close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями.

код для вставкиСкачать
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).
341
ФИЗИКА
УДК 621.373.1
СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
С ДИФФУЗИОННЫМИ СВЯЗЯМИ
© 2008
С.А. Агибалов,1
В.В. Зайцев,2
Г.П. Яровой3
На основе интегральных уравнений движения получены общие соотношения для расчета частотных характеристик и областей устойчивости синхронных колебаний в дискретно-распределенных автоколебательных системах с обратными связями диффузионного (параболического) типа. Приведен пример численного анализа синхронных колебаний в распределенном RC-генераторе, находящемся по действием
внешнего гармонического сигнала.
Ключевые слова: автоколебательные системы, синхронизация, синхронные колебания, устойчивость.
Введение
К классу дискретно-распределенных относится множество автоколебательных систем, в которых сосредоточенный в пространстве (дискретный)
активный элемент локально взаимодействует с распределенными резонансными цепями и цепями обратной связи. При этом пространственно распределенные цепи могут быть как волнового, так и диффузионного типа. Волновые резонансные системы широко распространены в микроволновом диапазоне. Они входят в состав многочисленных типов твердотельных
и электронных СВЧ-генераторов. Математические модели таких генераторов — нелинейные граничные задачи для гиперболических уравнений.
Автоколебательные системы с диффузионными цепями обратной связи
(ОС) менее распространены, но и они находят применение в радиоэлектро1
Агибалов Сергей Александрович, кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
2
Зайцев Валерий Васильевич (zaitsev@ssu.samara.ru), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета,
443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
3
Яровой Геннадий Петрович (yarovoi@ssu.samara.ru), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета,
443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
342
С.А. Агибалов, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой
нике. Например, при генерировании колебаний в диапазоне частот от долей
герц до сотен килогерц применяются генераторы с фазосдвигающими цепями ОС, выполненными на основе распределенных RC-линий [1, 2]. Моделирование автоколебаний в системах с диффузионными обратными связями
основано на решениях нелинейных граничных задач для параболических
уравнений. Подобного рода модели используются также при решении задач
химической кинетики, эволюции био- и экосистем [3].
Из-за отсутствия высокодобротных резонансных систем стабильность частоты автоколебаний в генераторах с диффузионными связями невысока и
для ее повышения можно применять синхронизацию генераторов внешним
высокостабильным сигналом. По проблеме синхронизации автоколебательных систем в настоящее время существует обширная библиография (см.,
например, список литературы в монографии [4]). Тем не менее, исследования по теории синхронизации ряда автогенераторов не получили должного развития. Это относится, в частности, к генератору с распределенной
RC-линий в цепи обратной связи.
В статье [5] анализ динамики автоколебаний в генераторе с RC-линий
предложено проводить на основе численных решений интегрального уравнения движения (ИУД) генератора. В настоящей работе интегральная модель применяется для исследования процессов синхронизации генератора
внешним гармоническим сигналом.
1. Интегральное уравнение движения
автогенератора с диффузионной ОС
В качестве базовой будем рассматривать структурную схему автоколебательной системы, изображенную на рис. 1. Здесь диффузионная ОС для
инвертирующего безынерционного усилителя реализуется распределенной
RC-линией.
Рис. 1. Структурная схема автогенератора с диффузионной ОС
Передаточная характеристика операционного усилителя описывается
нелинейной зависимостью его выходного напряжения ua от входного напряжения u: ua = G(u). Широко распространенная аппроксимация этой за-
Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями
343
+
,
u2
2
при |u| U s и G(u) = k0 U s sign(u)
висимости имеет вид G(u) = k0 u 1 −
2
3
3U s
при |u| > U s .
Здесь k0 — малосигнальный коэффициент усиления, U s — напряжение насыщения передаточной характеристики. В дальнейшем мы будем использовать также нормированные на величину U s напряжения: x = u/U s и xa =
= ua /U s . Для+ них ,
2
x2
при |x| 1 и g(x) = k0 sign(x) при |x| > 1. (1)
g(x) = k0 x 1 −
3
3
Помимо (1) в классической теории автоколебательных систем часто используется кубическая нелинейность
,
x2
.
g(x) = k0 x 1 −
3
+
(2)
Распределенную RC-линию будем характеризовать постоянной времени
τ = RCl2 , где R и C — погонные сопротивление и емкость, l — длина линии.
Дифференциальная модель рассматриваемого генератора имеет вид параболического уравнения
∂y l2 ∂2 y
=
(3)
∂t
τ ∂ξ2
для нормированного на U s напряжения y(ξ, t) в RC-линии, где ξ — координата, отсчитываемая вдоль линии. К уравнению (3) добавляются нелинейные
граничные условия:
∂y(ξ, t) = 0.
(4)
y(0, t) = g (x(t)) , x(t) = −y(l, t) + e(t),
∂ξ ξ=l
Здесь e(t) = E s (t)/U s — нормированная эдс источника сигнала синхронизации. Отметим, что последнее из условий (4) записано в приближении
нулевого входного тока усилителя.
Интегральная модель генератора строится на основе импульсной характеристики RC-линии, которая определяется как отклик напряжения на выходе линии на дельта-импульс напряжения на ее входе: h(t) = y(l, t) при
y(0, t) = δ(t). То есть она вычисляется по решению уравнения (3) с граничными условиями
∂y(ξ, t) =0
y(0, t) = δ(t),
∂ξ ξ=l
и нулевыми начальными условиями. Эта задача может быть решена, например, методом преобразования Лапласа. При этом мы получим системную
функцию вида
#√ $
2 exp pτ
# √ $,
(5)
H(p) =
1 + exp 2 pτ
по которой обратным преобразованием вычисляется импульсная характери-
С.А. Агибалов, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой
344
стика
+ 2
,
∞
π (2n + 1)2 t
π
n
(−1) (2n + 1) exp −
θ(t).
h(t) =
τ n=0
4
τ
Используя полученную импульсную характеристику, на основе того, что
для RC-линии входным является сигнал g(x(t)), а выходным — y(l, t), запишем ИУД автогенератора относительно нормированной переменной x(t) :
t
x(t) = −
g x(t
) h(t − t
)dt
+ e(t) + X (t) .
(6)
0
Здесь X(t) — переходной процесс на выходе RC-линии при разомкнутой цепи
обратной связи. Интегральную модель RC-генератора (6) будем использовать для исследования режима установившихся колебаний в полосе удержания и их устойчивости.
2. Установившийся режим синхронных колебаний
Для исследования режима установившихся синхронных колебаний в
уравнении (6) нижний предел интегрирования (начало отсчета времени)
следует перенести в минус бесконечность и учесть затухание свободных колебаний X(t). В результате получим ИУД
t
x(t) = −
g x(t
) h(t − t
)dt
+ e(t)
(7)
−∞
с гармоническим внешним воздействием e(t) = E cos(ωt).
В гармоническом приближении решение уравнения (7) для синхронных
колебаний будем искать в виде
x(t) =
1
1
A exp( jωt) + A∗ exp(− jωt) = a cos(ωt + ϕ).
2
2
Нелинейную передаточную характеристику (1) разложим в ряд Фурье
1
1
g a cos(ωt + ϕ) = G1 (a) exp j(ωt + ϕ) + G1 (a) exp − j(ωt + ϕ) + в.г.,
2
2
в котором при дальнейшем анализе не будем учитывать высшие гармоники в.г. После подстановки этих гармонических функций в ИУД (7) и ряда
преобразований получим нелинейное алгебраическое уравнение для амплитуды a и фазы ϕ синхронных колебаний:
a + G1 (a)H( jω) = E exp(− jϕ),
(8)
где H( jω) — частотная характеристика RC-линии.
Комплексное уравнение (8) эквивалентно системе двух действительных
уравнений
Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями
345
a + G1 (a)K(ω) cos θ(ω) = E cos ϕ,
(9)
G1 (a)K(ω) sin θ(ω) = −E sin ϕ.
Уравнения записаны с использованием АЧХ и ФЧХ RC-линии: K(ω) =
= |H( jω)| и θ(ω) = arg (H( jω)). Исключив из системы (9) фазу ϕ, получим
уравнение АЧХ синхронных колебаний:
a2 + 2aG1 (a)K(ω) cos θ(ω) + G21 (a)K 2 (ω) = E 2 .
(10)
Уравнение (10) решается численно. Аналитические результаты для него
удается получить лишь при малых амплитудах внешнего воздействия.
Будем считать, что ε = E/a0 << 1, где a0 — амплитуда свободных автоколебаний, определяемая решением уравнения
a0 = G1 (a0 )K(ω0 );
2π2 /τ — частота
свободных автоколебаний. В этих условиях амплитуду
ω0 =
синхронных колебаний представим в виде суммы
a = a0 + ∆a = a0 (1 + α)
с малыми абсолютным ∆a и относительным α приращениями: ∆a << a0 ,
α << 1. Будем также считать, что расстройка частот внешнего воздействия
и свободных автоколебаний ∆ = ω − ω0 удовлетворяет условию
∆
<< 1.
ξ=
ω0
При выполнении указанных допущений уравнения (9) линеаризуются
относительно приращения ∆a, а уравнение (10) преобразуется в квадратное
уравнение вида
(11)
(pα + κξ)2 + σ2 ξ2 = ε2 ,
со следующими параметрами: p = 1 − G
1 (a0 )K(ω0 ) — прочность предельного
цикла автоколебаний, κ = −ω0 K (ω0 )/K(ω0 ), σ = −ω0 θ
(ω0 ). Значения двух
последних параметров равны: κ = σ ≈ 1.565. Из уравнения (11) находим
значение устойчивого относительного приращения амплитуды:
I
(12)
pα = −κξ + ε2 − σ2 ξ2 .
На рис. 2 приведены графики зависимости pα(ξ) для различных значений нормированной амплитуды ε внешнего воздействия.
Согласно выражению (12) устойчивые синхронные колебания наблюдаются в области синхронизации (удержания), ограниченной расстройками
ξ s = ±ε/σ. Область синхронизации (язык Арнольда) показана на рис. 3 серым цветом.
Отметим, что область синхронизации расположена симметрично относительно частоты свободных автоколебаний. Подобным свойством обладают изохронные генераторы томсоновского типа (см., например, [6]). В то
же время, в отличие от изохронных томсоновских автогенераторов, зависимость α(ξ) не является четной функцией.
С.А. Агибалов, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой
346
Рис. 2. Семейство АЧХ синхронных колебаний при малых амплитудах сигнала
синхронизации
3. Устойчивость режима синхронных колебаний
При исследовании устойчивости установившихся режимов синхронных
колебаний будем предполагать наличие малого возмущения комплексной
амплитуды внешнего воздействия:
e(t) = E + ∆E || (t) cos(ωt) − ∆E⊥ (t) sin(ωt).
Здесь ∆E|| и ∆E⊥ — синфазная и квадратурная составляющие возмущения такие, что |∆E|| (t)|, |∆E⊥ (t)| << E и ∆E|| = ∆E⊥ ≡ 0 при t < 0.
Решение ИУД (7) при наличии возмущения синхросигнала представим
в виде
1
a + ∆a(t) + ja∆ϕ(t) exp j(ωt + ϕ) + к.c.,
2
полагая при этом, что синфазная и квадратурная составляющие возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний малы: |∆a(t)|,
|a∆ϕ(t)| << a. Кроме того, естественно считать, что ∆a(t) ≡ 0, ∆ϕ(t) ≡ 0
при t < 0.
Если ввести в рассмотрение векторы возмущений ∆A = ∆a, a∆ϕ T и ∆E =
T
= ∆E|| , ∆E⊥ , линеаризованное ИУД (7) можно записать в виде
x(t) =
t
∆A(t) = −
∆A(t
)hM (t − t
)dt
+ ∆E(t).
(13)
0
В этой записи использована матричная импульсная характеристика
+
D
E
D
E ,
S d (a)Re exp(− jωt)h(t) −S a (a)Im exp(− jωt)h(t)
D
E
D
E .
hM (t) =
S a (a)Re exp(− jωt)h(t)
S d (a)Im exp(− jωt)h(t)
Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями
347
Рис. 3. Область синхронизации (язык Арнольда) при малых амплитудах сигнала
синхронизации
Ее элементы содержат дифференциальную S d (a) = dG1 (a)/da и среднюю
S a (a) = G1 (a)/a крутизну передаточной характеристики усилителя по первой
гармонике.
Системная функция линейного преобразования (13) возмущений комплексной амплитуды сигнала синхронизации в возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний равна
+
,
1
1 + S a (a)Hc (s; ω)
S a (a)Hs (s; ω)
,
H M (s) =
−S d (a)Hs (s; ω) 1 + S d (a)Hc (s; ω)
D(s; ω, a)
где
1
j
H(s + jω) + H(s − jω) , H s (s; ω) =
H(s + jω) − H(s − jω) ,
Hc (s; ω) =
2
2
D(s; ω, a) = 1 + (S d (a) + S a (a)) Hc (s; ω) + S d (a)S a (a)H(s + jω)H(s − jω). (14)
В представленных выражениях после точки с запятой указаны параметры
функциональных зависимостей.
Устойчивость синхронных колебаний относительно малых возмущений
предполагает отсутствие полюсов системной функции преобразования (13)
в правой полуплоскости комплексного аргумента s. В конечном счете это
сводится к отсутствию в правой полуплоскости нулей функции (14). В квазигармоническом приближении, учитывая что |s| << ω, функцию D(s; ω, a)
представим разложением в ряд Тейлора:
1
D(s; ω, a) = D
s (0; ω, a)s2 + D
s (0; ω, a)s + D(0; ω, a).
2
Это разложение в совокупности с критерием Рауса—Гурвица позволяет
установить, что границы областей устойчивости в пространстве параметров
С.А. Агибалов, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой
348
(ω, a) представляют собой геометрические места точек, для которых
или
D(0; ω, a) = 1 + (S d (a) + S a (a)) Re {H( jω)} + S d (a)S a (a)|H( jω)|2 = 0
(15)
D
E
D
s (0; ω, a) = (S d (a) + S a (a)) Re H ( jω) +
D
E
+2S d (a)S a (a)Re H ( jω)H(− jω) = 0.
(16)
Линии a = a(ω) границ областей устойчивости определяются численным
решением нелинейных уравнений (15) и (16).
4. Результаты для автогенератора с кубической
нелинейностью
Полученные выше соотношения, в частности, уравнения (10), (15) и
(16), справедливы для безынерционной нелинейности g(x) общего вида. Для
”классической” кубической нелинейности (2) эти нелинейные уравнения становятся алгебраическими, что позволяет при численном анализе синхронных колебаний использовать надежные и эффективные методы поиска корней полиномов.
Передаточной характеристике (2) соответствует амплитуда первой гармоники выходного напряжения усилителя вида
,
+
a2
.
G1 (a) = k0 a 1 −
4
При этом уравнение (10) сводится к алгебраическому уравнению
ρ2 (ω)a6 − 8ρ(ω) cos θ(ω) + ρ(ω) a4 +
$
#
(17)
+16 1 + 2ρ(ω) cos θ(ω) + ρ2 (ω) a2 = 16E 2 ,
где введено обозначение ρ(ω) = k0 K(ω).
Амплитудно-частотные характеристики синхронных колебаний для коэффициента усиления k0 = 15 (в этом случае a0 = 0.953) при различных
амплитудах внешнего воздействия, полученные путем численного решения
уравнения (17), показаны на рис. 4. Характеристика 1, соответствующая
амплитуде E = 0.035 распадается на две кривые: замкнутую кривую, по
форме напоминающую эллипс, и кривую резонансного типа. При увеличении амплитуды внешнего воздействия обе кривые сливаются в одну —
характеристика 2 при амплитуде E = 0.073 и характеристика 3 при амплитуде E = 0.112. Существуют области расстроек, при которых зависимость
A = A(ξ) является трехзначной, но устойчивым состояниям соответствует
лишь одна ветвь зависимости. Как показывают исследования устойчивости
синхронных колебаний, в тех случаях, когда амплитудно-частотная характеристика имеет в своем составе замкнутую кривую, устойчивые состояния
расположены на верхней части кривой между точками с вертикальными
Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями
349
касательными. Качественно эти устойчивые ветви АЧХ полностью соответствуют малосигнальным кривым рис. 2.
С учетом того, что для нелинейности усилителя вида (2) дифференциальная
крутизна
характеристики равны S d (a) =
,
,
+ и средняя
+ его 2передаточной
3a2
a
и S a (a) = k0 1 −
, уравнения границ областей устойчивости
= k0 1 −
4
4
(15) и (16) сводятся к биквадратным уравнениям. Границы областей устойчивости показаны на рис. 4 пунктирными линиями. Линия I определяется
условием (15), а линия II — условием (16). Устойчивыми являются участки
АЧХ, расположенные вне области, ограниченной линией I, и выше линии II.
Рис. 4. Семейство АЧХ синхронных колебаний
Заметим, что качественно форма АЧХ и расположение областей устойчивости напоминают картину синхронизации автогенератора Ван дер Поля
с запаздыванием в интервале от половины до полного периода автоколебаний [7].
Заключение
Представленная методика анализа процессов синхронизации автоколебаний в дискретно-распределенном автогенераторе на основе интегрального
уравнения движения системы обладает значительной степенью универсальности. Соотношения (10), (15), (16) позволяют проводить расчеты частотных характеристик синхронных колебаний автогенераторов, выполненных
350
С.А. Агибалов, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой
на основе сосредоточенных активных элементов и сосредоточенных или распределенных в пространстве колебательных систем и цепей обратных связей. При этом передаточную характеристику (1) и системную функцию
(5) следует заменить соответствующими зависимостями, выполняющимися
в исследуемой системе.
Литература
[1] Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов,
В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
[2] Кабанов, Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами: Основы теории и расчета / Д.А. Кабанов – М.: Сов. радио,
1979. – 336 с. – С. 7–38.
[3] Васильев, В.А. Автоволновые процессы / В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. – М.: Наука, 1987. – 240 с.
[4] Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление /
А. Пиковский, М. Розенблюм, Ю. Куртс. – М.: Техносфера, 2003. –
496 с.
[5] Зайцев, В.В. Моделирование автоколебаний в RC-генераторах на основе
интегральных уравнений движения / В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9. –
№2. – С. 64–68.
[6] Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах /
А.Н. Малахов. – М.: Наука, 1968. – 660 с.
[7] Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием /
В.П. Рубаник. – М.: Наука, 1969. – 288 с.
Поступила в редакцию 18/VII/2008;
в окончательном варианте — 18/VII/2008.
Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями
351
SYNCHRONISATION OF SELF-OSCILLATOR WITH
DIFFUSION FEEDBACK CIRCUIT
© 2008
S.A. Agibalov,4
V.V. Zaitsev,5
G.P. Yarovoi6
On the basis of self-oscillating systems integral equation dynamic there
have been work out general correlation for the calculation frequency characteristic and synchronous oscillations sphere of stability in discretely distributed self-excited oscillators. There has been perform numerical analysis of synchronous oscillations in the distributed RC-oscillator, wich is
under the influence of external harmonic signal.
Keywords and phrases: self-oscillating systems, synchronization, synchronous
oscillations, stability.
Paper received 18/VII/2008.
Paper accepted 18/VII/2008.
4
Agibalov Sergei Aleksandrovich, Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of
Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
5
Zaitsev Valeriy Vasilievich (zaitsev@ssu.samara.ru), Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
6
Yarovoi Gennadiy Petrovich (yarovoi@ssu.samara.ru), Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
357 Кб
Теги
связями, автоколебательных, диффузионные, система, синхронизация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа