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Решение основных краевых задач для одного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов.

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??? 155, ??. 4
?????? ??????? ?????????? ????????????
??????-?????????????? ?????
2013
??? 517.95
??????? ???????? ??????? ?????
??? ?????? ???????????? ??????????????
????????? ??????? ???????????
?.?. ???????
?????????
??????? ??????????????? ??????? ???????????? ?????????????? ?????????, ?????????? ????? ??????????????????? ???????. ? ??????? ??????????????? ???????
????????? ?????????? ???? ???????? ? ???????? ?????. ???????? ??????? ?????? ???
?????? ???????????? ?????????????? ????????? ??????? ? ????????????? ????????????
?????????? ?????????? ??????? ???? ? ???????????? ?? ????????????.
???????? ?????: ??????????????? ???????, ?????????? ???? ???????? ? ???????? ?????, ??????? ??????, ???????????? ????????? ??????????, ???????? ???????????
??????.
? ????? ?????? ????? ?? ????????????? ????????????? ?????????? ???????
???? ????????? ?????? [1], ??? ??????? ??????? ??????, ????? ??????????????????
????? ??????? ??????? ????? ????????????? ?? ????????? ??????? ? ??????????
???????? ?????????????? ???????. ??????? ?.?. ??????? [2] ??????, ??? ???????
?????????????? ????? ???? ???????? ????????? ???????? ? ????????? ???????
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? ??????? [3, 4] ????????? ????? ??????? ??????? ???? ????? ??? ?????????
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y
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2
2
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??? ???????????? ? ? ?????? ?????????? ??????. ? [5] ????????? ?????? ?????????? ??? ?????????? ?????????. ????????? ?????????? ??? ????? ?????? ???????????? ?????????????? ????????? ???? ????????, ????????, ? [6]. ? ?????????
?????? ????????? ? ????????? ?????????? ???? ???????? ? ???????? ????? ? ???????????? ??????? ????? ??? ?????? ???????????? ?????????????? ?????????.
????? E2+ ? ????????????? y > 0 ?????????? ????????? E2 , D ? ????????
???????, ???????????? ???????????? ??? Ox ? ???????????? ?????? ?. ?????????
????? D+ ????? ??????? D ? E2+ , ???????????? ???????? ?(0) = [a, b] ??? Ox ?
e + = D + S ?+ , D + = D
e + S ?(0) , De+ = E + \ D + .
?????? ?+ ; D
2
?????????? ??????????? ????????????? ?????????
х 2
Х
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k ?u
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2 ? u
T? (u) =
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+
= 0, 0 < k < 1, ? > 0.
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?2u ?2u
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? m 2 + 2 = 0, m =
.
??
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1?k
???????? [7], ??? ??????????????? ??????? ????????? (1) ? ???????????? ? ?????
(?0 , ?0 ) ????? ???
├
!
k k
2 ?k/2
w1 (?, ?; ?0 , ?0 ) = A1 (?1 )
F
, , k; 1 ? ? ,
2 2
├
!
k
k
?k/2
w2 (?, ?; ?0 , ?0 ) = A?2 (?21 )
(1 ? ?)1?k F 1 ? , 1 ? , 2 ? k; 1 ? ? ,
2
2
??? F (и) ? ??????????????????? ???????, A1 , A?2 ? ????????? ??????????,
1/1?k 2
?2 = (? ? ?0 )2 + (1 ? k)2 (? 1/1?k ? ?0
) ,
1/1?k 2
?21 = (? ? ?0 )2 + (1 ? k)2 (? 1/1?k + ?0
) ,
?=
?2
.
?21
???????? ????? [7], ??? ??????????????? ??????? ???????? ??????????
??????????.
1. w1 ? w2 ????? ???? ???????????? ?????????????? ? ????
├
!
k k
1
2 ?k/2
w1 = A1 (?1 )
F
, , k; 1 ? ? = B1 ?1 ln + ?1 ,
2 2
?
??? B1 ? ??????????? ?????????,
?1 =
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?1 = A1 (?21 )
и
├
?k/2
(?21 )
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4
х
Х
k2
1+
? + и и и ln ?1 +
4
и
И И
?
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2
?
2
?l ,
+ 4
? (k/2)
(l!)2
?(1 + l)
?(k/2 + l)
2 ?(k)
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l=0
?
├
w2 =
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(1
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k
k
F 1 ? , 1 ? , 2 ? k; 1 ? ?
2
2
??? B2 ? ??????????? ?????????,
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?2 =
?k/2
(?21 )
(1
├
1?k
? ?)
!
= B2 ?2 ln
1
+ ?2 ,
?
!
(2 ? k)2
1+
? + иии ,
4
х
Х
(2 ? k)2
1+
? + и и и ln ?1 +
? ?)
4
и
И И
?
?(2 ? k) X ?2 (1 ? k/2 + l) ?0 (1 + l)
?0 (1 ? k/2 + l)
+ 4
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?2
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? (1 ? k/2)
(l!)2
?(1 + l)
?(1 ? k/2 + l)
?k/2
A?2 (?21 )
(1
и
1?k
l=0
2 ?(2 ? k)
?2 (1 ? k/2)
7
??????? ???????? ??????? ?????. . .
????????, ??? ?1 ? ?2 ? ??????????? ???????. ??? ???? ? ?? ?????? ???????
??????????? ???????????? ?? ????? ???????? ??????, ????????????? ? ???????
?????????????;
2. w1 ? w2 ????????????? ?????????????? ?????????? ????????????
?w1
= 0,
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lim
?
lim w2 = 0.
??0
??????????? ? ?????????? x , y ?? ?????????? ? , ? , ???????? ??? ????????? (1) ??????????????? ??????? ? ???????????? ? ????? (x0 , y0 ) ????
w1 = B1 ?1 ln
???
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1
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и
?k/2
(r12 )
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4
х
Х
k2
? + и и и ln r1 +
1+
4
и
И И
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?0 (k/2 + l)
+ 4
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?(k/2 + l)
2 ?(k)
?2 (k/2)
l=0
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w2 = B2 ?2 ln
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├
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?k/2
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х
Х
(2 ? k)2
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? + и и и ln r1 +
4
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И И
?
?(2 ? k) X ?2 (1 ? k/2 + l) ?0 (1 + l)
?0 (1 ? k/2 + l)
+ 4
2
?2
?l ;
? (1 ? k/2)
(l!)2
?(1 + l)
?(1 ? k/2 + l)
?k/2
A2 (r12 )
(1
1?k
2 ?(2 ? k)
?2 (1 ? k/2)
l=0
r2 = (x ? x0 )2 + ?2/(k?1) (y ? y0 )2 ,
r12 = (x ? x0 )2 + ?2/(k?1) (y + y0 )2 ,
?=
r2
.
r12
??????? w1 ? w2 , ???????? ? ??????? (2) ? (3), ???????? ???????????????? ????????? ????????? (1), ??? ??? ??? ????? ??????????????? ???????????.
????? ????, ??? ????????????? ?????????? ????????????
lim y k
y?0
?w1
= 0,
?y
lim w2 = 0.
y?0
??????????? 1. ?????????? ??????? u ????????? (1) ? ??????? D+ ??????(2)
???? T? -????????????? ???????? ? ???? ???????.
8
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+
(2)
????????? ???? T? -????????????? ? D+ ? ??????????? ? D ??????? ???+
(2)
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T
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ZZ ├
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?v
?u
?v
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k
2
k
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D+
D+
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(2)
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y k d?,
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?n
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D+
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?u
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+ ?2 cos(y, ?)
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??????? (4) ? (5) ???????????? ????? ?????????????? ?????? ? ?????? ???(2)
???? ????? ??? ????????? T? .
????? M0 ? D+ . ?????????? ?????????? CM0 ? ? ??????? ? ????? M0 ? ???????? ? ?????, ??? CM0 ? ? D+ . ????????? D? = D+ \ KM0 ? , ??? KM0 ? ? ????
? ??????? ? ????? M0 ? ???????? ?.
(2)
???????? ?????? ??????? ????? ??? ????????? T? ? ???????? w1 ?
(2)
u ? T? ? ??????? D? :
ZZ │
┤
w1 (r)T?(2) (u) ? uT?(2) (w1 (r)) y k dx dy =
D?
Z х
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w1 (r)
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Х
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k
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w1 (r)
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w1 (r)
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? u 1 y k d?+
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?n
?n
?n
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y k dCM0 ? +
+
B1 ?1 ln
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CM0 ?
Z х
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?u 1
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?n
Х
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CM0 ?
????, ??? I3 ? 0 ??? ? ? 0. ???????? I2 ?????????? ? ????
Х
Z х
1 ?u?
I2 = B1
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y k dCM0 ? ?
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CM0 ?
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Х
Z х
Z х
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1 ???1
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CM0 ?
CM0 ?
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lim
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1
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.
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?n
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1
1
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r
21?k ??k/(1?k)
│ +┤
(2)
??????? 1. ???? u(x, y) ? T? D
, ?? ??????? u ????????? ??????????
? ?????????? ???????? ?? ??????? ???????.
w1 =
??????????????. ????????? ????? M ?????????? ???????? ??????? u
+
? D , ? ????? N ?????????? ???????? ??????? u ?? ??????? ???????.
???????????, ??? M > N , ??????? ????????? ??????????? ???????? ?? ?????????? ????? M0 (x0 , y0 ) ??????? D+ .
?????? ? ???????????? ??????????????? ???????
v =u+
M ? N x0 , y0 2
Tx, y (x + y 2 ),
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??? l ? ?????????? ?????????? ????? ????? ??????? ??????? ??????? D+ ,
x0 , y0
Tx,
y (и) ? ???????? ??????????? ?????? [8].
????, ??? v(M0 ) = M . ?????? ???????? v ?? ???????:
v?N+
M ?N
M + 3N
M + 3M
=
<
= M.
4
4
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????? M1 (x1 , y1 ) ? ?? ????? ??????? D+ , ??? v ????????? ?????????? ????????.
?????
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х 2
Х
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k ?u
(2)
2 ? u
T? (u)M1 =
+?
+
> 0.
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?y 2
y ?y M1
?????????? ???????????? ??????????, ??? ??????? u ?? ????? ????????? ??????????? ???????? ?? ?????????? ?????? ??????? D+ . ??????? ?? ??????? ???????????? ??? ????????? ??????????? ???????? ?? ???????. ??????????? ? ?????????? ???????? ???????????? ??????????.
10
?.?. ???????
?????????? ????????? ??????? ??????.
(0)
(2)
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????????????? ? ??????? D+ , ??????????? ? D ? ??????????????? ?????????
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u|?+ = ?(P ),
P ? ?+ ,
u|?(0) = 0,
??? ?(P ) ? ??????????? ???????.
(0)
(2)
??????? ?????? ??????? ( De ) . ????????? ????? ??????? u(x, y) , T? -???+
?????????? ? ??????? De+ , ??????????? ? De , ?????? ???? ?? ?????????????
? ??????????????? ????????? ????????
u|?+ = ?(P ),
P ? ?+ ,
u|?(0) = 0,
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??? ?(P ) ? ??????????? ???????.
?????????? ?????? ???? ??????? (Ki ) . ????????? ????? ??????? u(x, y) ,
(2)
T? -????????????? ? ??????? D+ , ???? ??? ?????????? ????????????????
e + , ??????????? ? D + ? ??????????????? ????????? ????????
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= f (P ), P ? ?+ ,
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u|?(0) = 0,
??? f (P ) ? ??????????? ???????.
(2)
??????? ?????? ???? ??????? (Ke ) . ????????? ????? ??????? u(x, y) , T? e e+ ,
????????????? ? ??????? De+ , ???? ??? ?????????? ???????????????? ? D
+
??????????? ? De ? ??????????????? ????????? ????????
»
?u »»
= f (P ), P ? ?+ ,
?n »?+
u|?(0) = 0,
e
??? f (P ) ? ??????????? ???????.
????? ????? ????????? ??????? ??????????????.
(0)
??????? 2. ?????????? ?????? ??????? Di
???????.
?? ????? ????? ????? ??????
??????????????. ????? u1 ? u2 ? ??? ?????????????? ??????? ?????? ??(2)
?????. ????? ?? ???????? u = u1 ? u2 ????? T? -????????????? ? ??????? D+ ,
+
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u|?+ = 0,
u|?(0) = 0.
? ???? ??????? ???????????? ??????? ????????? ??????????? ? ???????????
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u ? 0,
u1 ? u2 .
??????? ???????? ??????? ?????. . .
(0)
??????? 3. ??????? ?????? ??????? De
???????.
11
?? ????? ????? ????? ??????
?????????????? ??????? ?????????? ?????????? ?????, ???????????? ??? ?????????????? ??????????????? ???????, ????????, ? [9].
??????? 4. ?????????? ?????? ???? ??????? Ki ?? ????? ????? ?????
?????? ???????.
??????????????. ????? u1 ? u2 ? ??? ?????????????? ??????? ?????? ????
(2)
???????. ????? ?? ???????? u = u1 ? u2 ????? T? -????????????? ? ??????? D+ ,
e + ? ??????????????? ?????????
???? ??? ?????????? ???????????????? ? D
(2)
???????? ?????? Ki . ???????? ?????? ??????? ????? ??? v = u, T? = 0 ????????
х Х2 #
Z Z "х Х2
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?u
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y k dx dy = 0.
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???????? ????????? ???????? ?????? ?????
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u ? 0.
u ? 0.
??????? 5. ??????? ?????? ???? ??????? Ke ?? ????? ????? ????? ??????
???????.
?????????????? ??????? ?????????? ?????????? ?????, ???????????? ??? ?????????????? ??????????????? ???????, ????????, ? [9].
?????????? ?????????? ????? ?? ?????? ?+ ????? ?????????? ????? P =
= P (?1 , ?2 ). ???????, ??? ? ???????? ?????? ????????.
? ??????? ???????????????? ??????? w1 ?????? ?????????? ???? ????????
? ???????? ?????. ??? ????? ?????????????? ???
Z
?w1 k
W (M ) =
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? d?P = 0,
?n 2
?+
Z
х(P ) w1 ?2k d?P = 0,
V (M ) =
?+
??? ?(P ) ? х(P ) ? ????????? ???? ???????????.
?????????? ????? ??????????? ?????????????? ? ????
Z
? (B1 ?1 ln (1/r) + ?1 ) k
W (M ) =
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?(P )
?n
+
?
Z
?ln (1/r) k
?2 d?P + R1? ,
= B1 ?(P )?1
?n
?+
???
Z
R1? = B1
?+
?(P ) ln
1 ??1 k
? d?P +
r ?n 2
Z
?(P )
?+
??1 k
? d?P
?n 2
12
?.?. ???????
???? ??????????? ???????
?
Z
1
V (M ) = B1 х(P )?1 ln ?2k d?P + R1?? ,
r
?+
???
Z
R1?? =
х(P )?1 ?2k d?P
?+
???? ?????????? ???????????????? ???????.
?????????? ????????? ???? ???????? ????, ????????? ???????? ????? ???????,
Z
?w1 k
W (0) (M ) =
? d?P .
?n 2
?+
??????? 6. ???? ? ? ?????? ????????, ?? ???????? ????????? ???? ??????
??? ???????????????? ??????? w1 ????????? (1) ???????????? ?? ???????
?
?
M ? D+ ,
??1,
+
(0)
» D ,
W (M ) = 0,
M ?
?
?
?1/2, M ? ?+ .
??????????????. ????? M ? D+ . ??????? u = 1 ? ??????? ?????????????
????????????? (10), ????????
Z
?w1 k
? d?P = ?1.
?n 2
?+
+
» D . ??????? u = 1 ?? ?????? ??????? ????? (5), ?????
????? M ?
Z
?w1 k
? d?P = 0.
?n 2
?+
+
?????
?????? ????? M T
???? KM ? . ????????? ????? D?? =
S M ? ? 0 . ??????
0
+
?
+
?
+
KM ? , KM ? = KM ? \ KM
= D
KM ? , D? = D \ KM ? , KM ? = D
? , ?? =
+
= ? \ KM ? . ?????
Z
?w1 k
? d?P = 0,
(11)
?n 2
?
?? ?KM
?
Z
?w1 k
? d?P = ?1.
?n 2
(12)
0
?? ?KM ?
????????? (11) ? (12), ????????
Z
?w1 k
2
? d?P + J? = ?1,
?n 2
??
???
Z
J? =
0
KM ?
?w1 k
? d?P ?
?n 2
Z
?
KM
?
?w1 k
? d?P .
?n 2
(13)
13
??????? ???????? ??????? ?????. . .
???????, ??? J? ? 0 ??? ? ? 0 . ? ?????? ????? ????????? (13) ????????? ???
Z
?w1 k
1
? d?P = ? .
?n 2
2
?+
?????????? ???? ???????? ? ???????? ????? ?? ??????? ????? ???? ??? ??, ???
? ?? ??????? ??? ????????? ???????.
??????? 7. ???? ? ? ?????? ???????? ? ?(P ) ? ??????????? ??????? ??
?+ , ?? ??? ?????????? ???? ???????? ???? ??????????? ????????? ??????????
???????????
Wi (P0 ) = ?
?(P0 )
+ W (P0 ),
2
We (P0 ) =
?(P0 )
+ W (P0 ),
2
(14)
??? ????? Wi (P0 ) ? We (P0 ) ?????????? ??????????????? ?????????? ????????
?????????? ???? ???????? ???? ? ????? P0 ? ?+ , ????? P ? P0 ??????? ? ?????
?+ , ? ????? W (P0 ) ? ?????? ???????? ?????????? ???? ???????? ????.
??????? 8. ????? ? ? ?????? ???????? ? х(P ) ? ??????????? ??????? ??
?+ . ????????? ???? ???????? ???? ????? ?????????? ??????????? ??? ???????, ??? ? ????? ?+ . ????? ?????????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????? ???? ???????? ???? ?????????? ? ??????? ??????
?Vi (P0 )
х(P0 ) ?V (P0 )
=
+
,
?n
2
?n
?Ve (P0 )
х(P0 ) ?V (P0 )
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+
,
?n
2
?n
(15)
?Vi (P0 )
?Ve (P0 )
?
? ??????????????? ?????????? ???????? ??????????
?n
?n
???? ???????? ???? ? ????? P0 ? ?+ , ????? P ? P0 ??????? ? ????? ?+ , ?
?V (P0 )
? ?????? ???????? ?????????? ???? ???????? ????.
?n
?????????????? ???? ?????? ?????????? ?? ?????, ???????????? ??? ?????????????? ??????????????? ??????, ????????,p
? [9].
??????? ????????? (1), ????????? ?? r = x2 + ?2/(k?1) y 2 , ????? ???
???
v = C1 r?k + C2 ,
??? C1 , C2 ? ???????????? ??????????. ????? C1 = A1 , C2 = 0 . ????? v = A1 r?k
???????? ??????????????? ???????? ????????? (1) ? ???????????? ? ?????? ?????????.
?????? ? ???????????? ???????
2
?1 (x, ?) = A1 T?x11,,??x
(r?k ).
2
????, ??? ??? ??????? ???????? ?????????? ???????? ????????? (1) ? E2+ . ?????
????? ????? ????????? ?????????? ???????????:
lim
y?0
?(w1 ? ?1 )
= 0,
?nP
(0)
lim (w1 ? ?1 ) = 0.
y?0
??????? ?????? (Di ) ???? ? ???? ?????????? ???????? ????
Z
?(w1 ? ?1 ) k
u(M ) =
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?n
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14
?.?. ???????
??????????? ????????? ? ?????? ?? ??????????, ????? ??? ??????? ????????????? ?????????? ??????? u|?+ = ?(P ) . ? ???? ????? ????????? ?? ? ?????????
????????? ???????. ? ?????????? ?????
Z
?(P0 )
?(w1 ? ?1 ) k
lim = ?
+ ?(P )
?2 d?P = ?(P0 ).
M ?P0
2
?nP
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?????? ??????? ????????????? ???????????? ????????? ?????????? ??????? ????
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?(w1 ? ?1 ) k
?(P0 ) ? 2 ?(P )
?2 d?P = ?2?(P0 ), P0 ? ?+ .
?nP
?+
????????? ??????? (14) ? (15) ??? ?????????? ????????, ? ????? ????????? ??????? ???????? ??????? ?????, ??????? ????????????? ???????????? ????????? ???
???? ????????? ?????. ??? ???????? ??????? ??? ???????????? ????????? ??????:
Z
?(w1 ? ?1 ) k
(0)
(Di ) : ?(P0 ) ? 2 ?(P )
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Summary
R.M. Askhatov. The Solution of the Basic Boundary Value Problems for a Singular Elliptic
Equation by the Method of Potentials.
We have found fundamental solutions to a singular elliptic equation, expressed via hypergeometric functions. Using these fundamental solutions, we have built the simple and double
layer potentials. We have reduced the basic boundary value problems for a singular elliptic
equation to the equivalent Fredholm integral equations of the second kind and proved their
solvability.
Keywords: fundamental solutions, simple and double layer potentials, boundary value
problems, Fredholm integral equations, generalized shift operator.
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15
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1.
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15.10.13
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E-mail: Radik.Ashatov@kpfu.ru
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решение, методов, уравнения, основные, сингулярного, эллиптического, одного, потенциал, задачи, краевых
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