close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Рост пузыря в лотке Хеле-Шоу с образованием единственного фиорда.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2006
Том 148, кн. 3
УДК 532.546
ОСТ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
С ОБАЗОВАНИЕМ ЕДИНСТВЕННОО ФИОДА
М.М. Алимов
Аннотация
Построено новое точное решение односторонней нестационарной задачи Хеле-Шоу
о раздувающемся пузыре при динамическом граничном условии Самэна Тейлора.
В отличие от известных решений оно характеризуется отсутствием какой-либо симметрии
и ормированием со временем единственного иорда.
Введение
Классическая задача Хеле-Шоу описывает эволюцию границы раздела невязкой и вязкой жидкости (далее воздуха и просто жидкости) при их совместном
течении в лотке Хеле-Шоу в предположении о непрерывности давления на границе раздела аз [1?. Задача о пузыре представляет собой частный случай такого
течения, когда жидкость занимает внешность некоторой односвязной области (пузыря), причем воздух внутри пузыря свободно связан с атмосерой, а жидкость
отбирается или нагнетается равномерно по периерии лотка [2?. Наиболее интересен случай раздувающегося пузыря, когда жидкость отступает, и имеет место
неустойчивость межазной границы. При этом в экспериментах наблюдаются регулярные или почти регулярные пальцеобразные структуры [24?.
Первые точные решения задачи о стягивании контура нетеносности, родственной задаче Хеле-Шоу, найдены в работах [57?. Непосредственно для задачи ХелеШоу о раздувающемся пузыре ряд частных решений получен в работах [811?. Все
они принадлежат классу решений, представленных параметризованной ункцией, отображающей область ?? некоторой вспомогательной плоскости ? на область
?z (t) изической плоскости z , причем производная отображающей ункции рациональна во вспомогательной плоскости. Другими словами, она имеет конечное
число нулей и полюсов, лежащих вне области ?? (необходимое условие конормности отображения ? ? z) . Эволюция межазной границы области ??z (t) вызывает
изменение положения нулей и полюсов в плоскости ? , причем они могут двигаться в сторону границы области ??? в плоскости ? . В случае касания границы ???
нулей ситуация критична: на межазной границе ??z (t) образуется точка заострения и классическое решение задачи перестает существовать [12? (пример решение
П.Я. Полубариновой-Кочиной [5? для кардиоиды).
Приближение полюсов к образу межазной границы ??? в плоскости ? некритично в результате на межазной границе ормируется иорд [9, 10?. Два соседних иорда образуют пальцеобразную структуру.
По построению все решения [811? обязательно обладают разного рода симметрией области течения, и число ѕиордообразующихї полюсов не может быть
меньше двух. В работе [13? было построено общее решение задачи пальцеобразования в канале Хеле-Шоу. Перенося методы [13? на задачу о растущем пузыре
и ограничиваясь тем же классом параметризованных решений, характеризуемым
6
М.М. АЛИМОВ
рациональностью производной отображающей ункции, удается построить новое
точное решение задачи Хеле-Шоу о раздувающемся пузыре. Оно отличается от
решений [811? отсутствием какой-либо симметрии и ормированием со временем
единственного иорда.
1.
Определяющие соотношения
Математическая ормулировка задачи Хеле-Шоу о раздувающемся пузыре (см.
рис. 1, а) имеет вид [9?
?z (t) :
?p = 0,
??z (t) :
? (?p/?n) = vn ,
2
x + y2 ? ? :
p = 0,
(1)
Q(t) 2
p?
ln x + y 2 .
4?
Здесь ?z (t) область, занятая жидкостью; ??z (t) межазная граница между
жидкостью и воздухом; n внешняя нормаль к ??z (t) ; p(x, y, t) давление в
жидкости; vn нормальная составляющая скорости движения межазной границы; Q(t) > 0 суммарный расход отбираемой на бесконечности жидкости (пока
не определенная ункция времени).
Задача (1) позволяет ввести комплексную изическую плоскость z = x + iy и
комплексный потенциал течения W = ? + i ? , где ? = ?p , ? ункция тока [14?,
причем W = W (z, t) и на бесконечности выполняется условие
2?z (?W /?z)||z| ?? = Q(t).
(2)
Целесообразно [57? ввести вспомогательную плоскость комплексного переменного ? , в которой области ?z (t) отвечает область ?? канонического вида в
данном случае внешность единичного круга (рис. 1, б ). Свободной границе соответствует окружность |?| = 1 , а бесконечности в плоскости z бесконечность
в плоскости ? . Аналитическую ункцию, конормно отображающую область ??
на область ?z (t) , обозначим через g(?, t) :
z = g(?, t),
|?g/??|???? 6= 0, ?.
(3)
Конормность отображения предполагает отсутствие в области ?? сингулярностей ункции g(?, t) , что отражено в выражении (3) [15?. Как следствие существует
и обратное отображение
? = f (z, t),
|?f /?z|z??z 6= 0, ?.
(4)
Нормируем конормное отображения (3) так, что arg(?g/??) ? 0 при |?| ? ?,
и производная ?g/?? будет вещественной ункцией только времени t . Выберем эту
ункцию вполне определенной и равной (1 + t) . В результате условие нормировки
примет вид
(?g/??)||?| ?? = (1 + t)
(5)
Учитывая граничные условия задачи (1), канонический вид области ?? и условие нормировки (5), сразу можем определить вид ункции W (?, t)
2?W (?, t) = Q(t) ln ?.
7
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
??
? z (t )
?(t )
?
?)
?)
ис. 1. Вид изической плоскости z (а ) и вспомогательной плоскости ? (б )
Тогда краевая задача (1) приводит к граничному эволюционному уравнению
Полубариновой-алина [5, 6?
?g ?g
Q(t)
?
=
.
? = ei? : Re
(6)
?t ??
2?
Введем ункцию Шварца S(z, t) [16?. Она получается подстановкой x =
= (z + z?)/2 , y = (z ? z?)/2 в уравнение свободной границы
??z (t) :
F (x, y, t) = 0
?
z? = S(z, t)
и разрешением его относительно z? . Обозначим через r образ ункции Шварца
во вспомогательной плоскости r(?, t) = S (g(?, t), t) . Функция r(?, t) получается
применением к ункции g(?, t) преобразования [10?
r(?, t) = g ? (? ?1 , t) ? P [g(?, t)] ,
(7)
которое определим как оператор P [13?. Звездочка здесь и далее обозначает операцию сопряжения только по параметрам (но не переменным) ункции. Отметим
очевидное свойство оператора P : примененный дважды к любой ункции он будет
эквивалентен тождественному преобразованию.
С помощью ункции r(?, t) граничное эволюционное уравнение (6) может быть
переписано в виде
? = ei? : ? ?(?, t) = Q(t),
(8)
где левая часть уравнения имеет вид [7?
?(?, t) ? ?
?r ?g
?g ?r
??
.
?t ??
?t ??
(9)
Оператор P позволяет представить ункцию ?(?, t) результатом некоторого
преобразования ункции g(?, t)
?g ?g ?g
?g
?(?, t) = P
?
+
P ?
(10)
?t
??
?t
??
и, соответственно, установить инвариантность ункции ?(?, t) относительно преобразования P . Тогда (см. [13?) вне зависимости от типа лотка Хеле-Шоу и, соответственно, вида граничных условий для ункции g(?, t) справедливо следующее
Утверждение. Пусть частные производные ункции g(?, t) по переменным
? и t рациональные ункции в плоскости ? . Тогда ункция ?(?, t) как результат преобразования (10) также рациональна и является комбинацией парных
8
М.М. АЛИМОВ
?1
нулей {cj , c??1
j } и парных полюсов {bj , b?j } , отличных от нуля и бесконечности
плоскости ? :
, Jp
Jn
Y
?1
Y
?(?, t) = ?(t)
[? ? cj (t)] ? ? c?j (t)
[? ? bj (t)] ? ?1 ? b?j (t) ,
j=1
j=1
где ?(t) некоторая вещественная ункция t . При этом количество нулей 2Jn
и полюсов 2Jp может не совпадать. Знак разности Jn ?Jp определяет поведение
ункции ?(?, t) в нуле и бесконечности: если он положителен, там будут полюса
порядка Jn ? Jp , если отрицателен нули порядка Jp ? Jn .
2.
Параметрический вид решения для пузыря
с единственным иордом
Для нахождения решения задачи с учетом известных результатов [811? целесообразно сразу заложить структуру решения, то есть параметрический вид
ункции g(?, t) , обеспечивающий условие рациональности ее частных производных в плоскости ? . Учитывая ѕиордообразующуюї роль полюсов производной
?g/?? , о которой говорилось выше, ограничимся случаем единственного простого
полюса b = b(t) , строго отличного от точки ? = 0 . Тогда параметрический вид
производной ?g/?? при нормировке (5) с необходимостью является таким:
N
Y
?g
(1 + t)
= N ?1
(? ? an )
??
?
(? ? b) n=1
(11)
Здесь через an = an (t) обозначены нули ункции (кратные просто повторяются)
общим числом N > 1 (на самом деле, как будет показано далее, в п. 4, случай
N = 1 несодержателен, а содержателен только случай N > 2) . Соответственно, в
точке ? = 0 с необходимостью присутствует полюс порядка N ? 1 .
Заметим, что нули an (t) в отличие от полюса b(t) в какой-то момент времени
могут совпасть с точкой ? = 0 , так что после сокращения степеней ? в числителе
и знаменателе у ункции ?g/?? в точке ? = 0 в этот момент времени на самом
деле может оказаться не полюс порядка N ? 1 , а например, нуль порядка не выше
первого.
Как сингулярности отображающей ункции g(?, t) , реализующей конормное
отображение ? ? z , нули и полюса производной ?g/?? должны лежать внутри
единичного круга |?| < 1 :
?t :
|b(t)| < 1;
|an (t)| < 1,
n = 1, . . . , N.
(12)
ациональная ункция (11) допускает и аддитивное представление, причем
вместо нулей an (t) параметрами становятся моменты при каждом слагаемом [15?.
Анализ этого представления с учетом некоторой свободы в выборе параметров
приводит к такому виду ункции g(?, t) :
?1
X
N
?m (t)
g(?, t) = (1 + t)? + d0 ln ? ?1 ? b?1 (t) +
.
? m?1
m=1
(13)
Здесь d0 , b и ?m свободные параметры, причем d0 комплексная константа, а
b(t) , ?m (t) комплекснозначные ункции времени t .
В соответствии с основной идеей метода ункции Шварца [16? удовлетворим
граничное уравнение (8), обеспечив его выполнение всюду в плоскости ? . Обе
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
9
частные производные ункции g(?, t) вида (13) в плоскости ? будут рациональными ункциями. Следовательно, ункция g(?, t) удовлетворяет всем условиям
утверждения п. 1. Поэтому ункция ?(?, t) также рациональна в плоскости ?
и структурно состоит из двух слагаемых рациональных ункций с одними и
теми же полюсами. Соответственно, можно пытаться добиться взаимного сокращения полюсов путем наложения дополнительных условий на свободные параметры ункции g(?, t) . Тогда по теореме Лиувилля [15? ?(?, t) во всей плоскости ?
будет ункцией только параметра t , причем вещественной, вследствие ее инвариантности относительно преобразования P . В результате из утверждения п. 1
вытекает
Следствие. Пусть ункция g(?, t) имеет вид (13) и удовлетворяет условию
(12), а ункция ?(?, t) является образом g(?, t) при преобразовании (10). Если,
управляя свободными параметрами b(t) , ?m (t) , m = 1, . . . , N ? 1 , добиться выполнения совокупности таких локальных условий
?(?, t)|??b??1 = O(1),
?(?, t)||?|?? = O(1),
(14)
то ункция g(?, t) будет удовлетворять граничному эволюционному уравнению
(8) и, соответственно, будет решением задачи Хеле-Шоу о раздувающемся пузыре с некоторым определенным законом отбора жидкости Q(t) .
Отметим, что условия (14) носят характер запрета на наличие особенностей
у ункции ?(?, t) в определенных точках плоскости ? , и актическое число локальных условий, определяемых (14), больше двух. Если, например, в окрестности
бесконечности по построению у ункции ?(?, t) может быть полюс 3-го порядка,
то из второго условия (14) будет вытекать актически три локальных условия запрета полюсов 1-го, 2-го и 3-го порядков соответственно.
Вид закона Q(t) определяется выбором конкретной ункции времени в нормировке (5). В дальнейшем заменой переменной t ? ?(t) можно получить решение
задачи для любого наперед заданного закона Q(?) > 0 [12?.
Зная вид решения g(?, t) и комплексного потенциала W (?) , можно найти комплексно сопряженную скорость потенциального движения
?1
?W
Q(t) ?g
=
.
(15)
?z
??
??
Таким образом, с помощью параметризации решения в виде (13) краевая задача Хеле-Шоу (1) о раздувающемся пузыре сводится к задаче локального анализа
поведения ункции ?(?, t) в окрестности ее особых точек.
3.
Формализм
Использование комплексных переменных делает целесообразным и введение
комплекснозначных аналогов векторных полей [13?. Если в плоскости R2 действует
векторное поле V(x, y, t) = (vx , vy ) , то, очевидно, можно говорить о действующем
в комплексной плоскости C векторном поле V(z, z?, t) , которое получается подстановкой x = (z + z?)/2 , y = (z ? z?)/2 в векторное поле vx (x, y, t) + i vy (x, y, t) . Тогда
для скорости потенциального течения можно использовать ормулу Vp = ?W /?z ,
откуда, в частности, следует Vp = Vp (z?, t) .
Пусть в плоскости R2 задано гладкое векторное поле V(x, y, t) . Следуя [17, 18?,
можно ввести расширенное пространство R Ч R2 , действующее в нем векторное
поле (1, V) и производную Ли относительно векторного поля (1, V) . Соответственно, можно ввести расширенное пространство R Ч C , действующее в нем векторное
10
М.М. АЛИМОВ
поле (1, V) и производную Ли относительно этого векторного поля. Если f (z, t) аналитическая ункция комплексного переменного z и действительного переменного t , то производная Ли скалярного поля f относительно векторного поля (1, V)
имеет вид [13?
L(1,V) f ? ?f /?t + V?f /?z.
(16)
Пусть в соответствии с п. 1 ункция f (z, t) в каждый момент времени t ?
? T ? R реализует конормное отображение области ?z (t) на ?? , а ункция g(?, t) обратное отображение. Вводя тождественное преобразование времени
?(t) ? t , определим взаимно обратные отображения (?, f ) и (?, g)
(?, f ) : T Ч ?z (t) ? T Ч ?? ;
(?, g) : T Ч ?? ? T Ч ?z (t).
В области T Ч ?z (t) действует векторное поле (1, V) . В результате отображения (?, f ) в области T Ч ?? ему будет отвечать векторное поле (1, U) . В механической интерпретации поле V(z, z?, t) задает движение материальных точек
области ?z (t) , а поле U(?, ??, t) движение их образов в области ?? при отображении (?, f ) . Взаимосвязь этих полей и отображений выражает производная Ли:
(1, U) = L (1,V) (?, f ) . С учетом ормулы (16) будем иметь
1 ? L(1,V) ?(t),
U(?, ??, t) = (?f /?t + V?f /?z)|z=g(?,t) .
(17)
Зависящее от времени t как от параметра конормное отображение (3) задает
группу преобразований, которой отвечает некоторое конормное движение точек
изической плоскости. Вспомогательная плоскость ? при этом выступает в качестве плоскости лагранжевых переменных. Скорость такого движения обозначим
через Vg (z, t) и по определению имеем
Vg (z, t) = (?g/?t)|?=f (z,t) .
(18)
В плоскости ? этому движению отвечает векторное поле Ug (?, t) ? 0 . Подставляя его в ормулы (17), получим другую ормулу для поля Vg (z, t)
?f ?f
Vg (z, t) = ?
(19)
.
?t ?z
Аналогично можно определить другое конормное движение, порожденное
отображением (4), когда z выступает плоскостью лагранжевых переменных. В
этой плоскости ему отвечает поле скоростей Vf (z, t) ? 0 , а в плоскости ? поле Uf (?, t) , по аналогии с (18), (19) имеющее вид
?f ?g ?g
Uf (?, t) =
=?
.
(20)
?t z=g(?,t)
?t ??
Из ормул (9), (20) найдем новое представление ункции ?(?, t) :
?(?, t) ? ?(?g/??) L(1,Uf ) r(?, t).
(21)
Тогда эволюционное граничное уравнение (8) можно записать в терминах производной Ли
?1
Q(t) ?g
i?
.
? = e : L (1,Uf ) r(?, t) =
(22)
??
??
В результате можно переписать локальные условия (14) для ункции ?(?, t) в
терминах производной Ли. При этом необходимо знать особенности поля Uf (?, t) в
комплексной плоскости ? . Судить о них легче в случае, когда в параметрическом
представлении решения (13) величина N принимает минимально возможное значение, а именно: N = 2 , то есть от суммы членов вида ?m (t)? 1?m остается одно
слагаемое: ?(t) .
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
4.
11
Простейший случай N = 2
Полагая N = 2 в ормуле (13), придем к такому виду ункции g(?, t) :
g(?, t) = (1 + t)? + d0 ln ? ?1 ? b?1 (t) + ?(t).
(23)
Здесь d0 , b и ? свободные параметры, причем d0 комплексная константа, а
b(t) , ?(t) комплекснозначные ункции времени t .
Найдем частные производные ункции g(?, t)
?g
d0 b? (t)
= ? + ?1
+ ? ? (t);
?t
(? ? b?1 )b2
?g
d0 ? ?2
= (1 + t) ? ?1
.
??
(? ? b?1 )
После элементарных преобразований получим производную ?g/?? , практически приведенную к виду (11)
?g
(1 + t)?(b ? ?) ? d0 b
=
.
??
(b ? ?)?
(24)
Подставляя эти выражения в (20), найдем вид ункции Uf (?, t)
Uf (?, t) = ?
(? + ? ? )?(b ? ?) + d0 b? (t)b?1 ? 2
.
(1 + t)?(b ? ?) ? d0 b
(25)
Очевидно, что ункция Uf (?, t) рациональна в плоскости ? , причем на бесконечности ункция имеет простой полюс. Сравнение выражений (24) и (25) показывает, что остальные полюса ункции Uf (?, t) в плоскости ? совпадают с нулями
производной ?g/?? . Последние в силу требования (12) лежат внутри единичного
круга. Соответственно, ункция Uf (?, t) регулярна всюду в области ?? , но не в
замыкании ?? .
Учитывая это, а также то обстоятельство, что все полюса рациональной ункции ?g/?? лежат вне замыкания области ?? , перепишем условия (14) с помощью
представления (21) ункции ?(?, t) посредством производной Ли образа ункции
Шварца r(?, t)
L(1,Uf ) r(?, t)??b??1 = O(1),
(26)
L(1,Uf ) r(?, t)|?|?? = O ? ?1 .
Далее, используя преобразование (7) ункции g(?, t) вида (23), найдем образ
ункции Шварца r(?, t) в виде:
r(?, t) =
1+t
+ dЇ0 ln ? ? b??1 (t) + ??(t)
?
(27)
с точностью до константы (несущественной, поскольку используются только частные производные ункции).
С учетом ормулы (16) проанализируем левые части условий (26) на предмет
наличия особенностей в замыкании области ?? . Таковые могут быть порождены
особенностями ункции Uf (?, t) (см. ормулу (25)) и частных производных ункции r(?, t) . Как уже отмечалось выше, ункция Uf (?, t) в замыкании ?? имеет
единственную особенность простой полюс на бесконечности. В частных производных ?r/?t , ?r/?? ункции вида (27) особенность типа простого полюса в точке
b??1 появляется за счет слагаемого dЇ0 ln[? ? b??1 (t)] , и только за счет него. Соответственно, в левую часть 1-го локального условия (26) существенный вклад может
12
М.М. АЛИМОВ
дать только слагаемое dЇ0 ln[? ? b??1 (t)] представления (27). В результате первое
условие (26) дает
L(1,Uf ) ln ? ? b??1 ??b??1 = O(1).
(28)
Несколько сложнее со вторым условием (26), а именно условием на бесконечности. Используя выражение (25), оценим поведение поля Uf (?, t) на бесконечности
|?| ? ? :
Uf (?, t) = ?
?
+ O(1).
(1 + t)
(29)
С учетом ормулы (16) убедимся, что первое слагаемое в представлении (27)
не дает существенного вклада во второе условие (26), поскольку
1+t
L (1,Uf )
= O ? ?1 .
?
|?|??
Соответственно, само условие можно переписать в виде
L (1,Uf ) dЇ0 ln ? ? b??1 (t) + ??(t) |?|?? = O ? ?1 .
(30)
Таким образом, совокупность локальных условий (14) сведена к более простой
совокупности локальных условий (28), (30).
5.
Формулировка динамической задачи
Свободные параметры b(t) , ?(t) решения вида (27) можно трактовать как азовые координаты некоторой обобщенной динамической системы [8?. Другими словами, условия (28), (30) позволяют выписать систему двух обыкновенных диеренциальных уравнений для двух неизвестных b(t) и ?(t) .
Проанализируем сначала условие (30). аспишем его левую часть с учетом ормулы (16) и оценки (29) поведения Uf (?, t) на бесконечности:
|?| ? ? :
L(1,Uf ) dЇ0 ln ? ? b??1 (t) + ??(t) ? ?? ? (t) ?
Ї
(? ?
d0 ?
b??1 )(1
+ t)
+ O(? ?1 ).
Соответственно, само условие (30) будет удовлетворено только в случае, когда
?? ? (t) ?
dЇ0
= 0.
(1 + t)
(31)
ешение этого диеренциального уравнения для параметра ?(t) может быть
выписано сразу:
?(t) = d0 ln(1 + t) + ?(0).
(32)
Теперь проанализируем условие (28). аспишем его левую часть с учетом ормулы (16)
?2 ?
b? b? + Uf L(1,Uf ) ln ? ? b??1 ??b??1 =
?1 ,
? ? b??1
??b?
и соответственно, само условие может быть удовлетворено только в случае, когда
Uf (?, t)|??b??1 = ?
b??
.
b?2
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
13
Подставляя в это соотношение выражение (25) для ункции Uf (?, t) и учитывая уже известный вид параметра ?(t) , получим нелинейное диеренциальное
уравнение для параметра b(t)
dЇ0 b?
d0 b? (t)
1
1
1+t
?
(33)
1+
b?
+
= b? (t)
b?
? d0 b .
1+t
b
b?
b?
b?
Это диеренциальное уравнение может быть решено численно, например, с помощью пакета MATLAB. Вместе с тем, уравнение (33) может быть проинтегрировано
аналогично [13?.
6.
Интегрирование диеренциального уравнения (33)
Пусть свободные параметры b(t) и ?(t) удовлетворяют системе обыкновенных
диеренциальных уравнений (31), (33), что эквивалентно выполнению совокупности локальных условий (28), (30) и, соответственно, совокупности локальных
условий (14). Тогда, согласно следствию п. 2, всюду в плоскости ? выполняется
эволюционное граничное уравнение (8), и соответственно, эволюционное граничное уравнение (22).
Далее, с помощью отображения (?, g) (см. п. 3) перейдем из области T Ч ?? в
область T Ч?z (t) . С учетом инвариантности производной Ли относительно отображений [18? и определения образа r(?, t) ункции Шварца S(z, t) (см. п. 1) найдем:
z ? ??z (t) :
L(1,Uf ) r(?, t) ?=f (z,t) = L(1,Vf ) S(z, t) ? ?S/?t.
Тогда из уравнения (22) с учетом выражения (15) получим еще один вид граничного эволюционного уравнения:
z ? ??z (t) :
?S/?t = 2 (?W /?z) .
(34)
Именно такой вид уравнения использовался в [10?, и последующее интегрирование уравнения (33) можно назвать методом Ховисона [13?.
Уравнение (22) выполняется всюду в плоскости ? . Функция ? (?g/??) , а значит
и ?W /?z , регулярна всюду в замыкании ??? (t) . Поэтому уравнение (34) выполняется не только на границе ??z (t) , но также и в замыкании области ??z (t) (но не
во всей плоскости z) :
z ? ??z (t) :
?S/?t = 2 (?W /?z) .
(35)
Формула (2) актически дает оценку поведения ?W /?z на бесконечности |z| ?
? ? : ?W /?z = O(z ?1 ) . С учетом этого, из уравнения (35) найдем оценку поведения производной ?S/?t всюду в замыкании области ??z (t)
z ? ??z (t) :
?S/?t = O(1).
(36)
Функция r(?, t) вида (27), очевидно, имеет особенности на бесконечности и в
точке ? = b??1 (t) . Соответственно, ункция S(z, t) будет иметь особенности на
бесконечности и в точке z = B(t) образе точки ? = b??1 (t) при отображении
g(?, t) :
B(t) = g(?, t)|?=b??1 (t) .
(37)
Проанализируем поведение ункции S(z, t) в окрестности точки B(t) . Ввиду
регулярности ункции g(?, t) в точке ? = b??1 (t) можно выписать ряд БурманаЛагранжа [15? (штрих обозначает производную по ? ):
?
X
1 g ?? n
?1
? ? b? (t) =
An (t) [z ? B(t)] , A1 (t) = ? , A2 (t) = ?
,...
3
g ?=b??1
2 (g ? ) ?=b??1
n=1
14
М.М. АЛИМОВ
Подставляя это разложение в представление (27) ункции r(?, t) , найдем, что
комбинация S(z, t) ? dЇ0 ln[z ? B(t)] в окрестности точки B(t) представима следующим образом
S(z, t)|z?B(t) = dЇ0 ln [z ? B(t)] + dЇ0 ln A1 (t) + ??(t) + O (z ? B) .
Отсюда следует, что найденная оценка поведения ункции S(z, t) в окрестности
точки B(t) не будет противоречить оценке (36) только при выполнении условия
типа закона сохранения
B(t) = B(0),
(38)
которое с учетом выражения (37) для B(t) и вида (23) ункции g(?, t) записывается в виде
1+t
1+t
1
+ d0 ln 1 ? |b(t)|2 =
+ d0 ln
? d0 ln b(0) + d0 ln 1 ? |b(0)|2 .
b(t)
b?
b?(0)
(39)
Здесь учтен уже известный вид (32) параметра ?(t) и отброшены одинаковые константы слева и справа. Соотношение (39) и есть искомый интеграл диеренциального уравнения (33).
7.
О законе отбора жидкости на бесконечности
Выбор конкретной ункции времени в нормировке (5) определяет вид закона
отбора жидкости на бесконечности Q(t) . В то же время, как правило, этот закон
бывает задан изначально. Заменой переменной времени t на ѕновое времяї ? можно получить решение задачи для любого наперед заданного закона Q(?) > 0 [12?.
Пусть новое время ? связано со старым t взаимнооднозначным соответствием
? = ?(t) так, что ?? (t) > 0 для любого t > 0, и ?(t) = 0 при t = 0 . Функция ?(t)
удовлетворяет соотношению [13?
Zt
Q(t) dt =
0
Z?
Q(?) d?.
(40)
0
Это выражение позволяет установить взаимнооднозначное соответствие ?(t) до тех
пор, пока выполняется условие Q(t) > 0 . Таким образом, исходя из решения задачи Хеле-Шоу вида (13), отвечающего определенному закону отбора жидкости на
бесконечности Q(t) , с помощью выражения (40) можно получить решение задачи
для любого наперед заданного закона Q(?) > 0 .
Как правило, в задаче о раздувающемся пузыре отбор жидкости на бесконечности иксирован: Q(?) = Q0 . Тогда из выражения (40) сразу следует
1
?(t) =
Q0
Zt
Q(t) dt.
(41)
0
Очевидно, эта ормула будет эективна в том случае, когда выражение Q(t)
представляет собой производную по времени t некоторой ункции. Непосредственный путь определения Q(t) путем вычисления левой части граничного эволюционного уравнения (8) в произвольной точке плоскости ? дает множество различных
по орме, но эквивалентных по сути выражений для ункции Q(t) . Однако ни
одно из них не будет иметь вид, удобный для использования в ормуле (41).
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
15
Подходящее выражение для Q(t) можно получить путем дополнительного анализа уравнения (35) в бесконечной точке плоскости z . Поведение производной
?W /?z на бесконечности дает выражение (2). Подставляя его в уравнение (35)
получим более точную, чем (36), оценку на бесконечности
|z| ? ? :
?S
Q(t)
=
+ o(z ?1 ).
?t
?z
(42)
В то же время, локальный вид ункции Шварца S(z, t) в окрестности бесконечности можно получить путем анализа поведения ункций r(?, t) и g(?, t) ,
аналогичным проведенному в п. 6, но не в точке ? = b??1 (t) , а на бесконечности.
Непосредственно из представления (23) ункции g(?, t) с учетом уже известного вида (32) параметра ?(t) можно найти выражение ? (z) в окрестности бесконечности:
1
1
1+t
(1 + t)?||z| ?? = z ? ?(t) ? d0 ln
?
= z ? ?(0) ? d0 ln ?
+ O z ?1 .
?
b(t)
b(t)
Подставляя его в представление (27) образа r(?, t) ункции Шварца S(z, t) ,
можно оценить поведение на бесконечности самой ункции S(z, t) с точностью до
o(z ?1 ) :
S(z, t)||z|?? = ??(0) + dЇ0 ln z + z ?1 (1 + t)2 ? dЇ0 D(t) + o z ?1 ,
(43)
где через D(t) обозначено выражение
1+t
1+t
D(t) = ?(0) +
+ d0 ln ?
.
b(t)
b?(t)
(44)
Диеренцируя выражение (43) по времени, получим оценку поведение на бесконечности левой части соотношения (42)
|z| ? ? :
?S
d = z ?1
(1 + t)2 ? dЇ0 D(t) + o z ?1 .
?t
dt
Подставляя ее непосредственно в соотношение (42), найдем вид закона Q(t) в
требуемой орме как частную производную по времени от некоторой ункции:
Q(t)
d =
(1 + t)2 ? dЇ0 D(t) .
?
dt
Отметим, что по изическому смыслу зависимость Q(t) с необходимостью вещественна. В то же время, вещественность правой части найденного для нее выражения неочевидна, поскольку параметры решения d0 , b(t) и ?(t) , а значит, и
выражение D(t) , вообще говоря, комплекснозначны. Чтобы прояснить этот вопрос,
используем найденный в п. 6 интеграл (39) диеренциального уравнения (33) и
перепишем выражение (44) в виде
D(t) = ?d0 ln 1 ? |b(t)|2 + const.
Подставляя его в найденный вид закона Q(t) , придем к другому его виду
Q(t)
d =
(1 + t)2 + |d0 |2 ln 1 ? |b(t)|2
,
?
dt
в котором вещественность правой части выражения уже очевидна.
16
М.М. АЛИМОВ
Соответственно, подставляя это выражение в ормулу (41), получим для ункции ?(t) точную ормулу
?
1 ? |b(t)|2
t(2 + t) + |d0 |2 ln
.
?(t) =
(45)
Q0
1 ? |b(0)|2
С ее помощью построенное в п. 46 решение задачи о раздувающемся пузыре
при нормировке (5) распространяется на случай иксированного отбора жидкости
на бесконечности: Q(?) = Q0 .
8.
Примеры и обсуждение результатов
В конкретных расчетах эволюция единственного переменного параметра решения b(t) определялась путем численного решения нелинейного и неявного относительно b(t) алгебраического уравнения (39) для интервала времени t ? [0, t? ] ,
проходимого с малым шагом. Затем с помощью выражения (45) определялось конечное время ?? = ?(t? ) , задавалось разбиение интервала времени [0, ?? ] на десять
частей: ?n = ?? n/10 , n = 1, . . . , 10 . С помощью того же выражения (45), но уже
как нелинейного и неявного уравнения относительно t , определялась последовательность tn = t(?n ) моментов времени t , в которые необходимо прорисовывать
положение свободной границы.
Были проведены расчеты для 3-х вариантов выбора начальных значений свободных параметров:
а) ?(0) = 0 , d0 = 0.1 , b(0) = 0.35 , t? = 3.2 , ?? = ?(t? ) = 51.8421 ;
б ) ?(0) = 0 , d0 = ?i 0.15 , b(0) = 0.3 , t? = 2.8 , ?? = ?(t? ) = 41.2872 ;
в) ?(0) = 0 , d0 = ?0.1 , b(0) = 0.3 , t? = 1.9598 , ?? = ?(t? ) = 24.2964 .
Соответствующие картины эволюции пузыря представлены на рис. 2, а, б, в.
Звездочкой в правой части каждого рисунка отмечено положение точки z = B(0) .
Варианты (а) и (в) характеризуются симметрией начальной и всех последующих
конигураций пузыря относительно оси x , а вариант (б ) отсутствием какой-либо
симметрии. В варианте (в) в качестве t? указано предельное время существования
решения, когда на свободной границе ормируется точка возврата и для последующих моментов времени решения уже не существует. В вариантах (а) и (б )
решение существует для любого t > 0, и в качестве t? выбран момент, когда иорды достаточно полно сормировались, и характер дальнейшей эволюции уже не
меняется.
Такая существенная разница в эволюции первоначально гладких и мало отличающихся друг от друга пузырей является проявлением существенно различной
эволюции сингулярностей конормного отображения ? ? z [8, 10?. У производной
?g/?? ункции z = g(?, t) будет два полюса ? = b(t) , ? = 0 и два нуля ? = a1,2 (t) .
Последние определяются из выражения (24):
r
b
b2
d0 b
a1,2 (t) = ±
?
.
2
4
1+t
Заметим, что все рассуждения, касающиеся построенного решения, правомерны лишь в случае, когда полюса b(t) и нули a1,2 (t) удовлетворяют условиям (12).
Потребовать их выполнения можно только в начальный момент времени подходящим путем выбора начальных значений свободных параметров: d0 и b(0) . Выбор
константы ?(0) , очевидно, несуществен, поскольку он определяет только начало
отсчета плоскости z поэтому принималось ?(0) = 0 . С течением времени положение сингулярностей отображения ? ? z изменяется, но по непрерывности условия
(12) удовлетворяются еще, по крайней мере, некоторое время.
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
17
4
3
2
1
?(0)
?)
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
4
3
2
1
?(0)
0
?)
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
?(0)
0
?)
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
ис. 2. Эволюция раздувающегося пузыря для вариантов (а ), (б ), (в ) начальных значений
свободных параметров
18
М.М. АЛИМОВ
Движение полюса b(t) ункции ?g/?? подчиняется диеренциальному уравнению (33). Выявить какие-либо тенденции этого движения путем непосредственного анализа уравнения затруднительно ввиду его нелинейности. Тем не менее,
используя результаты п. 6, удается установить определенную тенденцию в движении полюса b(t) со временем он обязательно будет приближаться к границе
единичного круга.
Действительно, вследствие равномерного отбора жидкости по периерии лотка
граница ?(t) бесконечной области ?z (t) , занятой жидкостью, будет ѕраздуватьсяї. С другой стороны, в соответствии с ормулой (37) образ z = B(t) точки
? = b??1 (t) при отображении g(?, t) необходимо принадлежит области ?z (t) , и ввиду соотношения (38) этот образ неподвижен: B(t) = B(0) . Соответственно, ѕраздувающаясяї свободная граница ?(t) в изической плоскости будет приближаться
к неподвижному образу z = B(0) точки ? = b??1 (t) . Тогда и сама точка ? = b??1 (t) ,
а значит, и точка ? = b(t) , будут приближаться к образу свободной границы в
плоскости ? единичной окружности, то есть со временем |b(t)| ? 1 .
В то же время, перевалить точку z = B(0) свободная граница не может, и
соответственно, возможны два сценария дальнейшей эволюции раздувающегося
пузыря. Первый сценарий: на границе образуется иорд, причем ѕголоваї иорда это сама точка z = B(0) . Величина |b(t)| экспоненциально приближается к 1,
оставаясь, тем не менее, меньше 1. При этом arg {b(t)} уже практически устанавливается:
arg b(t) ? ?? = lim {arg b(t)} .
t??
В представлении (23) ункции g(?, t) в окрестности ? ? ei?? такие малые
изменения b(t) отражаются главным образом на члене d0 ln [? ?1 ? b?1 (t)] . Тогда
для свободной границы ?(t) в окрестности точки z = B(0) и, соответственно,
? ? ei? , ? ? ?? справедлива оценка
? ? ei? , ? ? ?? :
g(?, t)|?>?? ? g(?, t)|?<?? ?
? d0 ln e?i? ? e?i?? ?>?? ? d0 ln e?i? ? e?i?? ?<?? = +i?d0 , (46)
причем правая часть равна именно +i?d0 , поскольку ? хоть и близка к границе
единичного круга, но все-таки принадлежит его внешности.
Выражение (46) объясняет прямолинейность ѕхвостаї иорда. Полагая, что
правая его часть представляет собой нормальное сечение иорда, получим ширину
иорда |?d0 | и направление ѕхвостаї иорда от точки z = B(0) , задаваемое вектором ei arg d0 (это направление получено поворотом на ??/2 направления +i?d0 ) .
Заметим, что положение ѕхвостаї иорда, задаваемого вектором +i?d0 , определяется уже в начальный момент времени (см. варианты (а) и (б ) пунктирные
линии). Такой же характер ормирования иордов наблюдается и для течений
Хеле-Шоу в лотке типа канала [9, 10, 13?.
Однако при приближении свободной границы к неподвижной точке z = B(0)
возможен и второй сценарий эволюции, а именно, просто ѕразвалї решения. Связано это с тем, что нули производной ?g/?? достигают границы единичного круга: |a1,2 (t)| = 1 . В результате на свободной границе образуется точка возврата,
скорость течения в них становится бесконечной, и решение задачи перестает существовать, см. вариант (в).
О движении сингуряностей отображающей ункции полюса b и нулей a1,2 для эволюции пузырей, представленных на рис. 2, можно судить по граикам, приведенным на рис. 3 и 4. На рис. 3, а, б, в показаны зависимости |b(?)| и |a1,2 (?)| , а
19
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
1
0.8
0.6
3
0.4
2
?)
0.2
0
0
1
1
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
0.8
0.6
?)
1
0.4
0.2
3
2
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.8
0.6
?)
1
0.4
3
0.2
2
0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ис. 3. Эволюция | a1 | кривая 1, | a2 | кривая 2, и | b | кривая 3, для вариантов (а ),
(б ), (в ) начальных значений свободных параметров (по горизонтали отложен номер шага
по времени ?)
20
М.М. АЛИМОВ
0.4
0.3
0.2 1
0.1
3
?)
0
-0.1
-0.2
2
-0.3
n
-0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.5
1
0
3
-0.5
?)
-1
-1.5
2
-2
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
2
?)
1
1, 3
0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ис. 4. Эволюция (arg a1 ) кривая 1, (arg a2 ) кривая 2, и (arg b) кривая 3, для вариантов (а ), (б ), (в ) начальных значений свободных параметров (по горизонтали отложен
номер шага по времени ?)
АЗДУВАНИЕ ПУЗЫЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
21
на рис. 4, а, б, в зависимости arg b(?) и arg a1,2 (?) , соответственно, для вариантов
(а), (б ), (в).
Четких критериев, позволяющих на этапе выбора начальных значений свободных параметров предсказать, достигнут или не достигнут границы единичного
круга нули a1,2 производной ?g/?? , нет. Но с учетом всех известных решений
задачи Хеле-Шоу [813? можно высказать ряд гидродинамически обоснованных
предположений:
1) Все отклонения от гладкого характера эволюции межазной границы так
или иначе связаны с приближением этой границы к неподвижным образам z =
= B(0) точек ? = b??1 (t) (последние являются симметричными отражениями относительно единичного круга ??? полюсов b(t) производной ?g/?? отображающей
ункции z ? ?) .
2) Анализ начальных значений свободных параметров, как правило, позволяет
уже на начальном этапе наметить иорды.
3) Будет ли решение продолжимо по времени до бесконечности или развалится в
какой-то момент времени, зависит от величины угла между направлением ѕхвостаї
иорда и направлением вектора, соединяющего, скажем, геометрический центр
начальной конигурации межазной границы с ѕголовойї иорда. Если этот угол
близок к нулю, иорд сормируется полностью, и решение будет продолжимо до
бесконечности. Если этот угол близок ? , то с приближением границы к ѕголовеї
иорда решение определенно развалится.
Сормировать более точно количественные условия продолжимости или непродолжимости решения по времени до бесконечности затруднительно. Например, в
приводимом варианте (б ) этот угол близок к ?/2 , максимальные значения скорости
течения наблюдаются при обходе свободной границей ѕголовыї иорда (рис. 2, б).
Соответственно, в этот же момент наблюдается максимальное значение кривизны
свободной границы (большое, но конечное). Если этот угол увеличить еще немного,
скажем взять d0 = ?0.01 ? i 0.15 , иорд также начинает ормироваться, но когда
свободная граница огибает ѕголовуї иорда, скорость течения достигает бесконечного значения, и на границе образуется точка возврата решение разваливается.
абота выполнена при поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проект ќ 05-01-00516).
Summary
M.M. Alimov. Bubble growth at the Hele-Shaw ell with only one ord formation.
New solution of the one-phase Hele-Shaw problem with the Saman&Taylor boundary
ondition for growing bubble was found. In ontrast to well-known solutions it is haraterized
by asymmetri property and only one ord formation.
Литература
1.
Saman P.G., Taylor G.I. The penetration of a uid into a porous medium or Hele-Shaw
ell ontaining a more visous liquid // Pro. Roy. So. London. Ser. A. 1958. V. 245,
No 1242. P. 312329.
2.
Paterson L. Radial ngering in a Hele Shaw ell // J. Fluid Meh. 1981. V. 113. P. 513529.
3.
Couder Y.,Cardoso O., Dupuy D., Tavernier P., Thom W. Dendriti growth in the
SamanTaylor experiment // Europhys. Lett. 1986. V. 2, No 6. P. 437443.
22
М.М. АЛИМОВ
4.
Окендон Дж.., Ховисон С.Д. П.Я. Кочина и Хеле-Шоу в современной математике,
естественных науках и технике // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 3. С. 515524.
5.
Полубаринова-Кочина П.Я. К вопросу о перемещении контура нетеносности //
Докл. АН ССС. 1945. Т. 47, ќ 4. С. 254257.
6.
алин Л.А. Неустановившаяся ильтрация со свободной границей // Докл. АН
ССС. 1945. Т. 47, ќ 4. С. 250253.
7.
Куарев П.П. ешение задачи о контуре нетеносности для круга // Докл. АН
ССС. 1948. Т. 60, ќ 8. С. 13331334.
8.
Shraiman B., Bensimon D. Singularities in nonloal interfae dynamis // Phys. Rev. A. 1984. V. 30, No 5. P. 28402842.
9.
Howison S.D. Fingering in Hele-Shaw ells // J. Fluid Meh. 1986. V. 167. P. 439
453.
10.
Howison S.D. Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems //
Europ. J. Appl. Math. 1992. V. 3, No 3. P. 209224.
11.
Dai W-S., Kadano L.P., Zhou S.-M. Interfae dynamis and the motion of omplex
singularities // Phys. Rev. A. 1991. V. 43, No 12. P. 66726682.
12.
Hohlov Y.E., Howison S.D. On the lassiation of solutions to the zero-surfae-tension
model for Hele-Shaw free boundary ows // Quart. Appl. Math. 1993. V. 51, No 4. P. 777789.
13.
Алимов М.М. Общее решение задачи Хеле-Шоу для течений в канале // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 3. С. 384399.
14.
Lamb H. Hydrodynamis. Cambridge: Univ. Press, 1932 = Ламб . идродинамика. М.; Л.: остехиздат, 1947. 928 с.
15.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории ункции комплексного переменно-
го. М.: Наука, 1973. 736 с.
16.
Davis P.J. The Shwarz Funtion and its Appliations. Washington.: Math. Asso. of
Ameria, 1974. 228 p.
17.
Арнольд В.И. Обыкновенные диеренциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 271 с.
18.
Shutz B.F. Geometrial Methods of Mathematial Physis. Cambridge: Univ. Press,
1982. = Шутц Б. еометрические методы математической изики. М.: Мир, 1984. 303 с.
Поступила в редакцию
03.10.06
Алимов Марс Мясумович кандидат изико-математических наук, ведущий научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.. Чеботарева Казанского государственного университета.
E-mail: Mars.Alimovksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
478 Кб
Теги
пузыри, хеле, лотки, шоу, единственного, фиорд, роста, образования
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа