close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Система дифференциальных уравнений в пространстве одномерных касательных элементов второго порядка.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
временно корректировать недочеты за счет гибко на-
страиваемой траектории обучения.
Библиографический список
1. Новиков Д.А. Закономерности итеративного научения. –
деятельности: автореф. дис. … д-ра техн. наук: 05.13.01. М,
М.: Изд-во ИПУ РАН, 1998. 77 с.
2006. 42 с.
2. Растригин Л.А., Эренштейн М.Х. Адаптивное обучение с
4. Berestova V. I, Chernyshov I. A., Rybina G.V., Zavo-lovich
моделью обучаемого. Рига: Зинатне, 1988. 160 c.
O.V. An application of expert system methods for development
3. Леонова Н.М. Методы адаптивного структурноof intelligent learning programs // In Proceedings of the Eastпараметрического управления и идентификации многосвязWest Conference on Emerging Computer Technologies in Eduных социальных объектов на примере образовательной
cation. Moscow, Russia, ICSTI, 1992. P. 32-35.
УДК 514.763.8
СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ОДНОМЕРНЫХ
КАСАТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В. А. Труппова1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Получены уравнения пространства одномерных касательных элементов второго порядка, а также система дифференциальных уравнений для производных р-го порядка от координат элемента. Подобные объекты возникают
при исследовании нормальных систем дифференциальных уравнений второго порядка ∂2x∂t2=fα t , x , ∂xβ∂t
(α=1,2,..n), в том случае , когда переменные (t, xα ) являются координатами точки пространства представления
группы GL (n+1, R). Данная система в пространстве касательных элементов рассматривается как конечные уравнения поверхности V2n+1, для характеристики которой получены формулы внутреннего фундаментального объекта.
Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений; оператор внешнего дифференцирования; дифференциальные формы.
THE SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE SPACE OF ONE-DIMENSIONAL TANGENT ELEMENTS OF
THE SECOND ORDER
V.A. Truppova
National Research Irkutsk State Technical University,
83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The author derives the space equations of the one-dimensional tangent elements of the second order, as well as the
system of differential equations for the derivatives of p-order from the element coordinates. Similar objects appear in the
study of normal systems of the second order differential equations ∂ 2x ∂ t2 = fα t, x, ∂ xβ ∂ t (α = 1,2, .. n), when the variables (t, xα) are the coordinates of the space point of GL (n 1, R) group representation. This system in the space of
tangent elements is regarded as the final equations of V2n 1 surface for the characteristics of which the formulas of internal fundamental object are obtained.
8 sources.
Key words: system of differential equations; operator of exterior differentiation; differential forms.
Структурные уравнения пространства одномерных касательных элементов. Получены
уравнения пространства одномерных касательных
элементов второго порядка, а также система дифференциальных уравнений для производных р-го порядка от координат элемента. Подобные объекты возникают при исследовании нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 5]
, ,
,
1,2, … .
в том случае, когда переменные (t,
являются координатами точки пространства представления группы GL( n+1, R).
Пусть преобразование переменных (t ,
имеет
вид
=
;
;
,
(1)
тогда (1) индуцирует закон преобразования переменных:
;
;
;
;
;
.
(2)
Системы (1) и (2) задают представление группы
GL(n+1, R) в пространстве переменных ( ,
,
___________________________
1
Труппова Валентина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики,
тел.: (3952) 405176, (3952) 510424, е-mail: tinatrup@rambler.ru
Truppova Valentina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the chair of Mathematics,
tel.: (3952) 405176, (3952) 510424, e-mail: tinatrup@rambler.ru
ВЕСТНИК ИрГТУ №6 (46) 2010
295
Естественные науки
,
, которое является пространством одномерных
касательных элементов второго порядка.
Прежде чем приступить к выводу структурных
уравнений рассматриваемого пространства, опишем
перестановочность оператора дифференцирования и
частной производной применительно к нашему случаю
(подобные процедуры рассматривались в работах [3,
4]).
1 , токласса С
Пусть имеется функция f(
гда легко увидеть, что имеет место равенство
, , ,…,
0,1,2, … , то
есть
справедлива формула:
d.
(3)
d
Основываясь на (3), можно показать справедливость соотношения:
,
(4)
где – оператор внешнего дифференцирования.
Действительно, пусть имеется форма
2 , где
класса С
– функция
класса С
2 , тогда
1,2, … , .
Дифференцируя внешним образом и учитывая,
0, получаем:
что
.
[
, то
Далее, так как
.
Равенство (4) доказано.
Поскольку изучение носит локальный характер, то
в приведённых доказательствах функции и формы
дифференцируемы в некоторых окрестностях соот, кроме того, равенство
ветствующих точек ( и
(4) доказано только для линейных форм Пфаффа.
Дифференцируя (1) по всем переменным, приходим к дифференциальной форме d
Ω этого закона, где инвариантные формы
группы
GL(n+1, R), а также формы Ω имеют вид:
;Ω= d .
Групповые параметры
и
удовлетворяют со;
.
отношениям
Исходя из системы (2), запишем новые выражения
:
( , ) через ( ,
;
. (5)
Введём обозначения:
…
…
…
…
…
…
=
…
…
=
…
…
296
;
…
…
;
;
…
…
;
.
;
;
Положим
.
;
;
=
;
0;
(8)
;
=
;
(9)
0;
.
Распишем подробнее процесс отыскания формы
. Из первой системы (7) получаем
.
Учитывая (3), имеем:
0.
,
Так как в формы
то
, ни
ни
(6)
не входят,
0.
0;
Учитывая полученные равенства, имеем:
=
.
Проводя подобные выкладки, приходим к системе
форм:
–
;
=;
2
2
;
(10)
2
;
2
.
Для нахождения частных производных от форм
и
по переменным { ,
используем (6) и (8):
…
…
d
;
;
…
…
…
d ;
.
(11)
Из (2) и (5) находим соотношения:
…
…
…
…
0;
…
0;
0;
…
0,
которые использовались при получении (11) .
Учитывая (11), продифференцируем первую форму из (7) по
:
γ
D
uβ
uαβ
uαβ
.
Из последней формулы и (10) следует:
γ
uβ
.
d
;
;
Дифференцируя равенства (5), получаем дифференциальную форму представления группы GL(n+1, R)
в пространстве касательных элементов второго порядка:
d
;
2
2
,
(7)
d
где
(12)
от форм ,
,
,
Найдём производные по
при этом нужно учесть, что эти формы являются
функциями от ( ) и (d , которые, согласно (2) и (5),
в свою очередь, являются функциями от ( :
ВЕСТНИК ИрГТУ №6 (46) 2010
Естественные науки
d
.
Учитывая (10), получаем:
α
θβ β
α
γ
γ
;
α
βγ
γ
0;
0;
ωαβ
γ
0;
∂
∂u
α
βγ
α
γξ
ξ
uβ
;
+
.
(13)
, прихо-
;
…
.
…
…
и учитывая (13),
Дифференцируя (12) р раз по
получим формулу р-го продолжения величины ( :
d
… +
…
∑
…
!
!
!
=
…
;
(14)
при этом надо учесть (6) и (11).
оба раДифференцируя р раз по переменной
венства (14), получаем формулы р-го продолжения
величин , :
d
…
…
…
…
…
…
;
…
∑
…
…
…
.
…
Заметим, что величины (
связаны соотношениями
;
;
,
,
)и(
;
,
,
)
;
.
Внутренний фундаментальный объект по. Систему дифференциальных уравверхности
нений второго порядка:
=
,
);
(18)
где
, , , … 1,2, … . , ; , , … 0,1,2, … , будем
рассматривать как конечные уравнения поверхности
в пространстве одномерных касательных элементов второго порядка [7]. Нормальные системы
уравнений рассматривались многими авторами. Подробный обзор по данному вопросу можно найти в работах В.И. Близникаса и Ю.З. Лупейкиса [2], Л.Е. Евтушика и В.Б. Третьякова [5].
Запишем некоторые формулы работы [7], которые
будут использованы далее. Если
– координаты
элемент
1, , то закон преобразования координат точки рассматриваемого пространства запишется в виде:
;
;
;
.
Структурные уравнения имеют вид:
Ω
Ω
;
;
(19)
;
;
;
;
;
d
.
(16)
От равенств (16) дифференцированием приходим
к системе:
d …
…
…
…
,
;
;
…
| |
…
|
.
Для вывода структурных уравнений пространства
одномерных касательных элементов второго порядка
дифференцируем систему (8):
;
,
(17)
а затем (17) дифференцируем дважды частным образом по , получаем искомые формулы:
;
0;
0,
(15)
поэтому систему (8) можно переписать в виде:
d
;
.
Продифференцируем полученные равенства сначала по , а затем второе из них – по :
;
d
|
;
;
…
…
.
D
d
| |
;
:
∑
…
…
…
;
…
Для нахождения дифференциальных уравнений
и
дифференцируем равенство из (7) по
величин
и
;
…
…
0;
;
…
…
…
…
…
+P
| |
…
…
α
γ
β
Дифференцируя формы (13) p раз по
дим к системе форм:
…
P
…
,
,
(20)
где
Ω
;
;
,
;
;
;
ВЕСТНИК ИрГТУ №6 (46) 2010
;
…
…
;
297
Естественные науки
;
;
…
=
…
=
…
;
…
;
…
=
…
=
…
;
…
…
=
…
;
…
0;
0;
(22)
(23)
где
|
…
…
|
,
…
.
…
Учитывая соотношения (22) дифференциалы
,
можно выразить через формы
d ,
,
, Ω , а затем подставить в (23). В результате
приходим к системе дифференциальных уравнений
вида
Ω
,
(24)
где
;
.
(25)
Подобная система в работе [5] названа основной.
Продолжение основной системы приводит к следующей системе дифференциальных уравнений внутреннего фундаментального объекта:
Ω
;
…
…
…
+
…
(26)
|
…
…
|
;
;
Ω
…
| |
…
;
…
.
Дифференцируя систему (18), получаем:
,
…
(q >2 );
…
Ω
.
…
| |
…
(21)
…
;
…
Ω
=
Ω
…
Между введёнными по формулам (4) величинами
имеются зависимости
;
;
;
d
…
…
Ω
…
…
…
;
;
…
…
…
;
…
d
…
…
…
…
…
…
=
…
…
…
| |
| |
…
, (q 2 .
…
Преобразуем систему (25), используя соотношения (22), тогда
;
.
(27)
Для получения формул, с помощью которых компоненты внутреннего фундаментального объекта
(р+q)-го порядка можно выразить через частные производные от функций, стоящих в правых частях искомой системы дифференциальных уравнений (22),
нужно (27) дифференцировать соответствующее число раз, используя (26), а также формулы работы [7]. В
результате приходим к соотношениям:
;
;
∑
∑
… | |
! α
f
A
! γ …γ
∑
∑
!
!
…
| |
…
∑
…
∑
!…
…
…
γ
γ
…
!
uβ
…β
…
!…
!
…
… uβ
β
β
;
…
,
…
=
…
…
…
…
где символы , обозначают сверхиндексы и пробегают серии симметрических индексов ( ,
,
… .
…
…
Ω
…
;
Библиографический список
1. Близникас В.И. О геометрии нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка // Литовский математический сборник. 1967. Вып. 7.
№ 2. С. 231–248.
2. Близникас В.И., Лупейкис З.Ю. Геометрия дифференциальных уравнений. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия
(Итоги науки и техники). М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974. Т. 11.
С. 209–259.
3. Близникас В.И. О секущих поверхностях пространств
опорных элементов: тр. // Геометрический семинар. Казань,
1975. Вып. 8. С. 16–40.
4. Восилюс Р.В. Формальное дифференцирование в пространствах геометрических объектов // Литовский математический сборник. 1976. Вып. 15. № 4 С. 17–40.
298
5. Евтушик Л.Е., Третьяков В.Б. О структурах, определяемых
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
высшего порядка: тр. // Геометрический семинар ВИНИТИ,
1974. Т. 6. С. 243–255.
6. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые
пространства: тр. // IV Всесоюз. матем. съезд. Ленинград
(1961). Т. 2. 1964. С. 226–233.
7. Труппова В.А. Характеристика классов систем дифференциальных уравнений с использованием связностей // Вестник ИрГТУ. 2008. № 4 (36). С. 247–252.
8. Шинкунас Ю.И. О связностях пространства опорных
сверхвекторов р-го порядка: тр. // Геометрический семинар.
Казань, 1975. Вып. 8. С. 133–144.
ВЕСТНИК ИрГТУ №6 (46) 2010
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
366 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, пространство, система, элементов, касательных, одномерных, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа