close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя методом интегральных уравнений.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2008. №4(15)
УДК 517.956.6
РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ОПЕРАТОРОМ
БЕССЕЛЯ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© Ф.Г.Мухлисов, Р.М.Сафина
В данной работе дается постановка пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного
типа с оператором Бесселя и доказывается существование единственного решения.
Ключевые слова: пространственная задача Трикоми, уравнения смешанного типа, метод интегральных уравнений
Пусть E3+ – полупространство x1 > 0 трехмерного евклидова пространства E3 точек
x = ( x′, x3 ) ,
{
x′ = ( x1 , x2 ) ,
}
E3+− = x ∈ E3+ : x3 < 0 ,
x1 > 0
{
координатной
}
{
}
E3++ = x ∈ E3+ : x3 > 0 ,
E2+
–
полуплоскость
значим через Г 0+ . Кроме того, через K0++ и K0+−
x3 = 0 ,
( Г 0++ и Г0+− ) обозначим части полуконуса K 0+
плоскости
{
}
E2++ = x′ ∈ E2+ : x2 > 0 , E2+− = x′ ∈ E2+ : x2 < 0 .
В полупространстве E3+ рассмотрим уравнение смешанного типа
∂ 2u
∂ 2u
EB ( u ) ≡ Bx1 ( u ) + 2 + sign x3 2 = 0 ,
(0.1)
∂x2
∂x3
где Bx1 =
∂2
k ∂
+
– оператор Бесселя, k > 0 .
2
∂x1 x1 ∂x1
В E3++ уравнение (0.1) является B -эллиптическим, в E3+− – B -гиперболическим, а E2+ – B параболическая полуплоскость.
Уравнение (0.1) в E3+− имеет семейство характеристических конусов, которые определяются
уравнениями
2
2
2
( x1 − a ) + ( x2 − b ) − ( x3 + c ) = 0 . Полагая здесь
a = 0 , b = 0 , c = 1 , получим характеристический
полуконус
будем называть соответственно B -эллиптической и B -гиперболической частями области D , а
эту последнюю смешанной областью. Полукруг
полуплоскости E2+ , отделяющий D + и D − , обо-
K 0+ : x12 + x22 = ( x3 + 1) ,
2
x1 > 0 ,
−1 < x3 < 0 с вершиной в точке ( 0,0, −1) , проходящий через полуокружность C0+ : x12 + x22 = 1 ,
x1 > 0 .
Обозначим через D конечную область, ограниченную поверхностью Г , расположенную в
E3++ и проходящую через C0+ , частью Г1 координатной плоскости x1 = 0 и характеристиче+
0
ским полуконусом K . Части области D , в которых x3 > 0 и x3 < 0 , обозначим соответственно
через D + и D − . Поскольку уравнение (0.1) B эллиптично в D + и B -гиперболично в D − , то их
(полукруга Г 0+ ), на которых соответственно
x2 > 0 и x2 < 0 , а соответствующие части полуокружности C0+ – через C0++ и C0+− .
1. Исследование уравнения (0.1) в B эллиптической части полупространства
1.1. Принцип экстремума
Теорема 1. (принцип локального экстремума).
Тождественно не равная нулю B -гармоническая
функция u ( x ) в области D + из класса
( )
(
)
( )
C 2 D + ∩ C 1 D + ∪ Г1 ∩ C D +
не может при-
нимать положительного локального максимума и
минимума (отрицательного локального максимума и минимума) в точках области D + ∪ Г1 .
Следствие 1. При условиях теоремы функция
u ( x ) может принимать положительные локальные максимумы и минимумы (отрицательные
локальные максимумы и минимумы) и, следовательно, наибольшее и наименьшее значения на
границе Г ∪ Г 0 .
Следствие 2. Если функция u ( x ) удовлетворяет условиям теоремы и
= ν ( x′ ) ,
u x = 0 = τ ( x′ ) и u x3
3
то
x3 = 0
τ ( x′ )ν ( x′ ) ≥ 0 , x′ ∈ Г 0+ .
(1.1)
Доказательство следствия 2 следует из граничного принципа экстремума.
1.2. Постановка внутренней задачи N .
Теорема единственности
Ф.Г.МУХЛИСОВ, Р.М.САФИНА
Требуется найти четную по x1 функцию
u ( x ) , удовлетворяющую условиям:
( )
(
)
( )
(1.2)
∂ 2u ∂ 2u
Δ B u ≡ B x1 u +
+
= 0 , x ∈ D+ ;
∂ x 22
∂ x 32
(1.3)
= ν ( x′ ) , x′ ∈ Г 0+ ;
(1.4)
x3 = 0
u Г = ϕ (ξ ) , ϕ (ξ ) ∈ С ( Г ) .
(1.5)
Теорема 2. Внутренняя задача N не может
иметь более одного решения.
Доказательство следует из следствия 1 к теореме 1.
1.3. Существование решения внутренней
задачи N
Аналогично доказательству, приведенному в
[1], можно показать, что фундаментальное решение (1.3) при малых значениях r = x − x0 представляется в виде
ε ( x, x0 ) =
где Φ ( x, x0 )
( x1 x10 )
−
k
2
(1.6)
+ Φ ( x, x0 ) ,
4π r
– регулярная в точке x0 функция.
Пусть G ( x, ξ ) – функция Грина задачи Ди∗
рихле для области D , ограниченной поверхностью Г , ее зеркальным отражением в плоскости
x 3 = 0 и частью Г1∗ плоскости x1 = 0 .
Известно [2], что функция Грина выразится
формулой
G ( x, ξ ) = ε ( x, ξ ) + ψ ( x, ξ ) ,
(1.7)
где функция ψ ( x, ξ ) регулярна в области D∗ .
Заменяя в (1.7) фундаментальное решение
ε ( x, ξ ) на его значение из (1.6), получаем
G ( x, ξ ) =
( x1 x10 )
−
k
2
(1.8)
+ g ( x, ξ ) ,
4π r
где g ( x, ξ ) – регулярная функция в области D∗ .
Пусть x – внутренняя точка области D + ,
S x ,ε – сфера с центром в точке x и радиуса ε
такого, что S x ,ε ⊂ D + . Обозначим через Dε+ область, ограниченную границей области D + и
сферой S x ,ε , u ( x ) – решение задачи N .
Применяя к функциям u (ξ ) и G ( x, ξ ) вто-
рую формулу Грина в области Dε+ , с учетом того, что Δ B u = 0 и Δ B G ( x, ξ ) = 0 , получаем
∂G ⎞
k
1
dГ +
Г
u ( x ) ∈ C 2 D + ∩ C1 D + ∪ Г 0 ∩ C D + ;
∂u
∂x3
∂u
⎛
∫∫ ⎜⎝ G ∂n − u ∂n ⎟⎠ ξ
∂G ⎞ k
⎛ ∂u
+ ∫∫ ⎜ G
−u
ξ1 dS xε −
∂n
∂n ⎟⎠
S xε ⎝
(1.9)
⎛ ∂u
∂G ⎞ k
− ∫∫ ⎜ G
−u
⎟ ξ1 d ξ1d ξ 2 = 0.
∂
ξ
∂
ξ
+ ⎝
3
3
⎠
Г0
Так как на Г : G = 0 и u = ϕ (ξ ) ; на S xε :
∂u
∂G
∂
∂
= ν (ξ ′ ) и
=−
и r = ε ; на Г 0+ :
=0,
∂n
∂r
∂ξ3
∂ξ3
то формулу (1.9) можно записать в виде
∂G k
− ∫∫ ϕ (ξ )
ξ1 dГ −
∂n
Г
∂G ⎞ k
⎛ ∂u
− ∫∫ ⎜ G
−u
⎟ ξ1 dS xε −
∂r
∂r ⎠
S xε ⎝
(1.10)
− ∫∫ Gν (ξ ′ ) ξ1k d ξ1d ξ 2 = 0.
Г 0+
Вычислим предел при ε → 0 интеграла
∂G ⎞ k
⎛ ∂u
J ε = ∫∫ ⎜ G
ξ1 dS xε .
−u
(1.11)
∂r
∂r ⎟⎠
S xε ⎝
Заменяя в этом интеграле функцию Грина G
на ее значение из (1.8), получаем
−
Jε =
k
2
x1
4πε 2
k
∫∫ uξ12 dS xε + I 2ε ( x,ξ ) = I1ε + I 2ε .
S xε
Очевидно, что
lim I 2ε = 0 .
(1.12)
С помощью формулы среднего значения интеграла можно доказать, что
lim I1ε = u ( x ) .
(1.13)
ε →0
ε →0
Переходя в формуле (1.10) к пределу при
ε → 0 , с учетом предельных соотношений (1.12)
и (1.13), получим
∂G (ξ , x ) k
u ( x ) = − ∫∫ ϕ (ξ )
ξ1 dГ −
∂nξ
Г
(1.14)
− ∫∫ G (ξ ′, x )ν (ξ ′ ) ξ1k d ξ ′.
Г 0+
2. Исследование уравнения (0.1) в B - гиперболическом полупространстве
2.1. Постановка задачи Коши. Теорема
единственности
Требуется найти четную по x1 функцию
u ( x ) , удовлетворяющую условиям:
( )
(
)
( )
u ( x ) ∈ C 2 D − ∩ C 1 D − ∪ Г 0+ ∩ C D − ;
(2.1)
МАТЕМАТИКА
Δ B u ≡ B x1 u +
∂ 2u ∂ 2u
−
= 0 , x ∈ D− ;
∂ x 22
∂ x 32
u x = 0 = τ ( x′ ) , u x3
3
x3 = 0
= ν ( x′ ) , x′ ∈ Г 0+ ;
(2.2)
1
1
ν (ξ ′ ) ,
Φ (ξ ′ ) = τ (ξ ′ ) −
2
2i ξ ′
(2.3)
1
1
ν (ξ ′ ) .
Ψ (ξ ′ ) = τ (ξ ′ ) +
2
2i ξ ′
Предполагается, что τ ( x′ ) и ν ( x′ ) – четные
по x1 функции и из условия (2.1) следует, что
τ ( x′ ) ∈ C 1 ( Г 0+ ) ∩ С ( Г 0+ ) , ν ( x′ ) ∈ C ( Г 0+ ) .
Функция ν ( x′ ) в точках полуокружности C0+
может иметь интегрируемую особенность.
Теорема 3. Задача коши (2.1)-(2.3) не может
иметь более одного решения.
2.2. Решение задачи Коши
Решение задачи Коши (2.1)-(2.3) ищем в виде
[3]
− i ξ ′ x3
u ( x ) = ∫∫ Φ (ξ ′ ) eix2ξ2 e
jν ( x1ξ1 ) ξ12ν +1d ξ ′ +
E2+
+ ∫∫ Ψ (ξ ′ ) eix2ξ2 e
i ξ ′ x3
jν ( x1ξ1 ) ξ12ν +1d ξ ′,
(2.4)
E2+
где jν ( t ) = 2ν Г (ν + 1) Jν ( t ) tν , Jν ( t ) – функция
Бесселя, ν = ( k − 1) 2 , Φ (ξ ′ ) и Ψ (ξ ′ ) – произвольные функции.
Произвольные функции Φ (ξ ′ ) и Ψ (ξ ′ ) найдем из требования, чтобы функция (2.4) удовлетворяла начальным условиям (2.3). Подставляя
ее в эти начальные условия, получаем систему
уравнений
ix ξ
2ν +1
∫∫ Φ (ξ ′) e 2 2 jν ( x1ξ1 )ξ1 dξ ′ +
E2+
+ ∫∫ Ψ (ξ ′ ) e
ix2ξ 2
jν ( x1ξ1 ) ξ
2ν +1
1
d ξ ′ = τ ( x′ ) ,
∫∫ ( −i ξ ′ ) Φ (ξ ′) e
jν ( x1ξ1 ) ξ
2ν +1
1
E2+
+ ∫∫ν (ξ ′ ) eix2ξ2 jν ( x1ξ1 )
E2+
+ ∫∫ ( i ξ ′ ) Ψ (ξ ′ ) eix2ξ2 jν ( x1ξ1 ) ξ12ν +1d ξ ′ = ν ( x′ ) .
u ( x) =
x1−ν
4π
⎡∞
2
− ∫∫ν (η ′ ) ⎢ ∫ J 0 ⎜⎛ ξ1 x32 − ( x2 − η 2 ) ⎟⎞ ×
⎠
Ω
⎣0 ⎝
×∫∫ τ (η ′ ) e
E2+
jν (η1ξ1 )η
=
1
( 2π )
2
2 Г 2 (ν + 1)
2ν
×
×∫∫ν (η ′ ) e − iξ2η2 jν (η1ξ1 )η12ν +1dη ′ = ν (ξ ′ ) .
E2+
Решая эту систему, имеем
}
× Jν (η1ξ1 ) Jν ( x1ξ1 ) ξ1d ξ1 ⎤⎦η1ν +1dη ′ ,
{
}
2
Также известно [4], что
∞
∫J
(2.6)
0
0
⎛ ξ x2 − η − x 2 ⎞ J η ξ J x ξ ξ dξ =
⎜ 1 3 ( 2
2 ) ⎟ ν ( 1 1) ( 1 1) 1
1
⎝
⎠
2 (η1 x1 )
ν
dη ′ = τ (ξ ′ ) ,
( −i ξ ′ ) Φ ( ξ ′ ) + ( i ξ ′ ) Ψ ( ξ ′ ) =
(2.10)
= (η − x ) < x 2 .
где Ω
2
2
3
Применяя к формулам (2.5) и (2.6) обратное
преобразование Фурье-Бесселя, получаем
1
Φ (ξ ′ ) + Ψ (ξ ′ ) =
×
2 2ν
( 2π ) 2 Г 2 (ν + 1)
2ν +1
1
⎧⎪
⎡ ∂ ∞ ⎛
2
′
J 0 ⎜ ξ1 x32 − ( x2 − η 2 ) ⎞⎟ ×
τ
η
(
)
⎨ ∫∫
⎢
∫
⎝
⎠
∂
x
⎣ 30
⎩⎪ Ω
× Jν (η1ξ1 ) Jν ( x1ξ1 ) ξ1d ξ1 ⎤⎦η1ν +1dη ′ −
E2+
− iξ 2η2
(2.8)
(2.9)
⎧0 при ( x2 −η2 )2 > x32 ,
⎪
=⎨
2 ⎞
2
2
2
⎛
⎪π J0 ⎜ ξ1 x3 − ( x2 −η2 ) ⎟ при ( x2 −η2 ) < x3 .
⎠
⎩ ⎝
Заменяя в (2.8) τ (ξ ′ ) и ν (ξ ′ ) на их значения
из (2.7), а внутренние интегралы на их значения
из
(2.9),
учитывая,
что
ν
ν
jν ( t ) = 2 Г (ν + 1) Jν ( t ) t , имеем
dξ ′ +
E2+
sin ξ ′ x3 2ν +1
ξ1 d ξ ′.
ξ′
Известно [4], что
∞
sin ξ ′ x3 i( x −η )ξ
∫−∞ ξ ′ e 2 2 2 dξ2 =
(2.5)
E2+
ix2ξ 2
Подставляя эти значения Φ и Ψ в формулу
(2.4), получим
u ( x ) = ∫∫ τ (ξ ′ ) eix2ξ2 jν ( x1ξ1 ) cos ξ ′ x3ξ12ν +1d ξ ′ +
=
π
1⎞
×
2
1
(2.11)
⎠
×∫ ⎡ x − (η2 − x2 ) − η − x + 2η1 x1 cos ϕ ⎤
⎣
⎦
2
2
3
2
1
− (ν +1)
sin 2ν ϕ dϕ .
0
при
(η1 + x1 )
2
+ (η 2 − x2 ) < x32 ,
2
η1 > 0 ,
x1 > 0 ,
1
2
Заменяя в (2.10) внутренние интегралы на их
значение из (2.11) и переходя от x1 к − x1 , с учетом четности решения задачи Коши, имеем
ν >− .
(2.7)
⎛
⎝
π Г ( −ν ) Г ⎜ν + ⎟
2
Ф.Г.МУХЛИСОВ, Р.М.САФИНА
u( x) =
⎧⎪
⎨ τ (η′) ×
⎛ 1 ⎞ ∫∫
2π Г ( −ν ) Г ⎜ν + ⎟ ⎪⎩Ωx
⎝ 2⎠
1
3
2
⎡∂
2
×⎢ ∫ x32 −(η2 − x2 ) −η12 − x12 − 2η1x1 cosϕ
⎣∂x3 0
π
(
)
−(ν +1)
⎤
sin2ν ϕdϕ⎥η12ν +1dη′ −
⎦
(2.12)
)
где Ω x = { η ′ − x′ < x3 } .
Производя во внутренних интегралах (2.12)
замену переменной по формуле ϕ = π − α , получаем
u( x) =
⎧⎪
⎨∫∫τ (η′) ×
⎛ 1⎞
2π Г ( −ν ) Г ⎜ν + ⎟ ⎪⎩Ωx
⎝ 2⎠
1
3
2
−(ν +1)
⎡∂π
⎤
2
sin2ν αdα⎥η12ν +1dη′ −
×⎢ ∫ x32 −(η2 − x2 ) −η12 − x12 + 2η1x1 cosα
x
∂
3
⎣ 0
⎦
(
)
(2.13)
−(ν +1)
⎫⎪
⎡π
⎤
2
sin2ν αdα⎥η12ν +1dη′⎬,
−∫∫ν (η′) ⎢∫ x32 −(η2 − x2 ) −η12 − x12 + 2η1x1 cosα
⎪⎭
Ωx
⎣0
⎦
(
)
Вычисляя здесь производную по x3 , имеем
u( x) =
⎪⎧
⎨2(ν +1) x3 ∫∫τ (η′) ×
⎛ 1 ⎞ ⎪⎩
Ωx
2π Г( −ν ) Г⎜ν + ⎟
⎝ 2⎠
1
3
2
−(ν +2)
⎡π
⎤
2
×⎢∫ x32 −(η2 − x2 ) −η12 − x12 + 2η1x1 cosα
sin2ν αdα⎥η12ν+1dη′ +
⎣0
⎦
(
)
(2.14)
−(ν +1)
⎫⎪
⎡π
⎤
2
+∫∫ν (η′) ⎢∫ x32 −(η2 − x2 ) −η12 − x12 + 2η1x1 cosα
sin2ν αdα⎥η12ν+1dη′⎬.
Ωx
⎣0
⎦
⎭⎪
(
)
Решение задачи Коши (2.14) запишем в виде
1
u ( x) =
{2 (ν + 1) x3 ×
2π Г ( −ν ) Г (ν + 1)
×∫∫ τ (η ′ ) T
x′
η′
Ωx
(x
2
3
− η′
(
+ ∫∫ν (η ′ ) Tηx′ ′ x32 − η ′
Ωx
где
×∫ f
0
(
η
)
η12ν +1dη ′⎬ ,
2 − (ν +1)
2ν +1
1
dη ′ +
⎫⎪
Из условия (3.1) задачи Трикоми следует, что
на полукруге Г 0+ выполняются условия склеивания
u ( x′,0 − ) = u ( x′,0 + ) = τ ( x′ ) ;
(3.5)
u x3 ( x′,0 − ) = u x3 ( x′,0 + ) = ν ( x′ ) ,
где τ ( x′ ) и ν ( x′ ) – пока неопределенные функции. Их найдем из требования, чтобы решение
задачи Трикоми в B -эллиптической подобласти
D + совпадало с решением задачи N , а в B -гиперболической подобласти D − – с решением задачи Коши.
Теорема 4. Задача Трикоми не может иметь
более одного решения.
3.2. Существование решения задачи Трикоми
Задачу Трикоми будем решать методом интегральных уравнений. Нам потребуются соотношения между τ ( x′ ) и ν ( x′ ) из обеих подобластей D + и D − .
В B -гиперболической подобласти D − рассмотрим задачу Коши (2.1)-(2.3), а в B -эллиптической подобласти D + – задачу N (1.2)-(1.5),
считая как бы известными функции τ ( x′ ) и
Решение задачи N в силу (1.14) имеет вид
∂G (ξ , x ) k
u ( x ) = − ∫∫ ϕ (ξ )
ξ1 dГ −
∂nξ
Г
(3.7)
− ∫∫ G (ξ ′, x )ν (ξ ′ ) ξ1k d ξ ′,
u ( x) =
–
оператор обобщенного сдвига.
⎧⎪
× ⎨ 2 (ν + 1) x3
⎪⎩
3. Задача Трикоми
3.1. Постановка задачи Трикоми и единственность ее решения
Требуется найти четную по x1 функцию
u ( x ) , удовлетворяющую следующим условиям:
)
EB ( u ) = 0 , x ∈ D ∪ D ;
−
(3.1)
(3.2)
1
×
2π Г ( −ν ) Г (ν + 1)
∫∫τ (η ′) Tη
x′
′
Ωx
(x
2
3
(
+ ∫∫ν (η ′ ) Tηx′ ′ x32 − η ′
Ωx
u ( x ) ∈ C 2 D + ∪ D − ∩ C ( D ) ∩ C1 ( D ) ;
(3.6)
а решение задачи Коши в силу (2.15) – вид
)
+
(3.4)
Г 0+
⎪⎭
η12 + x12 − 2η1 x1 cos α ,η2 − x2 sin 2ν α dα
(
u K ++ = 0 .
ν ( x′ ) .
(2.15)
Г (ν + 1)
×
1⎞
⎛
π Г ⎜ν + ⎟
2⎠
⎝
Tηx′ ′ f (η ′ ) =
π
)
2 − (ν + 2 )
(3.3)
0
−(ν +1)
⎫⎪
⎡π
⎤
2
−∫∫ν (η′) ⎢∫ x32 −(η2 − x2 ) −η12 − x12 − 2η1x1 cosϕ
sin2ν ϕdϕ⎥η12ν +1dη′⎬,
⎪⎭
Ωx
⎣0
⎦
(
u Г = ϕ (ξ ) , ξ ∈ Г ;
− η′
2
)
2 − (ν +1)
)
− (ν + 2 )
η12ν +1dη ′ + (3.8)
⎫⎪
η12ν +1dη ′⎬ .
⎪⎭
Полагая в решении задачи N (3.7) x3 = 0 и в
решении задачи Коши (3.8) x3 = x′ − 1 , x′ ∈ Г 0++ ,
с учетом условии (3.4) и (3.5) имеем
τ ( x′ ) = − ∫∫ν (ξ ′ ) G (ξ ′, x′ ) ξ1k dξ ′ −
Г 0+
− ∫∫ ϕ (ξ )
Г
∂G (ξ , x′ )
∂nξ
(3.9)
ξ dГ ,
k
1
МАТЕМАТИКА
0 = 2 (ν + 1) (1 − x′ ) ×
2
2
×∫∫ τ (η ′ ) Tηx′ ′ ⎡⎢(1 − x′ ) − η ′ ⎤⎥
⎣
⎦
Ω
− (ν + 2 )
η12ν +1dη ′ +
x
2
2
+ ∫∫ν (η ′ ) Tηx′ ′ ⎢⎡(1 − x′ ) − η ′ ⎥⎤
⎣
⎦
Ω
− (ν +1)
(3.10)
η12ν +1dη ′.
x
Формула (3.9) дает первое уравнение между
τ ( x′ ) и ν ( x′ ) , которое определяется из условия
склеивания (3.5), а формула (3.10) дает второе
уравнение, которое определяется из того, что
решение задачи Трикоми в области D − должно
принимать значение 0 на K0++ .
Вопрос о существовании решения задачи
Трикоми (3.1)-(3.4) эквивалентен вопросу о разрешимости системы уравнений (3.9) и (3.10) относительно τ ( x′ ) и ν ( x′ ) .
Сведем систему уравнений (3.9) и (3.10) к
одному интегральному уравнению с одной неизвестной функцией. Для этого уравнение (3.10)
запишем в виде
∫∫ {
Ωx
2
2
τ (η ′ ) 2 (ν + 1) (1 − x′ ) Tηx′ ′ ⎡⎢(1 − x′ ) − η ′ ⎤⎥
⎣
2
2
ν (η ′ ) Tηx′ ′ ⎡⎢(1 − x′ ) − η ′ ⎤⎥
⎣
⎦
− (ν + 2 )
⎦
− (ν +1)
+
(3.11)
⎫ 2ν +1
⎬η1 dη ′ = 0.
⎭
Из условия (1.1) следует, что равенство (3.11)
возможно только тогда, когда подынтегральная
функция равна нулю, т.е.
2
2
2 (ν + 1)τ (η ′ ) (1 − x′ ) Tηx′ ′ ⎢⎡(1 − x′ ) − η ′ ⎥⎤
⎣
⎦
2
2
+ν (η ′ ) Tηx′ ′ ⎡⎢(1 − x′ ) − η ′ ⎤⎥
⎣
⎦
− (ν +1)
− (ν + 2 )
+
= 0.
Откуда
2
2
2 (ν + 1) ( x′ − 1) Tηx′ ′ ⎡⎢(1 − x′ ) − η ′ ⎤⎥
⎣
⎦
ν (η ′ ) =
− (ν +1)
2
2
x′ ⎡
⎤
Tη ′ ⎢(1 − x′ ) − η ′ ⎥
⎣
⎦
− (ν + 2 )
τ (η ′ ) . (3.12)
Заменяя в (3.9) ν (η ′) на ее значение из (3.12),
получим
τ ( x′ ) = λ ∫∫ τ (ξ ′ ) K (ξ ′, x′ ) ξ1k d ξ ′ + F ( x′ ) , (3.13)
+
Г0
где λ = 2 (ν + 1) ,
K (ξ ′, x′ ) =
(1 − x′ ) Tξ ⎣⎡(1 − x′ )
x′
′
2
2
− ξ′ ⎤
⎦
− (ν + 2 )
G (ξ ′, x′ ) ,
− (ν +1)
2
2
Tξx′ ′ ⎡(1 − x′ ) − ξ ′ ⎤
⎣
⎦
∂G (ξ , x′ ) k
ξ1 dГ .
F ( x′ ) = − ∫∫ ϕ (ξ )
∂nξ
Г
Нетрудно доказать, что ядро K (ξ ′, x′ ) интегрального уравнения (3.13) имеет интегрируемую особенность и F ( x′ ) ∈ C Г 0+ .
( )
Отсюда следует, что уравнение (3.13) является интегральным уравнением со слабой особенностью.
Поэтому для уравнения (3.13) применима
теория интегральных уравнений Фредгольма со
слабой сингулярностью.
Ясно, что F ( x′ ) = 0 при ϕ (ξ ) = 0 и мы имеем
однородное интегральное уравнение
τ ( x′ ) = λ ∫∫ τ (ξ ′ ) K (ξ ′, x′ ) ξ1k d ξ ′ ,
(3.130)
+
Г0
соответствующее неоднородному интегральному
уравнению (3.13) и задачу Трикоми с однородными граничными условиями
u Г = 0 , u x = x′ −1 = 0 .
3
В силу теоремы единственности задача Трикоми имеет только нулевое решение. Поэтому
u ( x′,0 ) = τ ( x′ ) = 0 . Отсюда и из (3.12) следует,
что ν ( x′ ) = 0 .
Таким образом, однородное интегральное
уравнение (3.130) имеет только нулевое решение.
В силу теоремы Фредгольма неоднородное интегральное
уравнение
(3.13)
при
любой
ϕ (ξ ) ∈ С ( Г ) однозначно разрешимо и вместе с
ним однозначно разрешима задача Трикоми
(3.1)-(3.4).
**********
1. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized
potential theory. // Trans. Amer. Math. Soc. – 1948. –
Vol.63, №2. – P.342-354.
2. Мухлисов Ф.Г. О некоторых условиях существования функции Грина задачи типа Дирихле. //
Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. – Куйбышев:
Изд-во пед. института, 1988. – С.66-75.
3. Мухлисов Ф.Г., Гафурова С.М. Решение задачи
типа Коши для одного B -гиперболического
уравнения методом интеграла Фурье-Бесселя //
Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Тр. Междунар.
наун. конф. – Стерлитамак: Изд-во "Гилем" Уфа,
2003. – Т.1. – С.183-187.
4. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Государственное Изд-во технико-теоретической литературы, 1951.
Ф.Г.МУХЛИСОВ, Р.М.САФИНА
THE SOLUTION OF TRICOMI PROBLEM IN THE SPACE
FOR AN EQUATION OF THE MIXED TYPE WITH THE BESSEL
OPERATOR USING THE METHOD OF INTEGRAL EQUATIONS
F.G.Mukhlisov, R.M.Safina
In this work we give the statement of Tricomi problem in the space for an equation of the mixed type with
Bessel operator. The existence of the unique solution is proved.
Key words: Tricomi problem, equation of the mixed type, integral equation method
**********
Мухлисов Фоат Габдуллович – доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического
университета
Сафина Римма Марселевна – ассистент кафедры экономической информатики и математики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
E-mail: mf@tggpu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
366 Кб
Теги
типа, решение, методов, уравнения, интегральная, смешанной, бессель, оператора, пространственной, задачи, трикоми
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа