close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Синтез децентрализованного управления линейными энергосистемами с частичным агрегированием.

код для вставкиСкачать
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
6. Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Минимальная
параметризация решений линейных матричных уравнений // Современные
методы управления многосвязными системами /Под ред. А.А. Красовского.
М.: Энергоатомиздат, 2003. - Вып. 2 С. 191 – 202.
7. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и
наблюдаемости линейных динамических систем // АиТ.- № 12.- 2005.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1987.
9. Уонем М. Линейные многомерные системы управления:
геометрический подход.- М.: Наука, 1980.
10. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных
дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1981.
11. Christensen G.S., El-Hawary M.E., Soliman S.A. Optimal Control
Applications Electric Power Systems. Plenum Press. N.Y. and London. 1987.
М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
СИНТЕЗ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ
ЭНЕРГОСИСТЕМАМИ С ЧАСТИЧНЫМ АГРЕГИРОВАНИЕМ
Решается задача оптимизации управления линейной дискретной
моделью энергосистемы с частичным агрегированием. Приводятся
оригинальные аналитические формы решения дискретного алгебраического
уравнения Ляпунова, максимизация, функция Лагранжа.
Ключевые слова: энергосистема, частичное агрегирование, дискретная
модель, управление, целевая функция, оптимизация, дискретное уравнение
Ляпунова.
Будем предполагать, что многомерная энергосистема, имеющая
стационарные во времени сосредоточенные параметры, разделена на две
подсистемы. Первая подсистема является управляемой, в то время как
вторая полагается устойчивой.
Рассмотрим эту систему в матричной записи
⎡ x1 ( t + 1) ⎤ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ B11 ⎤
⎢
⎥=⎢
⎥ + ⎢ ⎥ u1 ( t ) ,
⎥⎢
⎢⎣ x2 ( t + 1) ⎥⎦ ⎣ A21 A22 ⎦ ⎢⎣ x2 ( t ) ⎥⎦ ⎣ B21 ⎦
⎡ x1 ( t ) ⎤
y ( t ) = [C1 0 ] ⎢
⎥.
⎢⎣ x2 ( t ) ⎥⎦
x( t ) ∈ X n ,
Здесь
подсистем,
x1 ( t ) ∈ X n1 ,
u1 ( t ) ∈ U m –
вектор
x2 ( t ) ∈ X n2
управления
–
векторы
первой
(1)
состояний
подсистемой,
y( t ) ∈ Y l – выходной вектор первой подсистемы, t = 0,1,... – моменты
времени, Aij ,Bi1 ,C1 – постоянные матрицы подходящей размерности.
Кроме того, предположим, что n1 << n2 , матрица A22 – устойчивая и
тройка матриц ( A11 ,B11 ,C1 ) – управляемая и наблюдаемая. Другими
словами, будем предполагать, что размерность первой (управляемой)
54
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
подсистемы существенно меньше размерности второй подсистемы, спектр
Λ( A22 ) принадлежит внутренней области единичного круга на
комплексной плоскости с центром в начале координат, а в отношении
тройки ( A11 ,B11 ,C1 ) справедливы эквивалентные утверждения [1] :
rank [ B11 | A11 B11 | ...| A11n1 − m B ] = n1
0
⎡L11 A11 0
⎢ L
⎢ 11 L11 A11 0
L11 L11 A11
rank ⎢ 0
⎢
M
M
⎢ M
−
1
⎢ 0 −2D2
0
⎣
(2)
... 0 ⎤
... 0 ⎥⎥
... 0 ⎥
= (n1 − m+1)(n1 − m), (3)
⎥
O M ⎥
... L11 ⎥⎦
( n1 −m+1)( n1 −m)×( n1 −m+1)( n1 −1)
и
⎡ C1 ⎤
⎢CA ⎥
1 11 ⎥
= n1 ,
rank ⎢
⎢ M ⎥
⎢
n1 − l ⎥
⎣⎢C1A11 ⎦⎥
(4)
Здесь L1 , R1 – не единственные матрицы, называемые матричными
делителями нуля, удовлетворяющие однородным линейным уравнениям и
условиям [4]:
L11 B11 = 0,rankL11 = n1 − m,
C1 R1 = 0,rankR1 = n1 − l.
Определим целевую функцию в виде бесконечного ряда
∞
J = ∑ x1T ( t )Q1 x1 ( t ) + u1T ( t )R1u1 ( t ),
(6)
t = t0
где Q1 и R1 – положительно определенные симметрические матрицы, т.е.
Q1 > 0 и R1 > 0 .
Наша задача состоит в определении такой матрицы обратной связи K
в законе управления по выходу первой подсистемы
u1 ( t ) = KC1 x1 ( t ),
(7)
которая обеспечивается:
•
минимизацией целевой функции (6);
•
наилучшей возможной реализацией условий устойчивости системы
(1).
Зададим новый вектор состояний v( t ) ∈ V
p
по формуле
55
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
v1 ( t ) = Lx2 ( t ).
(8)
Размерность матрицы L в (8) и величина ее элементов определяются
требованиями, вытекающими из задачи агрегирования [5]. В нашем случае
эта задача состоит в сохранении тех свойств частей агрегированной
системы, которые существенны при рассмотрении устойчивости всей
системы в целом. Кроме того, должна быть достигнута минимальная сила
взаимосвязи первой подсистемы со второй. Из этого следует, что
наибольшее по модулю собственное значение матрицы A22 должно
сохраниться в агрегированной части системы.
Выбор размерности пространства р, вообще говоря, зависит от числа
собственных значений, которые сохранились в агрегированной матрице.
Полагая L = A12 , можно получить простейшие, но не оптимальные (в
смысле задачи агрегирования) результаты.
Пусть теперь матрица A12 в (1) имеет вид
A12 = M 12 L + E1 ,
(9)
т.е. в развитие предыдущего случая полагается линейная зависимость
элементов матрицы A12 от элементов L и некоторой матрицы E1 .
Минимизируя вторую норму матрицы E1 по M 12 [3; 4]:
min E1 = A12 − M 12 L ,
M 12
(10)
получаем при полном строчном ранге L
M 12 = A12 L+ ,
где
L+ = LT ( LLT )
(11)
−1
– псевдообратная по Муру-Пенроузу [6].
Аналогично, пусть в (1)
LA22 = M 22 L + E2 .
(12)
Минимизируя вторую норму матрицы E2 по M 22 :
min E2 = min LA22 − M 22 L ,
M 22
M 22
(13)
получаем
M 22 = LA22 L+ .
56
(14)
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
С учетом сделанных преобразований перепишем систему (1) в виде
⎡ x1 ( t + 1) ⎤ ⎡ A11 A12 L+ E1 ⎤ ⎡ x1 ( t ) ⎤ ⎡ B11 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
+
⎢ v1 ( t + 1) ⎥ = ⎢ LA21 LA22 L E2 ⎥ ⎢ v1 ( t ) ⎥ + ⎢ LB21 ⎥ u1 ( t ) ,
⎢ x ( t + 1) ⎥ ⎢ A
0
A22 ⎥⎦ ⎢⎣ x2 ( t ) ⎥⎦ ⎢⎣ B21 ⎥⎦
⎣ 2
⎦ ⎣ 21
y (t )
Пусть z1
и
= [C1
⎡ x1 ( t ) ⎤
⎢
⎥
0 0 ] ⎢ v1 ( t ) ⎥ .
⎢ x ( t )⎥
⎣ 2 ⎦
(15)
( t ) обозначает вектор состояний расширенной подсистемы
⎡ x1 ( t ) ⎤
z1 ( t ) = ⎢
⎥
⎢⎣ v1 ( t ) ⎥⎦
(16)
z2 ( t ) = x2 ( t ) .
(17)
Тогда для рассматриваемой системы имеем
⎡ z1 ( t + 1) ⎤ ⎡ D11 D12 ⎤ ⎡ z1 ( t ) ⎤ ⎡ B1 ⎤
u (t ) ,
⎢
⎥=⎢
⎢
⎥+
D D22 ⎥⎦ ⎢ z2 ( t ) ⎥ ⎢⎣ B21 ⎥⎦ 1
⎣⎢ z2 ( t + 1) ⎦⎥ ⎣ 21
⎣
⎦
⎡ z1 ( t ) ⎤
y ( t ) = [C 0 ] ⎢
⎥,
⎢⎣ z2 ( t ) ⎥⎦
(18)
где
⎡ A11 M 12 ⎤
⎡ E2 ⎤
⎡ B11 ⎤
D11 = ⎢
, D12 = ⎢ ⎥ , B1 = ⎢
⎥
⎥,
⎣ LA21 M 22 ⎦
⎣ E2 ⎦
⎣ LB21 ⎦
D21 = [ A21 0 ] , D22 = A22 , C = [C1 0 ] .
В силу минимизации норм взаимодействие между двумя
подсистемами в (18) гораздо слабее, чем между начальными
подсистемами. Минимизировав нормы E1 и E2 , минимизируем также и
норму D12 . Если ее влиянием можно пренебречь, то схема локального
управления может быть применена для первой подсистемы с
использованием любой указанной процедуры. Чтобы проверить,
достаточна ли «мала» D12 , сконструируем функцию Ляпунова и определим
57
Известия ТРТУ
достаточные
Тематический выпуск
условия
малости
члена
взаимодействия
D12 .
При
применении дополнения K обратной связи система с замкнутым контуром
имеет вид
⎡ z1 ( t + 1) ⎤ ⎡ D11 + B1 KC1 D12 ⎤ ⎡ z1 ( t ) ⎤
⎢
⎥=⎢
⎢
⎥ .
D + B21 KC1 D22 ⎥⎦ ⎢ z2 ( t ) ⎥
⎣⎢ z2 ( t + 1) ⎦⎥ ⎣ 21
⎣
⎦
(19)
Для проверки достаточных условий взаимосвязанной системы функции
Ляпунова подсистем найдены. Используя скалярный подход, получаем
функцию Ляпунова V ( t ) для глобальной системы
V ( t ) = a1 z1T ( t ) P1 z1 ( t ) + a2 z2T ( t ) P2 z2 ( t ) ,
(20)
где
a1 , a2 > 0 - действительные константы,
P1 , P2 – симметрические положительно определенные матрицы
Ляпунова.
Используя свойства матричных норм для первой разности (20),
получаем ограничения, которые обеспечивают устойчивость исходной
системы. Имеем
ΔV ( t ) ≤ − z T Gz ≤ 0,
где
⎡ z1 ( t ) ⎤
⎥,
zT = ⎢
⎢ z2 ( t ) ⎥
⎣
⎦
zi ( t ) = ( ziT ( t ) zi ( t ) )
1/ 2
(21)
, i = 1,2.
Норма матрицы D и элементы матрицы G вычисляются по формулам:
1/ 2
D = λmax
( DT D ) ,
(22)
⎡ a1λmin ( Q ) − a2λmax ( D% 21T P2 D% 21 )
⎤
a12
⎥,
G=⎢
2
⎢
⎥
a
a
a
D
P
λ
−
(
)
12
2
1
12
max
1 ⎦
⎣
(
)
a12 = − a1 D12 P1 D%11 + a1 D22T P2 D% 21 ,
D%11 = D11 + B1 KC1 ,
D% = D + B KC ,
21
58
21
21
1
(23)
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
где
λmax ( ⋅) , λmin ( ⋅)
– соответственно максимальное и минимальное
собственные значения матрицы ( ⋅ ) .
Если матрица K в обратной связи выбрана, чтобы стабилизировать
первую подсистему, то
Pi
может быть найдена как решение следующих
дискретных алгебраических уравнений Ляпунова:
D%11T P1 D%11 − P1 = − ( Q + C T K T R1 KC ) ,
D22T P2 D22 − P2 = − I n2 ,
(24)
где
⎡Q1 0 ⎤
Q=⎢
⎥ ≥0.
0
Q
2
⎣
⎦
(25)
Как видно из (24),(25) матрица Q2 положительно определена и
связана с дополнительным вектором состояний v1 ( t ) . Вектор состояний
v1 ( t ) рассматривается как взаимодействие между начальной первой
подсистемой и другой частью системы. Подходящий выбор Q2 ведет к
минимизации этого взаимодействия.
Рассмотрим процедуру построения аналитических решений уравнений
(24).
Предварительно
введем
не слишком сужающие
задачу
предположения об обратимости (условие устойчивости считается уже
% , D .
выполненным) и приводимости к диагональным [3] матриц D
11
22
Рассмотрим сначала уравнение
D%11T P1 D%11 − P1 = − ( Q + C T K T R1 KC ) .
Поскольку
уравнению:
D%11
(26)
считается обратимой, то (26) эквивалентно следующему
D%11T P1 − P1 D%11−1 = − ( Q + C T K T R1 KC ) D%11−1 .
(27)
Вычислим собственные значения и правые собственные векторы матрицы
D%11−1 , обозначая их, соответственно, как λi ( D%11−1 ) и vi ( D%11−1 ) , i = 1,..., n1 .
Ясно имеет место тождество
∀i : λi ( D%11 ) = λi ( D%11T ) = λi−1 ( D%11−1 ) .
(28)
Следуя методике, изложенной в [1], выберем собственное значение
λ1 ( D%11 )
и перепишем уравнение (27) в виде
59
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
D%11T P1 1 − P1 D%11−1 + λ1 ( D%11−1 ) P1 − λ1 ( D%11−1 ) P = − ( Q + C T K T R1 KC ) D%11−1 .(29)
Осуществим в (29) следующую группировку:
⎡ D%11T − λ1 ( D%11−1 ) I n ⎤ P1 − P1 ⎡ D%11−1 − λ1 ( D%11−1 ) I n ⎤ = − ( Q + C T K T R1 KC ) D%11−1 ,(30
1 ⎦
1 ⎦
⎣
⎣
)
а затем умножим правую часть уравнения (30) на собственный вектор
v1 ( D%11−1 ) , отвечающий собственному значению λ1 ( D%11−1 ) . Получим
⎡ D%11T − λi ( D%11−1 ) I n ⎤ Pv
D%11−1 − λi ( D%11−1 ) I n1 ⎤⎦ v1 ( D%11−1 ) =
( D%11−1 ) − P1 ⎡⎣14444244443
1 ⎦ 1 1
⎣
0
= − ( Q + C K R1 KC ) D% v ( D%
T
T
−1
11 1
−1
11
).
(31)
Проделывая аналогичную операцию n1 раз, получим следующую
систему алгебраических уравнений:
⎧ ⎡ D%11T − λ1 ( D%11−1 ) I n ⎤ Pv
D%11−1 ) = ( Q + C T K T R1 KC ) D%11−1v1 ( D%11−1 ) ,
(
1 ⎦ 1 1
⎣
⎪⎪
(32)
⎨M
⎪ %T
T
T
% −1
% −1
% −1
% −1
1 n1 ( D11 ) = ( Q + C K R1 KC ) D11 vn1 ( D11 ) .
⎪⎩ ⎡⎣ D11 − λn1 ( D11 ) I n1 ⎤⎦ Pv
В силу равенства (28) матрицы
%T
% −1
⎡ D%11T − λ1 ( D%11−1 ) I n ⎤ , . . . , ⎡ D
⎤
1 ⎦
⎣ 11 − λ n1 ( D11 ) I n1 ⎦
⎣
оказываются всегда обратимыми (см., например, [3]), так что вместо
системы (32) можно записать
⎧ Pv D% −1 = ⎡ D% T − λ D% −1 I ⎤ −1 Q + C T K T R KC D% −1v D% −1 ,
) 11 1 ( 11 )
1
⎪ 1 1 ( 11 ) ⎣ 11 1 ( 11 ) n1 ⎦ (
⎪
(33)
⎨M
⎪
−1
T
T
% −1 ⎡ % T
% −1
% −1
% −1
⎤
⎪⎩ Pv
1 n1 ( D11 ) = ⎣ D11 − λn1 ( D11 ) I n1 ⎦ ( Q + C K R1 KC ) D11 vn1 ( D11 ) .
или
60
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
P1 ⎡⎣v1 ( D%11−1 ) K vn1 ( D%11−1 ) ⎤⎦ =
= ⎡ ⎡⎣ D%11T − λ1 ( D%11−1 ) I n1 ⎤⎦
⎢⎣
−1
(Q + C
L ⎡⎣ D%11T − λn1 ( D%11−1 ) I n1 ⎤⎦
−1
T
K T R1 KC ) D%11−1v1 ( D%11−1 ) L
(Q + C
T
(34)
K T R1 KC ) D%11−1vn1 ( D%11−1 ) ⎤ .
⎥⎦
Матрица правых собственных векторов
⎡ v1 ( D%11−1 ) K vn ( D%11−1 ) ⎤
1
⎣
⎦
(35)
в условиях сделанных предположений оказывается также всегда
обратимой [1], поэтому можно записать формулу аналитического решения
алгебраического уравнения Ляпунова (26) в виде
P1 == ⎡ ⎡⎣ D%11T − λ1 ( D%11−1 ) I n1 ⎤⎦
⎢⎣
⎡ D%11T − λn ( D%11−1 ) I n ⎤
1
1 ⎦
⎣
−1
−1
(Q + C
(Q + C
T
T
K T R1KC ) D%11−1v1 ( D%11−1 ) L
(36)
K T R1KC ) D%11−1vn1 ( D%11−1 ) ⎤ ⎡⎣v1 ( D%11−1 ) K vn1 ( D%11−1 ) ⎤⎦ .
⎥⎦
−1
Поступая аналогичным образом со вторым уравнением из (24),
запишем его аналитическую форму решения
−1
P2 = ⎡ ⎡⎣ D% 22T − λ1 ( D% 22−1 ) I n1 ⎤⎦ D% 22−1v1 ( D% 2−1 ) L
⎢⎣
−1
−1
⎡ D% 22T − λn ( D% 22−1 ) I n ⎤ D% 22−1vn ( D% 22−1 ) ⎤ ⎡v1 ( D% 22−1 ) K vn ( D% 22−1 ) ⎤ .
2
2 ⎦
2
1
⎣
⎦
⎥⎦ ⎣
(37)
Очевидно,
что
представленная
процедура
позволяет
получать
аналитические решения дискретного алгебраического уравнения Ляпунова
в разнообразных формах. Например, если вычислять собственные
% T , то формы решений
значения и левые собственные векторы матрицы D
11
уравнений (24) примут вид
⎡ w D% T ⎤
⎢ 1 ( 11 ) ⎥
⎥
P1 = − ⎢
M
⎢
⎥
⎢ wn1 ( D%11T ) ⎥
⎣
⎦
−1
−1 ⎤
⎡
T
T
%T
% −1 % −1
%T
⎢ w1 ( D11 ) ( Q + C K R1 KC ) D11 ⎡⎣ D11 − λ1 ( D11 ) I n1 ⎤⎦ ⎥
⎢
⎥ , (38)
M
⎢
⎥
−1 ⎥
⎢
T
T
T
−1
−1
−1
%
%
%
%
⎢⎣ wn1 ( D11 ) ( Q + C K R1 KC ) D11 ⎡⎣ D11 − λn1 ( D11 ) I n1 ⎤⎦ ⎥⎦
61
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
−1
⎡ w ( D% T ) ⎤ ⎡ w ( D% T ) D% −1 ⎡ D% −1 − λ ( D% T ) I ⎤ ⎤
n2 ⎦
1
22
22 ⎣ 22
1
22
⎢
⎥
1
22
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥
P2 = − ⎢
M
M
⎢
⎥,
⎢
⎥
1
−
T
⎢ wn2 ( D% 22 ) ⎥ ⎢ wn ( D% 22T ) D% 22−1 ⎡ D% 22−1 − λn ( D% 22−1 ) I n ⎤ ⎥
⎥⎦
2
2 ⎦
⎣
⎦ ⎢⎣ 2
⎣
( )
( )
% , w D%
где wi D
i
11
22
T
T
(39)
– левые собственные векторы соответственно
D%11T , D% 22T или, эквивалентно, правые собственные векторы
% , D% .
соответственно матриц D
11
22
матриц
Условие устойчивости для системы (19) влечет:
T
T %
% 21
% 21 ) → min sp ( D
% 21
1. λmax ( D
P2 D
D21 ) → min,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
sp ( P1 ) → min,
2. λmax ( P1 ) → min
3. G ≥ 0 или G > 0.
(40)
Здесь символ sp ( ⋅ ) обозначает операцию вычисления следа матрицы ( ⋅ ) .
Третье условие может быть использовано для определения диапазона
значений для члена взаимодействия
D12 , который обеспечивает
выполнение достаточных условий устойчивости. Первые два условия
обеспечивают наилучшее выполнение условий устойчивости с точки
зрения первой подсистемы. Для любых чисел a1 , a2 > 0 максимальное
значение
D12
может
быть
найдено
решением
(24).
Процедура
максимизации может быть использована тогда только для нахождения
констант a1 , a2 , которые дают максимально возможный диапазон
D12* .
Уравнение (24) влечет условие на матрицу G
G ( a1 , a2 , D12 ) ≥ 0 ⎯⎯⎯
→ max D12
a1 ,a2
Вычисление
.
(41)
D12* возможно, например, с использованием градиентного
метода. Если неравенство
0 ≤ D12 ≤ D12T
62
(42)
Раздел
I.
Математические
методы
синтеза систем
выполнено, то матрица K обратной связи может быть вычислена при
расчете первой расширенной подсистемы в (19).
Для нахождения матрицы K определим функцию Лагранжа L1
{
L1 = min max sp P1 + ( D21 + B21 KC )
P1 ,K
W
T
( D21 + B21 KC ) +
}
+ W ⎡( D11 + B1 KC ) P1 ( D11 + B1 KC ) − P + Q + C T K T B1 KC ⎤ ,
⎣
⎦
T
(43)
где W – симметрическая матрица множителей Лагранжа. Если последний
член (43) равен нулю, то минимизация sp ( P1 ) является в среднем тем же
самым, что и минимизация функции потерь (6). При предположении, что
B21 очень мало, возможно отбрасывание второй части функции потерь
(43). Из дифференцирования (43) вытекают три необходимых условия
оптимальности:
a) ∇L1P = I 2n1 + ( D11 + B1 KC ) W ( D11 + B1 KC ) − W = 0,
T
1
b) ∇L1W = ( D11 + B1 KC ) P1 ( D11 + B1 KC ) − P + Q + C T K T B1 KC = 0,
T
(44)
c) ∇L1K = 0 ⇒ K = − ( B1T P1 B1 + R1 ) ×
−1
T
T
B21 KC + B21
D21 + B1T P1 D11W ⎤⎦ C T ( CWC T ) .
× ⎡⎣ B21
−1
Если С – единичная матрица и B21 = 0 , то третье уравнение (44)
сводится к уравнению
K = − ( B1T PB
1 1 + R1 ) B1 PD
1 11 .
−1
(45)
Шаги решения (44) следующие:
1. Выбрать K так, чтобы D11 + B1 K C устойчива;
1
1
1
1
1
2. Подставить K в (44,а) и (44,b) и вычислить P1 и W ;
1
1
1
2
3. Подставить K , P1 и W в (44,с) и вычислить K ;
4. Если K − K
2
1
> ε > 0 , то K 1 = K 2 и перейти к шагу 2;
5. Конец.
63
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
Если требуется только поддерживать устойчивость системы без
минимизации целевой функции, то правая часть (29) сводится к единичной
матрице
λmin ( Q ) = 1 и R1 = 0 .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление многомерными
системами. Алгебраический подход. – М.: Энергоатомиздат, 2003.
2. Буков В.Н., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Решение линейных
алгебраических уравнений, возникающих в задачах теории систем //
Современные методы управления многосвязными системами /Под ред.
А.А. Красовского.– М.: Энергоатомиздат, 2003. Вып. 1.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука,
1984.
4. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и
приложения. – М.: Мир, 2001.
5. Шильяк
Д.
Децентрализованное
управление
сложными
системами. – М.: Мир, 1994.
6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.
64
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
433 Кб
Теги
синтез, децентрализованные, частичных, энергосистема, управления, агрегирование, линейными
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа