close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение одной системы дифференциально- алгебраических уравнений и применение к математическому моделированию нелинейных цепей.

код для вставкиСкачать
??????? ?
????????
??????????
I1
C1
I2
C2
??? 517.9
??????? ????? ???????
????????????????????????????? ????????? ?
?????????? ?
???????????????
????????????? ??????????
?????
??????? ?.?.
???? ?????? ? ????????? ?????????????? ??????
??????????? ?????????????? ??????????? ???????????????? ? ??????????? ????????? ????? ? ?????????? ?? ??? ?????????.
??????:
F1 (t U C1 )
(1)
F2 (t U C2 )
(2)
)1 (t I L1 )
(3)
dU C2
U1
L1
U2
L2
U3
L3
dt
dI L1
dt
dI L 2
) 2 (t IL 2 )
(4)
) 3 (t I L3 )
(5)
dt
dI L3
dt
???? ? ????????, ? ??????? ) k ? ????????? ?????? ?
??????????????.
???? ? ?????????? ?? ????????? ? ????????? ??????
??????? ?????? ????????????? ?????????? ????????:
I L1 I1
UC1 U C2 U 2
I U1
U C1 U I L3 I 2
(6)
I IL2
I ????????? ???????? ?????????? I1 I2 U1 U 2 U 3 ??
????????? ????????? (1)?(5) ? ????????? ????????
(6), ??????? ????????? ??????? ????????????????????????????? ?????????, ??????????? ???? I Lk
? ?????????????? ? ?????????? UCk ? ????????
????????????????:
1. ??????? ????? ?????????, ??????????? ??? ????????????? ????????????? ????? ? ??????????? ??????????.
C1
C2
2. ?????????????? ? ???????? ??????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ??? ??????? ??????
?????????.
3. ????????? ????????? ????? ?????????? ???????.
L2
2. ?????????? ??????
?????????? ?????????? ???????????????, ???????????? ?? ???. 1.
dt
????? ??????? Fk ????????????? ?????????? ??????
???????????? ??????? ????????????? ? ??????????????
????????? ?????? ??? ????? ???????????? ??????? ???????????????-?????????????? ????????? ? ???????? ????????? ?????. ?????????? ?????????? ??????????? ???
??????? ????? ????????????? ????.
1. ????????
dU C1
dI L2
dt
dU C1
dt
dU C2
IL1 (t)
I (t) F1 (t UC1 )
I L3 (t) I (t) F2 (t U C2 )
dt
dI L
L1 1 U C1 (t) )1 (t IL1 )
dt
U C1 (t) U C2 (t)
IL 2 (t)
(7)
U (t) ) 2 (t IL2 )
I (t)
? ?????? ??????????? ???????? ????? ??????????
??????????????? ??????? ??? I (t) ? ??????? ?????????? U (t) ????????? ?????????? ?????????.
C?????? (7) ???????????? ? ????????? ?????
d
(Ax(t)) Bx(t)
dt
f (t x(t))
(8)
???
???. 1. ????? ?????????????? ??????????? ????????????????
????????????? ?????? ????????? ???????????????? ??????????? ?????????? ??????????? ???????????? ????? I k ? ?????????? U k :
??, 2008, ? 3
x
зU
и C1
и
и UC
2
и
и I
L
1
и
и
и IL2
и
и IL
3
й
╖
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╣
A
з C1 0
и
и 0 C2
и0
0
и
0
и0
и0
0
й
0
0
0
0
L1
0
0
L2
0
0
0╖
╕
0╕
0 ╕,
╕
0╕
0 ╕╣
15
B
з0
и
и0
и 1
и
и1
и0
й
0 1 0 0╖
╕
0 0 0 1╕
0 0 0 0 ╕ f (t x)
╕
1 0 0 0╕
0 0 1 0 ╕╣
з I (t) F1 (t x1 ) ╖
и
╕
и I (t) F2 (t x 2 ) ╕
и
╕
)1 (t x 3 )
и
╕
и U (t) ) 2 (t x 4 ) ╕
и
╕
I (t)
й
╣
???????? ? ?????????? ???????????????-?????????????? ?????????, ??????? ????????? ????? (8) ?
????????????? ????????????, ?????????? ?????????
[1-3].
????????? (8) ? ???????????????? ????????? ????????????? ?????????? ?????? ???????????? ?????????? ????????. ???????????? ????? ????????? ????????????? ? [4-8]. ? ?????????? [9] ????????
????????? ?????????? ??? ??????????? ?????????
???? (8), ??????? ????? ????? ?????? ?????????????? ??????????? A , B , ? ????? ??? ????????? ?
????????????? ? ????????? ? ??????????? ?????????????.
?????? ??????????????? ????????? (8) ???????? ????????? ??????????? ??????????????????? ?????
(OA B)1 ?? ?????????????. ? ???? ???????????????
??????????????? ??????? ????????? ????????????
?????????????? ??????????????????? ????? OA B ,
???????, ? ???? ???????, ???????? ????? ?? ???????????? ????????, ???????? ?? ???????????? ??????????? ??????. ??? ???????????? ??????? ??????????? ??????????????????? ????? ????? ???
(OA B) 1
з
OL1
и
и
2
и 1 O C1L1
и
и
OL1
и
и 1 O2C L
1 1
и
и
и
1
и
и 1 O2C L
1 1
и
и
0
и
и
и
O 2 L1C2
и
ии
2
й 1 O C1L1
0 0
0
1
0
1 O 2 C1L1
1
1
2
1 O C1L1
OC1
0
2
1 O C1L1
0
1 0
OC 2
1 O 2 C1L1
0
OC 2
╖
0 ╕╕
╕
╕
╕
OL2 ╕
╕
╕
╕
╕
0 ╕
╕
╕
1 ╕╕
╕
╕
O 2C2L2 ╕╕
╕
╣
.
??????????? ?????????? ????? | OA B | ?????
O 2 C1L1 1 . ????????, ??????????? ??????? ?? ????
??? ???? O П C \{i C1L1 , i C1L1 } . ????? ????, ?????, ??? ??? ??????????? ????? ??????????? ??????
|| (OA B)1 ||d C _ O _2 O o f
(9)
????? ?? ????? ????????????, ??? ? ????? ??????
????? OA B ?????????, ?? ???? ?????????? ????????
O П C , ??? ???????? det(OA B) z 0 , ? ???????????
?????? ??? ??????????? (9).
??? ???????????? ????????? ???? (8) ?????, ?? ???????? ? ????????????? ????????????????? ???????????, ???????? ?????? ???? ? ????????? ?? ????????????. ?????? ? ??????? ?? ???????????? ???????????????? ????????? ? ?????? ?????? ???????
?????????????? ?????????. ? ???? ?????????????
16
??????? A ????? ????????? ??????? (8) ????????
???????????????. ??????? ?? ??? ?????????? ??????? x ? ????????? ?????? ??????? ????? ???? ??????
???????????. ? ???????? ??????? ???????? ???????????, ??? ???????, ????? ?????????? ?????. ?
??????????? ??????? ???? ???? ??????????? ??????
????????? ???????? (6). ??? ???????????? ???????????? ?????? ???? ??? ????????? ???? (8) ????????
??????????? ?????????? ? ???? ?????????????? ??????? ?? ????????? ??????. ????????? ????? ??????? ??????????? ?????????? ? ?????? ????????? ????????? ???????????? ??????????? ???????????????????
????? OA B . ? ????? ? ???? ? ?????? ?????? ??????????? ???????????? ????????? (8) ? ????????? ????????
P1 x(t 0 )
P1 x 0 (10)
??? P1 ? ???????? ? ???????????? R n .
3. ????????????? ???????
? ?????? [10] ???????? ?????????? ??????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ?????? ???? ???
????????? (8) ? ???????????????? ????????? ????????????? ??? ???????, ??? ??????????? ????? ??????? ?????? ??????????? || (OA B)1 ||d C _ O _ O o f
???? ????? ????????? ????????? ??????????? ??????????? ? ?????????? ?? [10] ? ???????? ???????
????????????? ? ?????????????? ??????? ?????????
?????? ???? (8), (10) ? ????????????? ?????????????
??? ??????????? (9) ?? ??????? A , B.
???????? [4, 11], ??? ? ?????? ??????????? ?????
OA B ? ??? ??????? (9) ? ??????? ??????????
?????????????? ????? ????????? ???????????? ????????? ???? ?????:
│
1
(11)
(OA B) 1 AdO, P2 IX P1 ,
2Si *
1
Q1
A(OA B) 1 dO, Q 2 I Y Q1 , (12)
2Si *
?????????? ????? ??????? ????????? ?????????
?????? ?????????? ???????????? R n , ??????? ???????? ????? OA B :
P1
│
Rn
X1 X 2 R n
Y1 Y2 (X k
Pk R n Yk
Qk R n )
A(X k ) Н Yk B(X k ) Н Yk k 1 2
??????????????? X 2 , Y2 ? ???? ??????? ?????????????? ? ?????? ????? ??????????????
X2
X 20 X 21 X 22 Y2
Y20 Y21 Y22 (13)
??????????????? X 20 ????????? ? ??????????? ??????? A ? ????? ????? ????????? ???????????:
Y20
BX 20 AX 21
AX 22
Y20 Y21
Y21 Y22
BX 21 BX 22 ????????? ? ?????????? (13) ??. ? [12].
??, 2008, ? 3
????? P2i X o X 2i , Q 2i Y o Y2i i 01 2 ? ?????????, ?????????? ?????????? (13). ????????, ???
??????????? ??????????? P2 P20 P21 P22 ,
Q 2 Q20 Q21 Q 22 . ?????????? ?????????? P2i , Q 2i
????????? ? [12].
n
n
?? ??????????? ??????? f (t x) [t 0 T] u R o R ?
????? OA B ???????? ??????????? ???????????,
???? ??? t П [t 0 T] x П R n ??????????? ???????
Q 22 (f (t x) f (t P22 x))
0
Q 21 (f (t x) f (t (P21 P22 )x))
(14)
0
(15)
? ??????, ????? ??????????? ????? ??????? ??????
??????????? || (OA B) 1 ||d C _ O _ , O o f , ??????????????? X 22 , Y22 ???????????. ??? ???? ?????????
P22 , Q 22 ?????????? ??????? ???? ? ?????? ???????
????????? ???????????? ??????????????? (14), (15)
???????? ????? ??????, ??? ??????? ????????????
???????????????, ??????????? ? ?????? [10].
?????
G
Q1A Q 2 B
???????? ?????? ???? (8),(10) ?? ??????? [t 0 T]
????? ???????? ????? ??????????? ???????
x(t) [t 0 T] o R n , ??????????????? ????????? (8)
??? t П [t 0 T] ? ?????????? ??????? (10), ??? ??????? ??????? Ax(t) ?????????? ??????????????? ??
[t 0 T] .
????? ? ????? ?? ?????? ???????????????, ??? ? ??????? (10) ???????????? ???????? P1 , ???????????? ?
(11).
???????. ???????????, ????? OA B ?????????,
???????? ??????????? ?????????? ? ?????? (14),
(15) ? ?????? ?????? ????????? (8)
f (t x) П C([t 0 T] u R n R n ) ? ??????????? ?????? (9).
????? ????? ??????????? ???????
|| Q1 (f (t G 1x1 ) f (t G 1x 2 )) ||d
d L1 || x1 x 2 || t П [t 0 T] x1 x 2 П R n 20
|| Q 20 (f (t G 1x1 ) f (t G 1 x 2 )) ||d
d L 2 || x1 x 2 || t П [t 0 T] x1 x 2 П R n 30
Q21f (t x) П C1 ([t 0 T] u R n ) ||
wQ 21f
wx
(t x)G 1 ||d
d L3 t П [t 0 T] x П R n 40
Q 22 f (t x) П C 2 ([t 0 T] u R n ) ||
?? (8), (10), ???????????? ?? ???? ??????? [t 0 T] .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ??????? ? ????????? (8) ??????
x
wQ 22f
wx
(t x)G 1 ||d
d L 4 t П [t 0 T] x П R n G 1 y
(17)
? ??????????? ?? ????????? ??????????? Q1 , Q 20 ,
Q 21 , Q 22 . ???????????????? ????????? ?????????
???????????? ??????????????? ? ?????????
y1
Q1 y y 20
Q20 y y 21
Q 21 y y 22
Q 22 y (18)
??????? ????????????? ????????? (8) ??????? ?????????:
dy1 (t)
BG 1y1 (t)
dt
Q1f (t G 1 y(t))
d
(AG 1 y 21 (t)) y 20 (t) Q 20 f (t G 1 y(t))
dt
d
(AG 1 y 22 (t)) y21 (t)
dt
(19)
(20)
(21)
Q21f (t G 1 (y 21 (t) y 22 (t)))
(16)
? ????????????? ????????, ????????? ? [9]. ? ?????
1
????????? ?????????? ???????? G .
10
????? ?????????? ???????????? ??????? x(t) ????-
y 22 (t)
Q 21f (t G 1 y 22 (t))
(22)
? ?????? ?????? (17) ? ??????????? (18) ?????????
??????? (10) ????????? ? ????
y1 (t 0 )
Q1Gx 0 (23)
?????????? ????? ??????? ????????? ?????? (19)?
(23), ????? ???????????? ???????? ????????? ??????
(8), (10). ? ???? ??????? 40 ??????? ???????????
Q22 f (t G 1 x) ???????? ????????? ? C([t 0 T] Y22 ) .
??????, ??? ?????? t ?? [t 0 T] ?????????? ???????????? ????? g1 (t) ? ??????????????? Y22 , ???
??????? ??????????? ?????????
g1 (t)
Q22 f (t G 1g1 (t))
(24)
?????? ??????? g1 (t) ?????????? ?? [t 0 T] .
???????
H1 (t y 22 )
y 22 Q22 f (y G 1 y22 )
???????? ?????? ?????????? ???????????????? ??
???????????? ??????????, ? ?? ???????????
wH1
wf
E Y22 Q 22
(t x)G 1 Y22 o Y22
wy 22
wx
? ??????????? ????????? ?? Y22 ????????. ?????????? ??????? g1 (t) ? ?????????? ? ?????????????
??????? H1 (t g1 (t)) { 0 . ?????????????, ?? ??????? ?
??????????? ?????? ???????? ??????? ??????? (??????? 31 [13, ?. 314]) ??????? g1 (t) ? ??????
?????????? ??????????????? ?? [t 0 T] . ???????
AG 1g1 (t) ????? ?????? ?????????? ???????????????.
? ?????????? ??????????? L1 , L 2 1 , L3 1 , L 4 1
??, 2008, ? 3
17
?????????? ? ????????? (21) ?????? y 22 ??????????
G1
??????? g1 (t) ? ???????? ?????? ????????? ? ??????
?????, ???????? ?????????
?? ??????? ??????????? ????? z1 ???????????
d
Q 21f (t G (y 21 g1 (t))) (AG 1g1 (t)) . (25)
dt
1
y 21 (t)
? ???? ??????? 30 ??????? ??????????? Q21f (t G 1 x)
???????? ????????? ? C([t 0 T] Y21 ) , ???????
d
y21 Q21f (y G (y22 g1 (t))) (AG1g1 (t))
dt
1
H2 (t y 21 )
???????? ?????????? ???????????????? ?? ???????????? ??????????, ? ?? ???????????
wH 2
wy 21
E Y21 Q 21
wf
(t x)G 1 Y21 o Y21
wx
? ??????????? ????????? ?? Y21 ????????. ?????????????, ?????????? ??????????? ???????????, ?????????? ???????????? ?????????? ???????????????? ?? [t 0 T] ??????? g 2 (t) , ??????????????? ??????? H 2 (t g 2 (t)) { 0 , ? ??????? AG 1g 2 (t) ?????????? ???????????????.
min(2G T t 0 ) . ??? ?????, ?????????, ??? ? ????,
<1 (z1 (t))
│
t
t 0 G
Q 20 f (t G 1 y(t)) d
(AG 1 y 21 (t)) (26)
dt
??????????????? (19) ?? t , ?????? ?????????? ????????? ? (26) ? ????????? ?????? y 21 ? y 22 ?????????????? ??????? g 2 (t) ? g1 (t) , ??????? ????? ????????? ???????????? z y1 y20 :
z(t)
< (z(t))
Q1Gx 0 t
│ Q1f (t G 1 (z(W) g1 ( W) g 2 ( W))dW t0
t
│ BG 1Q1z(W)dW t0
d
Q20 f (t G (z(t) g1 (t) g 2 (t))) (AG 1g 2 (t)). (27)
dt
???????????? ????? ??????? ??????????? < (z) ????????? ???????????? ??????? C([t 0 t 0 G] Y1 Y20 )
? ???? ??? G d T t 0 , ??????
1
|| < (u) < (v) ||C d (G(L1 || BG 1Q1 ||) L 2 ) || u v ||C ??????? ????? G , ????? ??????????? ???????????
G
1 L2
L1 ||BG 1Q1||
? ???? ?????? ??????????? < (z) ??-
?????? ????????? ?? C([t 0 t 0 G] Y1 Y20 ) . ?????
?????????? ???????????? ??????? z(t) , ???????????
?? [t 0 t 0 G] , ?????, ??? < (z)
z.
???? t 0 G T , ?? ?? ?????????? ?????????? ?????????? ??????? z(t) ?? ???????? [t 0 G t 0 G1 ] , ???
18
Q1f (t G 1 (z1 (W) g1 (W) g 2 (W))dW │
t
t 0 G
BG 1Q1z1 (W)dW Q20 f (t G 1 (z1 (t) g1 (t) g 2 (t))) d
(AG 1g 2 (t))
dt
???????????? ? C([t 0 G t 0 G1 ] Y1 Y20 ) .
?? ???????? ????? ????? ?? ?????????? ?????????
??????? z(t) ????????? (27) ?????????? ?? ????
??????? [t 0 T] . ?????????? ?????????? ??????? ?
(27) ? ???????? ?? ?????????? ????????? ??????????
Q1 , ???????? ?????????
Q1z(t)
Q1Gx 0 t
│ Q1f (t G 1 (z( W) g1 (W) g 2 (W))dW t0
????????? ?????? ????????? ? ????????? (20) ? ?????? ????? ? ??????? ?????????
y 20 (t)
Q1z(t 0 G) t
│ BG 1Q1z(W)dW
t0
?? ???????? ???????, ??? ???????? ??????????? ??????? Q1z(t) ?????????? ??????????????? ?? [t 0 T] ,
?????? Q1z(t 0 ) Q1Gx 0 ??????? Q1z(t) , Q 20 z(t) , g 2 (t) , g1 (t) ???????? ???????????? ???????? ????????? ?????? (19)?(23).
?????????????, ??????? x(t) G(z(t) g1 (t) g 2 (t))
???????? ???????????? ???????? ???????? ??????
(8), (10).
??????? ????????.
4. ????????? ?????
??? ?????????, ???????????????? ???????? ???????, ???????????? ????????? ????? ??????? ?? ??????? [t 0 T] . ??????? [t 0 T] ???????? ?? N ??????
?????? ? ????? h ??????? t k t 0 hk k 0N t N T
??????? ?????? (8), (10) ????? ?????? ? ?????? t k ?
????????? ????:
x
G 1 y y
y1 y 20 y 21 y22 ??? ?????????? y1 y20 y 21 y22 П R n ????????????
????????????? (18), ? G 1 ? ???????, ???????? ? G
(16). ??????? y1 , y 20 , y 21 , y22 ???????? ????????
??????? ????????? (19)?(23).
y1k y1 (t k ) ,
y 20 k y 20 (t k ) ,
?????????
y 21k y 21 (t k ) , y 22 k y 22 (t k ) . ???????, ??? y10 ???????????? ?? ??????? (23). ?? ??????? 40 ???????
???????, ??? ??????? Q 22 f (t G 1y 22 ) ???????? ????????? ?? y22 ?????????? ?? t . ??????? ????????
y 22 k ??? k 0 N ????????? ? ??????? ?????? ??????? ????????
??, 2008, ? 3
yi221 k
Q 22 f (t 0 hk G 1yi22 k )
??? i ? ????? ????????. ? ???????? ?????????? ??????????? ????????????? ????? ???????? y 22 ? ?????????? ????? y022i y 22i 1 i 1N . ??? ??????????? y 220
????????? ??????????? ??????? ???????????.
??????? ? (21) ??????????? ????????? ??????????
y 221 y 22 0
d
y 22 (0) |
dt
h
y 22 k 1 y 22k 1
d
y 22 (t k ) |
k 1N 1
dt
2h
y 22TN y 22TN 1
d
y 22 (T) |
dt
h
y 21T1 y 21T0
d
y 21 (t 0 ) |
dt
h
y 21k 1 y 21 k 1
d
k 1N 1
y 21 (t k ) |
dt
2h
(28)
(29)
y 21TN y 21TN 1
d
y 21 (T) |
dt
h
? ??????? ?????????????? ??????????? ??? ??????-
????? y11 , y1k , k
y1 N :
Q 21f (t 0 G 1 (y 210 y 220 )) Q 21AG
y 21 k
1
y 221 y220
h
y 20 0 y 210 y 220 ) (31)
Q1BG 1 (y1 0 y 20 0 y210 y 22 0 ))
Q 21AG
y 21 N
2h
Q21AG
(33)
y 22 N y22 N 1
h
y 21 k y 22 k )) Q 20 AG 1
y 21 k 1 y 21 k 1
2h
0
??????? ???????
? ???? ??????? 3
Q 21f (t 0 kh G 1 (y 21k y 22 k )) , k 0 N , ????????
????????? ?? y 21k ????????????. ?????????????,
??????????? (32)?(34) ???????????? ??????? ?????????? y 21k , k 0N . ? ???????? ?????????? ??????-
y 20 N
????
???????
1
(38)
k 1N 1
Q 20 f (T G 1 (y1N y 20 N y 21 N y 22 N )) Q20 AG 1
?
h
Q 20 f (t 0 kh G 1 (y1 k y 20k (34)
?????????? ??????????? (30) ??? ??????????? y 21k
??? k 1N , ??? ??? ??? ????? ???????? ????? ???????? ??????? o(h 2 ) , ?? ????????? ? ?????????????
(29), (31), ???????? ???????? o(h) .
(37)
y 211 y21 0
k 1N 1
y 20 k
2N ,
k
Q20 f (t 0 G 1 (y1 0 y 200 y 210 y 220 )) Q 20 AG 1
Q 21f (T G (y21 N y 22 N )) (36)
y 20 k 1 y 21k 1 y22 k 1 ) y 200
1
1
y1 k 2 2h(Q1f (t 0 kh G 1 (y1k 1 y1 k
(32)
Q21f (t 0 kh G (y 21 k y22 k )) y 22 k 1 y22k 1
(35)
Q1BG 1 (y1 k 1 y 20 k 1 y 21k 1 y22k 1 ))
1
1
y1 0 h(Q1f (t 0 G 1 (y10 y11
(30)
??????? ????????? ??????????? ??? ???????????
y10 , y 21 k , k 1N 1 , ? y1 N :
y 210
2N , y 200 , y 20 k , k 1N 1 , ?
20
(39)
y21 N y 21 N 1
h
???????
???????
Q 20 f (t 0 kh G (y1 k y 20 k y 21 k y 22 k )) , k
0N ,
???????? ????????? ?? y 20 k ????????????. ?????????????, ??????????? (37)?(39) ???????????? ??????? ?????????? y 20 k , k 0 N .
??????? ? (19), (20) ????????? ?????????? ???????????
???????? y1k , y 20 k ?????????? ???????? ??????? ?
????????? ???????: ??????? ??????? ??????? ???????? ????????? ???????? y 20 k , k 0N 1 ?? ????????? (37) ??? (38) ??????????????, ????? ?? ??????????? (35) ??? (36) ???????????? y1k 1 . ?????????
???????????? ???????? y 20 N ?? ????????? (39).
y11 y1 0
d
y1 (t 0 ) |
dt
h
?????????? ????? ??????? ???????? y1k , y 20 k , y 21k ,
y 22 k ?????????? ???????????? ????????? ???????
?????? (8), (10):
?????, ??? ? ? (28), ????????????? ????? ???????? y 21
? ?????????? ????? y021i
???????? ???????????.
y 21i 1 ??? i 1N , ? y 021i
y1k 1 y1k 1
d
k 1N
y1 (t k ) |
dt
2h
??, 2008, ? 3
x(t k )
G 1 (y1k y20 k y21k y 22 k ) k 1N
19
??????????? ????????? ????? ????? ?????????? ?????????? ?????? ??????? ???????? ??? ??????????
??????????? ? ?????? ?????? 1-?? ??????? ??? ???????????? ???????????????? ?????????. ?? ?????
??????????? ???????, ??? ????? ???????? ? ???????????? ???????? ??????? o(h) . ????????? ???????????
???????????? ???? ?????, ?? ??????? ??????????????
?????????? ???????? ????????? ?????????? ????????????.
P20
5. ?????? ????????????? ????
???????? ? ??????? ???????????????-?????????????? ????????? (7), ??????????? ????????? ????????? ??????????? ?????????????? ????????????????, ????????????? ?? ???. 1, ? ???????? ??? ???
????????? ???????.
P22
(x f k )Mk Q 2k y
(y g k )\ k ??? Mk g k ? ??????????? ? ?????????????? ???????
??????????? ?????? OA B , OA B ? ????? O f
??????????????, \ k BMk , f k Bg k , k 01 2 [12].
M0
\0
g2
f2
з 0 ╖
и
╕
и 1 ╕
и C2 ╕
и
╕ M2
и 0 ╕
и 0 ╕
ии 0 ╕╕
й
╣
з 0╖
и ╕
и 1╕
и 0 ╕ \1
и ╕
и 0╕
и 0╕
й ╣
з 0 ╖
и
╕
и 0 ╕
и 0 ╕
и
╕ \2
и 1 ╕
и C2 ╕
ии
╕╕
й 0 ╣
з 0
и
и 0
и 0
и
и 1
и C2 L 2
ии 0
й
╖
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕╕
╣
з 0
и
и 0
и 0
и
и 0
и 1
ии
й C2 L2
╖
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕╕
╣
з 0 ╖
и
╕
и
╕
и 0 ╕
и
╕
и 0 ╕ g1
и
╕
и 0 ╕
и
╕
ии C L ╕╕
й 2 2╣
з 0 ╖
и ╕
и 0 ╕
и 0 ╕ g0
и ╕
и C2 ╕
и 0 ╕
й ╣
з C2
иC
и 1
и 1
и
и 0
и 0
ии
й 0
╖
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕╕
╣
з 0 ╖
и
╕
и 0 ╕
и 0 ╕ f1
и
╕
и C2 L 2 ╕
и 0 ╕
й
╣
з C2 ╖
и ╕
и C2 ╕
и 0 ╕ f0
и ╕
и 0 ╕
и 0 ╕
й ╣
з 0
и
и 0
и C2
и
и C1
и 0
ии
й 1
╖
╕
╕
╕
╕
╕
╕
╕╕
╣
???????????? ????????? ????? ????????? ???:
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C2
C1
0 0╖
╕
0 0╕
0 0╕
╕ P21
0 0╕
╕
0 1 ╕╕
╣
0 0 0 0╖
╕
0 0 0 0╕
0 0 0 0 ╕ P1
╕
0 0 1 0╕
0 0 0 0 ╕╣
Q 20
Q 22
з0
и
и0
и0
и
и0
и0
й
? ?????? ?????? ????????? ??????? ????? ????????? ???:
з 0╖
и ╕
и 0╕
и 0 ╕ M1
и ╕
и 0╕
и ╕
й1╣
з0
и
и0
и0
и
и0
и
й0
з 0
и
и C2
и C1
и
и 0
и 0
ии
й 0
????????? P2k Q 2k ?????? ? ????
P2k x
з0
и
и0
и0
и
и0
и
ии 0
й
з0
и
и1
и0
и
и0
и0
й
з1
и
и 1
и0
и
и0
и
ии 0
й
0 0 0 0╖
╕
1 0 0 0╕
╕
╕ Q 21
0 0 0 0╕
0 0 0 0╕
╕
0 0 0 0 ╕╣
0 0 0 0╖
╕
0 0 0 0╕
0 0 0 0 ╕ Q1
╕
0 0 0 0╕
0 0 0 1 ╕╣
0 0 0 0╖
╕
1 0 0 0╕
0 0 0 0╕
╕
0 0 0 0╕
0 0 0 0 ╕╣
0
0
0
0
0
1
0
0
0 C2
C1
0 0╖
╕
0 0╕
0 0╕
╕
0 0╕
╕
0 0 ╕╕
╣
з0
и
и0
и0
и
и0
и0
й
0 0 0 0╖
╕
0 0 0 0╕
0 0 0 0╕
╕
0 0 1 0╕
0 0 0 0 ╕╣
з 1
и
и C2
и C1
и
и 0
и 0
ии
й 0
0 0 0 0╖
╕
0 0 0 0╕
╕
╕
0 1 0 0╕
0 0 0 0╕
╕
0 0 0 0 ╕╣
????????????? ? ???????? ? ??? ??????? ?????
????????? ???:
G
G 1
з C1
и
и C 2
и
и
и 0
и 1
ии
й 0
з 1
и C
и 1
и 1
и
и C1
и
и 0
и
и 0
и
и C2
и C
й 1
0
0
0
C2
C1
0
L1
1
0
0
0
0 0╖
╕
0 1╕
╕
╕
0 0╕
0 0╕
╕
1 0 ╕╣
0
0
0
0
0
1
L1
0
0
1 C2
C1L1
╖
0 0╕
╕
╕
1 0╕
╕
╕
0 0╕
╕
0 1╕
╕
╕
0 0╕
╣
??? ?????? ??????? ????????? ??????????? ???????
????????? ???????????? ??????????????? (14), (15),
??? ??? ??????-??????? Q22 f (t x) (0 0 0 0 I (t)) tr ??
???????
??
?
??????-???????
x,
Q21f (t x) (0 0 0 U (t) ) 2 (t x 4 ) 0) tr ??????? ?????? ?? P22 x (0 0 0 x 4 0) tr .
??, 2008, ? 3
????????? ??????? (10) ??? ??????????????? ??????
???????? ??? x1 (t 0 ) x10 x 3 (t 0 ) x 03 ???????? ????????? ????????? ??????? x ? ????????? ??????
??????? t 0 ?????????? ???????????? ?? ?????????
???????? (6), ????????? ????????? ??????? (7) ?
?????????? ?????????? ???????.
??? ?????????? ???????????? ??????? ?????????
???????? ?????????????:
C1
100 ??, C 2
01 ??, L1
1 ???, L 2
1 ???.
?????????? ??????? ?????? ???????:
F1 (t x) 01x 001sin(01x) ,
F2 (t x) 01x 001sin(01x) ,
)1 (t x) 01x 001sin(01x) ,
) 2 (t x) 01x 001sin(01x) .
???. 4. ?????? I L1
? ???????? ??????? ??????? ??????? ??????????
??????? u (t) i (t) e
(t a)2
V2
, ??? a
3 Ш109 ? ? ??-
?????? ????????, V 109 .
????? ?????????, ??? ??????? 10 40 ??????? ?????????. ???????? ????????? ??????? ?? ??????? ??????? t П [010] ?c ?? ????? ? ????? h 001 ??. ?
???????? ????????? ?????? ?????? U1 (0) 0 ,
I1 (0) 0 . ??????? ????????? ??????? ????????? ??
???. 2 ? 5.
???. 5. ?????? I L 2
???. 2. ?????? U C1
???. 6. ?????? I L3
6. ??????
??????? ??????? ?????? ?????? ??????????? ? ???,
??? ????????? ?????????????? ?????? ???????????
??????????? ???????????????? ? ??????? ?? ????????. ??????? ????? ?????????, ??????????? ???????? ???????. ??? ??????? ?????? ????????? ???????? ????? ??????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ? ???????? ????????? ?????.
???. 3. ?????? UC2
??, 2008, ? 3
???????????? ??????????. ??????????, ??????????
? ??????, ????? ???????????? ??? ??????? ? ???????
????????? ???????????????? ??????, ??? ?????????
??? ???? ?? ????, ??? ? ????????????? ? ??????
??????????.
21
??????????: 1. Campbell S.L. Singular Systems of Differential
Equations. Pitman, 1980. 176 p. 2. Marz R. On linear differentialalgebraic equations and linearizations//Applied Numerical
Mathematics, 1994. P.279?292. 3. ?????????? ?.?., ??i??
?.I., ??????? ?.?. ?i?i??i ??????? ????????i??????
?i????? ? ????????????: ????. ???i?., ?.: ???? ??., 2000.
294 ?. 4. ?????? ?.?. ?????? ???? ??? ?????????
A dx
Bx(t)
dt
f (t) // ???????????????? ?????????.
1975. ?11. ?.1996?2010. 5. Favini A., Plazzi P. Some results
concernong
the
abstract
nonlinear
equation
D t Mu(t) Lu(t) f (t Ku(t)) // Circuits, Systems, Signal
Proceccing, 1986. P. 261?274. 6. Rutkas A.The solvability of
a nonlinear differenitial equation in a Banach space//Spectral
and evolutional problems. Proceedings of Sixth Crimean Fall
Mathematical School-Symposium (Simferopol),1996. P.317?
320. 7. Favini A., Rutkas A.Existence and uniqueness of
solution of some abstract degenerate nonlinear equation//
Differential Integral Equations.1999. No.12. P.373?394. 8.
Rutkas A.G., Vlasenko L.A .Existence of solutions of
degenerate nonlinear differential operator equations//
??? 517.922+517.958
? ????????? ?????????????
????????? ?????
?????? ?.?.
Nonlinear Oscilations. 2001. No12. P.252?263. 9. ????????
?.?. ???????????? ?????? ? ???????? ? ???????????? ????????????????? ??????????? // ????????? ??????????. 2006. ?.273. 10. ?????? ?.?., ??????? ?.?. ?????????? ???????????? ?????? ???????????? ????????????? ???????????????-???????????? ?????????//
????????? ?????????. 2004. ?.7, ?3. ?.414?429. 11. ???????
?.?. ? ????????? ???????????? ? ??????????????? ?????? ???? ??? ????????? Axc(t) Bx(t) 0 //???????????????? ?????????. 1979. ?6. 12. ??????? ?.?. ????????? ?????? ??? ????????? ????????????? ???????????????-?????????????? ????????? // ?i???? ????i???????
??i????????. ??????????, ????????? ?????????? i ?????i??.
1999. ? 458. ?.159?164 13. ????? ?. ??????. ?.1. ?.:???,
1972. ?. 824.
????????? ? ??????????? 16.09.2008
?????????: ?-? ???.-???. ????, ????. ?????? ?.?.
??????? ???? ???????????, ??. ????????????? ???. ??
? ?? ??? ??. ?.?.????????. ?????: ???????, 61045,
?.???????, ???. ????????, 7, ??. 69, ???. (050)4043498.
\ m 1[ w m 1,1x1 (k ) ... w m 1, n x n (k ) ╜
░
T m 1 (k )]
░░
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ╛
x n (k ) \ n [ w n1x1 (k ) ... w nn x n (k ) T n (k )], ░ (2)
░
k 0,1,2,...
░┐
x m 1 (k )
?????????????? ????????????? ????????? ???? ??? ???????????? ?????????? ???????????? ? ??????????? ????????. ?? ???????????????? ??????????? ????????
?????????? ? ????? ?????????????? ?????????, ??? ?
?????? ????????????? ?????? ??????????. ???????????
??????? ???????????? ???????, ? ?????????, ?????????
??????????? ??????????? ?? ?????? ??????? ????????
????. ???????? ??????????????? ????????????? ???? ?
????????? ?????????????? ????????? ????????.
????????? ?????????? (1) ???????? ???????????
??????????? ??????? ???????, ????????? (n m) ????????? ? ?????????? (2) ? ????? ???????????????,
???????????? ?????????? x1 (k ),..., x n (k ) ? ???? ?
??? ?? ?????? ??????? k . ???????? ???????? w ji ,
T j (k ) ? ??????? ????? ?????????? \ j (u ) ?????????
????????? ( j, i 1,..., n; k 0,1,2,...) .
1. ????????
?? ???????, ??? ????????? (1), (2) ?????????
???????? ????????????? ?????????? ????????? ????
? m ????????????? ????????? ???? ???????? [6,7]
? (n m) ???????????? ????????? ?????????-?????? [8,9]. ????? ???????? ????? ???????????????
??? ?????????????, ?? ???????? ? ?????????????
?????? ??????????, ??? ?????????????? ??????????
??????? ?????????? ? ???????????????-??????????????? ??????????? ????????? [10,11]. ????????????? ??? ????? ??? ???????, ??????? ?? ??????????? ? ????? ???????????? ??? ? ????? ???????????
?????. ???????? ???? л?????????????╗ ??????? ???????????? ??????? ??? ?????? ??? ? ??? ??????????
???? ?????? ? ??????? ???????? ? ?????????, ?
?????????????? ??????? ??????? ?????????????
?????????? (????????????) ? ?????????????? (???????????) ?????????.
???????????? ??????? ? ?????????? ???????? ???
?????????????? ?????? ?????????? ???????? ? ???????????? ????????? ????? ????????? ????????????
? ??????????? ??????????? ??? ? ????? ??????????????, ??????????? ????????? ?????? ????? ????????????? ??????????? ? ???? ? ??? ?? ?????? ???????. ? ???????? ???? ?????????? ???????? ?????
??????? ?????????????????? ???????????? ??????
????????? ? ?????????? ????? [1], ??????????????
?????? ???????? ? ?????? [2], ?????????????? ????? ??????? ???????????????-?????????????? ????????? (???S)[3,4], ??????? ? ??????????? ?????????? ???????????? ??????? [5] ? ??.
????? ??????????????? ?????????? ????? ??????????????????????? ??????, ??????????? ?????????????? ? ?????????? ????:
x1 (k 1) \1[ w11x1 (k ) ... w1n x n (k ) T1 (k )]
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
x m (k 1)
22
╜
░
╛ (1)
\ m [ w m1x1 (k ) ... w mn x n ( k ) T m (k )]░┐
2. ????????? ????????????? ??? ? ?????
?????????
????, ???????????? ?? ???. 1, ???????? ???? ???????????? ?????? ? ????????????? ???????? \1 ? ????
??????????? ?????? ? ????????????? ???????? \ 2 .
??, 2008, ? 3
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа