close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Согласование и исследование методов основанных на дифференциальном и интегральном операторах распространения лазерного излучения в среде с малыми неоднородностями.

код для вставкиСкачать
2007
Компьютерная оптика, том 32 №1
СОГЛАСОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ, ОСНОВАННЫХ
НА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ И ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ С МАЛЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Стрилец А.С., Хонина С.Н.
Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева
Институт систем обработки изображений РАН
Аннотация
В данной работе рассмотрено распространение монохроматических световых пучков в среде с малыми неоднородностями показателя преломления, в частности в среде с параболическим профилем показателя преломления. Проведено обоснование метода моделирования
распространения светового пучка в параболическом волокне, основанного на его распространении в однородной среде через периодическую последовательность тонких линз. С
помощью предельного перехода к бесконечному числу линз, находящихся на бесконечно
малых расстояниях друг от друга, получен интегральный оператор распространения в параболической среде в параксиальном приближении, проведен анализ его свойств. Проведено
исследование действия параксиального интегрального оператора на моды Гаусса – Лагерра.
1. Распространение линейно поляризованного
монохроматического светового пучка в
неоднородной среде
1.1. Среда с малыми неоднородностями
показателя преломления
Рассмотрим неоднородную диэлектрическую
среду.
Напряженность
электрического
поля
G G G
E = E ( r ) распространяющегося в ней монохроматического светового пучка описывается векторным
уравнением
G
G
G
∇ 2 E + ∇ ∇ ln n 2 , E + k02 n 2 E = 0 ,
(1 )
(
)
G
G
где n = n ( r ) - показатель преломления среды; r 2π
- волновое число; λ0 - длирадиус-вектор; k0 =
λ0
на волны в свободном пространстве.
При условии
( ) 1 (где δ означает измене-
δ n2
n2
ние, неоднородность), которое должно выполняться
на расстояниях порядка длины волны, вторым слагаемым в уравнении (1) можно пренебречь [1]. Таким образом, уравнение (1) переходит в уравнение
Гельмгольца
G G G
⎡⎣∇2 + k02 n2 ( r ) ⎤⎦ E ( r ) = 0 .
(2 )
В рамках скалярной теории рассматриваются линейно поляризованные световые пучки. Для них
справедливо скалярное уравнение Гельмгольца
G
G
⎡⎣∇2 + k02 n2 ( r ) ⎤⎦ E ( r ) = 0 .
(3 )
Далее рассмотрим среду, показатель преломления которой не зависит от расстояния на оптической
оси z , то есть n = n ( x, y ) , где x , y и z - декарто-
вы координаты.
Перепишем уравнение (3)
∂2
E ( x, y, z ) = − ⎡⎣∇ ⊥2 + k02 n2 ( x, y ) ⎤⎦ E ( x, y, z ) , (4 )
∂z 2
∂2
∂2
+ 2 - поперечный лапласиан.
2
∂x ∂y
Представим решение уравнения (4) в виде
E ( x, y, z ) = exp ±iAz E0 ( x, y ) ,
(5 )
где A - некоторый дифференциальный оператор;
где ∇ ⊥2 =
{
}
∞
( ±i ) p p
exp ±iAz ≡ ∑
A z - операторная экспоненn!
p =0
{
}
p
та; E0 ( x, y ) - распределение комплексной амплитуды в начальной плоскости на расстоянии z = 0 ; знак
« + » соответствует распространению волны в положительном направлении оптической оси.
Подставляя соотношение (5) в уравнение Гельм
гольца (4) можно получить, что для оператора A
справедливо соотношение
A2 = ∇ ⊥2 + k02 n 2 ( x, y ) .
(6 )
Далее рассмотрим среду с малыми поперечными
неоднородностями показателя преломления
n ( x, y ) = n0 + δn ( x, y ) ,
(7 )
где n0 - некоторое среднее значение показателя
преломления; δn ( x, y ) - функция, описывающая не-
однородность среды.
Соотношение (6) для оператора A можно переписать в виде
⎛ δn ( x, y ) ⎞
A2 = ∇ ⊥2 + k 2 ⎜1 +
⎟ ,
⎜
n0 ⎟⎠
⎝
2
(8 )
где k = k0 n0 - волновое число в однородной среде с
показателем преломления n0 .
33
Согласование и исследование методов, основанных на дифференциальном и интегральном операторах …
Согласно [2-5] при условии малой неоднородноδn ( x, y )
1 справедлива следующая аппроксисти
n0
мация
δn ( x, y )
12
A ≈ Aapp = ⎡⎣∇ 2⊥ + k 2 ⎤⎦ + k
.
n
(9 )
0
Можно показать, используя (5) и (9), что для световых пучков, распространяющихся на небольшие
расстояния δz в положительном направлении оптической оси справедливо соотношение
⎧ δz
⎫
E ( x, y, δz ) ≈ exp ⎨i ⎡⎣∇ 2⊥ + k 2 ⎤⎦ ⎬ ×
2
⎩
⎭
12
× exp {iδzχ ( x, y )} ×
(10 )
( )
Результатом действия первой дифференциальной
экспоненты на начальное распределение комплекс12⎫
⎧ δz
ной амплитуды exp ⎨i ⎡⎣∇ 2⊥ + k 2 ⎤⎦ ⎬ E0 ( x, y ) явля⎩ 2
⎭
ется распределение, формируемое при распространении светового пучка в однородной среде с показа1
δz от
телем преломления n0 на расстоянии
2
начальной плоскости. Умножение распределения
комплексной
амплитуды
на
выражение
exp {iδzχ ( x, y )} эквивалентно действию некоторого
тонкого оптического элемента на проходящий через
него световой пучок. Этот оптический элемент изменяет
волновой
фронт
на
величину
φ ( x, y ) = δz χ ( x, y ) .
Таким образом, многократное использование аппроксимации (10) с точностью до погрешности
( )
эквивалентно моделированию распростра-
нения светового пучка через периодическую систему одинаковых тонких оптических элементов с
функцией пропускания τ ( x, y ) = exp {izχ ( x, y )} в
однородной среде с показателем преломления n0 .
1
δz от
2
начальной плоскости, два соседних элемента располагаются на расстоянии δz друг от друга.
Отметим также, что в приближении Френеля
справедлива аппроксимация
Первый элемент расположен на расстоянии
{
12
exp iz ⎡⎣∇2⊥ + k 2 ⎤⎦
} ≈ exp ⎧⎪⎨⎩⎪ikz ⎡⎢⎣1 + 2∇k ⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎭⎪ .
2
⊥
2
(11 )
Результат действия дифференциального оператора (11) на распределение E0 ( x, y ) аналогичен
34
распределению комплексной амплитуды, полученному с помощью интеграла Френеля
E ( x, y , z ) = −
∞ ∞
ik
exp {ikz} ∫ ∫ E0 ( ξ, η) ×
2πz
−∞ −∞
2
2 ⎫
⎧ ik
× exp ⎨ ⎡( x − ξ ) + ( y − η) ⎤ ⎬ d ξd η.
⎣
⎦⎭
⎩ 2z
(12 )
Далее перейдем к рассмотрению среды с параболической зависимостью показателя преломления –
важного частного случая неоднородной среды.
1.2. Среда с параболической зависимостью
показателя преломления
Для показателя преломления градиентного параболического волокна справедливо соотношение
⎛
r2 ⎞
n 2 ( r ) = n02 ⎜1 − 2∆ 2 ⎟ = n02 1 − α 2 r 2 ,
r0 ⎠
⎝
(
12⎫
⎧ δz
× exp ⎨i ⎡⎣∇⊥2 + k 2 ⎤⎦ ⎬ E0 ( x, y ) + O δz 3 .
⎩ 2
⎭
O δz 3
А.С. Стрилец, С.Н. Хонина
где r =
)
(13 )
x 2 + y 2 - радиус цилиндрической системы
координат; n0 - показатель преломления на оптической оси волокна; r0 - характерный радиус волокна;
∆ - параметр дисперсии показателя преломления
2∆
среды; α =
- константа, определяющая криr0
визну профиля показателя преломления.
Известно [6, 7], что решением уравнения Гельмгольца (3), конечным на оптической оси, в цилиндрических координатах является суперпозиция мод
Гаусса – Лагерра (ГЛ)
m
2
⎛ r ⎞
m ⎛ r ⎞
Ψ n, m ( r , ϕ, z ) = Cn, m ⎜ ⎟ Ln ⎜ 2 ⎟ ×
⎝ σ0 ⎠
⎝ σ0 ⎠
2
⎛ r ⎞
× exp ⎜ − 2 ⎟ exp ( imϕ ) exp ( ±iβn , m z ) ,
⎝ 2σ0 ⎠
(14 )
где r , ϕ , z - цилиндрические координаты; n - неотрицательное целое число, m - целое число;
1
dn
Lmn ( ξ ) = e ξ ξ − m n e −ξ ξ n + m - многочлены Лагерn!
dξ
ра.
В выражении (14) входят следующие параметры:
1
- эффективный радиус фундамен1) σ0 =
kα
тальной моды;
2α
2) βn , m = k 1 −
( 2n + m + 1) - постоянная расk
пространения;
1
n!
3) Cn, m =
- нормировочная конσ0 π ( n + m ) !
{
станта.
}
2007
Компьютерная оптика, том 32 №1
Для параболической среды функцию χ ( x, y ) из
где γ (N) ( z ) и γ (N ) ( z ) - последовательности, для ко-
выражения (10) можно переписать следующим образом
торых справедливы следующие рекуррентные соотношения:
χ(r ) = k
δn ( r )
n0
= −k ∆
r2
+ O ∆2 .
r02
( )
(15 )
⎧ k 2⎫
r ⎬
Известно, что выражение τ ( r ) = exp ⎨−i
⎩ 2f ⎭
является функцией пропускания тонкой круглой собирающей линзы в параксиальном приближении,
где f - фокусное расстояние.
Таким образом, в случае параболической среды
оптическими элементами являются собирающие
r2 1
1
= 2 .
линзы с фокусным расстоянием f = 0
2∆ δz α δz
2. Параксиальный интегральный оператор
распространения в параболическом волокне
2.1. Вывод параксиального интегрального
оператора
В приближении Френеля для параболической
среды, пользуясь интегралом (12), можно получить
при условии αr << 1 выражение (10) в интегральной
форме
1
ik
exp {ik δz} ×
E ( x, y, δz ) ≈ −
2πδz γ ( δz )
⎧⎪ ik ⎡
⎫
1 ⎤ 2
2 ⎪
× exp ⎨
⎢2 −
⎥ ⎣⎡ x + y ⎦⎤ ⎬ ∫ ∫ E0 ( ξ, η) ×
⎩⎪ 2δz ⎢⎣ γ ( δz ) ⎥⎦
⎭⎪ −∞ −∞
∞ ∞
⎧⎪ ik ⎡
⎫
1 ⎤ 2
2 ⎪
× exp ⎨
⎢2 −
⎥ ⎡⎣ξ + η ⎤⎦ ⎬ ×
⎩⎪ 2δz ⎢⎣ γ ( δz ) ⎥⎦
⎭⎪
(16 )
( )
α2 z 2
.
где γ ( z ) = 1 −
4
Можно показать, что после прохождения световым пучком N одинаковых тонких линз его комплексная амплитуда на расстоянии N δz будет описываться следующим интегральным соотношением
ik
1
exp {ikN δz} ×
2)
(
2πδz γ N ( δz )
⎧⎪ ik ⎡
⎫⎪ ∞ ∞
1 ⎤ 2
× exp ⎨
⎢ 2 − (1)
⎥ ⎡⎣ x + y 2 ⎤⎦ ⎬ ∫ ∫ E0 ( ξ, η) ×
⎪⎩ 2δz ⎢⎣ γ N ( δz ) ⎥⎦
⎪⎭ −∞ −∞
(17 )
⎧⎪ ik ⎡
⎫⎪
1 ⎤ 2
× exp ⎨
⎢ 2 − (1)
⎥ ⎣⎡ξ + η2 ⎦⎤ ⎬ ×
δ
2
z
γ
δ
z
⎢
⎥⎦
(
)
N
⎣
⎩⎪
⎭⎪
⎧⎪ ik
⎫⎪
1
× exp ⎨−
ξx + ηy ]⎬ d ξd η + O N δz 3 ,
[
2)
(
δz γ N ( δz )
⎩⎪
⎭⎪
(
2
γ (N)+1 ( z ) = γ ( z ) −
1
1
4−
1
,
γ (N) ( z )
1
⎡⎛
⎤
1 ⎞
2
2
⎟ γ ( z ) − 1⎥ ,
γ (N +) 1 ( z ) = γ (N ) ( z ) ⎢⎜ 4 − (1)
⎢⎜⎝
⎥
γ N ( z ) ⎟⎠
⎣
⎦
γ1( ) ( z ) = γ1(
2)
1
( z) = γ ( z) .
(18 )
Сделав предельный переход: δz → 0 , N → ∞ ,
N δz = z , можно показать, что справедливы следующие предельные соотношения [8]:
1 ⎡
1 ⎤
α
⎢ 2 − (1)
⎥→
,
tan ( αz )
δz ⎢ γ N ( δz ) ⎥
⎣
⎦
1
δz γ N ( δz )
( 2)
→
α
.
sin ( αz )
(19 )
Тогда, учитывая эти предельные соотношения,
интеграл (16), примет вид
E ( x, y, z ) ≈ −
ik α
exp {ikz} ×
2π sin ( αz )
⎧⎪ ik α
⎫⎪ ∞ ∞
⎡⎣ x 2 + y 2 ⎦⎤ ⎬ ∫ ∫ E0 ( ξ, η) ×
× exp ⎨
⎩⎪ 2 tan ( αz )
⎭⎪ −∞ −∞
⎧⎪ ik α
⎫⎪
⎡⎣ξ2 + η2 ⎤⎦ ⎬ ×
× exp ⎨
⎩⎪ 2 tan ( αz )
⎭⎪
(20 )
ik α
⎪⎧
⎪⎫
× exp ⎨−
ξx + ηy ]⎬ d ξd η.
[
⎩⎪ sin ( αz )
⎭⎪
⎪⎧ ik 1
⎪⎫
× exp ⎨−
ξx + ηy ]⎬ d ξd η + O δz 3 ,
[
⎪⎩ δz γ ( δz )
⎪⎭
E ( x, y, N δz ) ≈ −
1
)
Интеграл (20) является параксиальным оператором распространения светового пучка в волокне с
параболическим профилем показателя преломления
(13), справедливым при условии αr << 1 .
Интеграл (20) имеет такой же вид, что и рассмотренный в предыдущей статье [9] интегральный
оператор. Эти интегралы различаются коэффициентами в аргументе тригонометрических функций.
2.2. Свойства параксиального интегрального
оператора
Рассмотрим кратко свойства интеграла (20), доказательство которых схоже с приведенными в предыдущей статье [9] выкладками.
1. Переход к однородной среде: α → 0 .
При этом предельном переходе интегральный
оператор (20) принимает вид интеграла Френеля
(12), описывающего распространение световых
пучков в однородной среде в параксиальном
приближении.
35
Согласование и исследование методов, основанных на дифференциальном и интегральном операторах …
2π
.
α
На расстояниях кратных четверти периода распределение F ( x, y, z ) = E ( x, y, z ) exp {−ikz} имеет
2.
Интеграл (20) имеет период zT =
следующие особенности:
1
zT распределение
4
является преобразованием Фу-
1) на расстоянии
F ( x, y, z )
z=
рье начального распределения;
1
2) на расстоянии z = zT формируется пе2
ревернутое распределение − E0 ( − x, − y ) ;
3
zT распределение
4
является обратным преобразо-
3) на расстоянии
F ( x, y , z )
z=
ванием Фурье начального распределения;
4) на расстоянии z = zT формируется начальное распределение E0 ( x, y ) .
2.3. Анализ действия параксиального
интегрального оператора
на моды Гаусса – Лагерра
Рассмотрим действие параксиального интеграла
(20) на моды ГЛ (14) с произвольным начальным
эффективным радиусом σ
E0 ( r , ϕ ) = Ψ n, m ( r , ϕ, 0 ) =
m
2
⎧ r2 ⎫
⎛r⎞ m⎛r ⎞
= Cn, m ⎜ ⎟ Ln ⎜ 2 ⎟ exp ⎨− 2 ⎬ exp {imϕ} .
⎝σ⎠
⎝σ ⎠
⎩ 2σ ⎭
А.С. Стрилец, С.Н. Хонина
В частности, если волновод освещен его собственной модой ГЛ ( σ = σ0 ), то выражение (22) принимает вид
m
⎛ r ⎞ m ⎛ r2 ⎞
Ψ n, m ( r , ϕ, z ) = Cn, m ⎜ ⎟ Ln ⎜ 2 ⎟ ×
⎝ σ0 ⎠
⎝ σ0 ⎠
⎛ r2 ⎞
× exp ⎜ − 2 ⎟ exp {iβn, m z} exp {imϕ} ,
⎝ 2σ0 ⎠
(23 )
⎡ α
⎤
где βn, m = k ⎢1 − ( 2n + m + 1) ⎥ .
⎣ k
⎦
Полученное выражение (23) практически совпадает с точным решением (14). Эти выражения различаются только величиной βn, m .
Точное значение βn, m описывается следующим
2α
( 2n + m + 1) .
k
Разложив это выражение по формуле Тейлора с
учетом α<<1, k>>1 и оставив только два слагаемых,
можно получить выражение для величины βn, m из
выражением βn, m = k 1 −
соотношения (23).
Ниже на рис. 1 приведены графики зависимости эффективного радиуса σ ( z ) из выражения (22)
фундаментальной моды, распространяющейся в параболическом волокне, от расстояния z .
(21 )
Выкладки, позволяющие получить результат
действия оператора (20) на моды ГЛ (21), аналогичны приведенным в предыдущей статье [9]. Приведем полученный результат
Рис. 1. Зависимость σ ( z ) σ0 от величины z zT .
m
Ψ n, m ( r , ϕ, z ) = Cn, m
σ ⎛ r ⎞
⎜
⎟ ×
σ ( z ) ⎜⎝ σ ( z ) ⎟⎠
⎛ r ⎞
⎧⎪
⎫⎪
r
m
exp ⎨iβn, m ( r , z ) − 2
+ imϕ⎬ ,
×Ln ⎜ 2
⎟
⎜ σ ( z) ⎟
2σ ( z )
⎝
⎠
⎩⎪
⎭⎪
2
где σ ( z ) = σ cos 2 ( αz ) +
(22 )
2
σ04
sin 2 ( αz ) - эффективный
σ4
радиус Ψ n, m ( r , ϕ, z ) ;
βn, m ( r , z ) = kz +
⎡
⎧⎪ σ2
1 ⎫⎪ π ⎤
+ ( 2n + m + 1) ⎢arctan ⎨ 2
⎬ − ⎥ + - функция,
⎢⎣
⎩⎪ σ0 tan ( αz ) ⎭⎪ 2 ⎦⎥
⎛
σ2 ⎞
1
r2
+ ⎜1 − 2
⎟
2
⎜
⎟
⎝ σ ( z ) ⎠ tan ( αz ) 2σ0
определяющая фазовую скорость Ψ n, m ( r , ϕ, z ) .
36
Если начальный эффективный радиус σ меньше, чем эффективный радиус собственной моды волокна σ0 , то радиус пучка σ ( z ) вначале увеличивается, достигая максимального значения σmax =
σ02
в точσ
π ⎡ 1⎤
s − , s ∈ ` , где формируется Фурье α ⎢⎣ 2 ⎥⎦
образ исходного пучка. Затем он уменьшается, достигая своего начального минимального значения
π
σmin = σ0 в точках σ ( z ) , zs = s , s ∈ ` . Если же σ
α
больше, чем величина σ0 , то σ ( z ) вначале убывает
ках zs =
до значения σmin =
начальное значение.
σ02
, а затем возрастает, принимая
σ
2007
Компьютерная оптика, том 32 №1
Ниже приводятся распределения интенсивности Ψ n, m ( r , ϕ, z )
0
2
для некоторых пучков ГЛ и их
1
zT
8
суперпозиций, распространение которых описывается формулой (22).
1
zT
4
3
zT
8
Рис. 2. Распределения интенсивности для моды Ψ 0,0 ( σ =
0
1
zT
8
1
zT
4
1
σ0 ).
2
3
zT
8
Рис.3. Распределения интенсивности для моды Ψ1,1 ( σ =
0
1
zT
2
1
zT
2
3
σ0 ).
2
1
zT
8
1
zT
4
3
zT
8
1
zT
2
5
zT
8
3
zT
4
7
zT
8
zT
Рис.4. Распределения интенсивности для суперпозиции мод Ψ 0,0 + Ψ1, −1 ( σ =
1
σ0 ).
2
37
Согласование и исследование методов, основанных на дифференциальном и интегральном операторах …
0
А.С. Стрилец, С.Н. Хонина
1
zT
8
1
zT
4
3
zT
8
1
zT
2
5
zT
8
3
zT
4
7
zT
8
zT
Рис.5. Распределения интенсивности для суперпозиции мод Ψ 2,0 + Ψ1,2 + Ψ 0,3 ( σ =
3. Заключение
В данной работе проведено исследование распространения монохроматических линейно поляризованных световых пучков в неоднородной среде и,
в частности, в волокне с параболическим профилем
показателя преломления.
В работе выполнена аппроксимация дифференциального оператора распространения в среде с малыми
неоднородностями, которая позволяет рассматривать
распространение световых пучков в неоднородной
среде как распространение в однородной среде через
систему тонких оптических элементов.
С помощью предельного перехода при бесконечно большом количестве линз, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга, получен в
приближении Френеля интегральный оператор распространения световых полей в параболической среде. При анализе параксиального интеграла было установлено самовоспроизведение поперечного распределения световых пучков с определённым
периодом zT. В пределе при стремлении дисперсионного параметра волокна к нулю интегральный оператор переходит в интеграл Френеля, описывающий
распространение светового поля в однородной среде.
Аналитически получен результат действия интегрального оператора на моды Гаусса - Лагерра с
произвольным начальным эффективным радиусом.
Если начальный радиус совпадает с радиусом собственной моды для этого волокна, то полученная результирующая функция совпадает с модой ГЛ с
точностью до двух слагаемых в разложении Тейлора
величины βn, m . В случае несовпадения эффектив-
ных радиусов пучок периодически расширяется и
38
3
σ0 ).
2
сужается, восстанавливаясь на расстояниях, кратных периоду zT .
Благодарности
Работа выполнена при частичной финансовой
поддержке Российско-Американской программы
«Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-Sa-06), а также грантов РФФИ № 07-07-97600 и 08-07-99007.
Литература
1. Короленко, П. В. Оптика когерентного излучения. –
М.: Наука, 1997
2. Feit M.D., Fleck J.A. Light Propagation in Graded-Index
Optical Fibers // Appl. Opt., 1978. Vol. 17 (24). PP. 39903998
3. Okoshi T., Kitazawa S. The Beam Propagation Method //
Analysis methods for electromagnetic wave problems.
Editor E. Yamashita, Artech House, 1990. Chapter 10.
4. Huand W. et al. The Finite-Difference Vector Beam
Propagation Method: Analysis and Assesment // J. of
Lightwave Technology, 1992. Vol. 10 (3).
5. Lu Y.Y. Some Techniques for Computing Wave Propagation in Optical Waveguides // Communications in Computational Physics, 2006. Vol. 1. PP. 1056-1075.
6. Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов. –
М.: Радио и связь, 1987
7. Методы компьютерной оптики / Под ред.
В.А.Сойфера. – М.: Физматлит, 2003. – 688с.
8. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн
- М.: Наука, 1977. - 832 с.
9. Стрилец А. С., Хонина С. Н. Исследование распространения лазерных пучков в параболическом оптическом волокне с помощью интегрального параксиального оператора / Компьютерная оптика, 2007. Том 31 № 4. – С.33-39.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа