close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов.

код для вставкиСкачать
Том 157, кн. 1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические науки
2015
УДК 517.95
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ
ПОТЕНЦИАЛОВ
Р.М. Асхатов, Р.Н. Абайдуллин
Аннотация
Найдены фундаментальные решения вырождающегося эллиптического уравнения.
С помощью фундаментальных решений построены потенциалы типа двойного и простого
слоев. Основные краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения сведены к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и
доказана их разрешимость.
Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, метод потенциалов,
потенциал двойного слоя, потенциал простого слоя, уравнение Фредгольма, оператор
обобщенного сдвига.
К числу первых работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям второго
рода относится работа М.В. Келдыша [1], где указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий
и заменяется условием ограниченности решений. По этой тематике были опубликованы статьи А.В. Бицадзе, С.А. Терсенева, О.А. Олейник, М.М. Смирнова
и др. [2–6]. В настоящей работе построены и применены потенциалы типа двойного и простого слоев к исследованию краевых задач для одного вырождающегося
эллиптического уравнения, когда вырождение имеет логарифмический характер,
методом потенциалов. Отметим, что в [7] методом потенциалов были получены решения для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода со степенной
особенностью.
Пусть E2+ – полуплоскость y > 0 евклидовой плоскости E2 , D – конечная
область, симметричная относительно оси Ox и ограниченная кривой Γ. Обозначим
через D+ часть области D в E2+ , ограниченную отрезком Γ(0) = [a, b] оси Ox и
e + S Γ(0) , De+ = E + \ D + , через Γ(0) –
e + = D+ S Γ+ , D + = D
кривой Γ+ ; D
2
δ
отрезок прямой y = δ , заключенный внутри области D+ , а через Dδ+ – область,
(0)
+
ограниченную кривой Γ+ и отрезком Γδ ; Γ+
δ – часть кривой Γ , расположенная
+
+
выше прямой y = δ . Ясно, что Dδ → D+ , а Γ+
→
Γ
при
δ
→ 0.
δ
Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение
Tα(2) (u) =
∂2u
∂u
∂2u
+ α2 y 2 2 + α3 y
= 0,
2
∂x
∂y
∂y
0 < α < 1.
С помощью замены независимых переменных по формулам
ξ = x,
η=
5
1
ln y
α
(1)
6
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
уравнение (1) приводится к уравнению вида
∂2u ∂2u
∂u
+ 2 + (α2 − α)
= 0.
2
∂ξ
∂η
∂η
(2)
Ищем решение уравнения (2) в виде
2
u = e(α−α
)(η−η0 )/2
v,
где v – новая неизвестная функция.
После подстановки этого представления в (2), получаем
∂ 2 u ∂ 2 u (α − α2 )2
v = 0.
+ 2 −
∂ξ 2
∂η
4
(3)
Известно [8], что общее решение уравнения (3), зависящее от
p
ρ = (ξ − ξ0 )2 + (η − η0 )2 ,
имеет вид
µ
v(ρ) = AI0
¶
µ
¶
α − α2
α − α2
ρ + BK0
ρ ,
2
2
где A , B – произвольные постоянные, I0 , K0 – функции Бесселя мнимого аргумента и Макдональда соответственно [8]. Функция Макдональда определяется
с помощью функции Ханкеля мнимого аргумента
µ
¶
µ
¶
α − α2
πi (1) α − α2
K0
ρ =
H
ρi .
2
2 0
2
Функция Макдональда экспоненциально убывает при стремлении аргумента к бесконечности. Известно также [8, 9], что при ξ = ξ0 , η = η0 данная функция имеет
логарифмическую особенность
µ
¶
α − α2
1
K0
ρ = ln + · · · .
2
ρ
Полагая B = 0 , а затем A = 0 , получим решения уравнения (3). Подставляя в
(2), находим
µ
¶
2
α − α2
u0 = Ae(α−α )(η−η0 )/2 I0
ρ ,
2
µ
¶
2
α
− α2
u1 = Be(α−α )(η−η0 )/2 K0
ρ .
2
Переходя к старым переменным x , y , имеем
¶
α − α2
ρ ,
w0 =
2
¶
µ
α − α2
(α−1)/2 (1−α)/2
w1 = By0
ρ ,
y
K0
2
µ
(α−1)/2 (1−α)/2
Ay0
y
I0
(4)
q
где r =
(x − x0 )2 + 1/α2 ln2 (y/y0 ) . Функция w1 , определенная формулой (4),
является фундаментальным решением уравнения (1), так как имеет логарифмическую особенность. Если фундаментальное решение уравнения ограничено, то оно
при стремлении y к нулю убывает экспоненциально. Аналогичное требование можем накладывать и на регулярное решение уравнения (1).
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ
7
Определение 1. Регулярное решение u уравнения (1) в области D+ , обра(2)
щающееся в нуль при y → 0, называется Tα -гармонической функцией в этой
области.
+
(2)
Множество всех Tα -гармонических в D+ и непрерывных в D функций обо+
(2)
значим через Tα (D ) .
T (1)
+
Пусть u, v ∈ C (2) (D+ )
C (D ). Тогда
Ã
!
Ã
! µ
¶
∂
∂u
∂u ∂v
∂u ∂v
(2)
2 2−α ∂
α ∂u
vTα (u) =
v
+α y
vy
−
+ α2 y 2
.
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x ∂x
∂y ∂y
Интегрируя обе части последнего тождества по области Dδ+ , предварительно умножив на весовую функцию, получим
!
Ã
!!
ZZ
ZZ Ã Ã
∂u
∂
2 2−α ∂
α ∂u
(2)
α−2
v
+α y
vy
y α−2 dxdy−
vTα (u)y
dxdy =
∂x
∂x
∂y
∂y
Dδ+
Dδ+
ZZ µ
−
¶
∂u ∂v
2 2 ∂u ∂v
+α y
y α−2 dxdy,
∂x ∂x
∂y ∂y
Dδ+
откуда в силу формулы Остроградского
¶
ZZ µ
ZZ
∂u ∂v
(2)
α−2
2 2 ∂u ∂v
vTα (u)y
dxdy +
+α y
y α−2 dxdy =
∂x ∂x
∂y ∂y
Dδ+
Z
=
Dδ+
µ
¶
∂u
∂u α−2
v cos(x, ν)
+ α2 y 2 sin(x, ν)
y
ds+
∂x
∂y
Γ+
δ
Z
+
µ
¶
∂u
∂u α−2
2 2
v cos(x, ν)
+ α y sin(x, ν)
y
ds.
∂x
∂y
(0)
Γδ
(0)
Так как cos (x, ν) = 0 , sin (x, ν) = 1 на Γδ , то
¶
ZZ µ
ZZ
∂u ∂v
α−2
(2)
2 2 ∂u ∂v
dxdy +
vTα (u)y
+α y
y α−2 xdy =
∂x ∂x
∂y ∂y
Dδ+
Dδ+
Z
Z
vA[u]y α−2 ds +
=
Γ+
δ
vα2
∂u α
y ds, (5)
∂y
(0)
Γδ
где
∂u
∂u
+ α2 y 2 sin(x, ν)
,
∂x
∂y
ν – единичный вектор внешней нормали к ∂Dδ+ в точке P (x, y) .
Аналогично,
¶
ZZ
ZZ µ
∂u ∂v
∂u ∂v α−2
uTα(2) (v)y α−2 dxdy +
+ α2 y 2
y
dxdy =
∂x ∂x
∂y ∂y
A[u] = cos(x, ν)
Dδ+
Dδ+
Z
=
Z
uA[v]y
Γ+
δ
α−2
uα2
ds +
(0)
Γδ
∂v α
y ds. (6)
∂y
8
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
Вычитая (6) из (5), приходим к соотношению
ZZ
(vTα(2) (u) − uTα(2) (v))y α−2 dxdy =
Dδ+
Z
Z
(vA[u] − uA[v])y
α−2
ds +
Γ+
δ
µ
¶
∂u
∂v α
α v
y ds,
−u
∂y
∂y
2
(0)
Γδ
откуда при δ → 0 получаем
ZZ
vTα(2) (u)y α−2 dxdy+
D+
ZZ Ã
+
!
Z
∂u ∂v
2 2 ∂u ∂v
+α y
y α−2 dxdy =
vA[u]y α−2 ds, (7)
∂x ∂x
∂y ∂y
D+
Γ+
δ
¶
¶
ZZ µ
Z µ
(2)
(2)
α−2
vA[u] − uA[v] y α−2 ds.
vTα (u) − uTα (v) y
dxdy =
(8)
Γ+
D+
Формулы (7) и (8) представляют собой соответственно первую и вторую фор(2)
мулы Грина для оператора Tα .
Пусть M0 ∈ D+ . Рассмотрим контур CM0 ε с центром в точке M0 и радиусом ε
такой, что CM0 ε ⊂ D+ . Обозначим через Dε часть области D+ , заключенную
между контуром CM0 ε и границей ∂D+ .
(2)
Применим вторую формулу Грина для оператора Tα к функциям w1 и u
в области Dε :
ZZ
Z
¡
¢ α−2
¡
¢
(2)
(2)
w1 (r)Tα (u) − uTα (w1 (r)) y
dxdy =
w1 (r)A[u] − uA[w1 ] y α−2 ds+
Dε
Z
+
Γ+
¡
¢
w1 (r)A[u] − uA[w1 ] y α−2 ds. (9)
CM0 ε
(2)
(2)
Так как Tα (u) = 0 в D+ , Tα (w1 (r)) = 0 в Dε , то равенство (9) принимает вид
Z
Z
¡
¢ α−2
¡
¢
w1 (r)A[u] − uA[w1 ] y
ds +
w1 (r)A[u] − uA[w1 ] y α−2 ds = 0.
(10)
CM0 ε
Γ+
Имеем
∂w1
∂w1
+ α2 y 2 sin(x, ν)
.
∂x
∂y
справедливы следующие соотношения:
A[w1 ] = cos(x, ν)
На контуре CM0 ε
α2 y(x − x0 )
cos(x, ν) = q
ln(y/y0 )
sin(x, ν) = q
.
α4 y 2 (x − x0 )2 + ln2 (y/y0 )
,
2
α4 y 2 (x − x0 )2 + ln (y/y0 )
Отсюда и из формулы (11) следует, что
(α−1)/2 (3−α)/2
−α2 By0
A[w1 ] = q
(11)
y
α4 y 2 (x − x0 )2 + ln2 (y/y0 )
+ Φ(x, y; x0 , y0 ).
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ
9
Теперь в формуле (10) перейдем к пределу при ε → 0 . Первый интеграл не зависит
от ε. Представим второй интеграл в виде
Z
Z
¡
¢
w1 (r)A[u]y α−2 ds +
u −A[w1 ] y α−2 ds = I1 + I2 .
CM0 ε
CM0 ε
Ясно, что I1 → 0 при ε → 0. Интеграл I2 представим в виде
Z µ
q
lim I2 = lim B
ε→0
(α−1)/2 (3−α)/2
ε→0
CM0 ε
Z µ
ε→0
0
CM
0ε
Z µ
ε→0
00
CM
0ε
α2 y0
y
u
α4 y 2 (x − x0 )2 + ln2 (y/y0 )
(α−1)/2 (3−α)/2
y
u
α4 y 2 (x − x0 )2 + ln2 (y/y0 )
xZ0 +ε
=
u
α4 y 2 (x − x0 )2 + ln2 (y/y0 )
α 2 y0
q
+ lim B
y
(α−1)/2 (3−α)/2
q
= lim B
α2 y0
α2By0α−1 u
lim
ε→0
x0 −ε
¶
+ Φ(x, y; x0 , y0 ) y α−2 ds =
¶
+ Φ(x, y; x0 , y0 ) y α−2 ds+
¶
+ Φ(x, y; x0 , y0 ) y α−2 ds =
1
p
ε2
− (x − x0
)2
dx = α2πBy0α−1 u(M0 ), (12)
0
00
где CM
и CM
– верхняя и нижняя части CM0 ε .
0ε
0ε
Находим нормирующую константу
B=
y01−α
.
2πα
(2)
Из (10) с учетом (12) получаем интегральное представление Tα -гармонической
функции u(x, y)
Z
¡
¢
u(M0 ) =
w1 (r)A[u] − uA[w1 ] y α−2 ds.
(13)
Γ+
(2)
e + ) и тождественно не равна нулю, то функТеорема 1. Если u(x, y) ∈ Tα (D
ция u принимает наибольшее положительное и наименьшее отрицательное значения на границе Γ+ .
Доказательство. Обозначим через M наибольшее положительное значение
e + , а через N наибольшее положительное значение функции u на
функции в D
границе области.
Предположим, что M > N , и функция достигает положительного наибольшего
значения во внутренней точке M0 (x0 , y0 ) области D+ .
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
v =u+
M−N
T
4l2
x0 , y 0
2
x, y (x
+ y 2 ),
где l – наибольшее расстояние между двумя точками границы области D+ ,
x0 , y0
T x,
– оператор обобщенного сдвига [10].
y
Ясно, что v(M0 ) = M. Оценим значение v на границе:
v ≤N+
M−N
M + 3N
M + 3M
=
<
= M.
4
4
4
10
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
Значит, v принимает наибольшее положительное значение во внутренней точке
D+ .
Пусть M1 (x1 , y1 ) – та точка области D+ , где v принимает наибольшее положительное значение. Тогда
¯
µ 2
¶¯
2
¯
¯
∂ u
2 2 ∂ u
3 ∂u ¯
Tα(2) (u)¯¯ =
+
α
y
+
α
y
< 0.
2
2
∂x
∂y
∂y ¯M1
M1
С другой стороны, подставляя v в уравнение (1), получаем
¯
µ 2
¶¯
2
¯
¯
∂ u
(2)
2 2 ∂ u
3 ∂u ¯
¯
Tα (u)¯ =
+α y
+α y
¯ > 0.
2
2
∂x
∂y
∂y
M1
M1
Полученное противоречие доказывает, что функция u не может принимать наибольшее положительное значение во внутренних точках области D+ . Поэтому
по теореме Вейерштрасса она достигает наибольшего положительного значения
на границе. Второе утверждение доказывается аналогично.
Рассматриваются следующие краевые задачи.
(2)
Внутренняя задача (Ei ) . Требуется найти функцию u(x, y) , Tα -гармоничеe + и удовлетворяющую граничному условию
скую в области D+ , непрерывную в D
u|Γ+ = ϕ(P ),
P ∈ Γ+ ,
где ϕ(P ) – непрерывная функция.
(2)
Внешняя задача (Ee ) . Требуется найти функцию u(x, y) , Tα -гармоническую
+
fe , равную нулю на бесконечности и удовлетвов области De+ , непрерывную в D
ряющую граничному условию
u|Γ+ = ϕ(P ),
P ∈ Γ+ ,
где ϕ(P ) – непрерывная функция.
(2)
Внутренняя задача (Ki ) . Требуется найти функцию u(x, y) , Tα -гармоничеe + и удовлетвоскую в области D+ , один раз непрерывно дифференцируемую в D
ряющую граничному условию
¯
A[u]¯Γ+ = ψ(P ), P ∈ Γ+ ,
где ψ(P ) – непрерывная функция.
(2)
Внешняя задача (Ke ) . Требуется найти функцию u(x, y) , Tα -гармоническую
+
fe , равную нулю на
в области De+ , один раз непрерывно дифференцируемую в D
бесконечности и удовлетворяющую граничному условию
¯
A[u]¯Γ+ = ψ(P ), P ∈ Γ+ ,
где ψ(P ) – непрерывная функция.
Имеют место следующие теоремы единственности.
Теорема 2. Задачи Ei , Ee , Ki , Ke не могут иметь более одного решения.
Доказательство. Справедливость утверждений теоремы устанавливается по
аналогии с техникой, предложенной при доказательстве соответствующих теорем
в [11]. Например, приведем доказательство единственности задачи Ki .
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ
11
Пусть u1 и u2 – два решения задачи Ki . Тогда их разность u = u1 − u2 удо(2)
влетворяет условию A[u] = 0 на Γ+ , Tα -гармонична в области D+ и непрерывно
e + . Согласно первой формуле Грина при v = u , Tα(2) = 0
дифференцируема в D
получаем
µ ¶2 ¸
Z Z ·µ ¶2
∂u
∂u
y α−2 dxdy = 0.
+ α2 y 2
∂x
∂y
D+
Отсюда находим
∂u
= 0,
∂x
∂u
= 0,
∂y
а значит, u ≡ C . Согласно граничным условиям задачи имеем, что C = 0, следовательно, u ≡ 0, то есть u1 ≡ u2 .
Координаты переменной точки на кривой Γ+ будем обозначать через P =
= P (ξ, η) . Считаем, что Γ является кривой Ляпунова.
С помощью фундаментального решения w1 строим потенциалы типа двойного
и простого слоев. Они имеют соответственно вид
Z
Z
k−2
W (M ) =
σ(P )A[w1 ] η
dsP = 0, V (M ) =
µ(P )w1 η k−2 dsP = 0,
Γ+
Γ+
где σ(P ) и µ(P ) – плотности этих потенциалов.
Рассмотрим потенциал типа двойного слоя
Z
W (0) (M ) =
A[w1 ] η k−2 dsP = 0,
Γ+
плотность которого равна единице. Справедлива
Теорема 3. Если Γ – кривая Ляпунова, то значения интеграла типа Гаусса
для фундаментального решения w1 уравнения (1) определяются формулой


M ∈ D+ ,
−1,
+
(0)
¯ D ,
W (M ) = 0,
M ∈


−1/2, M ∈ Γ+ .
Доказательство теоремы проводится аналогично схеме, предложенной при доказательстве соответствующей теоремы в [11].
Потенциалы типа двойного и простого слоев на границе ведут себя так же, как
и их аналоги для уравнения Лапласа.
Теорема 4. Если Γ – кривая Ляпунова и σ(P ) – непрерывная функция на Γ+ ,
то для потенциала типа двойного слоя справедливы следующие предельные соотношения
σ(P0 )
+ W (P0 ),
Wi (P0 ) = −
2
σ(P0 )
+ W (P0 ),
(14)
We (P0 ) =
2
где Wi (P0 ) и We (P0 ) означают соответствующие предельные значения потенциала типа двойного слоя в точке P0 ∈ Γ+ , когда P → P0 изнутри и извне Γ+ ,
а W (P0 ) – прямое значение потенциала типа двойного слоя.
12
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
Доказательство. Потенциал типа двойного слоя можем записать следующим
образом:
W (M ) = W1 (M ) + σ(P0 )W (0) (M ),
(15)
где W (0) (M ) – интеграл типа Гаусса, а
Z
W1 (M ) = [σ(P ) − σ(P0 )]A[w1 ]η k−2 dsP .
Γ+
Из точки P0 как из центра
опишем круг радиуса R1 , тем самым кривая разобьется
S
на две части: Γ+ = Γ0 Γ00 , из которых Γ0 лежит внутри круга, а Γ00 – вне ее. Тогда
потенциал также разобьется на
W1 (M ) = W10 (M ) + W100 (M ),
где
Z
W10 (M ) =
[σ(P ) − σ(P0 )]A[w1 ]η k−2 dsP ,
Γ0
Z
W100 (M )
[σ(P ) − σ(P0 )]A[w1 ]η k−2 dsP .
=
Γ00
Нетрудно доказать, что
|W1 (P ) − W1 (P0 )| < ε.
Отсюда следует существование и равенство значений W1i (P0 ) = W1e (P0 ) = W1 (P0 ) .
(0)
Предельные значения интеграла типа Гаусса существуют и равны Wi (P0 ) = −1,
(0)
We (P0 ) = 0, W (0) (P0 ) = −1/2. Находя из (15) пределы Wi (P0 ), We (P0 ), W (P0 )
и исключая из полученных соотношений равные значения W1i (P0 ), W1e (P0 ), W1 (P0 ) ,
приходим к (14).
Теорема 5. Пусть Γ – кривая Ляпунова и µ(P ) – непрерывная функция
на Γ+ . Потенциал типа простого слоя имеет конормальную производную как
изнутри, так и извне Γ+ . Тогда предельные значения конормальной производной
потенциала типа простого слоя выражаются формулами
A(V (P0 ))i =
µ(P0 )
+ A(V (P0 )),
2
µ(P0 )
+ A(V (P0 )),
(16)
2
где A(V (P0 ))i и A(V (P0 ))e означают соответствующие предельные значения потенциала типа простого слоя в точке P0 ∈ Γ+ , когда P → P0 изнутри и извне
Γ+ , а A(V (P0 )) – прямое значение потенциала типа простого слоя.
A(V (P0 ))e = −
Доказательство этих теорем проводится по схеме, предложенной при доказательстве соответствующих теорем, например, в [12].
Решение задачи (Ei ) ищем в виде потенциала двойного слоя
Z
u(M ) =
σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP .
Γ+
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ
13
Неизвестную плотность σ найдем из требования, чтобы эта функция удовлетворяла граничному условию u|Γ+ = ϕ(P ) . С этой целью подставим ее в это граничное
условие. В результате имеем
Z
σ(P0 )
lim u(M ) = −
+ σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP = ϕ(P0 ).
M →P0
2
Γ+
Отсюда получим эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
для неизвестной функции σ
Z
σ(P0 ) − 2 σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP = −2ϕ(P0 ), P0 ∈ Γ+ .
Γ+
Используя формулы (14) и (16) для предельных значений, а также граничные условия основных краевых задач, получим эквивалентные интегральные уравнения для
трех остальных задач. Таким образом, имеем
Z
(17)
(Ei ) : σ(P0 ) − 2 σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP = −2ϕ(P0 ),
Γ+
Z
(Ee ) :
σ(P0 ) + 2
σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP = 2ϕ(P0 ),
(18)
σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP = 2ψ(P0 ),
(19)
σ(P )A[w1 ]η k−2 dsP = −2ψ(P0 ).
(20)
Γ+
Z
(Ki ) :
µ(P0 ) + 2
Γ+
Z
(Ke ) :
µ(P0 ) − 2
Γ+
В уравнениях (17)–(20) точка P0 принадлежит границе Γ+ .
Уравнения (17)–(20) – интегральные уравнения со слабой особенностью, причем
уравнения (17), (20) и (18), (19) являются попарно сопряженными. Для этих интегральных уравнений, как и в случае уравнения Лапласа, справедливы теоремы
Фредгольма.
Исследование первой и второй пары сопряженных уравнений проводится по
схеме, предложенной, например, в [12].
Summary
R.M. Askhatov, R.N. Abaydullin. Solution of the Basic Boundary Value Problems for
a Degenerate Elliptic Equation by the Method of Potentials.
Fundamental solutions to a degenerate elliptic equation are found. Using these fundamental
solutions, simple and double layer potentials are built. The basic boundary value problems for
a degenerate elliptic equation are reduced to the equivalent Fredholm integral equations of
the second kind. Their solvability is proved.
Keywords: degenerate elliptic equation, method of potentials, double layer potential,
simple layer potential, Fredholm equation, generalized translation operator.
Литература
1.
Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на
границе области // Докл. АН СССР. – 1951. – Т. 77, № 2. – С. 181–183.
14
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
2.
Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
3.
Олейник О.А. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе // Докл. АН СССР. –
1966. – Т. 169, № 3. – С. 525–528.
4.
Олейник О.А. О гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся
внутри области и на ее границе // Усп. матем. наук. – 1969. – Т. 24, № 2. – С .229–
230.
5.
Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. – М.:
Наука, 1966. – 292 с.
6.
Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сиб. матем. журн. – 1965. – Т. 6, № 5. – С. 1120–1143.
7.
Мухлисов Ф.Г., Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач для вырождающегося
эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Изв. вузов. Матем. –
2009. – № 8. – С. 57–70.
8.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука,
1972. – 736 с.
9.
Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высш. шк., 1962. – 248 с.
10. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. . . . д-ра
физ.-матем. наук. – Казань, 1993. – 324 с.
11. Асхатов Р.М. Решение основных краевых задач для одного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем.
науки. – 2013. – Т. 155, кн. 4. – С. 5–15.
12. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968. – 576 с.
Поступила в редакцию
15.12.14
Асхатов Радик Мухаметгалеевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Radik.Ashatov@kpfu.ru
Абайдуллин Равиль Нуралиевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системного анализа и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Ravil.Abaydullin@kpfu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
439 Кб
Теги
решение, методов, уравнения, основные, эллиптического, одного, потенциал, задачи, краевых, вырождающегося
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа