close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сравнение алгоритмов одного класса вполне регулярных процессов отсечения.

код для вставкиСкачать
Ма▓ема▓и╖е▒кие
▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование
1999. В╗п. 4, ▒.23-33.
УДК 519.8
СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ОДНОГО
КЛАССА ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ
ПРОЦЕССОВ ОТСЕЧЕНИЯ
А.Л. Ев▒▓и┤еева
In this paper, we pose and discuss a number of questions about the cutting
planes algorithm for trying to solve integer programming problems.
1. Введение
П│▒▓╝ Rn - n-ме░ное ве╣е▒▓венное п░о▒▓░ан▒▓во, Z n - множе▒▓во его ╢ело╖и▒ленн╗╡ ▓о╖ек (век▓о░ов). Зада╖а ╢ело╖и▒ленного п░ог░амми░овани┐ (ЦП)
може▓ б╗▓╝ ▒┤о░м│ли░ована ▒лед│╛╣им об░азом:
f (x) ! max;
(1:1)
x 2 M Rn ;
x 2 Z n;
(1:2)
(1:3)
▓о е▒▓╝ н│жно най▓и x, мак▒имизи░│╛╣ий f (x), п░и │▒ловии, ╖▓о x ╢ело╖и▒ленн╗й.
Сложно▒▓╝ ░е╕ени┐ зада╖ ЦП ▒│╣е▒▓венно оп░едел┐е▓▒┐ ▒вой▒▓вами ╢елевой ┤│нк╢ии (1.1) и доп│▒▓имой обла▒▓и (1.2)-(1.3). Наиболее из│╖енн╗ми ┐вл┐╛▓▒┐ зада╖и ╢ело╖и▒ленного линейного п░ог░амми░овани┐ (ЦЛП), │ ко▓о░╗╡
┤│нк╢и┐ (1.1) линейна, а M задае▓▒┐ коне╖ной ▒и▒▓емой линейн╗╡ │░авнений
и не░авен▒▓в.
На▒ ин▓е░е▒│е▓ зада╖а ЦП в лек▒иког░а┤и╖е▒кой по▒▓ановке. О▓но╕ение
лек▒иког░а┤и╖е▒кого
┤│нк╢ии :
n по░┐дка введем ▒ помо╣╝╛
o
(x; y) = min i j xi 6= yi; i = 1; : : :; n , x; y 2 Rn , x 6= y - номе░ пе░вой
коо░дина▓╗ ░азли╖и┐ ▓о╖ек x и y.
c 1999 А.Л. Ев▒▓и┤еева
E-mail: siman@univer.omsk.su
Ом▒кий го▒│да░▒▓венн╗й │ниве░▒и▓е▓
24
А.Л. Ев▒▓и┤еева. С░авнение алго░и▓мов одного кла▒▒а...
Оп░еделение .
Век▓о░ x лек▒иког░а┤и╖е▒ки бол╝╕е (мен╝╕е) век▓о░а y,
x y (x y), е▒ли x 6= y и x! > y! (x! < y! ) дл┐ ! = (x; y).
Без ог░ани╖ени┐ об╣но▒▓и, зада╖│ ЦП в лек▒иког░а┤и╖е▒кой по▒▓ановке
оп░еделим как зада╖│ пои▒ка:
z = lexmax(
\ Z n); Rn :
(1:4)
С│╣е▒▓в│╛╣ие под╡од╗ к ░е╕ени╛ зада╖ ЦП до▒▓а▓о╖но ░азнооб░азн╗.
К ним о▓но▒┐▓▒┐ ме▓од о▓▒е╖ени┐, ме▓од ве▓вей и г░ани╢, динами╖е▒кое п░ог░амми░ование и д░. П░ин╢ип ме▓ода о▓▒е╖ени┐ закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о доп│▒▓има┐ обла▒▓╝ ди▒к░е▓ной зада╖и пог░│жае▓▒┐ в неко▓о░ое в╗п│клое множе▒▓во, ко▓о░ое по▒ледова▓ел╝но └об░езае▓▒┐┴ ▒ помо╣╝╛ вводим╗╡ линейн╗╡
ог░ани╖ений (о▓▒е╖ений) до пол│╖ени┐ неп░е░╗вной зада╖и ▒ необ╡одим╗ми
▒вой▒▓вами.
Ме▓од╗ о▓▒е╖ени┐ ░азли╖а╛▓▒┐ межд│ ▒обой в╗бо░ом ░елак▒а╢ионного
множе▒▓ва и ▒по▒обом по▒▓░оени┐ ог░ани╖ений [8]. В данной ░або▓е б│д│▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ линейн╗е о▓▒е╖ени┐, ко▓о░╗е ▒▓░о┐▓▒┐ на о▒нове L-░азбиений
п░о▒▓░ан▒▓ва Rn .
2. Рег│л┐░н╗е о▓▒е╖ени┐ и алго░и▓м╗
Б│дем п░едполага▓╝, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ x = lexmax(
); x 62 Z n .
Оп░еделение .
Линейное не░авен▒▓во (; x) 0 наз╗вае▓▒┐ о▓▒е╖ением
(дл┐ зада╖и (1.4)), е▒ли (; x) > 0 и (; z) 0 дл┐ в▒е╡ z 2 \ Z n.
Заме╖ание . Линейное не░авен▒▓во (; x) 0 оп░едел┐е▓▒┐ ▒воими ко╜┤┤и╢иен▓ами i ; i = 1; : : :; n; 0, , по╜▓ом│ б│дем а▒▒о╢ии░ова▓╝ его ▒ век▓о░ом
= (0; 1; : : :; n ) Rn+1 .
Че░ез A обозна╖им п░о╢е▒▒ о▓▒е╖ени┐ (без о▓б░а▒╗вани┐ не░авен▒▓в) дл┐
░е╕ени┐ зада╖и (1.4), и▒пол╝з│╛╣ий на каждом ╕аге коне╖н│╛ ▒овок│пно▒▓╝
о▓▒е╖ений G. Под░обнее ╜▓о▓ п░о╢е▒▒ в╗гл┐ди▓ ▓ак :
Шаг 0. Полагаем 1 = .
k-┐ и▓е░а╢и┐.
Шаг 1. На╡одим xk = lexmax
k . Е▒ли xk 2 Z n или k = ;, ▓о п░о╢е▒▒ заве░╕ае▓▒┐. В пе░вом ▒л│╖ае пол│╖ено оп▓имал╝ное ░е╕ение зада╖и (1.4), во
в▓о░ом - ░е╕ени┐ не▓.
Шаг 2. В╗би░аем
коне╖н│╛ ▒овок│пно▒▓╝ не░авен▒▓в
Gxk . Полагаем k+1 =
n
o
k \ x 2 Rn j (; x) 0 дл┐ в▒е╡ 2 Gxk . Увели╖иваем k на 1 и пе░е╡одим к (k + 1)-й и▓е░а╢ии (на ╕аг 1).
Б│дем гово░и▓╝, ╖▓о п░о╢е▒▒ A ░е╕ае▓ зада╖│ (1.4), е▒ли он за коне╖ное ╖и▒ло
и▓е░а╢ий либо на╡оди▓ z, либо │▒▓анавливае▓ о▓▒│▓▒▓вие доп│▒▓им╗╡ ░е╕ений.
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
25
То╖ки x; y 2 Rn б│дем наз╗ва▓╝ L-╜квивален▓н╗ми, е▒ли не
▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акой z 2 Z n, ╖▓о либо x z y, либо x z y.
L-╜квивален▓но▒▓╝ ┐вл┐е▓▒┐ о▓но╕ением ╜квивален▓но▒▓и. По░ождаемое им
┤ак▓о░ - п░о▒▓░ан▒▓во Rn =L наз╗вае▓▒┐ L-░азбиением п░о▒▓░ан▒▓ва Rn , а его
╜лемен▓╗ - L-кла▒▒ами. L-░азбиение п░о▒▓░ан▒▓ва е▒▓е▒▓венн╗м об░азом инд│╢и░│е▓ L-░азбиение п░оизвол╝ного множе▒▓ва S Rn , ко▓о░ое обозна╖им
S=L.
О▓ме▓им неко▓о░╗е ▒вой▒▓ва L-░азбиени┐[2]:
Оп░еделение .
1) В▒┐ка┐ ╢ело╖и▒ленна┐ ▓о╖ка об░аз│е▓ о▓дел╝н╗й L-кла▒▒; о▒▓ал╝н╗е Lкла▒▒╗ ▒о▒▓о┐▓ ▓ол╝ко из не╢ело╖и▒ленн╗╡ ▓о╖ек и наз╗ва╛▓▒┐ д░обн╗ми.
2) Е▒ли V 2 Rn =L - д░обн╗й L-кла▒▒, ▓о ▒│╣е▒▓в│╛▓ ▓акие r 2 f1; : : : ; ng и
aj 2 Z; j = 1; : : : ; r, ╖▓о
V=
n
x 2 Rn jxj
o
= aj ; j = 1; : : : ; r 1; ar < xr < ar + 1 :
3) Е▒ли S Rn ог░ани╖ено, ▓о S=L - коне╖но.
4) L-░азбиение ▒огла▒овано ▒ лек▒иког░а┤и╖е▒ким по░┐дком в ▓ом ▒м╗▒ле,
╖▓о е▒ли V1; V2 2 Rn =L и x1 y1 дл┐ неко▓о░╗╡ x1 2 V1; y1 2 V2, ▓о x y
дл┐ в▒е╡ x 2 V1; y 2 V2.
О▒об╗й ин▓е░е▒ в зада╖е (1.4) п░ед▒▓авл┐е▓ множе▒▓во:
n
o
= x 2 jx z; 8z 2 \ Z n ;
наз╗ваемое д░обн╗м нак░╗▓ием зада╖и (1.4). Оно в неко▓о░ом ▒м╗▒ле ╡а░ак▓е░из│е▓ └░а▒▒▓о┐ние┴ межд│ неп░е░╗вн╗м и ╢ело╖и▒ленн╗м оп▓им│мами зада╖и
(1.4). Фак▓о░-множе▒▓во =L б│дем наз╗ва▓╝ L-нак░╗▓ием зада╖и (1.4).
О▓▒е╖ение наз╗вае▓▒┐ ░ег│л┐░н╗м, е▒ли (; x) > 0 дл┐
в▒е╡ x 2 Vx(
), где Vx(
) - L-кла▒▒ множе▒▓ва , ▒оде░жа╣ий ▓о╖к│ x.
Двой▒▓венн╗е д░обн╗е п░о╢е▒▒╗ о▓▒е╖ени┐ (▒м. [3]), и▒пол╝з│╛╣ие на каждой и▓е░а╢ии ░ег│л┐░н╗е о▓▒е╖ени┐, наз╗ва╛▓▒┐ ░ег│л┐░н╗ми.
Свой▒▓ва L-░азбиений позвол┐╛▓ пол│╖а▓╝ в ▓е░мина╡ L-кла▒▒ов о╢енки
╖и▒ла и▓е░а╢ий ░ег│л┐░н╗╡ п░о╢е▒▒ов. Дл┐ ╜▓ого введем оп░еделение.
Оп░еделение .
Гл│биной H ( ; ) о▓▒е╖ени┐ (о▓но▒и▓ел╝но зада╖и (1.4))
наз╗вае▓▒┐ коли╖е▒▓во полно▒▓╝╛ и▒кл╛╖аем╗╡ им ╜лемен▓ов L-нак░╗▓и┐.
Оп░еделение .
[4] П│▒▓╝ дл┐ в▒е╡ о▓▒е╖ений ░ег│л┐░ного п░о╢е▒▒а в╗полн┐е▓▒┐ не░авен▒▓во H ( ; t) h, где t - множе▒▓во, пол│╖енное на t-й и▓е░а╢ии. Тогда ╖и▒ло и▓е░а╢ий ╜▓ого п░о╢е▒▒а закл╛╖ено межд│ ╖и▒лами h1 j
=Lj
и j
=Lj.
Тео░ема 2.1.
26
А.Л. Ев▒▓и┤еева. С░авнение алго░и▓мов одного кла▒▒а...
О▓ме▓им, ╖▓о п░иведенное в╗╕е ▒вой▒▓во L-░азбиени┐ под номе░ом 3) обе▒пе╖ивае▓ коне╖но▒▓╝ ░ег│л┐░н╗╡ п░о╢е▒▒ов п░и ог░ани╖енном . Н│жно ▒каза▓╝, ╖▓о пол│╖ение не▓░ивиал╝ной ве░╡ней о╢енки дл┐ гл│бин о▓▒е╖ений ┐вл┐е▓▒┐ до▒▓а▓о╖но ▓░│дной зада╖ей. Одним из кла▒▒ов о▓▒е╖ений, дл┐ ко▓о░╗╡
▓ака┐ о╢енка по▒▓░оена, ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒ P -о▓▒е╖ений [3], ▒оде░жа╣ий в ▒ебе
вполне ░ег│л┐░н╗е о▓▒е╖ени┐ .
P -о▓▒е╖ени┐ оп░едел┐╛▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом . П│▒▓╝ задан па░аллелепипед
n
o
P = x 2 Rn jaj xj bj ; j = 1; : : : ; n ;
где aj ; bj 2 R, j = 1; : : :; n. Ра▒▒мо▓░им кла▒▒ зада╖ (1.4), │довле▓во░┐╛╣и╡
│▒лови┐м : P , x = lexmax
, x 62 Z n .
Оп░еделение .
Рег│л┐░ное о▓▒е╖ение наз╗вае▓▒┐ P -о▓▒е╖ением, е▒ли
(; z) 0 дл┐ в▒е╡ ▓аки╡ z 2 P \ Z n, ╖▓о z x. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ие п░о╢е▒▒╗
о▓▒е╖ени┐ наз╗ва╛▓▒┐ P -п░о╢е▒▒ами .
Тео░ема 2.2. [3] П│▒▓╝ P , - P -о▓▒е╖ение .Тогда H ( ; t) n.
P -о▓▒е╖ение наз╗вае▓▒┐ вполне ░ег│л┐░н╗м о▓▒е╖ением
(о▓но▒и▓ел╝но ▓о╖ки x и па░аллелепипеда P ), е▒ли (; x) > 0 дл┐ в▒е╡
x 2 Vx(P ), где Vx (P ) - L-кла▒▒ па░аллелепипеда P , ▒оде░жа╣ий ▓о╖к│ x. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ие п░о╢е▒▒╗ о▓▒е╖ени┐ назовем вполне ░ег│л┐░н╗ми. Кла▒▒ вполне
░ег│л┐░н╗╡ о▓▒е╖ений б│дем обозна╖а▓╝ ╖е░ез =(x; P ).
У▒ловие, ▒┤о░м│ли░ованное в данном оп░еделении, обе▒пе╖ивае▓ оп░еделенн│╛ └▒ил│┴ вполне ░ег│л┐░н╗╡ о▓▒е╖ений, ибо ▓о╖ка x должна о▓▒ека▓╝▒┐ вме▒▓е ▒ неко▓о░╗м неп│▒▓╗м множе▒▓вом Vx (P ). В ▓о же в░ем┐, │▒ловие ▒о╡░анени┐ ▓о╖ек z 2 P \ Z n, z x, нап░о▓ив, делае▓ о▓▒е╖ени┐ кла▒▒а =(x; P )
└о▒▓о░ожн╗ми┴. На ▒егодн┐ о▓▒│▓▒▓в│е▓ кон▒▓░│к▓ивное опи▒ание кла▒▒а P о▓▒е╖ений. Дл┐ кла▒▒а =(x; P ) ▓акое опи▒ание пол│╖ено в [6].
Оп░еделение .
3. С░авнение вполне ░ег│л┐░н╗╡ о▓▒е╖ений
Введем ▒лед│╛╣ие
n обозна╖ени┐ :
o
'(x) = min ijxi 6= bxic ; i = 1; : : : ; n , дл┐ x 62 Z n , - номе░ пе░вой д░обной
коо░дина▓╗ ▓о╖ки x;
дл┐ x 2 P nZnn положим
o
J (x; P ) = j jxj = aj ; 1 j '(x) 1 ;
n
o
J0(x; P ) = j jaj < xj < bj ; 1 j '(x) 1 ;
n
o
J+ (x; P ) = j jxj = bj ; 1 j '(x) 1 ;
n
o
k
J (x; P ) = j 2 J (x; P )jj > k ;
n
o
n
o
Jk (x; P ) = j 2 J (x; P )jj < k ; где 2 ; 0; + .
П│▒▓╝ P , и ▒│╣е▒▓в│е▓ x = lexmax
, x 62 Z n.
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
27
Тео░ема 3.1.
[6] О▓▒е╖ение (; x) 0 ┐вл┐е▓▒┐ вполне ░ег│л┐░н╗м (о▓но▒и▓ел╝но ▓о╖ки x и па░аллелепипеда P ) ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда его
ко╜┤┤и╢иен▓╗ │довле▓во░┐╛▓ │▒лови┐м :
1) '(x) > 0;
2) k = 0 дл┐ в▒е╡ k > '(x);
3)
k X
j 2J0k (x;P )
j (bj xj ) +
X
j 2J k (x;P );j >0
j (bj xj ) + '(x) b'(x)
x ;
'(x)
дл┐ в▒е╡ k 2 J0(x; P ) [ J+(x; P );
4) 0 = (; bxc), где bxc = (bx1c ; : : :; bxnc).
П│▒▓╝ - о▓▒е╖ение
вида (; x)o 0. Положим
n
Qp( ) = x 2 P j(; x) 0 - множе▒▓во ▓о╖ек па░аллелепипеда P , ▒о╡░ан┐ем╗╡ о▓▒е╖ением .
Оп░еделение .
Б│дем гово░и▓╝, ╖▓о о▓▒е╖ение ; не ▒ил╝нее о▓▒е╖ени┐ ,
е▒ли Qp( ) Qp( ;).
Из ▓ео░ем╗ 3.1 ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ в▒┐кого вполне ░ег│л┐░ного о▓▒е╖ени┐ в╗бо░ ко╜┤┤и╢иен▓ов k п░и k 2 J (x; P ) п░оизволен. В╗делим в =(x; P ) подкла▒▒
n
o
U (x; P ) = 2 =(x; P )jk 0; k 2 J (x; P ) :
[7] Дл┐ в▒┐кого 2 =(x; P ) ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акое ; 2 U (x; P ),
╖▓о не ▒ил╝нее, ╖ем ;.
Лемма 3.1.
О▓▒е╖ени┐ ; ; 2 U (x; P ) назовем -╜квивален▓н╗ми, е▒ли
п░и k 2 J (x; P ) [ J0(x; P ).
Э▓о о▓но╕ение ┐вл┐е▓▒┐ о▓но╕ением ╜квивален▓но▒▓и и, ▒ледова▓ел╝но, по░ождае▓ ┤ак▓о░-множе▒▓во U (x; P )=. В каждом кла▒▒е ╜квивален▓но▒▓и в╗делим по одном│ п░ед▒▓ави▓ел╛ ,оп░еделенном│ │▒ловием
X k =
j (bj xj ) + '(x)(b'(x) x'(x) ); п░и k 2 J+:
(3:1)
Оп░еделение .
k = k; ,
j 2J0k [J k
Легко доказа▓╝, ╖▓о л╛бое о▓▒е╖ение из ╜лемен▓а ┤ак▓о░-множе▒▓ва
U (x; P )= не ▒ил╝нее ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его о▓▒е╖ени┐ . Об║единим ╜▓и └▒ам╗е
▒ил╝н╗е┴ о▓▒е╖ени┐ в ▒амо▒▓о┐▓ел╝н╗й подкла▒▒, ко▓о░╗й обозна╖им ╖е░ез
U (x; P ) . О▓ме▓им дл┐ ┐▒но▒▓и, ╖▓о 2 U (x; P ) ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда 2 U (x; P ) и │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ (3.1). О╖евидна ▒лед│╛╣а┐ ▓ео░ема
Тео░ема 3.2. [7] Дл┐ л╛бого 2 =(x; P ) ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акое ; 2 U (x; P ) ,
╖▓о не ▒ил╝нее, ╖ем ;.
28
А.Л. Ев▒▓и┤еева. С░авнение алго░и▓мов одного кла▒▒а...
4. С░авнение вполне ░ег│л┐░н╗╡ п░о╢е▒▒ов,
о▒нованн╗╡ на о▓▒е╖ени┐╡ кла▒▒ов ( ) и
U
U x; P
(x; P )
П│▒▓╝ (~x; P ) - о▓▒е╖ени┐ (; x bx~c) 0, ко╜┤┤и╢иен▓╗ ко▓о░╗╡ │довле▓во░┐╛▓ ▒лед│╛╣им │▒лови┐м:
1. k = 0 п░и k 2 J (~x; P );
2.
k =
3.
k X
j 2J0k (~x;P )
X
j 2J0k (~x;P )
x~ ; дл┐ в▒е╡ k 2 J (~x; P );
0
'(~x)
x~ ; дл┐ в▒е╡ k 2 J (~x; P ):
0
'(~x)
j (bj x~j ) + '(~x) b'(~x)
j (bj x~j ) + '(~x) b'(~x)
П│▒▓╝ вполне ░ег│л┐░н╗й п░о╢е▒▒ A (дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и (1.4)) и▒пол╝з│е▓
на каждом i-ом ╕аге неко▓о░ое о▓▒е╖ение из ▒овок│пно▒▓и вполне ░ег│л┐░н╗╡
о▓▒е╖ений (xi; P ) кла▒▒а U (x; P )=, где xi = lexmax
i.
Че░ез A обозна╖им вполне ░ег│л┐░н╗й п░о╢е▒▒, и▒пол╝з│╛╣ий на каждом
╕аге о▓▒е╖ение (xi; P ) из кла▒▒а U (x; P ), ко╜┤┤и╢иен▓╗ ко▓о░ого │довле▓во░┐╛▓ │▒лови┐м:
1. k = 0 п░и k 2 J (xi; P );
2.
k =
3.
k =
X
j 2J0k (xi ;P )
X
j 2J0k (xi ;P )
j(bj
j
j
xij ) + '(xi)
b'(xi)
j(bj xij ) + '(xi) b'(xi)
xi'(xi)
k
; дл┐ в▒е╡ k 2 J0(xi; P );
k
xi'(xi) ; дл┐ в▒е╡ k 2 J+ (xi; P ):
Я▒но, ╖▓о о▓▒е╖ение (xi; P ) о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ (3.1) нали╖ием │▒лови┐ 2. В╗┐▒ним, как в╗гл┐д┐▓ ко╜┤┤и╢иен▓╗ о▓▒е╖ени┐ (xi; P ).
П│▒▓╝ кла▒▒ J0(xi; P ) ▒оде░жи▓ p индек▒ов, ▓.е. J0(xi; P ) = fj1; : : : ; jpg. Тогда, полага┐ '(xji) = 1,kиз 2. пол│╖им
jp = b'(xi) xi'(xi) ;
jp
1
= jp (bjp
xijp ) + b'(xi)
j
xi'(xi)
k = b'(xi)
j
xi'(xi)
k
(bjp xijp + 1);
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
jp = jp (bjp
2
= b'(xi)
j
1
xi'(xi)
= b'(xi)
1
1
k
j
(bjp xijp + 1)(bjp
k
j
= b'(xi)
xi'(xi)
1
k Y
l2J0jp
k
xi'(xi) =
xijp ) + bjp xijp + 1 =
1
xi'(xi) (bjp xijp + 1)(bjp
j
xijp ) + jp (bjp xijp ) + b'(xi)
29
xijp + 1) =
1
1
(bl xil + 1):
2
П░одолжа┐ аналоги╖н╗е в╗кладки дл┐ каждого jp i , i = 3; : : : ; p 1, пол│╖им, ╖▓о в об╣ем ▒л│╖ае п░и k 2 J0(xi; P );
j
k = b'(xi)
xi'(xi)
k Y
l2J0k
(bl xil + 1):
(4:1)
Ра▒▒мо▓░им │▒ловие 3: П│▒▓╝ k 2 J+ (xi; P ). Е▒ли k > jp, ▓о
j
k = b'(xi)
е▒ли jp 1 < k < jp, ▓о
k = jp (bjp xijp ) + b'(xi)
j
k
xi'(xi) ;
k xi'(xi) = b'(xi)
j
k
xi'(xi) (bjp xijp + 1);
В об╣ем ▒л│╖ае е▒ли ji 1 < k < ji, i = 2; : : : ; p 1, ▓о
k = b'(xi)
j
xi'(xi)
k Y
l2J0k
(bl xil + 1):
(4:2)
Тепе░╝ можно ▒каза▓╝, ╖▓о вполне ░ег│л┐░н╗й п░о╢е▒▒ A и▒пол╝з│е▓ о▓▒е╖ение (xi; P ) из кла▒▒а U (x; P ), ко╜┤┤и╢иен▓╗ ко▓о░ого │довле▓во░┐╛▓
│▒лови┐м:
1. k = 0 п░и k 2 J (xi; P );
2.
3.
k = b'(xi)
k =
b'(xi)
j
xi'(xi)
j
xi'(xi)
k Y
l2J0k
k Y
l2J0k
О╖евидно ▒лед│╛╣ее п░едложение.
(bl xil + 1) п░и k 2 J0(xi; P );
(bl xil + 1) п░и k 2 J+ (xi; P ):
30
А.Л. Ев▒▓и┤еева. С░авнение алго░и▓мов одного кла▒▒а...
П░едложение 4.1.
Л╛бое о▓▒е╖ение из (xi ; P ) не ▒ил╝нее, ╖ем (xi; P ).
Ранее в ░або▓а╡ [1, 5] б╗ли найден╗ наи▒ко░ей╕ие по ╖и▒л│ и▓е░а╢ий вполне
░ег│л┐░н╗е алго░и▓м╗ дл┐ зада╖ б│лева п░ог░амми░овани┐, а ▓акже в ░або▓е
[7] б╗ли найден╗ наи▒ко░ей╕ие вполне ░ег│л┐░н╗е алго░и▓м╗ дл┐ ░е╕ени┐
зада╖и (1.4), и▒пол╝з│╛╣ие на каждой и▓е░а╢ии неко▓о░│╛ коне╖н│╛ вполне
░ег│л┐░н│╛ ▒овок│пно▒▓╝ не░авен▒▓в. В данной же ░або▓е ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐
алго░и▓м╗, и▒пол╝з│╛╣ие на каждой и▓е░а╢ии ли╕╝ по одном│ о▓▒е╖ени╛ из
(~x; P ), и доказ╗вае▓▒┐, ╖▓о из в▒е╡ ▓аки╡ алго░и▓мов наи▒ко░ей╕им по ╖и▒л│
и▓е░а╢ий ┐вл┐е▓▒┐ алго░и▓м, о▒нованн╗й на о▓▒е╖ении . Дл┐ ╜▓ого во▒пол╝з│ем▒┐ леммой.
Лемма 4.1.
П│▒▓╝ u, v не ┐вл┐╛▓▒┐ L-╜квивален▓н╗ми и u v. Е▒ли
(v; P ) о▓▒екае▓ ▓о╖к│ u, ▓о (v; P ) не ▒ил╝нее, ╖ем (u; P ).
Доказа▓ел╝▒▓во.
Так как ▓о╖ка u о▓▒екае▓▒┐ (v; P ), ▓о (u; v) < '(v).
Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли (u;v) > '(v), ▓о ▓о╖ки u и v L-╜квивален▓н╗, а е▒ли
(u; v) = '(v), ▓о u'(v) v'(v) , а ╜▓о зна╖и▓, ╖▓о
( (v; P ); u) 0(v; P ) =
X
i2J0 (v;P )
i(ui vi) +
X
i2J+ (v;P )
i(ui vi) + '(v) u'(v)
v 0; ▓. е. ▓о╖ка u ▒о╡░ан┐е▓▒┐ о▓▒е╖ением (v; P ).
'(v)
О╖евидно, ╖▓о (u; v) 62 J (v; P ).
П│▒▓╝ (u; v) 2 J0(v; P ) [ J+ (v; P ) и u(u;v) v(u;v) 1. Тогда, и▒пол╝з│┐
┤о░м│л╗ (4.1),(4.2), пол│╖аем
( (v; P ); u) 0(v; P ) =
X
+
i2J0(u;v) [J+(u;v) ;i<'(v)
X
i2J0(u;v) (v;P )[J+(u;v)
v '(v)
X
i2J0(u;v) [J+(u;v) ;i<'(v) l2J0i
l2J0(u;v)
(bl vl +1)(ui vi)+
v b
v Y (b v + 1)( 1) + b
l
l
'(v)
'(v)
'(v)
'(v)
u;v
l2J
X
Y
v = b
(b v + 1)(b v ) + b
0
Y
i2J (u;v) [J (u;v) ;i<'(v) l2J0i
0
v Y (b
l
'(v)
i(ui vi) + '(v)(u'(v) v'(v)) = b'(v)
vl +1)(u(u;v) v(u;v))+ b'(v)
+u'(v)
i(ui vi) + (u;v)(u(u;v) v(u;v))+
X
l
Y
i2J0(u;v) [J+(u;v) ;i<'(v) l2J0i
l
i
(
+
)
i
'(v)
(bl vl + 1)(bi vi) + 1
'(v)
Y
l2J0(u;v)
'(v)
v '(v)
v'(v) (bl vl + 1) = 0:
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
31
Равен▒▓во н│л╛ имее▓ ме▒▓о в ▒ил│ ▒лед│╛╣и╡ в╗кладок.
П│▒▓╝ J)(u;v) = fj1; : : : ; jpg. Тогда
X
Y
i2J (u;v) [J (u;v) ;i<'(v) l2J0i
0
(bl vl+1)(bi vi)+1 = bjp vjp +1+(bjp vjp +1)(bjp
1
vjp )+
1
+
+(bjp vjp +1)(bjp vjp +1)(bjp vjp )+ : : : +(bjp vjp +1)(bjp vjp +1)
: : : (bj vj + 1)(bj vj + 1)(bj vj ) = (bjp vjp + 1)(bjp vjp + 1+
+(bjp vjp +1)(bjp vjp )+: : :+(bjp vjp +1)(bjp vjp +1) : : : (bj vj +1)
Y
(bj vj + 1)(bj vj )) = (bl vl + 1):
1
3
1
1
3
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
3
2
3
l2J0i
И▓ак, ▓о╖ка u ▒о╡░ан┐е▓▒┐ о▓▒е╖ением (v; P ), ╖▓о п░о▓иво░е╖и▓ │▒лови╛
лемм╗. О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о u(u;v) v(u;v) > 1:
Так как v(u;v) - ╢елое, ▓о u(u;v) - д░обное. Зна╖и▓, (u; v) = '(u) < '(v) и,
▒ледова▓ел╝но:
'(u) 2 J0(v; P ) [ J+ (v; P );
u = v
(u;v)
(u;v) 1;
J'(u)(v; P ) = J (u; P );
J0'(u)(v; P ) = J0(u; P );
J+'(u)(v; P ) = J+(u; P ):
О▒▓ае▓▒┐ показа▓╝, ╖▓о е▒ли неко▓о░а┐ ▓о╖ка x 2 P о▓▒екае▓▒┐ не░авен▒▓вом
(v; P ), ▓о она о▓▒екае▓▒┐ и не░авен▒▓вом (u; P ).
0 < ( (v; P ); x) 0(v; P ) =
+
X
X
j 2J0'(u) [J+'(u) ;j<'(v)
Y
j 2J'(u) [J'(u) l2J j
0
+ b'(v)
+
X
j 2J0'(u) (v;P )[J+'(u)
v '(v)
v = (b v )
'(v)
'(v)
'(v)
v ) Y (b v +1)(x v )+
l l
'(v)
'(u) '(u)
j(xj vj ) + x'(v)
(bl vl +1)(xj vj )+(b'(v)
X
0
j(xj vj ) + '(u) (x'(u) v'(u))+
Y
j 2J '(u) [J '(u) ;j<'(v) l2J j
l2J0'(u)
(bl vl + 1)(xj vj ) + x'(v)
v =
'(v)
Y
Y
X
= b'(v) v'(v)
(bl vl +1)
(bl vl +1)(b'(u) v'(u) +1)
'
u
'
u
'
u
'
u
j
j 2J [J l2J \J
l2J
X
Y
(xj vj )x'(u) v'(u)) + b'(v) v'(v)
(bl vl + 1)
0
0
( )
+
0
0
( )
( )
+
0
j 2J0'(u) [J+'(u) ;j<'(v) l2J0j
0
( )
32
А.Л. Ев▒▓и┤еева. С░авнение алго░и▓мов одного кла▒▒а...
v Y (b v + 1)b u '(v)
l
l
'(u)
'(u)
'
u
l2J
X
Y
(bl vl + 1)(xj vj ) + x'(u) u'(u) 1 +
j ' u
' u ' u
j2J [J l2J \J X
Y
v =
(b v + 1)(x v ) + x
+ b
v
(xj vj ) + x'(v) v'(v) = b'(v)
0
0
( )
'(v)
+
'(v)
0
0
'(v)
v '(v)
0
( )
Y
>1
j
l2J0'(u)
Y
b'(v)
j 2J0'(u) [J+'(u) ;j<'(v) l2J0j
v
'(v)
'(v)
v b'(v)
v > 0:
'(v)
'(v)
X
j 2J '(u) [J '(u) ;j<'(v) l2J j
(bl vl + 1)
v Y (b v + 1) 1 >
l
l
'(v)
'
u
l2J
Y
0
b'(v)
Y
0
+
X
v (bl vl + 1)(bj vj ) + b'(v)
'(v)
j
'
u
'
u
j 2J [J ;j<'(v) l2J
1 X
Y
Y
0
'(v)
'(v)
(bl vl + 1)(xj vj ) + x'(v)
0
v b
'(v)
j
(bl vl + 1)(( (u; P ); x) (u; P ) 1)+
X
(xj vj ) + x'(v)
l
0
+
Следова▓ел╝но,
( (u; P ); x) 0(u; P ) > 1
l
j 2J '(u) [J '(u) ;j<'(v) l2J j
v
= b'(v)
+ b'(v)
( )
( )
v'(v)
( )
l2J '(u)
+
( )
(bl vl+1)
Y
0
(bj vj ) + 1
l2J0'(u)
0
=1
(bl vl + 1)
1
j 2J '(u) [J '(u) ;j<'(v) l2J j
0
+
(bl vl+1)
0
= 1 1 = 0;
▓ак как по доказанном│ ░анее
X
Y
(bl vl + 1)(bj vj ) + 1 =
j 2J0'(u) [J+'(u) ;j<'(v) l2J0j
( )
Y
l2J0'(u)
(bl vl + 1):
П│▒▓╝ X = fxk gtk=1 - по▒ледова▓ел╝но▒▓╝, по░ождаема┐ п░о╢е▒▒ом A, y 2 P - не╢ело╖и▒ленна┐ ▓о╖ка и y xp дл┐ неко▓о░ого p 2
f1; : : : ; t 1g. Тогда л╛бое о▓▒е╖ение из (y; P ) о▓▒екае▓ не более одной
▓о╖ки xk , k p.
Доказа▓ел╝▒▓во. О▓ п░о▓ивного. П░едположим, ╖▓о о▓▒е╖ение из (y; P )
о▓▒екло ▓о╖ки xq и xr , p q r. По ▓ео░еме 4.1 не ▒ил╝нее, ╖ем (y; P ),
зна╖и▓ (y; P ) о▓▒екае▓ ▓о╖ки xq и xr. Так как xq и xp не ┐вл┐╛▓▒┐ L╜квивален▓н╗ми и ▓ак как y xp xq , ▓о y и xq ▓ак же не ┐вл┐╛▓▒┐ L╜квивален▓н╗ми. Тогда по лемме 4.1 (y; P ) не ▒ил╝нее (xq ; P ), но из │▒лови┐
▓ео░ем╗ м╗ знаем, ╖▓о (xq ; P ) не о▓▒екае▓ ▓о╖к│ xr . П░о▓иво░е╖ие.
Лемма 4.2.
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1999. В╗п. 4.
33
П│▒▓╝ P . Дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и (1.4) п░о╢е▒▒ом A по▓░еб│е▓▒┐ и▓е░а╢ий не бол╝╕е, ╖ем п░о╢е▒▒ом A.
Доказа▓ел╝▒▓во. Дей▒▓ви▓ел╝но, о▓▒е╖ение, по▒▓░оенное по л╛бой ▓о╖ке y ,
по░ожденной п░о╢е▒▒ом A, о▓▒екае▓, ▒огла▒но лемм╗ 4.2, не более одной ▓о╖ки
по▒ледова▓ел╝но▒▓и X . Следова▓ел╝но, п░о╢е▒▒│ A по▓░еб│е▓▒┐ и▓е░а╢ий не
мен╝╕е, ╖ем п░о╢е▒▒│ A.
Тео░ема 4.2.
Ли▓е░а▓│░а
1. Забло╢ка┐ О.А. О ▒░авнении вполне ░ег│л┐░н╗╡ алго░и▓мов о▓▒е╖ени┐ // Уп░авл┐ем╗е ▒и▒▓ем╗. Ново▒иби░▒к: ИМ СО АН СССР. В╗п.25. 1984. С.68-74.
2. Колоколов А.А. Рег│л┐░н╗е о▓▒е╖ени┐ п░и ░е╕ении зада╖ ╢ело╖и▒ленной оп▓имиза╢ии. // Уп░авл┐ем╗е ▒и▒▓ем╗. Ново▒иби░▒к: ИМ СО АН СССР. В╗п.21.
1981. С.18-25.
3. Колоколов А.А. Ме▓од╗ ди▒к░е▓ной оп▓имиза╢ии: У╖ебное по▒обие.
Ом▒к: ОмГУ, 1984. 75 ▒.
4. Колоколов А.А.Ме▓од о╢ено╖н╗╡ ░азбиений в ╢ело╖и▒ленном п░ог░амми░овании // Тео░и┐ и п░ог░аммна┐ ░еализа╢и┐ ме▓одов ди▒к░е▓ной оп▓имиза╢ии.
Киев: ИК АН УССР, 1989. C.44-47.
5. Колоколов А.А.О наи▒ко░ей╕ем алго░и▓ме в одном кла▒▒е ░ег│л┐░н╗╡ п░о╢е▒▒ов
о▓▒е╖ени┐ // Ме▓од╗ и п░ог░амм╗ ░е╕ени┐ оп▓имиза╢ионн╗╡ зада╖ на г░а┤а╡
и ▒е▓┐╡: Тез. докл. III В▒е▒о╛з. ▒ове╣. Та╕кен▓ - Ново▒иби░▒к, 1984. Ч.2 C.70.
6. Симан╖ев Р.Ю. О вполне ░ег│л┐░н╗╡ о▓▒е╖ени┐╡ дл┐ зада╖ ╢ело╖и▒ленной оп▓имиза╢ии // Уп░авл┐ем╗е ▒и▒▓ем╗. Ново▒иби░▒к: ИМ СО АН СССР. В╗п.30. 1990.
С.61-71.
7. Симан╖ев Р.Ю. С░авнение вполне ░ег│л┐░н╗╡ о▓▒е╖ений и алго░и▓мов // Ме▓од╗ ░е╕ени┐ и анализа зада╖ ди▒к░е▓ной оп▓имиза╢ии: Сб. на│╖. ▓░. Ом▒к:
ОмГУ, 1992. C.108-122.
8. С╡░ейве░ А. Тео░и┐ линейного и ╢ело╖и▒ленного п░ог░амми░овани┐. Мо▒ква:
Ми░, 1991. Т.1. 340 ▒.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
360 Кб
Теги
процессов, алгоритм, сравнение, одного, отсечениями, класс, регулярные, вполне
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа