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Составление плана работ на основе системы дизъюнктов разностного типа.

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ТРУДЫ БГТУ. 2014. ? 6. Физико-математические науки и информатика. С. 131?134
131
??? 512.8,681.55
?. ?. ??????, ???????? ??????????? ????, ?????? (????);
?. ?. ?????????, ????????????? (????); ?. ?. ??????, ????????????? (????)
??????????? ????? ????? ?? ?????? ??????? ??????????
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? ?????? ??????????? ?????? ?????????? ?????????? ?????????? ????? ?? ?????? ?????????? ??????, ?????????????? ???????? ?????????? ??????????? ????. ? ??????? ?????? ?????????? ??????????? ???? ????? ????????? ????????? ???????????? ??????, ???????? ?????????? ?????? ??????????, ???????????????? ???????, ?????? ???????????? ????? ? ??. ????????? ???????? ?????? ???? ?????????? ????. ??????????? ????? ??????? ??????? ?????? ?
??????????????? ???????????? ??? ??????????.
The paper considers a problem of making a time-table for a set of jobs which is based on the formal
model represented by a system of difference disjuncts. With the help of difference disjunct systems one
can describe a behavior of the dynamic systems, e.g. the discrete type control systems, intelligent robots, job planning systems etc. A time parameter plays a role of the time step. The general principle of
solving difference disjunct systems alongside with the corresponding illustration are given.
????????. ? ?????? [1] ??? ????????? ?????
??????? ?????????? ?????????? ???????? ? ???????? ?????? ????????? ?? ?????? ???????
????????????? ???????????. ??????? ?????????
??????? ???????? ? ?????? ?????????? ? ?????
?????????? ? ?????????? ??????? t, ??????????????? ????? ????, ???????????? ??????????.
?????? ??????????????? ?????? ??????? ??????? ???????, ???, ??????????, ????????????
???????? ???????. ????? ???? ?????? ????????
????????? ???????, ??????????? ? ?????? [1] ??
?????? ?? ??????????? ??????? ???????? ???????. ????? ?????? ????? ????? ??? ???????
????? ??????????? ??????????, ????????. ???
???????? ???????? ??????? ????? ?? ??????
??????? ????????? ??????????? ????.
?????????? ??????????? ???? (??????????
??????????) ??????? ??????? ????
x1?1 (t + k1 ) ? x2? 2 (t + k2 ) ? ... ? xm?m (t + km ) , (1)
??? k1 , k2 , ..., km ? ????? ????????????? ?????
?? ????????? ?????????;
xi?i = xi ??? ?i = 1;
xi?i
(3)
????????, ???????? x1 (?), x2 (?), x3 (?) ??????
????????????? (2), ???? ????????????? ????????, ??????????? ???? ???????? ??????. ????????? ??????? ????? ????????? ?????????
????????? ?????????? (3). ??? ?????????? ????? ??????? ??????? ???? (2), ???????????
????? ????? ?????????? ??????????.
??????. ?????????? ?????? ???????????
????? ?????. ??????? ?????? ?????? A1, A2, A3,
A4. ?????? A1 ?????? ??????????? ????? ?????? A2 . ?????? A4 ?????? ??????????? ?????
?????? A3 . ???? ?????? A1 ??????????? ??????, ?? ?????? A4 ?? ????? ??????????? ??????. ????? ???? ?????????? ?????, ??????????????? ????????? ????????. ???????? ?????????? ???????:
A2 (t + 1) ? A1 (t );
A2 (t + 2) ? A1 (t ) ? A1 (t + 1);
A4 (t + 1) ? A3 (t );
A3 (t ) ? A2 (t + 2);
t ? ????????? ???????? (????? ????).
? ???????? ??????????? ??????? ???????
x1 (t ) ? x2 (t + 1);
x2 (t + 1) ? x3 (t + 2);
x(t) = (x1(t), x2(t), ?, xn(t).
A4 (t + 2) ? A3 (t ) ? A3 (t + 1);
= xi ??? ?i = 0;
x2 (t ) ? x3 (t );
x(0) ? x(1) ? ? ? x(k);
A1 (t + 1) ? A4 (t );
A1 (t ) ? A2 (t ) ? A3 (t ) ? A4 (t );
A1 (t ) ? A2 (t );
(2)
x1 (t ) ? x1 (t + 1) ? x3 (t + 2).
?????????????? xi (t ') ??? ?????????? ????????? ??????? ? ?????? (?? ????) t '. ?????
???????, ????????? (??????????) ??????? ???????????? ???????????????????? ????????? ????
A1 (t ) ? A3 (t );
A1 (t ) ? A4 (t );
A2 (t ) ? A3 (t );
A2 (t ) ? A4 (t );
A3 (t ) ? A4 (t ).
(4)
132
О. В. Герман, О. И. Садовская, Ю. О. Герман
?????? ?????? ?????????? ???????? ??????? ????????? ????????????? ? ???????????
?????? ?????????? ??????????. ????????
?????? ????? ????????? ?????????? ?? ????????, ????????, ??? ???????????? ?????????????? ?????????, ?????????? ????????????
??????????, ?????????? ? ???????? ?????????? ? ??.
???????? ? ????? ??????? ???? ???????
????? ? ???????? ????????? ? ???????????????? ???????? [2, 3].
??????????? ? ??????????????. ???????
?????????? ?????????? ??????? ????????????,
???? ?????? ???????? «?????????» ?? ????
?????????? (3).
? ???????????? ??????? ?????? ????????
????????? ???????? ?????-?? ?????????? ? ??????? ?????? ?? ?????????? ?????????? ?
??????? ??????? ? (???) ? ??????? ???????.
???? ??????? ?????? ?? ????????, ?? ??? ??????, ??? ?????????? (3) ?????????? ?? ???? z,
??? ???????? ?????????? ??????? ? ?????? z + 1
???????????.
?????????? ???????? x2 (t ) ? x3 (t ). ????????, ?????? ??????????? ?????????:
????????? ????? ???????????. ?????????? ????? ???????, ?????????? ? [1?3]. ??????? ????????? ?? ???? ????????? ????
xi?i (t + k ) , ??? k > 1. ???, ????????? ?? ????????
x3 (t + 2) ( x3 (t + 2)). ? ???? ????? ?????? ???
????????? ????????????????? ???????????
?????????? (5) ? ?????????? ????? ?????????
x3 (t + 2) ( x3 (t + 2)). ??????????? ??????????? ??????????? ? ???????, ? ???? ???????????? ?????????, ????????????? ? ??????????
??????????, ????????. ?????????, ?? ????????????? ? ?????????? ??????????, ???????????
? ????? ??????? ?????????????. ??????? ????? ???????:
x2 (t + 1) ? x3 (t + 1);
x1 (t ) ? x2 (t + 1);
x2 (t + 2) ? x3 (t + 2).
? ???????????????? ? ???????????? ??????? ???? z = 2 ????????, ??????? ???????
x2 (1) ? x3 (1) ? x2 (2) ? x3 (2). ??????? ? ????
??????, ??? ???????? x2 (t ) ? x3 (t ) ?????????
??????????????? ????????? x2 (t + 1) ? x3 (t + 1)
? x2 (t + 2) ? x3 (t + 2) .
? ?? ?? ????? ????????
x1 (t ) ? x1 (t + 1) ? x3 (t + 2)
?? ????? ??????????????? ??????????. ?? ?????????? ????, ??? ????????
x2 (t + 1) ? x3 (t + 2)
x1 (t + 1) ? x2 (t + 2);
x2 (t ) ? x3 (t );
x2 (t + 1) ? x3 (t + 1);
x2 (t + 2) ? x3 (t + 2);
(5)
x2 (t + 1) ? x3 (t + 2),
x2 (t ) ? x3 (t + 1);
x1 (t ) ? x1 (t + 1) ? x3 (t + 2).
x1 (t + 1) ? x2 (t + 2);
x2 (t ) ? x3 (t );
x2 (t + 1) ? x3 (t + 1);
(6)
x2 (t + 1) ? x2 (t + 2);
x2 (t ) ? x3 (t + 1);
x1 (t ) ? x1 (t + 1) ? x2 (t + 1).
?????? ????????? ?? ???????? x2 (t + 2)
( x2 (t + 2)). ??????? ????? ??????? ??????????
??????????:
x1 (t ) ? x2 (t + 1);
x2 (t ) ? x3 (t );
x2 (t + 1) ? x3 (t + 1);
(7)
? ???????????? ??????? ????????? ??????????????? ???????? x2 (t ) ? x3 (t + 1) .
??????? ?????????? ?????????? ?????????? ???????????, ????, ??-??????, ??? ?????????? (??? ???? ?????? t = 0, 1, 2, ? , k) ?, ????????, ??? ??????? ????????? ? ???????
?????????? ??????????????? ???????????
????????? (???? ??????????????? ?????????
????? ???? ?????????).
????? ????? ???? ?????? ? ????????????
??????????? ?????????. ??????? (2) ???????? ?? ??????????? ??????? ?????????? ????:
??????????? ???????? ????????? ?????????
???????? ????????? ?????????: ????? ??????? ??????? (7) ????? ???? ????????? ?? ??????? ??????? (5), ? ????? ??????? ??????? (5)
???????? ??????? ??????? (7) (??????????,
???? ??????? (5) ?????????).
?????? ????????????? ??????? ????????????? ??????????? [3]. ??????? ??????????
x1 (t ) ? x2 (t + 1);
x2 (t + 1) = x1 (t ) ? ?1 (t ),
x1 (t + 1) ? x2 (t + 1);
x2 (t ) ? x3 (t + 1).
(8)
Составление плана работ на основе системы дизъюнктов разностного типа
??? ?1 (t ) ? ?????????????? ??????????. ??????????? (8) ? ???????? ??, ?????????? ?????,
????????? ???. ???? ???????? ??????? xm (t + 1)
??? ?????????, ?? ???? ??? ????????? F1, F2, ?,
Fr, ??? ?????? ??????? ?????? ? ??????????, ?
?????????? ??????????? ? ????? ???? ?????
???????:
xm (t + 1) = f1 ? f 2 ? ... ? f r ? ? m (t ),
??? ? m (t ) ? ????? ??????????; fr ? ????? ????????? Fr, ?????????? ????????????? ?? Fr ???????? xm (t + 1) . ?????????? ????? ????????
??????????? ??? xm (t + 1) , ??? ???? ???? ???????????? ?????????, ?????????? ???????
xm (t + 1) ??? ?????????.
????????? (8) ? (7) ? ???????
133
?????????? ?????????? ???????? ??????? (5).
? ???????? ??????????? ???????? ?????-??????
??????????. ??????? ????????? ?????????,
??????????????? (13), ????????:
x1 (0) = x2 (0) = x3 (0) = ?1 (0) = ? 2 (0) = 1.
????? ??????????? (8), (10), (12) ????
x1 (1) = 0, x2 (1) = 0, x3 (1) = 1.
????????? ??? ???????? ? (13), ???????
?1 (1);
(14)
?1 (1) ? ?2 (1).
x2 (t ) ? x3 (t );
???????, ????????, ?1 (1) = ? 2 (1) = 1. ?????? ??????
x1 (t ) ? x1 (t + 1);
x1 (2) = 1, x2 (2) = 1, x3 (2) = 0.
?1 (t ) ? x1 (t + 1);
x1 (t ) ? x3 (t + 1);
(9)
??? ???????? ?????, ????????,
?1 (t ) ? x3 (t + 1);
?1 (2) = ? 2 (2) = 1;
x2 (t ) ? x3 (t + 1).
x1 (3) = 0, x2 (3) = 0, x3 (3) = 1.
??????? ????????? ???????????:
x3 (t + 1) = x2 (t ) ? ? 2 (t ).
??????? ?????????? ????
(10)
??????? (9) ????????????? ? ????
x2 (t ) ? x3 (t );
x1 (t ) ? x1 (t + 1);
?1 (t ) ? x1 (t + 1);
x1 (t ) ? x2 (t );
(11)
x1 (t ) ? ?2 (t );
?1 (t ) ? x2 (t );
?1 (t ) ? ?2 (t ).
??????? ??????? ? ??????????. ??????? ??? ????????????? ????????, ????????
???????? ??????? ??????????? ??? ??????? ?
??????????. ???????, ??? ???? ??????????
Ai (t ) =0, ?? ?? ????? t ?????? Ai ?? ???????????. ??? ??????????? ?????????? ?????????????? ??????? ????? ???????, ????????? ????????? ??? ?????????? ???????????? ??
??????????:
A3 (t + 1) ? A4 (t ) ? A4 (t + 1) ? A1 (t + 1);
(12)
??????? (11) ????????? ????????? ???????? ???:
x2 (t ) ? x3 (t );
x1 (t ) ? x2 (t );
x1 (t ) ? ?2 (t );
(1, 1, 1) ? (0, 0, 1) ? (1, 1, 0) ? (0, 0, 1).
A2 (t + 1) ? A1 (t ) ? A1 (t + 1) ? A3 (t + 1) ? A4 (t + 1);
???????? ????????? ???????????:
x1 (t + 1) = x1 (t ) ? ?1 (t ) ? ? 2 (t ).
(15)
(13)
?1 (t ) ? x2 (t );
?1 (t ) ? ?2 (t ).
????, ???? ??????????: ??????? (13) ??????
? ????????????? (8), (10), (12) ?????????? ???
A1 (t + 1) ? A4 (t ) ? A4 (t + 1);
(16)
A4 (t + 1) ? ( A1 (t ) ? A4 (t )) ? ( A1 (t ) ? A4 (t )).
???????, ??? ??????????? (16) ?? ?????????? ??????????????? ??????????, ?????????
??? ?????????? ????? (????) ?????????? ???????. ????????? ??????????
A1 (0) = A2 (0) = A3 (0) = 0,
A4 (0) = 1,
??????????????? ????????? ????????, ??????? ???????????? ??? ??????? ? ????? ????????? ?? ????????? ????????? ???????
134
О. В. Герман, О. И. Садовская, Ю. О. Герман
(0, 0, 0, 1) ? (1, 0, 0, 0) ? (0, 1, 0, 0) ?
? (0, 0, 1, 0).
??????????. ???????, ????????? ? ??????????? ??????? ? ????????????? ????, ?? ???????? ????????????. ??????? ??????? ?????
???? ??????????? ? ???????? ? ????? ??????.
??? ???? ?????????? ?????????? ???????
??????????, «??????????» ?? ???????????????
????. ? ???? ?????? ?????????? ????????? ????? ?????????? ?(t), ???????? ? ????????????.
?????????? ??????? ????????????? ? ??????????? ????, ??? ??? ?? ???? ??????? ???????? ???? ?? ?????.
??????????
1. ?????? ?. ?., ????????? ?. ?. ?????
??????? ????????? ???????????????? ??????? //
????? ????. 2013. ? 6: ???.- ???. ????? ? ???????????. ?. 139?142.
2. ?????? ?. ?., ??????? ?. ?. ???? ????????????? ?????????? ?????? ??????? ????????? ????????????????? ?????? // ?????????? ?
????????????. 2001. ? 2. ?. 15?24.
3. ??????? ?., ??????? ?. ???????? ???????????? ???????. ?.: ???????????????,
1966. 396 c.
????????? 04.03.2014
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