close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение одномерных нестационарных задач механики методом неопределенного интегрального преобразования.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЬ/Е3АПИСКИ
То.м
удк
ЦАГИ
М1
1971
JJ
51:627.0]5
РЕШЕНИЕ
ОДНОМЕРНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ЗАДАЧ
МЕХАНИКИ МЕТОДОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В. Н. /{рымасов
Предлагается метод неопределенного интегрального преобразо­
вания
для
решения
некоторых
нестационарных
задач
механики
для
областей простой геометрической формы. Метод заключается в том,
что ядро преобразования - весовая и собственная фупкции, заранее
неизвестные,
находятся
из
решения
характеристического
уравнения,
вид которого однозначно определяется структурой исходного диффе­
ренциального
уравнения
задачи.
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение в частных
производных:
с д2 {) (~, 't) _' D д{) (Е, 't) _
a't 2
т-
д'!
-
(t) д 2 & (Е, 't) _ (~) д& (Е, 't) +
Р ~
дЕ2
+-- q
де
+w(~)&(E,'t)+u.>V(~,'t).
(1)
I
Требуется найти решение этого уравнения при линейных
ничных и начальных условиях общего вида:
m 1 д& (р,
д; 't)
m2
да (R,
де
't)
+ n 1 & (р, 't) = 01 <рl ('t) + 11 'fl ('t);
гра­
(2)
+n2&(R,'t}=02Cf'2('t)+12~2('t);
(3)
Будем искать решение диФФеренциального уравнения
граничных
и начальных
условиях
(2)
и
(3)
ортогональных, пока неизвестных, функций
в
виде
(1)
суммы
при
ряда
[1-6]:
(4)
n
103
в силу ортогональности функций Ф (Cn~) с весом
показано ниже, коэффициенты ряда
Dn
должны
g (~),
быть
что будет
равны р,
6]
R
S{}(~, 't).g(~).Ф (Cne)d~
Dn
=
(4а)
-'P-Rn---------
Sg(Е)·ф2 (~n~)d~
Р
Числитель в выражении (4а) обозначим
вать как некоторое неопределенное
и
{}
будем
интегральное
рассматри­
преобразование
вида
R
:u (СП, 't) = J {) (~, 't). gЩ.Ф (Cn~) dE.
(5)
Функцию &(С n , 't) назовем образом функции {) (Е, .. ).
Интегральное
преобразование
потому, что вид весовой функции
является неопределенным
(е) и собственной функции
(5)
g
Ф (СnЕ) заранее неизвестен.
Решение (4) данной задачи, с учетом
"(t)
~"
~," = ~
примет вид
(5),
&(Сn,'t)·Ф(~nе)
u
(6)
-::-R--0.....=--:'_-'--"--'--
n
Sg (е)· ф2 (СП О d~
Р
В том случае, если собственная функция Ф (сп е) имеет ну левой
корень, первый член суммы ряда (6) будет определяться выраже­
нием:
liт {)(Сn,'t:)·gЩ·Ф(Сn~)
~-+O
(6а)
R
SgЩ.ф2(Сn~)dZ
Р
Далее задача заключается в том, чтобы найти такую соБСТВeR­
ную функцию Ф (сп е) с весом g (е), с помощью которой интеграль­
ное преобразование (5) переводило бы дифференциальное уравне­
ние (1) при граничных условиях (2) в обыкновенное дифференци-
альное уравнение
относительно &(С n , 't).
Произведем преобразование
С
(Р&(Сn,'t:)+DП&(Сn''t:)
д ,,2
д"
=
-
(5)
уравнения
1(1')(;"(
"n· "
СП, 't:
)
+-
(1). Получим:
Т(")
-(1')
~n' 't: + ШV "n' 't: .
Решая формально это обыкновенное диФФеренциальное
(7)
урав­
нение при начальных условиях (3), найдем выражение &(CIl ,
Например, при С = О, D = 1 и для начального условия 8 (С/Р О)
= &0 (Сп) получим:
r.
")_
=
~
"& (Сп, ") = ехр [- f (сп) ] 't: (&0 (Ц + [Т (~n' 't)
о
При С=l,
D=O решение (7) будет ИМеТЬ вид
{) (Сп, t) = Е ('t:) sin СП 't:
104
+ ;;;-v (СП, ")] ехр [j(C
+ F ('t:) COS СП ".
II )]
't: d't j.
В этом уравнении E('t) и F('t) определяются в соответствии
с преобразованными начальными условиями (3) методом вариации
произвольных постоянных [6].
В уравнении (7) обозначено:
;v (СП, 't) =
R
Jwv(E, 't).g (~).ф (Cn~) d~;
J[
R
r -
-Л'n) {} (СП, 't)+ T(lm't)=
p(~)
(8)
д 2 {} (Е, 't)
дО (е, t)
~,
+q(~)
де
+
р
+ w (Е) ·{}(Е, 't)] g (~).ф (Cn~) dE.
КаК видно из
граничных условий
(2).
!(С n ) играет
неопределенной
роль
от параметра СП,
выражения (9),
функция Т(С n , 't) зависит от
Вид ее будет определен позже. Функция
постоянной,
которая
зависит
являющегосякорнем собственной функции Ф tCn Е).
Сомножитель 'g(E), называемый
таким образом [3], чтобы
весовой
k(~) д2~~:, 't) + q(~) д{}~~, 't)]
g(E)
(9)
=
функцией, подберем
[u(~) д{}~e
t) ]'.
(Штрихом здесь и далее обозначены производные по ~).
Дифференцируя праВУЮ часть выписанного
выражения и
при­
равнивая почленно правую и левую части, найдем
g(E)p(~)=u.<~); }
g(E) q Щ = и' ~~).
Исключив теперь величину
и' (~) =
u (~)
g' щ р (Е)
g (~) = р 1щ ехр
R
SlP(E)
д2{}J~;
(9),
+q(E)
t)
из уравнений (10). получим
+ g (~) р' (е) = g (Е) q (;),
найдем вид весовой функции
и, возвращаясь к выражению
(10)
S
q(e)
р
(~) dE
+О
(11 )
получим
д{}~~,t) ]g(~)'Ф(СnЕ)dЕ=
р
f
_f д{}~~
R '
= [U(Е) д{}~~,
R
t)] Ф(СnЕ)dе=u(Е).Ф(СnЕ) дf}~~ 1_
't)
р
р
R
t)
u{е)·Ф'(СnЕ)d~=u(е).Ф(СnЕ) д&~~
р
- U (Е)· ф' (сп
R
t)
1_
р
R
Е)· {} (Е, t) I +
R
S{} (е, t)[ и (Е)· Ф" (сп е) + и' (е)· ф' (СП Е)] dE.
(12)
105
в выражении (12) обозначим в соответствии с
сящие от граничных условий (2), через Т(С n • 't):
члены, зави­
(9)
R
и(~)[ д&~~'t) Ф(сn~)-п(~,'t),Ф'(сn~)]I=
T(Cn,'t).
(13)
р
Интегральную
часть
уравнения
Ф (Cn~) преобразуем, используя
f
(9)
(12),
и
(5)
путем
подбора
функций
к виду
R
& (С, 't) [и (~) . ф" (Cn~)
+ и' (~). ф' (СП Е) + g(~). w (е)· Ф (СП е)] d~ =
R
S
=-лц &(~, 't).g(Е)·Ф(Сn~)dЕ=-f(Сn)·8(Сn,'t)·
Из
выражения
(14)
с
учетом
легко
(10)
получить
(14)
следующее
характеристическое уравнение для nпределения собственной функ­
ции Ф (СП е):
-+ q (~). ф' (Cn~) +- [ЛСn ) + w (Щ Ф (СП е) = О.
р (Е)· ф" (Cn~)
в таблице
для
примера
приведены
выражения
(15}
собственных
функций Ф (~n Е) и весовых функций g(~) для различных ВИДОR
правой части дифференциального уравнения (1), т. е. для различных
видов p(~) и q(~) и w(~)=O.
Правая часть дифференциального уравнения (1)
рЩ
(~)
q
I
Собственная функция
ф (~n ~)
Аn
О
1
1
-
1
-
1
2
А
е
l-a
-
1- 1;2
-21;
.
r
sш~n
g
, +- В n cos ~n ~
~n
AnJo (~n;)
Е
1
sin
Весовая
функция
1
+- Вn Yo(~n Е)
Е
n -;-
+ Вn
(~)
~
cos ~n Е
1;2
~
а
(~n ;)2 [А n J aj2 ('n;) + В n у а/2 ('n е)
!;
е 1 -а
Рn(Х)
1
Для определения корней характеристического уравнения под­
ставим в выражение (13) граничные условия (2). Получи м
т (Сп, 't)=U(R){lo2ep2~2121j12
-
и(р) {[a ep !
j
:t
I1 'fl
-
-
~2 &(R,'t)]Ф(СnR)-&(R!'t)ф/(СnR)}-
~: &(р, 't)] Ф(Сnр)-&(р;r) фl (СП Р)} .
(16)
Поскольку функция {) не должна входить в правую часть урав­
нения (1), то следует потребовать, чтобы выполнялись условия
n 2 Ф (CnR)
106
+m
2
ф' (сп R)=O;
n ! Ф (сп р)
+ т! ф' (СП р) = О.
(17)
· Тогда
выражение
упростится и запишется в виде
(16)
теСт 't)=u(R)o2Cf2+12<Ji2 Ф«(nR)-u(р)ОICfI+11~lф(Сnр).
m2
Если
жения
m1
(18),
или
m2
m1
(18)
равны нулю, то их нужно исключить из выра­
используя условия
(17).
Далее докажем, что собственные функции Ф (сп ~), у довлетво­
ряющие характеристическому уравнению (15) при граничных усло­
виях (17), ортогонаЛЬНbJ с весом gЩ, т. е.
R
JgЩ.Ф (СП ~).Ф (Ст ~)d~
=
*n.
О при т
р
Если в уравнение
(15)
подставить
Ф (Cn~) и
U'I' =
V
первого
полученного
выражения, умноженного
второе, умноженное на W, то получим
p(~) W" V+q(~) W'V-рЩ V"W -
Ф (С т Е) и из
=
на
V,
вычесть
q(E) V'W= [f(C m ) - /((/1)] WV.
Умножив
на. g(E)
обе части
с учетом условий (17), найдем
равенства
R
и
проинтегрировав
R
J
[f(C m } - f<C n )] 5g(е).ф (сп ~). ф (Ст е) dE- [u(VW") + и' (VW' - WV')] d~ =
р
R
р
d
= 5----л:
R
V' W)]d~=u(W' V -
v-
[u(W'
V' W)!
р
Таким
О.
=
р
образом,
доказано,
что
функции
Ф (Cn~)
с весом
g
Ю
ортогональны.
Произведем некоторые дополнительные выкладки для опреде­
ления структуры собственной функции Ф (СП ~). Поскольку общее
решение
дифференциального
уравнения
является
частных решений, представим функцию Ф (СП е)
Ф(сnе)=АnХ(Сn~)
+ BnZ
Подставив Ф (СП Е) и Ф' (сп е) в условия
суммой
(СП Е).
(17),
+
(19)
получим
7'
+ Вn Z(C n R)] m2 [An~' (СП R) + Вn (СП R)] = о;}
n 1 [AnX(Cnp)+BnZ(Cnp)] + m 1 1А n Х (СnР) + BnZ (СnР)] = О.
n 2 [А n Х (СП R)
двух
в следующем виде:
(20)
Qбъединив члены при А n и В n , найдем:
[n 2 Х (СП R) +m 2 Х' (СП R)] А n
[n1X (СП р) m1X' (СП р)] А n
+
+ [n
2
Z (сп R) +m 2Z' (СП R)] Вn = О;.}
+ [n Z (сп р) + mlZ' (СП р)] В n
1
=
(20а)
О.
Введем обозначения:
А n (R)
= - [n 2 Z (С" R) + m2 Z' (СП R)]; ]
Bn(R) = [n2Х (CnR)
А n (р) =
Вn (р)
из усло~ия
-
+ m2 Х' lCnR)];
[n 1 Z (СП р) + m1 Z' (сп р)];
= [njX (СП) + m1 Х (сп
нетривиальности
J
(21 )
р).
решения (20а)
можно
получить
(22)
107
используемое
для
определения
Ф (сп Е).
Развернутое выражение
(22)
с
корней
собственной
учетом
обозначений
функции
будет
(21 )
иметь вид
+ m1Z' (сп р)]+ mХ' (сп р)] = О.
In z
-
[П 2 Х (сп R) + m2 Х' (сп R)] j
(сп р)
[П2 Z(C n R) + m2 Z' (сп R)][n j Х (сп р)
(23)
С помощью выражений (21) для коэффициентов А n и В n собст­
венную функцию Ф (Cn~) можно записать в одной из следующих форм:
K(Cn~)=An(R)·X(~n~)+Bn(R)·Z(~nE); }
н (сп ~)
Используя
нению
(23),
=
А n (P)'X(Cn~)
уравнения
условия
(24),
(24)
+ Bn(p)·Z (сп Е).
(17),
тождественные
урав­
можно записать так:
+
п 2 Н (сп R)
m2~' ~Cn R)
О;}
n1K(Cnp)+m1K ("nP)-О.
(25)
Справедливость выражений (25) проверяется непосредственной
подстановкой, например, функции Н(С n R) в первое выражение
и сравнением полученного результата с (23).
Итак, дифференциальное уравнение (1) при
виях (2) решается в такой последовательности:
(25)
граничных усло­
1. ИЗ характеристического уравнения (15) определяются собст­
венная функция Ф (Cn~) и частные решения Х(С n е) и Z (сп ~).
2. По выражениям (21) определяются коэффициенты А n и В n '
3. ПО уравнению (23)
определяются
корни
СП
собственной
функции Ф (сп ~), представленной либо в виде Н (СП ~), либо в виде
К (сп Е) в зависимости от того, какую структуру имеют граничные
условия
4.
(2).
Определя:ется по
(18)
функция Т (сп, -с) В соответствии с выб­
ранным видом Функции Ф (Сп е).
5. Определяется по (11) весовая функция
6. Определяется образ функции Ш~' (е, -с):
.
;v (~n, ос) =
g(;).
R
f Wv (~, 't).g(~).Ф (:n~)d~.
р
7. После определения Т(Сn , ос) по (18) из решения обыкновенного
дифференциального уравнения (7) при заданных начальных УСЛО8ИЯХ
R
находится образ функции {) (е, ос):
&" (СП, ос) =
R
S{) (~, ос). g (е)· Ф (cn~) de.
р
SgЩ. ф2 (Cn~) de,
8. Определяется интеграл
входящий в реше-
р
иие
(6) уравнения (1)
9. Определяется
при условиях (2) и (3).
решение задачи по формуле (6).
Заметим, что метод неопределенного интегрального преобразо­
вания
применим
также
для
решения
двух-
и
трехмерных
задач
уравнений математической физики однородных и двухслойных тел
как
с постоянными,
так и
с
переменными границами, а
задач типа тепло-массопереноса, описываемых
дифФеренциальных уравнений.
108
системой
также
для
линейных
t>
При м е р 1. Найти поле температур при
О в однородном
шаре с внутренним источником тепла постоянной плотности Q.
если поверхность шара поддерживается при постоянной температуре
= 8, равной начальной температуре Т(Г, О) = 8.
Дифференциальное уравнение (1), граничные условия (2) и
начальные условия (3) данной задачи в безразмерной форме запи­
шутся следующим образом:
T(R)
д&(~, 'С)
д"
*
'С)
&(0,
д2&(~, 'С)
_
дР
-
&' (О,
00;
&(Е,
де
'С) = О;
О) =
+ .
д&(е, ~)
2
+ -е
Wv,
&(1,
'С) = О;
&0 (Е),
где
&= т (е, 'С) - 8.
'
е
at
а =
R2;
't =
е = ~ . Wv =
QR~ .
ГО '
л
ре;
'
лв
t - время.
Для определения характеристического уравнения
1.
2
1, q (е)=-.
р (е) =
е
(15)
имеем
Поэтому
Коэффициенты А" и В определим по уравнениям
Так как коэффициенты при граничных условиях
"
2.
(21).
(2) в
данной
задаче
то
m,=1;
n,=О;
т2 =
n2 = 1; 02 = 12 =
О;
0,=11=0;
О,
получим
n . В (l)--siпС·
А n (1)=-- cosC
1
'
n
n>
An(O)=-( coscne)'; 8 n(0)=( Sincne)'
е
3.
Используя
tgC" =
4.
О;
sin СП =
(24)
е
Определим по
.
(11)
О;
Cn =1tn;
n= 1, 2, 3, ...
собственную функцию в виде:
К(С"е) = А n (1) sinCnE
5.
6.
E~o
получим
(23),
Выбираем по
е
+ 8 n (1)
coscne
=
_
cosC" slnCnE
е
весовую функцию g(~)
е
=
Е2.
Изображение для Шу:
~v (Сп, 'С) =
f e»v (~, 'tH'
1
-
cos сп
Si~ сп е
dE =
wv C~S2 СП
О
109
7. Так как Т(С n • "С) =0, то
уравнение (7) будет иметь вид
dff(C m "С)
't
= d
обыкновенное диффереНQиальное
2 -
сп о (Сп, 'С)
СП
+ ----::,-----'
-'СП
Wv COS 2
Решая его, найдем
2
Wv COS СП
-
it (Сп, "С) =
2
C~
[1 - ехр (- сп "С)]
-+- -&0 (сп) ехр (- СП2 "С),
где
8.
Определим интеграл
f
fе
!
1
g
(е)· ф2 (сп е) dE =
О
9.
2 COs 2 С'!
Sln~ СП е
de
=
CO~2 СП
О
Решение задачи по
{} (Е,
'С) =
-
i:
(6):
2 v ~~S СП
w
sln
'оп
1
00
-
n
ехр ( - C~ "С)] _
[1 -
2
21} о ехр
_~....
iе
(-Cn't) sinCne
'~COS2C
1
' , n
t
~
При м е р 2. Необходимо определить коэффициент теплоотдачи
(число Нуссельта) при турбулентном течении газа в гладкой трубе
с постоянной температурой стенки T w .
Уравнение энергии, граничные и начальные условия после
ряда упрощений для турбулентного потока газа в трубе запишутся
в виде [7]:
. д&(е'С)]=(J)(е) ao(e,'t);
~[(1+рr.f:!.)
д;
р.
&(1,71)=0;
де
1:;
&'(0,'fj)=0;
д'fj
&(O,7J)*oo;
&te,O)=l,
(а)
(б)
где
г
4х
.
ео=Го"; 'fj=Ped;
а(е)
[1Ср
OO=~;, Рr=-л-;
&(е, 'fj)=Tw-Т(Е,х).
Tw - 8 ,
,
Здесь:
-
е
а (е) -
wf1oT' р. -
средняя температура газа в данном сечении;
скорость газа на расстоянии е от центра;
средняя
скорость
потока;
турбулентная и молекулярная Вs1зкость.
Представим уравнение (а) в виде
~ Щ &"
не)
110
+
ер' (Е) &' =
'f Щ
д& "
a7J •
(в)
где
<р(е)= (1 + Pr ~T) Е.
1jI(f;)=roE;
Обозначив р (Е)
<р (~)
Характеристическое уравнение
иметь
.
<р' (~)
(15)
и граничные условия
ljI (е) , q (Е) = ~ (Е) , по (11) наидем g (е) = ljI (е).
=
u
(17)
будут
вид
<р (Е) Ф" (С ;) + ер' (е) ф' (С Е) + f(C ) Ф (С е) = о·
Ф Щ
~ (Е)
n,
n
= О;
Ф (Сп)
.n
.n
,
ф' (О) = О.
Преобразовав выражение (в) по формуле
1
5{} (~, '1j) H~) Ф (Сп Е) de,
~ (Сп, '1j) =
о
получим
где
f(C n ) =C~.
Отсюда при начальных условиях
1
{} (Е, О) = 1;
&0 (Сп) = 51j1 (е) ф (Сп е) dE
о
получим
Температурное поле дЛЯ {}(Е, '1j) определим по формуле (6):
00
{} (~, '1j)
=
~ &0 (Cn~ Ф (СП ~) ехр (- C~ 'fj)
5? (е) ф2 (Сп е) de
т
о
Число Нуссельта будет равно:
л ( ~~ )
rJ.d
qd
NU=Т=ЧТ -8) =
w
т.
о
2r
Л(Тw~8) =2&'(1,'1j\,
е.
Nu = 2 ~
&;; (Сn{ ф' (Сп) ехр (- C~ 'YJ)
•
SljI (е) ф2 (Сп Е) dE
о
Предположим, например, что 1!.. = const, ro = 1. Тогда ljI (Е)= Е;
.
rp (е) = k 2 Е, г дe~2 =,1
fL
+ Pr
:т
. Характеристическое уравнение запи­
шется следующим ,образом:
k~ ф" (Сп ~) + !!:... ф' (Сп е) + ЛС n ) ф (СП ;) = О.
Е
111
Пусть ЛСn)=С;. Тогда
Ф(сnе)=АnJо (; е)+вnуо (; е)
Используя граничные условия Ф (Сп)
зать,
=
О, ф' (а) = О, можно пока­
что
ф (Сп Е) = Jo (~ е) .
Уравнение для определения корней будет иметь вид
Автор выражает
смотр
рукописи
и
благодарность я. М.
полезные
Пархомовскому за про­
советы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математи­
ческой физики. М., .Наука", 1966.
2. Л ы к о в А. В. Теория теПЛОПРОВQдности. М., Гостехиздат, (952.
3. Т Р а н т е р К. дж. Интегральные преобрвзования в математи­
ческой физике. М., Изд. иностр. лит., 1956.
4. Ш и м к о М. Г., Ю ш к о в п. п. Об одном конечном интег­
ральном преобразовании Ханкеля. ИФЖ, 1959, J'i 6.
5. Г Р и н б е р r Г. А. Сборник, посвященный 60-летию академика
А. Ф. Иоффе. М., Изд. АН СССР, 1950.
6. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики. Т. IV. Л.-М.,
Гостехтеориздат, 1941.
7. К У т а т е л а Д з е С. С. Основы теории теплообмена. М.-Л.,
Машгиз, 1962.
Рукопись поступила
17/111 1970
г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа