 ?????????? ? ????????? ?? ???????? ?? ?, ???????????? ????????
(1.1), k0 ? ??????????.
?????????????? ??????? (1.2) ???? ????????? ?????????????-???????????? ???????
cos
?
,
tg? + tg? = �r cos?1 ?, n(?) = k0 + ln cos ? ????????? ?? ???? ?????????? �, k0 , ? ???? ???????????? ??????? S(?), ?(?), Q(?).
1.2. ??????????????? ????????. ????? p? = 0, ?.?. f (?, S) = p0 ? ??????????. ?????
??????? (1.1) ????????? ???
?t + U ?x + Q (?r cos ? + r?1 ?? sin ?) = 0,
?t + U ?x + Q (?r cos ? + r?1 (?? + 1) sin ?) = 0,
(1.3)
?1
U ?x + Q? (?r cos ? + r ?? sin ?) +
+Q (??r sin ? + r?1 (?? + 1) cos ?) = 0.
????????? ????????? ??????????? ??????????
div ~u = 0.
(1.4)
?????? ?????????? ??????????
dx
dr
= U (?),
= Q(?) cos ?,
dt
dt
xt=0 = x0 , rt=0 = r0 ,
d?
= Q(?) sin ?,
dt
?t=0 = ?0 .
r
(1.5)
????? ??????? ??????? (1.3) ????? ???????? ? ??????? ??????? ?????? ???? (1.5)
? ???? ?(t, x, r, ?) = ?(t, x0 , r0 , ?0 ), ?(t, x, r, ?) = ?(t, x0 , r0 , ?0 ).
? ???? (1.3) ??????? ?????????
?t = 0,
?t + ?t = 0
?
? = ?(x0 , r0 , ?0 ),
? + ? = ?(x0 , r0 , ?0 ).
? ??????? ???? ???????? ??????? ?????? (1.5) ????? ???
x = U (?)t + x0 ,
r cos(? ? ?) = Q(?)t cos(? ? ?0 ),
r sin(? ? ?) = r0 sin(? ? ?0 ).
? ?????????? ??????????? ????????? ??? ????????? ???????????? ? ????
y = r cos ? = Q(?)t cos ? + y0 ,
??? y0 = r0 cos ?0 , z0 = r0 sin ?0 .
z = r sin ? = Q(?)t sin ? + z0 ,
(1.6)
128
?.?. ???????
????? ???????, ??????? ????? ? ??????. ???????? ? ?????????? ??????????? ?????????????? ?????????
u = U (?) = u0 ,
v = V cos ? ? W sin ? = Q(?) cos ? = v0 ,
(1.7)
w = V sin ? + W cos ? = Q(?) sin ? = w0 .
? ???? ??????? ?????? Jt = Jdiv ~u ? ????????? (1.4) ??????? ???????? ?? ???????????
????????? ? ????????? ????? ??????? J = 1 ??? ? ???? (1.6), (1.7)
?~
u
0
,
1 = I + t
?~x0 ??? I ? ????????? ???????, ?~u0 /?~x0 ? ??????? ??????? ???????????, ?????????? t ?????????.
?????? ???????, ??? ??? ?????????? ??????? ?~u0 /?~x0 ????? ????:
u0x0 + v0y0 + w0z0 ,
u0x0 u0y0
v0x0 v0y0
u0x0 u0z0
+
w0x0 w0z0
v0y0 v0z0
+
w0y0 w0z0
= 0,
(1.8)
u0
= 0.
det ?~
?~
x0
????? ??????? ???? ??????? ???????? ? [3]. ? ????? ?????? ?????????? ??????? ???????, ? ??????, ??????? ???? ??????? ?????:
~a � ?? ~b � ?? = ~b � ?? ~a � ?? , ~a � ?? = ~b � ??,
??? ~a = (U 0 , Q0 cos ?, Q0 sin ?), ~b = (0, ?Q sin ?, Q cos ?), ~a � ~b = 0. ??? ??????? ?? [3], ?????
?????? ??????? ????? ???? ??????? ?????? ??????? ???????.
2.
??????????????? ????????
????? S = S0 ? ??????????. ????? ???????? ????????? ????? ???????? ? ????
?t + U ?x + Q (?r cos ? + r?1 (?? + 1) sin ?) +
(2.1)
+??1 Q?1 p0 (??r sin ? + r?1 ?? cos ?) = 0,
??r sin ? + r?1 (?? + 1) cos ? = c(?)?x ,
?r cos ? + r?1 ?? sin ? = Q0 U 0?1 ?x ,
?t + b(?)?x = 0,
??? b(?) = U + ??1 U 0?1 p0 + QQ0 U 0?1 , c(?) = ??2 Q?1 U 0?1 p0 ?0 ? ?2 U 02 + Q02 .
????? ??????? ????????? (2.4) ????? ???????? ? ??????? ????
x ? b(?)t = g(?, r, ?),
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
??? g ? ???????????? ???????. ???????? ????? ??????????? ?????????? ?, r, ?, x.
??????????? ?? ?????? ?????????? ?????????? ????? ??????????? ??????? g ?
??(?, t, r, ?) = ?(t, x, r, ?) ?? ????????
b
1
gr
g?
?t = ?
, ?x =
, ?r = ?
, ?? = ?
;
0
0
0
g? + tb
g? + tb
g? + tb
g? + tb0
?x = ??? ?x ,
?1
??? t = (x ? g)b .
?? = ??? + ??? ?? ,
? = t, r, ?,
???????? ???????? ???????????? ???????. . .
129
????????? (2.3) ????????? ???
gr cos ?? + r?1 g? sin ?? = ?Q0 U 0?1 .
(2.6)
?????? ??????? ??t = 0.
????????? (2.2) ? ????? ??????????
???r (g? + tb0 + v?? gr ) sin ?? + r?1 cos ?? (??? + 1)(g? + tb0 ) ? g? ??? = c(?)
???????? ????????? ?????????? t. ????????????? ???? ???????????? ??? ?????????
?????????? ???? ?????????
???r sin ?? + r?1 (??? + 1) cos ?? = 0,
(2.7)
gr sin ?? ? r?1 g? cos ?? = c(?)???1
? .
??????????? ???????? ? ?????????? (2.1) ???? ?????????
(2.8)
??r cos ?? + r?1 (??? + 1) sin ?? = 0,
(2.9)
1/2
cp0 U 0
??? = k 0 (?) =
.
(2.10)
?Q(bU 0 ? U U 0 ? QQ0 )
?? ???????? (2.7), (2.9), (2.10) ??????? ??r = 0, ??? = ?1 ? ?? = k(?) ? ?. ? ??????
??????????? ????????? ????????? (2.8), (2.6) ?????????????
g = h(?) + r ck 0?1 sin(k ? ?) ? Q0 U 0?1 cos(k ? ?) ,
? ????? ??????? (2.6) ????????? ???
x ? b(?)t = h(?) + y ck 0?1 sin k ? Q0 U 0?1 cos k + z ?ck 0?1 cos k ? Q0 U 0?1 sin k .
?????? ???????, ??? ??????????? ?????? (? = const) ???? ????????? ??? ? ??????? ?????
[2].
?????? ??????????
1. ?????????? ?.?. ????????? ?????????. ??????? ???????? // ?????????? ?????????? ? ????????. 1994. ?. 58, ???. 4. ?. 30?55.
2. ??????? ?.?. ????????????? ?????? ? ??????? ????????. ???: ?????, 2003. 192 ?.
3. ?????????? ?.?. ????????????? ???????? ???? // ???????????????? ?????????. 1994. ?. 30,
? 10. ?. 1792?1799.
??????? ???????? ???????,
???????? ???????? ??? ???,
???????? ???????, 71,
450054, ?. ???, ??????
E-mail: habirov@anrb.ru
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