close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Среднеквадратическое приближение классов функций заданных посредством их модуля гладкости.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №11
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
А.Д.Фарозова
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ ПОСРЕДСТВОМ ИХ МОДУЛЯ ГЛАДКОСТИ
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 02.06.2015 г.)
В работе доказаны точные неравенства между наилучшими приближениями периодических
дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами с интегралами от модулей непрерывности их произвольных производных в метрике пространства L2. Полученные результаты обеспечивают отыскание точных значений n-поперечников классов функций задаваемых усредненными
модулями непрерывности и заданной мажорантой.
Ключевые слова: пространство L2, наилучшее полиномиальное приближение, экстремальная характеристика, модуль непрерывности, n-поперечники.
1. Пусть L2 := L2 [0 2 ] – пространство измеримых и суммируемых с квадратом 2 периодических функций f ( x) с нормой
1 2
f  f
Через
2 n1
L2
 1 2

    f ( x ) 2 dx   
 0

обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка n  1 Хорошо из-
вестно, что для произвольной функции f  L2  которая имеет разложение в ряд Фурье
f ( x)
a0 ( f ) 
   ak ( f ) cos kx  bk ( f )sin kx  
2
k 1
величина ее наилучшего приближения элементами подпространства
En1 ( f )2  inf  f  Tn1 2  Tn1 ( x) 
 f  S n 1 ( f ) 
2
 



 k n


2 n 1 

2 n1
равна

1 2

2
k 


где Sn 1 – частная сумма порядка n  1 ряда Фурье функции f ( x)
ak ( f ) bk ( f ) – косинус- и синус-коэффициенты Фурье. Символом L(2r )  r 
k2 ( f )  ak2 ( f )  bk2 ( f )


 L(0)
2  L2  обозначим
Адрес для корреспонденции: Фарозова Алфия Давлатбековна. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог,
ул.Ленина, 28, Хорогский государственный университет. E-mail: faroz85@rambler.ru
976
Математика
А.Д.Фарозова
множество функций f  L2 , у которых производные (r  1) -го порядка абсолютно непрерывны, а
производные r -го порядка принадлежат пространству L2 
Как обычно, определим модуль непрерывности  ( f  t ) равенством
( f  t )2  sup f (  h)  f () 2  h  t
Отправным моментом для получения последующих результатов являются результаты работы
Н.И.Черных [1] и Л.В.Тайкова [2].
Неравенства вида
En 1 ( f )2 
  (r) t 
 f    t  0 f  L(2r ) ,
r

n
(1)
n 2
в которых наилучшее приближение функции f  L(2r ) оценивается через модуль непрерывности производной f ( r ) ( x) , называют неравенствами типа Джексона, а наименьшую константу    nr (t ) в
(1) – точной константой в неравенстве Джексона. Ясно, что
n r  En 1 ( f )2
 n r (t )  sup

t
f L(2r )
  f ( r )  
n 2

Величины вида (1) изучались во многих работах (см. например, [1]-[8] и литературу, приведенную в них). В [1] установлено, что при любых t  
 n0 (t ) 
и n
1
, а в [5] доказано, что при любом m  1  3n  2 , n 
2
имеет место равенство
выполняется равенство
 1
cos  
2 2  n 
 n 0     
 
n 2
 sin 
2 


   1
в котором     m с любым натуральным n  1  3m  2 В [9] доказано, что для произвольной
функции f ( x)  L2 при любом n 
(r)
и s  1 2 r справедливо точное неравенство
En 1  f ( r  s )  
1
4n s 1
 n
  f
(r )
 t  dt 
(2)
0
которое обращается в равенство для функции
f 0 ( x)  a cos(nx  b) a b  
(3)
Здесь мы докажем более общее утверждение, из которого, в частности, вытекает (2) и некоторые другие неравенства.
977
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №11


Теорема 1. Для произвольной функции f ( x)  L2 и любого u   0
 

2n 
n
справедливо
неравенство
2
u


1
 t 
   
En 1 ( f )2    ( f  t )2  1  

1
sin

 dt

20
2
nu
2
u










(4)
Неравенство (4) точное, в том смысле, что для функции, определенной равенством (3), оно обращается в равенство.
Доказательство. Следуя схеме рассуждения работы [3], введем в рассмотрение периодическую функцию F ( x) представленную в виде

t
u
[ f ( x  t )  f ( x  t )]cos dt 
4u 
2u
F ( x) 
(5)
0
Так как

4u
u
 cos
0
t
2u
1
t  1

d  sin   

20 
2u  2
u
dt 
то имеем

f ( x)  F ( x)  
4u
u
  [ f ( x  t )  2 f ( x)  f ( x  t )]cos
0
t
2u
dt 
Выполнив интегрирование по частям в правой части (4), затем оценивая по норме пространство L2 и
применяя неравенство Минковского с учетом определения модуля непрерывности, получаем
1
t 

f  F   ( f  2t )2  1  sin  dt
20
2

u
(6)
Дважды дифференцируя равенство (5) по переменному х получаем
F ( x) 

t
u
[ f ( x  t )  f ( x  t )]cos 
4u 
2u
0
Из (7), вновь интегрируя по частям, будем иметь
F ( x) 

t
u
cos d ( f ( x  t )  f ( x  t )) 
4u 
2u
0
t
  1
      [ f ( x  t )  f ( x  t )]sin dt
2u
 2u  2 0
2
u
978
(7)
Математика
А.Д.Фарозова
Оценив это равенство сначала по норме L2 , а затем применяя неравенство Минковского, получаем
F 
1  
t
    ( f  2t )2 sin dt
2  2n  0
2u
2u
L2
(8)
Воспользуясь хорошо известными неравенствами
En1 ( f )2  f  F 2 
En 1 ( F )2 
1
1
En 1 ( F )2  2 F  2 
2
n
n
из (6) и (8) получаем (4):
En1 ( f )2  En1 ( f  F )2  En1 ( F )2 
 f F 2
1
 F 
2
n
2

2
u


1
 t 
   
   ( f  2t ) 2  1  

1
sin

 dt

20
2
nu
2
nu










Непосредственным вычислением легко проверяется, что для функции (3) неравенство (4) обращается
в равенство, чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Заметим, что если в правой части неравенства (4) полагать   (2nu)   (1    ) то оно
примет вид
1
En1 ( f )2 
2
  (2  n )

 ( f  2t )2 1  (  2  1)sin  nt dt
(9)
0
Из неравенства (9) при   1 следует результат Л.В.Тайкова [3]:
1
En1 ( f )2 
2
  (2 n )

0
1
 ( f  2t )dt 
4

 n
 ( f

 t )dt
0
который в свою очередь является аналогом неравенства Н.П.Корнейчука [4], полученного в метрике
пространства C[0 2 ]
Теорема 2. Для произвольной функции f ( x)  L(2r ) при любом n 
и s  1 2 r справедли-
во точное неравенство

n 1 
E
f
(r s ) 


1
 s 1
2n
  (2  n )

  f ( r )  2t 2 {1  (  2  1)sin  nt}dt
0
и знак равенства в (10) реализуется для функции вида (3).
979
(10)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №11
Заметим, что если в правой части неравенства (10) положить   1 то получим неравенство
(2). Из утверждения теоремы 2 вытекает
Следствие 1. В условиях теоремы 2 при всех s  1 2 r имеет место равенство
sup
f
f L(2r )
(r)
  (2  n )

 const
n s 1  En 1  f ( r s ) 
2
  f ( r )  2t 2  {1  (  2  1)sin nt}dt
1
 
2
0
2. Для формулировки остальных результатов данной статьи приведем нужные нам в дальнейшем обозначения и определения.
Пусть
–
M
выпуклое
центрально-симметричное
подмножество
из
L2 
Через
bn (M L2 ) d n (m L2 ) d n (M L2 )  n (m L2 ) и  n (M L2 ) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный n -поперечники некоторого центрально-симметричного множества M из L2 (см., например, [10]).
Для любых r   L 
и   1 ( 

) введём в рассмотрение класс функций
h


1
t 

W2( r ) (  )   f  L(2r )     f ( r )  2t  1  (  2  1)sin  dt  (h)  
2
h0
2h 



где (t ) – произвольная неотрицательная и полуаддитивная для t  0 функция, такая, что
lim (t )  (0)  0
t 00
Введём также обозначение
(sin t )  {sin t если 0  t    2 1 если t    2}
Теорема 3. Если при некотором   1 и любых h 

 n
мажоранта (t ) удовлетво-
ряет условию
 ( h)

t

  (sin ht ) {1  (  2  1)sin }dt
(  (2 n)) 2 0
2
1
то при любых r 
(11)
справедливо равенство
 n W2( r ) (  )  

(  (2 n)
4 n r
где  n () – любой из n -поперечников bn () d n () d n () n ()  n () Множество мажорантных
функций  удовлетворяющих условию (11) не пусто.
Поступило 09.06.2015 г.
980
Математика
А.Д.Фарозова
Л И Т Е РАТ У РА
1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2. – Матем. заметки, 1967, т.2, №2, с. 513-522.
2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2. – Матем. заметки, 1976, т. 20, №3, с. 433-438.
3. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства L2. –
Матем. заметки, 1977, т. 22, №4, с.535-542.
4. Корнейчук Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических
функций. – Матем. заметки, 1982, т.32, №5, с.669-674.
5. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2. – Матем. заметки, 1986, т. 39, №5,
с. 651-664.
6. Вакарчук, С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников
функциональных классов из L2. – Матем. заметки, 2005, т. 78, №5, с. 792-796.
7. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов
2π-периодических функций и точные значения их поперечников. – Матем. заметки, 2011, т.90, №5,
с.764-775.
8. Шабозов М.Ш. Точные неравенства типа Джексона-Стечкина для 2π-периодических функций в L2
и поперечники некоторых классов функций. – Укр. матем. журнал, 2011, т.63, №10, с.1040-1048.
9. Фарозова А.Д. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в пространстве L2. – ДАН
РТ, 2015, т. 58, №9, с. 772-779.
10. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. – М: МГУ, 1976, 325 с.
А.Д.Фарозова
НАЗДИККУНИИ МИЁНАКВАДРАТИИ СИНФИ ФУНКСИЯЊО, КИ БА
ВОСИТАИ МОДУЛИ СУФТАГИИ ИН ФУНКСИЯЊО ДОДА ШУДААНД
Донишгоњи давлатии Хоруѓ ба номи М.Назаршоев
Дар маќола нобаробарињои аниќ байни наздиккунии бењтарини функсияњои дифференсиронидашудаи даврї бо ёрии бисёраъзогињои тригонометрї бо интегралњо аз модулњои бефосилагии њосилањои ихтиёрии онњо дар фазои L2 исбот карда шудаанд. Натиљањои ба даст овардашуда имконият медињанд, ки ќимати аниќи n -кутрњои синфи функсияњо, ки бо ёрии модули
бефосилагї ва мажорантаи додашуда муайян карда шудаанд, ёфта шаванд.
Калимањои калидї: фазои L2 , наздиккунии полиномалии бењтарин, характеристикаи экстремалї,
модули бефосилагї, n -ќутрњо.
981
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №11
A.D.Farozova
SQUARE APPROXIMATION OF THE CLASS OF FUNCTIONS GIVEN IN TERMS
OF THEIR MODULUS OF SMOOTHNESS
Khorog state University by name M.Nazarshoev
This article proves the exact inequalities between the best approximation of periodic differentiable
functions by trigonometric polynomials with integrals of the modulus of continuity of the arbitrary derivatives in metric space L2. The obtained results allows searching for the exact values of n-width of the class of
functions given by the averaged modulus of continuity and the given majorized.
Key words: L2-space, best polynomial approximation, extremal characteristics, modulus of continuity, n-widths.
982
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
502 Кб
Теги
классов, заданным, приближение, гладкости, функции, среднеквадратического, посредством, модуль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа