close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение задачи управления пространственным движением центра масс летательного аппарата.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2010. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 517.977
А. Н. Квитко, А. Нвохири
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ
ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Введение. Одним из важных и сложных аспектов проблемы динамики управляемого полета являются вопросы, связанные с переводом центра масс беспилотных летательных аппаратов в заданную точку фазового пространства. Классические подходы
решения этих вопросов подразумевают использование программных траекторий и траекторий наведения. В первом случае летательный аппарат движется по заранее заданной траектории, которая не может быть изменена в процессе движения, и по сути
решается задача ее стабилизации (см. [1–6]). Однако это обстоятельство значительно
ограничивает возможности систем управления. Во втором случае управление движением в каждый момент времени осуществляется в зависимости от положения объекта
управления относительно точки наведения с таким расчетом, чтобы обеспечить заданным перевод (см. [1, 5–8]). Такой метод управления требует постоянного отслеживания
точки наведения различными техническими средствами. Поэтому его применение снижает автономность системы управления.
В последние десятилетия появились технические возможности создавать гибкие автономные системы управления, которые с помощью бортовых вычислительных комплексов и навигационных систем могут самостоятельно определять траекторию перевода, используя только информацию о начальном или текущем положении объекта
управления. Математические подходы, направленные на решение этих технических вопросов, тесно связаны с задачами терминального управления движением центра масс
летательного аппарата. В работах [4, 8–12] на основе трудоемких численных методов,
требующих итеративных процедур, получены алгоритмы решения задач терминального управления для плоского и пространственного перевода центра масс летательного
аппарата в заданную точку. При этом используются жесткие ограничения на правую
часть: линейная зависимость правой части от управления, независимость аэродинамических коэффициентов от управления, постоянство массы и т. д.
Главное отличие результатов данной статьи от известных в мировой и отечественной литературе состоит в том, что в ней для более широкого класса систем дифференциальных уравнений, которые значительно точнее описывают поведение объекта управления, предложен достаточно простой для численной реализации алгоритм
Квитко Александр Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем факультета прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского
государственного университета. Количество опубликованных работ: 75. Научное направление: управление динамическими системами. E-mail: alkvit46@mail.ru.
Нвохири Антони – магистрант факультета прикладной математики–процессов управления СанктПетербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. Н. Квитко. Научное направление: управление динамическими системами. E-mail:
tonybush98@mail.ru.
c А. Н. Квитко, А. Нвохири, 2010
115
пространственного перевода центра масс летательного аппарата из начального состояния в заданное конечное состояние. Одновременно найдены конструктивные критерии
выбора конечных состояний, в которые возможен указанный переход с учетом ограничений на управление и фазовые координаты. Предлагаемая процедура дает возможность находить часть искомых функций фазовых координат в аналитическом виде.
Это обстоятельство позволяет осуществлять контроль исправности функционирования
бортовых вычислительных комплексов.
В настоящей статье развивается подход, предложенный в работе [13], в которой
для достаточно широкого класса нелинейных управляемых систем доказана теорема существования, утверждающая, что если существует решение задачи терминального управления, то существует такое решение, что часть соответствующих функций
фазовых координат может быть найдена в виде полиномов некоторой степени. Ниже для системы дифференциальных уравнений, описывающей управляемое движение
центра масс летательного аппарата, часть искомых функций фазовых координат находится в виде полиномов второго порядка. Это обстоятельство позволило получить
достаточно простой для численной реализации алгоритм, а также критерий выбора
начальных и конечных состояний, гарантирующий заданный перевод центра масса летательного аппарата. В дальнейшем предполагается решение задачи стабилизации полученных программных движений, которое может быть осуществлено традиционными
методами.
Постановка задачи. Система дифференциальных уравнений, описывающая
управляемое пространственное движение центра масс летательного аппарата, имеет
вид
m dV
dt = P cos α − X − mg sin θ,
mV
dθ
dt
= P sin α cos ν + Y cos ν − Z sin ν − mg cos θ,
−mV cos θ dψ
dt = P sin α sin ν + Y sin ν + Z cos ν,
dx
dt
dh
dt
dz
dt
(1)
= V cos θ cos ψ,
= V sin θ,
= V cos θ sin ψ,
ṁ = −q, q > 0,
l1 tg θ l2 , m̄1 tg ψ m̄2 ,
(2)
π
π
,
|ν| < K,
0<K < ,
(3)
2
4
где l1 , l2 , m̄1 , m̄2 , N, K, α1 – известные величины; P – тяга двигателя; m (t) –
масса летательного аппарата; q – расход топлива; S – площадь крыльев; V – модуль
скорости; θ – угол наклона траектории; ψ – угол поворота траектории; x – дальность
по поверхности земли; h – высота; z – боковое отклонение; ν – угол крена; α – угол
атаки (угол между направлением вектора скорости и характерным продольным направлением); X – лобовое сопротивление; Y – подъемное сопротивление; Z – боковое
сопротивление; Cx (α) , Cy (α) , Cz (α) – известные дифференцируемые функции угла
атаки, удовлетворяющие ограничениям
0 < α < α1 <
116
2
2
2
X = Cx (α) ρ(h)V
S; Y = Cy (α) ρ(h)V
S; Z = Cz (V ) ρ(h)V
S;
2
2
2
Cx1 Cx (α) Cx2 ; Cy1 Cy (α) Cy2 ; Cz1 Cz (V ) Cy2 ;
∂Cy
∂α
(4)
> 0;
α, ν – управляющие параметры, которыми мы можем распоряжаться, Cx1 , Cx2 , Cy1 ,
Cy2 , Cz1 , Cz2 – известные постоянные величины.
Пусть заданы состояния
t = t0 :
V = V0 , θ = θ0 , ψ = ψ0 , x = x0 , h = h0 , α (t0 ) = α0 , ν (t0 ) = ν0 ;
z = z0 ;
(5)
t = t1 : h = h1 , z = z1 , x = x1 .
Задача 1. Найти функции V (t), θ (t), ψ (t), x (t), h (t), z (t), α (t), ν (t) так, чтобы
они удовлетворяли системе (1) и условиям (5).
Определение 1. Указанный набор функций будем называть решением задачи (1), (5).
Решение задачи. Интегрируя последнее уравнение системы (1), находим
m (t) = m0 − qt,
(6)
m1 m (t) m0 .
Будем искать решение поставленной задачи, удовлетворяющее условию
ẋ > 0.
(7)
Если подставить (6) в (1) и разделить все уравнения полученной системы на четвертое
уравнение, то будем иметь систему
dV
dx
=
P cos α−X−mg sin θ
m(t)V cos θ cos ψ
dθ
dx
=
P sin α cos ν+Y cos ν−Z sin ν−mg sin θ
m(t)V 2 cos θ cos ψ
dψ
dx
=
P sin α sin ν+Y sin ν+Z cos ν
m(t)V 2 cos2 θ cos ψ
dh
dx
= tg θ cos1 ψ ,
dz
dx
= tg ψ,
dt
dx
=
1
V cos θ cos ψ
= f1 (V, α, t, x) ,
= f2 (V, α, ν, t, x) ,
= f3 (V, α, ν, t, x) ,
(8)
= f6 (V, x) ,
0 < α < α1 <
π
,
2
|ν| < K,
0<K <
π
.
4
Пусть заданы состояния
x = x0 : V = V0 , θ = θ0 , ψ = ψ0 , h = h0 , z = z0 , t = t0 , α = α0 , ν = ν0 ;
x = x1 : h = h1 , z = z1 ,
(9)
h0 > 0, h1 0.
117
Определение 2. Набор функций V (x), θ (x), ψ (x), h (x), z (x), t (x), α (x), ν (x) ,
удовлетворяющий системе (8) и условиям (9), будем называть решением задачи
(8), (9).
З а м е ч а н и е. Пусть выполнено условие (7). Тогда нетрудно видеть, что из решения
задачи (8), (9) после определения функции x (t), обратной к t (x), и ее подстановки
в решение задачи (8) получим решение исходной задачи (1), (5).
Будем искать функции θ (x), ψ (x), являющиеся решениями задачи (8), (9), в виде
2
u (x) = tg ψ (x) = A2 (x − x0 ) + A1 (x − x0 ) + tg ψ0 ,
(10)
2
υ (x) = tg θ (x) = B2 (x − x0 ) + B1 (x − x0 ) + tg θ0 .
Используя правые части второго и третьего уравнений системы (8), а также начальные
условия (9), получим значения коэффициентов A1 , B1
(
'
ρ(h0 )V0 2 S(Cy (α0 ) sin ν0 +Cz (V0 ) cos ν0 )
− P sin α0 sin ν0 +
2
A1 = 1 + tg2 ψ0
,
(11)
m0 V02 cos2 θ0 cos ψ0
P sin α0 cos ν0 +
B1 = 1 + tg2 θ0
ρ(h0 )V0 2 S(Cy (α0 ) cos ν0 −Cz (V0 ) sin ν0 )
2
m0 V02 cos θ0 cos ψ0
− mg sin θ0
.
(12)
Интегрируя пятое уравнение системы (8) после подстановки в его правую часть функции u (x) с учетом граничного условия (9), найдем значение коэффициента A2
2
A2 = 3
0)
− (x1 − x0 ) tg ψ0
z1 − z0 − A1 (x1 −x
2
(x1 − x0 )3
.
(13)
Используя определенные выше константы A1 , A2 , по формуле (10) получим известную
функцию u (x). Если подставить ее и функцию υ (x) с известным коэффициентом B1
в правую часть четвертого уравнения системы (8), будем иметь
,
dh
2
= υ (x) 1 + u (x) .
(14)
dx
Подставив в (14) известную функцию u (x), придем к уравнению
(,
dh '
2
2
= B2 (x − x0 ) + B1 (x − x0 ) + tg θ0
1 + A2 (x − x0 ) + A1 (x − x0 ) + tg ψ0 . (15)
dx
Интегрируя уравнение (15), получим
x
2
(τ − x0 )
h (x) = h0 + B2
,
2
1 + u (τ ) dτ +
x0
x
+ B1
x0
x ,
,
2
(τ − x0 ) 1 + u (τ ) dτ + tg θ0
1 + u (τ )2 dτ .
(16)
x0
Подставив в (16) значение x = x1 с учетом граничного условия (9), найдем значение
коэффициента B2
118
7x1
h (x1 ) = h1 = h0 + B2
(x − x0 )
x0
2
,
,
7x1
2
2
1 + u (x) dx + B1 (x − x0 ) 1 + u (x) dx +
7x1 ,
1 + u (x)2 dx,
+ tg θ0
x0
x0
7x1
h1 − h0 − B1
x0
B2 =
(x − x0 )
7x1
,
x
71 ,
1 + u (x)2 dx − tg θ0 ( 1 + u (x)2 dx
,
2
2
(x − x0 )
1 + u (x) dx
x0
.
(17)
x0
Из пятого уравнения системы (8) имеем
z (x) =
A1
A2
3
2
(x − x0 ) +
(x − x0 ) + (x − x0 ) tg ψ0 .
3
2
(18)
В результате получим известные функции h (x), z (x), ψ (x), θ (x).
Лемма 1. Существуют константы V1 > 0, V2 > 0, h1 , h2 такие, что решение
задачи Коши для первого, четвертого и пятого уравнений системы (8) с начальными
данными (9) (при условии, что в их правую часть подставлены известные непрерывные функции θ (x) , ϕ (x) из области (2)) удовлетворяет неравенствам
V1 V (x) V2 , h1 h1 (x) h2 , z1 z (x) z2 ,
(19)
где V1 , V2 , h1 , h2 , z1 , z2 – постоянные величины.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим пятое уравнение системы (8) и второе
dz
m̄2 даст
неравенство системы (2). Неравенство dx
z (x) h0 + m̄2 (x − x0 ) h0 + m̄2 (x1 − x0 ) = z2 .
Аналогично, неравенство
dz
dx
m̄1 даст оценку
z (x) h0 + m̄1 (x − x0 ) h0 + m̄2 (x1 − x0 ) = z1 .
Рассмотрим систему (2) и четвертое уравнение системы (8):
,
dh
l2 1 + m̄22 ,
dx
,
h (x) h0 + l2 1 + m22 (x1 − x0 ) = h2 .
Аналогично,
dh
l1 ,
dx
h (x) h0 + l1 (x1 − x0 ) = h1 .
Введем в рассмотрение множество
$
%
0 α α1 ; l1 tg θ l2 ;
.
Ω1 =
h 1 h h 2 ; m0 m m1
(20)
119
Тогда в области (20) получим оценки
dV
f¯1 (V, x) ,
dx
(21)
dV
f¯1 (V, x) ,
dx
(22)
где f¯1 = max f1 (V, α, h, θ, t, m), f¯1 = min f1 (V, α, h, θ, t, m).
Ω1
Ω1
Интегрируя неравенства (21), (22) на промежутке [x0 , x1 ] с начальным условием
V (x0 ) = V0 , находим известные функции V̄ (x) и V (x) соответственно.
Положим V2 = max V̄ (x), V1 = min V (x). В результате получены константы,
[x0 , x1 ]
[x0 , x1 ]
фигурирующие в правых и левых частях неравенств (19).
Лемма доказана.
Ниже будем предполагать, что конечное состояние x1 выбрано так, что h1 > 0. Если
подставить функции (10)–(13), (17), (18) в левую и правую части второго и третьего
уравнений системы (8) и продифференцировать полученные равенства по x, то будем
иметь систему
⎛
⎞
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛ dα ⎞
ψ1
∂f2
∂f2
d2 θ
2
∂ν
dx
⎜
⎟
⎜ dx ⎟ ⎝ ∂α
⎟,
⎠⎝
⎠+⎜
(23)
⎠=
⎝
⎝
⎠
∂f3
dν
∂f3
d2 ψ
dx
∂α
∂ν
dx2
ψ2
где
ψ1 =
∂f2 dV
∂V dx
+
∂f2 dt
∂t dx
+
∂f2
∂x ,
ψ2 =
∂f3 dV
∂V dx
+
∂f3 dt
∂t dx
+
∂f3
∂x .
(24)
Обозначим
⎛
A (α, ν, t, V, x) = ⎝
Разрешив систему (23) относительно
⎛
⎝
dα
dx
dν
dx
Из (8), (25) получаем
⎛
⎜
A=⎜
⎝
120
dα
dx
и
⎡⎛
⎞
⎢
⎠ = A−1 ⎢⎜
⎣⎝
P cos α cos ν+ ∂αy ρV 2 S cos ν
m(t)V 2 cos θ cos ψ
P
∂C
∂C
cos α sin ν+ ∂αy ρV 2 S sin ν
2
m(t)V cos2 θ cos ψ
dν
dx ,
∂f2
∂α
∂f2
∂ν
∂f3
∂α
∂f3
∂ν
⎞
⎠.
будем иметь
⎞ ⎛
ψ1
d2 θ
dx2
⎟ ⎜
⎠−⎜
⎝
d2 ψ
dx2
ψ2
(25)
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥ .
⎠⎦
−(P sin α sin ν+Y sin ν+Z cos ν)
m(t)V 2 cos θ cos ψ
(P sin α cos ν+Y cos ν−Z sin ν)
m(t)V 2 cos2 θ cos ψ
(26)
⎞
⎟
⎟.
⎠
(27)
Из вида матрицы (27) следует
det A =
(P cos α +
∂Cy
2
∂α ρV S) (P sin α cos ν (cos ν
m2 V 4 cos3 θ cos2 ψ
Согласно (3), det A = 0. Тогда
⎛
⎜
⎜
⎝
−1
A
=
+ sin ν) + Y )
P sin α cos ν+Y cos ν−Z sin ν
m(t)V 2 cos2 θ cos ψ
−P cos α sin ν− ∂αy )ρV 2 S sin ν
m(t)V 2 cos2 θ cos ψ
P sin α sin ν+Y sin ν+Z cos ν
m(t)V 2 cos θ cos ψ
P cos α cos ν+ ∂αy ρV 2 S cos ν
m(t)V 2 cos θ cos ψ
∂C
∂C
.
⎞
⎟
⎟
⎠
.
det A
(28)
С помощью (28) построим систему
⎛
⎝
dα
dx
dν
dx
⎡
⎛
⎢
⎢⎜
⎠ = A−1 ⎢⎜
⎢⎝
⎣
⎞
dV
dx
=
1
m(t)V cos θ cos ψ
dt
dx
=
1
V cos θ cos ψ
⎞
d2 θ
dx2
⎛
⎜
⎟ ⎜
⎟−⎜
⎠ ⎜
⎝
d2 ψ
dx2
ψ1
⎞⎤
⎛
⎟⎥
⎟⎥
⎟⎥ = ⎝
⎟⎥
⎠⎦
ϕ1 (V, t, α, ν, x)
⎞
⎠,
ϕ2 (V, t, α, ν, x)
ψ2
(29)
(P cos α − X − mg sin θ) = f1 (V, α, ν, t, x),
= f6 (V, x) ,
α (x0 ) = α0 , ν (x0 ) = ν0 , t (x0 ) = t0 , V (x0 ) = V0 ,
(30)
которая получена присоединением к системе (26) первого и шестого уравнений системы
(8) после подстановки в их правую часть известных функций θ (x), ψ (x), h (x), z (x).
Систему (29), (30) с учетом (24) можно записать в виде
dV
dx
dt
dx
dα
dx
= ϕ1 (V, t, α, x),
dν
dx
= ϕ2 (V, t, α, ν, x),
=
1
m(t)V cos θ cos ψ
=
1
V cos θ cos ψ
(31)
(P cos α − X − mg sin θ) = f1 (V, α, t, x),
(32)
= f6 (V, x),
x = x0 : α (x0 ) = α0 , ν (x0 ) = ν0 , t (x0 ) = t0 , V (x0 ) = V0 .
(33)
Лемма 2. Функции V (x), t (x), α (x), ν (x), являющиеся решением задачи Коши
для системы (31), (32) с начальными данными (33), в совокупности с известными
функциями θ (x), ψ (x), h (x), z (x) удовлетворяют системе (8) и граничным условиям (9).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственными подстановками функций θ (x),
ψ (x), h (x), z (x) убеждаемся, что они обращают пятое и шестое уравнения системы (8)
в тождество.
121
Интегрируя систему (23), получим
⎛
⎛ dθ
⎞
f2 (V (x),
dx (x)
⎜
⎝
⎠=⎜
⎝
dψ
dx (x)
f3 (V (x),
⎛
⎞
⎛ dθ
f2 (V (x0 ),
dx |x=x0
⎜
⎠=⎜
⎝
⎝
dψ
dx |x=x0
f3 (V (x0 ),
α (x), ν (x), t (x)) + C1
⎞
⎟
⎟,
⎠
α (x), ν (x), t (x)) + C2
α (x0 ), ν (x0 ), t (x0 )) + C1
⎞
⎟
⎟.
⎠
α (x0 ), ν (x0 ), t (x0 )) + C2
Согласно (11) и (12), находим
f2 (V (x0 ), α (x0 ), ν (x0 ), t (x0 )) + C1 = f2 (V (x0 ), α (x0 ), ν (x0 ), t (x0 )),
f3 (V (x0 ), α (x0 ), ν (x0 ), t (x0 )) + C2 = f3 (V (x0 ), α (x0 ), ν (x0 ), t (x0 )).
Отсюда C1 = C2 = 0.
В свою очередь, первое и второе уравнения системы (32) совпадают с первым
и шестым уравнениями системы (8).
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть для конечного состояния x1 выполнено неравенство
⎧
α K1 (x1 − x0 ) ,
⎪
⎨ 0
α1 − α0 K1 (x1 − x0 ) ,
(34)
⎪
⎩
K2 (x1 − x0 ) K − |ν0 |,
где
K1 = max |ϕ1 |, K2 = max |ϕ2 |,
$
Ω2 =
Ω2
Ω2
V, θ, ψ, h, x, m|, V1 V (x) V2 , l1 tg θ l2 , h1 h h2 ,
m̄1 tg ψ m̄2 , m0 m m1 , x0 x x1
%
.
Тогда компоненты α (x) , ν (x) решения задачи Коши для системы (31), (32) с начальными данными (33) удовлетворяют ограничениям (3).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя систему (31) с начальными данными (33),
получим
7x
α (x) = α0 + ϕ1 dx,
0
ν (x) = ν0 +
Из (34) следует
0 α (x) = α0 +
ν (x) | = |ν0 +
7x
0
7x
0
7x
0
ϕ2 dx.
ϕ1 dx α1 ,
ϕ2 dx| K.
Из оценок (35) следует справедливость утверждения леммы 3.
Лемма доказана.
122
(35)
Лемма 4. Пусть для функций θ (x), ψ (x), определенным по формулам (10)–(13),
(17), выполнены условия
m̄1 −tg ψ0
(x1 −x0 )
l1 −tg θ0
(x1 −x0 )
m̄1 − tg ψ0
(x1 − x0 )
2
−
m̄2 −tg ψ0
(x1 −x0 )
− A1 < 0,
− B1 < 0,
du
dx |x0
x1 − x0
l2 −tg θ0
(x1 −x0 )
− A1 > 0,
(36)
− B1 > 0,
du
|x
d2 u
m̄2 − tg ψ0
− dx 0 ,
2
2
dx
x1 − x0
(x1 − x0 )
(37)
dυ
d2 υ
l2 − tg θ0
dx |x0
−
.
2
2
2
x1 − x0
dx
x1 − x0
(x1 − x0 )
(x1 − x0 )
Тогда будет иметь место ограничение (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенств (36), (37) имеем
l1 − tg θ0
dυ
dx |x0
−
du
m̄1 − tg ψ0
|x −
x1 − x0
dx 0
x
x0
(38)
m̄2 − tg ψ0
du
d2 u
|x ,
−
dx2
x1 − x0
dx 0
m̄2 − tg ψ0
du
m̄1 − tg ψ0
,
x1 − x0
dx
x1 − x0
x
m̄1 − tg ψ0 du
m̄2 − tg ψ0 ,
dx
x0
m̄1 u (x) m̄2 .
Аналогично, из неравенства (36), (38) получим
l1 υ (x) l2 .
Лемма доказана.
Обозначим
"
1
m̄1 + 5 tg ψ0 −
M1 =
6
"
1
m̄2 + 5 tg ψ0 −
M2 =
6
L1 =
1
2
'
l1 −tg θ0
(x1 −x0 )2
−
dV
dx |x0
x1 −x0
#
du
|x0 (x1 − x0 ) + 3A1 (x1 − x0 ) (x1 − x0 ) + z0 ,
dx
#
du
|x0 (x1 − x0 ) + 3A1 (x1 − x0 ) (x1 − x0 ) + z0 ,
dx
( x71
2
(x − x0 )
x0
+ tg θ0
√
1 + u2 dx + B1
7x1
(x − x0 )
√
1 + u2 dx +
x0
x
71 √
1 + u2 dx,
x0
L2 =
1
2
'
l2 −tg θ0
(x1 −x0 )2
−
dV
dx |x0
x1 −x0
( x71
2
(x − x0 )
x0
+ tg θ0
√
x
71 √
1 + u2 dx + B1
7x1
(x − x0 )
√
1 + u2 dx +
x0
1 + u2 dx.
x0
123
Рассмотрим следующие неравенства:
M1 z1 M2 ,
(39)
L 1 h1 L 2 ,
(40)
l1 − tg θ0 − B1 (x1 − x0 ) < 0, l2 − tg θ0 − B1 (x1 − x0 ) > 0,
(41)
m̄1 − tg ψ0 − A1 (x1 − x0 ) < 0, m̄2 − tg ψ0 − A1 (x1 − x0 ) > 0.
Теорема. Пусть для начальных и конечных состояний z1 , h1 , x1 выполнены
условия (34), (36), (39), (40), а также неравенства (41).Тогда решение задачи Коши для систем (32), (33) с начальными условиям (34) в совокупности с функциями
(10–(13), (17) дают решение задачи (8), (9).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (39) получим
z1−z0
du
m̄1 + 5tg ψ0 − du
dx |x0 (x1 −x0 )+3A1 (x1 −x0 ) 6 x1−x0 m̄2 + 5 tg ψ0 − dx |x0 (x1 −x0 )+
+ 3A1 (x1 − x0 ) ,
m̄1 + 5 tg ψ0 −
du
dx |x0
(x1 − x0 ) 6
'
0)
− A1 (x1 −x
2
z1 −z0
x1 −x0
(
m̄2 + 5 tg ψ0 −
− du
dx |x0 (x1 − x0 ) ,
m̄1 − tg ψ0 −
du
dx |x0
(x1 − x0 ) 6
z1 −z0 −A1
(x1 −x0 )2
2
−(x1 −x0 )tgψ0
(x1 −x0 )
m̄2 − tg ψ0 −
− du
dx |x0 (x1 − x0 ) ,
m̄1 − tg ψ0
−
2
(x1 − x0 )
du
dx |x0
x1 − x0
2
6
0)
z1 − z0 − A1 (x1 −x
− (x1 − x0 ) tg ψ0
2
3
(x1 − x0 )
m̄2 − tg ψ0
2
(x1 − x0 )
−
du
dx |x0
x1 − x0
Отсюда имеем
m̄1 − tg ψ0
2
(x1 − x0 )
−
du
dx |x0
x1 − x0
du
d2 u
m̄2 − tg ψ0
dx |x0
=
2A
−
.
2
2
dx2
x
1 − x0
(x1 − x0 )
Аналогично, из условия (40) находим
l1 − tg θ0
2
(x1 − x0 )
−
dυ
dx |x0
x1 − x0
2
h1 − h0 − B1
124
7 x1
x0
√
7x √
(x − x0 ) 1 + u2 dx − tg θ0 x01 1 + u2 dx
7 x1
2√
1 + u2 dx
x0 (x − x0 )
l2 − tg θ0
2
(x1 − x0 )
−
dυ
dx |x0
x1 − x0
.
.
Отсюда
l1 − tg θ0
(x1 − x0 )2
−
dυ
dx |x0
x1 − x0
dυ
d2 υ
l2 − tg θ0
dx |x0
=
2B
−
.
2
2
dx2
x
1 − x0
(x1 − x0 )
Используя эти неравенства и леммы 1–4, получим доказательство справедливости теоремы.
Следствие. Согласно замечанию, после перехода в решении задачи (8), (9) к исходной независимой переменной t получим решение задачи (1), (4).
П р и м е р. Решение задачи управления движением центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости. В качестве иллюстрации предложенного алгоритма рассмотрим задачу перевода центра масс летательного аппарата,
движущегося в вертикальной плоскости.
Согласно [1], система уравнений, описывающая движение центра масс летательного
аппарата в вертикальной плоскости, имеет вид
'
(
ρ(h)
dV
1
2
P
cos
α
−
C
=
(α)
SV
−
mg
sin
θ
,
x
dt
m
2
'
(
dθ
1
2
P sin α + Cy (α) ρ(h)
dt = mV
2 SV − mg cos θ ,
(42)
dh
dt = V sin θ,
dx
dt
= V cos θ,
ṁ = −q.
Задача 2. Пусть в момент t = t0 заданы состояния
V = V0 , θ = θ0 , h = h0 , x = x0 , α = α0 .
(43)
Требуется найти α(t) так, чтобы в некоторый момент t = t центр масс летательного
аппарата перешел в состояние
h (t ) = h1 , x (t ) = x1 ,
(44)
где x1 , h1 – заданные значения высоты и дальности.
Решение задачи. Система (42) и граничные условия (43), (44), если в качестве
независимой переменной принять дальность по поверхности Земли, примут вид
dV
dx
=
1
m(t)V cos θ
dθ
dx
=
1
m(t)V 2 cos θ
dh
dx
= tg θ ,
dt
dx
=
1
V cos θ
'
(
2
P cos α − Cx (α) ρV2 S − m (t) sin θ = f1 (V, θ, h, α, t),
(
'
2
P sin α + Cy (α) ρV2 S − m (t) cos θ = f2 (V, θ, h, α, t),
(45)
= f4 (V, θ),
x = x0 : V = V0 ; θ = θ0 ; h = h0 ; α = α0 ; t = t0 ,
x = x1 : h = h1 ,
(46)
h0 > 0, h1 > 0.
125
Будем искать закон изменения, соответствующий искомому управлению, в виде
2
u (x) = tg θ (x) = B2 (x − x0 ) + B1 (x − x0 ) + tg θ0 .
Используя второе и третье уравнения системы (45) и граничные условия (46), получим
"
#
1
ρ (h0 ) V02
S
−
m
B1 = 1 + tg2 θ0
+
C
(α
)
g
cos
θ
P
sin
α
0
y
0
0
0 ,
m0 V02 cos θ0
2
2
B2 = 3
0)
− (x1 − x0 ) tg θ0
h1 − h0 − B1 (x1 −x
2
(x1 − x0 )
3
3
,
2
(x − x0 )
(x − x0 )
+ B1
+ (x − x0 ) tg θ0 + h0 .
3
2
Если подставить известные функции h (x), θ (x) в левую и правую части второго уравнения системы (43), продифференцировать полученное равенство по x и разрешить
его относительно dα
dx , то находим
h(x) = B2
dα
=
dx
"
#−1 "
#
d2 θ
∂f2 dt
∂f2
∂f2 dV
−
−
−
= ϕ3 (V, α, t, x) ,
dx2
∂V dx
∂t dx
∂x
"
#
∂f2
1
∂Cy V 2
=
P cos α +
ρ S .
∂α
m (t) V 2 cos θ
∂α 2
∂f2
∂α
Если подставить известные функции h (x), θ (x) в правую часть первого и четвертого
уравнений системы (45), то получим вспомогательную систему
2
dV
dx
=
P cos α − Cx ρ(h(x))V
S −m(t)g sin θ(x)
2
m(t)V cos θ(x)
dt
dx
=
1
V cos θ(x)
dα
dx
= ϕ2 (V, x),
(−1 ' 2
∂f2 dV
d θ
2
= ∂f
∂α
dx2 − ∂V dx −
'
= ϕ1 (V, α, t, θ),
(47)
∂f2 dt
∂t dx
−
∂f2
∂x
(
= ϕ3 (V, h (x) , t, θ (x) , α)
с начальными данными
V (0) = V0 , t (0) = t0 , α (0) = α0 .
(48)
В процессе численного моделирования интегрировалась система (47), (48) при m0 =
103 кг, P = 50 · 103 нт, S = 300 м2 , q = 1 кг/с, Cx = 0, 1, Cy = 1, 8 · sin α, θ0 = 0,
h0 = 20 · 103 м, x0 = 0, x1 = 50 · 103 м, h1 ≈ 17 · 103 м, V0 = 2 · 103 м/с, α0 = 9 · 10−6 .
На рисунке приведены графики изменения функций α (x) и V (x), соответствующие
решению поставленной задачи.
126
Зависимость изменения функций α(а) и V (б) от величины x
Заключение. Результаты численного моделирования задачи перевода центра масс
летательного аппарата, движущегося в вертикальной плоскости, показывают, что полученный алгоритм решения задачи управления пространственного движения центра
масс летательного аппарата может быть реализован с помощью персональной ЭВМ
средних возможностей, не требующих большого объема памяти и быстродействия.
Литература
1. Лебедев А. А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета. М.: Оборонгиц, 1962. 550 с.
2. Крищенко Л. П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем // Изв.
АН. Техн. кибернетика. 1994. № 1. С. 48–57.
3. Привалова О. Г. Теория и системы управления // Изв. РАН. 1995. № 2. C. 151–160.
4. Leman C., Hauser J. Design and initial flight test of the champagne flyer // Pror. 33rd IEEE Conf.
Decix. and Contr. 1994. Vol. 4. P. 3852–3853.
5. Акуленко Л. Д., Анальенский И. М., Бальтник Н. В., Коршев С. Б. Об одной модификации
метода параллельного сближения // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59, № 3. С. 410–418.
6. Berkman P. Prich H. Optimal control problem with third-order state constraint and varied switching
structure // J. Optimiz. Theory and Appl. 1995. Vol. 85, N 1. P. 21–57.
7. Lu P., Burken J. Controlling aircraft with engine thrust only: non-linear challenges // Non-linear
anal Theory Math. and Appl. 1999. Vol. 35, N 1. P. 21–35.
8. Мартьянов А. С. Реконструкция в реальном времени управления и траектории летательного
аппарата // Тез. докл. Всерос. конференции 2–6 февраля 2006 г. Екатеринбург, 2006. С. 195–196.
9. Верещагин Ф. П. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы. Пермь:
Изд-во Пермск. гос. ун-та, 1972. 294 с.
10. Cazit R., Cutman S. Development of guidance laws // Dyn. and Contr. 1991. Vol. 1, N 2. P. 177–198.
11. Шкадов Л. М., Буханова Р.С., Илларионов В. Ф., Плохих Р.С. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение, 1972. 240 с.
12. Тараненко В. Т., Момджи В. Г. Прямой вариационный метод в краевых задачах динамики
полета. M.: Машиностроение, 1986. 127 с.
13. Квитко А. Н. Об одной задаче терминального управления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1:
Математика, механика, астрономия. 1997. Bып. 2 (№ 8). С. 16–21.
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.
Статья принята к печати 10 июня 2010 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
369 Кб
Теги
решение, движение, аппарата, массы, летательного, управления, пространственной, задачи, центр
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа