close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Стабилизация однозвенного манипулятора при неполном измерении состояния обратная связь по угловой координате звена манипулятора.

код для вставкиСкачать
Стабилизация однозвенного манипулятора при неполном
измерении состояния: обратная связь по угловой координате
звена манипулятора
# 11, ноябрь 2012
DOI: 10.7463/1112.0500549
Голубев А. Е.
УДК 519.71
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
mathmod@bmstu.ru
1. Введение и постановка задачи
Многозвенные манипуляторы представляют собой класс технических систем, активно используемых в промышленности. При решении задач управления такими объектами одной из существенных проблем может являться отсутствие полной информации о состоянии системы. Измеряются, как правило,
значения только части переменных, описывающих состояние манипулятора.
Причины неполного измерения вектора состояния могут быть различные: высокая стоимость установки датчиков, технологические ограничения и т.п.
При синтезе алгоритмов управления многозвенными манипуляторами важную роль играет решение задач управления для отдельных звеньев.
В настоящей работе рассматривается задача стабилизации заданного углового положения однозвенного манипулятора, уравнения движения которого
имеют вид
x?1
x?2
x?3
x?4
= x2 ,
= M1 sin x1 ? k1 (x1 ? x3 ),
= x4 ,
= ?b1 x4 + k2 (x1 ? x3 ) + u/J,
(1)
где x1 , x2 | угловая координата и угловая скорость звена манипулятора соответственно; x3 , x4 | угловая координата и угловая скорость вала двигателя;
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
395
u | управляющий момент, создаваемый двигателем; M gl sin x1 | момент
силы тяжести, действующий на звено манипулятора. Константы M1 , b1 , k1 , k2 ,
J положительны, притом M1 = M gl/I , k1 = k/I , k2 = k/J , b1 = d/J , где I ,
J | моменты инерции звена манипулятора и ротора двигателя соответственно,
k | жесткость передаточного механизма, d | коэффициент демпфирования,
M | масса звена манипулятора.
В качестве стабилизируемого углового положения манипулятора без ограничения общности рассмотрим положение, в котором x1 = 0, x3 = 0. Для решения задачи управления требуется построить закон управления в виде обратной
связи, использующей значения только измеряемого выхода системы, глобально
стабилизирующий положение равновесия x = 0, u = 0 системы (1). Здесь
т
x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ? R4 | вектор состояния системы (1), u ? R | управление.
Одной из идей решения задач управления в условиях неполноты измеряемой
информации о векторе состояния является использование динамических обратных связей по измеряемому выходу. Динамические обратные связи по выходу
строятся на основе вектора состояния вспомогательной динамической системы.
Как правило, в качестве вспомогательной системы рассматривается наблюдатель, представляющий собой специальную динамическую систему, состояние
которой с течением времени достаточно быстро, например асимптотически,
приближается к состоянию исследуемой системы.
В настоящей работе рассматривается случай, когда измерениям доступна
только угловая координата x1 звена манипулятора, т.е. измеряемый выход системы (1) имеет вид y = x1 . Показано, что задача стабилизации заданного
углового положения однозвенного манипулятора может быть решена с помощью использования нелинейного принципа разделения [1, 2] и метода обхода
интегратора в наблюдателе [3, 2].
2. Синтез наблюдателя и обратной связи по состоянию
При построении асимптотического наблюдателя для системы (1) с рассматриваемым выходом y = x1 воспользуемся, например, идеями геометрического
метода, изложенного в работах [4, 5].
10.7463/1112.0500549
396
т
В переменных ? = (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) , заданных соотношениями
x1
x2
x3
x4
= ?1 ,
= ?2 ? b1 ? 1 ,
= ?3 /k1 ? b1 ?2 /k1 + (b21 ? k2 )?1 /k1 ,
= ?4 /k1 ? b1 ?3 /k1 + (b21 ? k2 )?2 /k1 + (2b1 k2 ? b31 )?1 /k1 ,
(2)
система (1) с рассматриваемым выходом имеет вид
??1 = ?2 ? b1 ?1 ,
??2 = ?3 + M1 sin ?1 ? ?1 (k1 + k2 ),
??3 = ?4 + b1 M1 sin ?1 ? b1 k1 ?1 ,
??4 = k2 M1 sin ?1 + k1 u/J,
y = ?1 .
(3)
Заметим, что отображение x = ?(?), ?(0) = 0, определяемое равенствами (2),
линейно и является диффеоморфизмом пространств R4 = {?} и R4 = {x}.
Асимптотический наблюдатель для системы (3) будем искать в виде
??? = A?? + LC(?? ? ?) + ?(?1 ) + Bu,
(4)
т
где ?? = (??1 , ??2 , ??3 , ??4 ) , A = (aij ), i = 1, 4, j = 1, 4, | квадратная матрица
порядка 4 с элементами aij = 1, если j ? i = 1, и aij = 0, если j ? i 6= 1,
т
т
C = (1, 0, 0, 0), B = (0, 0, 0, 1/J) , вектор L = (l1 , l2 , l3 , l4 ) коэффициентов
усиления задает динамику ошибки e = ?? ? ? оценки состояния системы (3),
т
?(?1 ) = ?b1 ?1 , M1 sin ?1 ? ?1 (k1 + k2 ), b1 M1 sin ?1 ? b1 k1 ?1 , k2 M1 sin ?1 .
Для дальнейших построений можно использовать линейную технику. Система, описывающая динамику ошибки e = ?? ? ? оценки наблюдателем (4)
состояния системы (3) при одинаковом управлении в системах (3) и (4), имеет
вид
e? = (A + LC)e,
(5)
где вектор L коэффициентов усиления наблюдателя выбирается таким образом,
что матрица A + LC имеет собственные числа только с отрицательными действительными частями. Указанный выбор матрицы L возможен, так как пара
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
397
(A, C) наблюдаема [6]. Следовательно, положение равновесия e = 0 системы
(5) экспоненциально устойчиво в целом и ошибка оценки состояния не зависит
от управления и экспоненциально стремится к нулю.
Отметим, что функцией Ляпунова для системы (5) является положительно
т
т
определенная квадратичная форма W (e) = e P e, где матрица P = P > 0
удовлетворяет уравнению Ляпунова
т
т
(A + LC) P + P (A + LC) = ?Q, Q = Q > 0,
(6)
решение которого существует и единственно в силу указанного выше выбора
т
спектра матрицы A + LC . Здесь Q = Q > 0 | произвольная симметрическая
положительно определенная матрица. Для производной по времени функции
W (e) в силу системы (5) при всех e ? Rn справедлива следующая оценка:
т
def
W? (e) = ?e Qe ? ??min (Q)kek2 = ??kek2 ,
где ?min (Q) | наименьшее собственное значение матрицы Q, k·k | евклидова
норма в R4 .
Далее найдем закон управления в виде непрерывно дифференцируемой
обратной связи по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующий
положение равновесия ? = 0, u = 0 системы (3).
Положение равновесия ? = 0, u = 0 аффинной системы (3) (без выхода)
во всем пространстве состояний можно стабилизировать методом нелинейной
стабилизации, предложенным в работе [7], поскольку эта система во всем пространстве состояний эквивалентна регулярной системе канонического вида,
тоже определенной во всем ее пространстве состояний. Преобразование аффинной системы (3) к каноническому виду определяется функцией ?(?) = ?1 ,
которую можно найти, следуя работе [8]. Дифференцируя эту функцию в силу
аффинной системы (3), находим новые переменные для записи системы канонического вида
?1 = ?1 , ?2 = ??1 = ?2 ? b1 ?1 ,
?3 = ??2 = ?3 + M1 sin ?1 ? ?1 (k1 + k2 ) ? b1 ?2 + b21 ?1 ,
?4 = ??3 = ?4 + M1 ?2 cos ?1 ? b1 M1 ?1 cos ?1 ? (k1 + k2 )?2 +
+b1 k2 ?1 + b1 (k1 + k2 )?1 ? b1 ?3 + b21 ?2 ? b31 ?1 .
10.7463/1112.0500549
(7)
398
В переменных ? система (3) без выхода имеет канонический вид
??1
??2
??3
??4
= ?2 ,
= ?3 ,
= ?4 ,
= f?(?) + k1 u/J,
(8)
т
где ? = (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) | вектор состояния системы, f?(?) = k2 M1 sin ?1 +
+M1 cos ?1 (?3 + b1 ?2 ) ? M1 ?22 sin ?1 ? (k1 + k2 )?3 ? b1 k1 ?2 ? b1 ?4 .
Соотношение ? = ??1 (?), ??1 (0) = 0, имеющее вид (7), действительно
представляет собой замену переменных, так как оно разрешимо относительно
?, ? = ?(?). Отметим, что отображение ? является диффеоморфизмом пространств R4 = {?} и R4 = {?}, притом функции ? = ??1 (?) и ? = ?(?)
таковы, что при всех ? ? Rn и ? ? Rn справедливы неравенства
k?k = k??1 (?)k ? ???1 k?k,
k?k = k?(?)k ? ?? k?k,
(9)
где ?? , ???1 | некоторые положительные константы. Поэтому задача глобальной экспоненциальной стабилизации положения равновесия ? = 0, u = 0
системы (3) без выхода эквивалентна аналогичной задаче для положения равновесия ? = 0, u = 0 системы (8).
Непрерывно дифференцируемая обратная связь по состоянию, глобально
экспоненциально стабилизирующая положение равновесия ? = 0, u = 0 системы (8), имеет вид
3
X
J
u = k(?) =
?f?(?) ?
(10)
?i ?i+1 , k(0) = 0.
k1
i=0
Замкнутая этим управлением система (8) запишется следующим образом:
??1
??2
??3
??4
= ?2 ,
= ?3 ,
= ?4 ,
= ??0 ?1 ? ?1 ?2 ? ?2 ?3 ? ?3 ?4 .
(11)
Здесь постоянные ?i > 0, i = 0, 3, выбираются таким образом, что матрица
A4 = (a4ij ), i = 1, 4, j = 1, 4, с элементами a4ij = 1, если j ? i = 1, a4ij = ??j?1 ,
если i = 4, и a4ij = 0, если j ? i 6= 1 и i 6= 4, имеет собственные числа
только с отрицательными действительными частями. Тогда из экспоненциальhttp://technomag.edu.ru/doc/500549.html
399
ной устойчивости в целом положения равновесия ? = 0 системы (8), замкнутой
управлением u = k(?), имеющим вид (10), в силу неравенств (9) следует экспоненциальная устойчивость в целом положения равновесия ? = 0 системы
(3), замкнутой управлением u = k(??1 (?)).
3. Применение нелинейного принципа разделения
Рассмотрим динамическую систему
?? = A?? + ??(?1 ) + B?u,
(12)
y = C??1 ,
т
где ? = (?1 , . . . , ?n ) ? Rn ; A? ? RnЧn , C? ? R1Чn | постоянные матрицы, пара
(A?, C?) наблюдаема; отображение ?? : R ? Rn непрерывно-дифференцируемо,
??(0) = 0.
Асимптотическим наблюдателем для системы (12) является система
??? = A??? + L?C?(?? ? ?) + ??(?1 ) + B?u,
(13)
т
где вектор L? = (?l1 , . . . , ?ln ) ? Rn коэффицентов усиления выбран таким образом, что матрица A? + L?C? гурвицева.
Теорема 1 ([1]). Пусть: 1) вектор-функция ??(?1 ) глобально липшицева;
2) существует непрерывно дифференцируемая обратная связь u = k1 (?),
k1 (0) = 0, по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующая
положение равновесия ? = 0, u = 0 системы (12). Тогда при управлении
u = k1 (??) система
?? = A?? + ??(?1 ) + B?u,
??? = A??? + L?C?(?? ? ?) + ??(?1 ) + B?u,
(14)
составленная из уравнений системы (12) и уравнений наблюдателя (13),
экспоненциально устойчива в целом в точке ? = 0, ?? = 0.
Заметим, что для системы (3) выполнены условия теоремы 1. Следовательно, благодаря линейности замены переменных x = ?(?), заданной соотношениями (2), система, составленная из уравнений исходной системы (1) и
уравнений наблюдателя (4), записанного в переменных x? = ?(??), при упра10.7463/1112.0500549
400
влении u = k(??1 (??1 (x?)) экспоненциально устойчива в целом в точке x = 0,
x? = 0.
Результаты численного моделирования системы (1) и наблюдателя (4), записанного в переменных x? = ?(??), при управлении u = k(??1 (??1 (x?)) предрис.1
ставлены на рис. 1 при следующих значениях параметров и начальных данных
рассматриваемой системы и наблюдателя: M = 0,21 кг, I = 0,0093 кг · м2 ,
Н·м
кг · м2
м
J = 0,0037 кг · м2 , k = 0,18
, d = 0,046
, l = 0,15 м, g = 10 2 ,
рад
с
с
?0 = 561,1, ?1 = 461,9, ?2 = 142,4, ?3 = 19,5, l1 = ?17,5, l2 = ?114,7,
l3 = ?333,6, l4 = ?363,4, (x1 (0), x2 (0), x3 (0), x4 (0)) = (3,14, 0, 3,14, 0),
(x?1 (0), x?2 (0), x?3 (0), x?4 (0)) = (2, 1,2, 3, 1,4).
Рис. 1. Переходные процессы системы (сплошная линия) и наблюдателя (пунктир)
при управлении u = k(??1 (??1 (x?))
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
401
4. Метод обхода интегратора в наблюдателе
Рассмотрим систему
??1 = ??2 ? e2 + ?1 (?1 ),
??? 2 = ??3 + l2 e1 + ?2 (?1 ),
??? 3 = ??4 + l3 e1 + ?3 (?1 ),
k
??? 4 = l4 e1 + ?4 (?1 ) + 1 u,
(15)
J
e? = (A + LC)e,
y = ?1 ,
т
где ?? = (??1 , ??2 , ??3 , ??4 ) ? R4 | вектор состояния наблюдателя (4); ? =
т
т
= (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) ? R4 | вектор состояния системы (3); e = (e1 , e2 , e3 , e4 ) =
т
= (??1 ? ?1 , ??2 ? ?2 , ??3 ? ?3 , ??4 ? ?4 ) ;
?
?
?b1 ?1
?
?
? M1 sin ?1 ? ?1 (k1 + k2 ) ?
?
?(?1 ) = ?
? b M sin ? ? b k ? ?.
1
1 1 1 ?
? 1 1
k2 M1 sin ?1
Заметим, что динамическая система (15) в силу линейного соотношения
e = ?? ? ? эквивалентна системе
?? = A? + ?(?1 ) + Bu,
??? = A?? + LC(?? ? ?) + ?(?1 ) + Bu,
(16)
состоящей из уравнений системы (3) и наблюдателя (4).
На основе метода обхода интегратора в наблюдателе [2, 3] можно предложить следующий алгоритм построения управления в виде динамической обратной связи u = k?(??, y) по выходу, глобально асимптотически стабилизируещего
положение равновесия ?? = 0, e = 0, u = 0 системы (15). Отметим, что в силу
соотношения ? = ?? ? e найденная обратная связь будет также и решением
задачи стабилизации положения равновесия ? = 0, ?? = 0, u = 0 системы (16).
Шаг 1. Рассмотрим функцию
1
V1 (z1 , e) = z12 + W (e),
2
10.7463/1112.0500549
402
где z1 = ?1 , W (e) | функция Ляпунова для системы (5). Для удобства используем далее также обозначение z2 = ??2 ? ?1 (?1 ), где ?1 (·) | некоторая гладкая
функция. Для производной по времени функции V1 в силу системы (15) справедлива следующая оценка:
V?1 = z1 z?1 + W? (e) ? z1 (??2 + ?1 (?1 ) ? e2 ) ? ?kek2 ?
? z1 (z2 + ?1 (?1 ) + ?1 (?1 ) ? e2 ) ? ?e22 .
Выбрав функцию
?1 (?1 ) = ?(c1 + d1 )z1 ? ?1 (?1 ) = ?c1 z1 ? d1 z1 + b1 ?1 ,
где c1 > 0, d1 > 0 | произвольные положительные константы, получим
V?1 ? z1 (?c1 z1 + z2 ? d1 z1 ? e2 ) ? ?e22 =
= ?c1 z12 + z1 z2 ? (d1 z12 + z1 e2 + ?e22 ) = ?c1 z12 + z1 z2 ? S1 ,
где
S1 =
p
2 1
1 2
1
d1 z1 + ? e2 + ? ?
e2 ? 0 при ? >
.
4d1
4d1
2 d1
Шаг 2. Рассмотрим функцию
1
V2 (z1 , z2 , e) = V1 (z1 , e) + z2 2 + W (e) > 0.
2
Для удобства используем далее обозначение z3 = ??3 ? ?2 (??1 , ??2 , ?1 ), где
?2 (·) | некоторая гладкая функция своих аргументов. Для производной по
времени функции V2 в силу системы (15) справедлива следующая оценка:
V?2 = V?1 + z2 z?2 + W? ?
? ?c1 z12 + z1 z2 ? S1 + z2 z?2 + W? ? ?c1 z12 ? S1 +
??1
+ z2 z1 + ??3 + l2 (??1 ? ?1 ) + ?2 (?1 ) ?
(??2 + ?1 (?1 ) ? e2 ) ? ?e22 =
??1
= ?c1 z12 ? S1 + z2 z1 + z3 + ?2 (??1 , ??2 , ?1 ) + l2 (??1 ? ?1 ) + ?2 (?1 ) ?
??1
?
(??2 + ?1 (?1 ) ? e2 ) ? ?e22 .
??1
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
403
Выбрав
?2 (??1 , ??2 , ?1 ) = ?c2 z2 ? z1 ? l2 (??1 ? ?1 ) ? ?2 (?1 ) +
?? 2
??1
1
+
(??2 + ?1 (?1 )) ? d2
z2 =
??1
??1
= ?c2 z2 ? z1 ? l2 (??1 ? ?1 ) ? M1 sin ?1 + ?1 (k1 + k2 ) +
?? 2
??1
1
(??2 ? b1 ?1 ) ? d2
+
z2 ,
??1
??1
где c2 > 0, d2 > 0 | произвольные положительные константы, получим
V?2 ?
?c1 z12
?
c2 z22
?? 2
??1
1
2
2
z2 ?
z2 e2 + ?e2 ? S1 =
+ z2 z3 ? d2
??1
??1
= ?c1 z12 ? c2 z22 + z2 z3 ? S1 ? S2 ,
где
p ??
2 1
1
1 2
1
?
e2 ? 0 при ? >
S2 =
z2 ?
.
d2
e2 + ? ?
??1
4d2
4d2
2 d2
Шаг 3. Рассмотрим функцию
1
V3 (z1 , z2 , z3 , e) = V2 (z1 , z2 , e) + z3 2 + W (e).
2
Для удобства используем далее обозначение z4 = ??4 ? ?3 (??1 , ??2 , ??3 , ?1 ), где
?3 (·) | некоторая гладкая функция своих аргументов. Для производной по
времени функции V3 в силу системы (15) справедлива следующая оценка:
V?3 = V?2 + z3 z?3 + W? ?
? ?c1 z12 ? c2 z22 + z2 z3 ? S1 ? S2 + z3 z?3 + W? ?
2
2
? ?c1 z1 ? c2 z2 ? S1 ? S2 + z3 z2 + ??4 + l3 (??1 ? ?1 ) + ?3 (?1 ) ?
??2 ? ??2
??2 ?
??1 ?
??2 ? ?e22 =
?
(??2 + ?1 (?1 ) ? e2 ) ?
??1
? ??1
? ??2
= ?c1 z12 ? c2 z22 ? S1 ? S2 + z3 z2 + z4 + ?3 (??1 , ??2 , ??3 , ?1 ) + l3 (??1 ? ?1 ) +
??2
??2 ?
??2 ? + ?3 (?1 ) ?
(??2 + ?1 (?1 ) ? e2 ) ?
??1 ?
??2 ? ?e22 .
??1
? ??1
? ??2
10.7463/1112.0500549
404
Выбрав
?3 (??1 , ??2 , ??3 , ?1 ) = ?c3 z3 ? z2 ? l3 (??1 ? ?1 ) ? ?3 (?1 ) +
?? 2
??2
??2 ?
??2 ?
2
+
(??2 + ?1 (?1 )) +
??1 +
??2 ? d3
z3 =
??1
? ??1
? ??2
??1
= ?c3 z3 ? z2 ? l3 (??1 ? ?1 ) ? b1 M1 sin ?1 + b1 k1 ?1 +
?? 2
??2
??2 ?
??2 ?
2
+
(??2 ? b1 ?1 ) +
??1 +
??2 ? d3
z3 ,
??1
? ??1
? ??2
??1
где c3 > 0, d3 > 0 | произвольные положительные константы, получим
2
??
??
2
2
z3 e2 + ?e22 ?
z32 ?
V?3 ? ?c1 z12 ? c2 z22 ? c3 z32 + z3 z4 ? d3
??1
??1
? S1 ? S2 = ?c1 z12 ? c2 z22 ? c3 z32 + z3 z4 ? S1 ? S2 ? S3 ,
где
S3 =
p
??2
1
d3
z3 ? ? e2
??1
2 d3
2
1
1
+ ??
e22 ? 0 при ? >
.
4d3
4d3
Шаг 4. Рассмотрим функцию
1
V4 (z1 , z2 , z3 , z4 , e) = V3 (z1 , z2 , z3 , e) + z4 2 + W (e) > 0.
2
Для производной по времени функции V4 в силу системы (15) справедлива
оценка
V?4 = V?3 + z4 z?4 + W? ? ?
3
X
ci zi2
?
i=1
??
3
X
i=1
ci zi2
?
3
X
3
X
Si + z4 z3 + z4 z?4 + W? ?
i=1
Si + z4 z3 + l4 (??1 ? ?1 ) + ?4 (?1 ) +
i=1
k1
u?
J
3
4
X
X
??3
??3 ?
?
e2i .
(??2 + ?1 (?1 ) ? e2 ) ?
??i ? ?
??1
? ??i
i=1
i=1
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
405
Тогда при выборе закона управления
u = ?4 (??, ?1 ) =
+
J
?c4 z4 ? z3 ? l4 (??1 ? ?1 ) ? ?4 (?1 ) +
k1
??3
(??2 + ?1 (?1 )) +
??1
3
X
??3
i=1
? ??i
??? i ? d4
?? 2
3
??1
!
z4
=
J
?c4 z4 ? z3 ? l4 (??1 ? ?1 ) ? k2 M1 sin ?1 +
k1
!
2
??3 ?
??3
??3 ?
??3 ?
??3
(??2 ? b1 ?1 ) +
z4 , (17)
+
??1 +
??2 +
??3 ? d4
??1
? ??1
? ??2
? ??3
??1
=
где c4 > 0, d4 > 0 | произвольные положительные константы, для производнoй по времени функции V4 в силу замкнутой системы (15) справедлива оценка
V?4 ? ?
4
X
ci zi2
?
i=1
=?
4
X
ci zi2
4
X
Si ? ?e21 ? ?e23 ? ?e24 =
i=1
?
i=1
p
4
2 Xp ??
2
1
1
i?1
d1 z1 + ? e2 ?
di
zi ? ? e2 ?
??
2 d1
2 di
1
i=2
?
4 X
i=1
1 2
??
e2 ? ?e21 ? ?e23 ? ?e24 . (18)
4di
При
n 1 1 1 1 o
? > max
,
,
,
4d1 4d2 4d3 4d4
справедливо неравенство
V?4 ? ?
4
X
i=1
ci zi2
? ??
4
X
e2i ,
(19)
(20)
i=1
4 n X
1 o
где ?? = min ?,
> 0.
??
4d
i
i=1
Отметим, что выполнения условия (19) можно добиться, например, зафикт
сировав коэффициенты di > 0, i = 1, 4, и подобрав матрицу Q = Q > 0 в
уравнении Ляпунова (6), удовлетворяющую данному условию.
10.7463/1112.0500549
406
Соотношения
z1 = ?1 ,
z2 = ??2 ? ?1 (?1 ),
z3 = ??3 ? ?2 (??1 , ??2 , ?1 ),
z4 = ??4 ? ?3 (??1 , ??2 , ??3 )
представляют собой гладкую замену переменных, определенную глобально. В
переменных zi , i = 1, 4 и e система (15) без выхода, замкнутая управлением
(17), примет вид
z?1 = ?c1 z1 + z2 ? d1 z1 ? e2 ,
?? 2
??1
1
z2 +
e2 ,
z?2 = ?c2 z2 ? z1 + z3 ? d2
??1
??1
?? 2
??2
2
z?3 = ?c3 z3 ? z2 + z4 ? d3
z3 +
e2 ,
??1
??1
?? 2
??3
3
e2 ,
z4 +
z?4 = ?c4 z4 ? z3 ? d4
??1
??1
e? = (A + LC)e,
(21)
т
где z = (z1 , z2 , z3 , z4 ) ? R4 .
Положение равновесия z = 0, e = 0 системы (21) экспоненциально устойчиво в целом. Тогда, так как ?i (0) = 0, i = 1, 3, положение равновесия ?? = 0,
e = 0 системы (15), замкнутой управлением (17) асимптотически устойчиво
в целом. В силу соотношения ? = ?? ? e положение равновесия ? = 0,
?? = 0 системы (16) при управлении (17) также асимптотически устойчиво в
целом.
Далее, так как отображение ?, заданное соотношениями (2), является диффеоморфизмом пространств R4 = {?} и R4 = {?}, из асимптотической устойчивости в целом положения равновесия ? = 0, ?? = 0 системы (16), составленной из уравнений системы (3) и уравнений наблюдателя (4) при управлении u = ?4 (??, ?1 ), следует асимптотическая устойчивость в целом в точке
x = 0, x? = 0 системы, состоящей из уравнений исходной системы (1) с рассматриваемым выходом и уравнений наблюдателя (4), записанного в переменных
x? = ?(??), при управлении u = ?4 (??1 (x?), x1 ).
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
407
Результаты численного моделирования системы (1) и наблюдателя (4), записанного в переменных x? = ?(??), при управлении u = ?4 (??1 (x?), x1 ) предрис.2
ставлены на рис. 2 при следующих значениях параметров и начальных данных
рассматриваемой системы и наблюдателя: M = 0,21 кг, I = 0,0093 кг · м2 ,
J = 0,0037 кг · м2 , k = 0,18
? ·м
кг · м2
м
, d = 0,046
, l = 0,15 м, g = 10 2 , c1 = 2,
рад
с
с
c2 = 2, c3 = 2, c4 = 2, d1 = 0,1, d2 = 0,1, d3 = 10?3 , d4 = 10?3 , l1 = ?17,5,
l2 = ?114,7, l3 = ?333,6, l4 = ?363,4, (?1 (0), ?2 (0), ?3 (0), ?4 (0)) =
= (3,14, 0, 3,14, 0), (??1 (0), ??2 (0), ??3 (0), ??4 (0)) = (2, 1,2, 3, 1,4).
Рис. 2. Переходные процессы системы (сплошная линия) и наблюдателя
(пунктир) при управлении u = ?4 (??1 (x?), x1 )
10.7463/1112.0500549
408
5. Заключение
В настоящей работе представлено решение задачи стабилизации заданного
углового положения однозвенного манипулятора при неполном измерении вектора состояния. Рассматривался случай, когда измерениям доступна только
угловая координата звена манипулятора. Синтез управления осуществлен при
помощи раздельного построения стабилизирующей обратной связи по состоянию и наблюдателя с последующей подстановкой оценки состояния системы
наблюдателем в обратную связь, а также с использованием метода обхода интегратора в наблюдателе.
По результатам численного моделирования можно сделать вывод о приблизительно одинаковом при рассмотренных начальных данных и использовании
одного и того же наблюдателя качестве переходных процессов системы с управлением, найденным при помощи метода обхода интегратора в наблюдателе,
и управлением, основанном на принципе разделения и методе линеаризации
обратной связью по состоянию.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №11-01-00733, №12-07-329
и Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных
школ (грант №НШ-3659.2012.1).
Список литературы
1. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Принцип разделения для аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2001. T. 37, № 11. C. 1468{1475.
2. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 2005. № 7.
С.3{42.
3. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control
design. New York: John Wiley and Sons, 1995. 563 p.
4. Krener A.J., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics //
SIAM J. Control and Optimization. 1985. V. 23, no 2. P. 197{216.
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
409
5. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Нелинейные k(x)-двойственные системы и
синтез наблюдателей // Дифференциальные уравнения. 1999. T. 35, № 5.
C. 648{663.
6. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический
подход. М.: Наука, 1980. 376 с.
7. Крищенко А.П. Стабилизация программных движений нелинейных систем //
Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 6. С. 103{112.
8. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез
алгоритмов управления // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258, № 4. С. 805{809.
10.7463/1112.0500549
410
Single-Link Manipulator Output Feedback Control: Manipulator
Link Angular Coordinate Feedback
# 11, November 2012
DOI: 10.7463/1112.0500549
Golubev A. E.
Russia, Bauman Moscow State Technical University
mathmod@bmstu.ru
In this paper the author considers solving the problem of stabilization of a set
angular position of a single-link manipulator when the measurement can only be
done by the angular coordinate of the motor shaft. It was sown that synthesis of
stabilizing control laws, as well as in the case when measurements can only be done
by the angular coordinate of the link manipulator, can be carried out by the principle
of separation and bypass integrator in the observer. According to the results of
numerical simulation one can draw a conclusion about approximately the same (with
the considered initial data and use of the same observer) quality of transient processes
of the system with the control found by the bypass integrator in the observer and
the control based on the principle of separation and linearization technique using
feedback according to the state. The possibility of applying the bypass method to the
problem of stabilization can solve this problem also in the case of system disturbances
and uncertainties. Possible range of application of the results obtained in the work is
solving solve problems of control of technical systems with incomplete information
about the state of the measured system.
References
1. Golubev A.E., Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Printsip razdeleniia dlia affinnykh
sistem [Principle of distribution for affine systems]. Differentsial'nye uravneniia,
2001, vol. 37, no. 11, pp. 1468{1475.
http://technomag.edu.ru/doc/500549.html
411
2. Golubev A.E., Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Stabilizatsiia nelineinykh dinamicheskikh sistem s ispol'zovaniem otsenki sostoianiia sistemy asimptoticheskim nabliudatelem (obzor) [Stabilization of nonlinear dynamic systems with the
use of the assessment of the status of the system asymptotic observer (review)].
Avtomatika i telemekhanika, 2005, no. 7, pp. 3{42.
3. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control
design. New York, John Wiley and Sons, 1995. 563 p.
4. Krener A.J., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics.
SIAM J. Control and Optimization, 1985, vol. 23, no 2, pp. 197{216.
5. Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Nelineinye k(x)-dvoistvennye sistemy i sintez
nabliudatelei [Nonlinear k(x) dual systems and synthesis of observers]. Differentsial'nye uravneniia, 1999, vol. 35, no. 5, pp. 648{663.
6. Wonham W.M. Linear Multivariable Control: A Geometric Approach. New York,
Springer, 1979. (Russ. ed.: Uonem U.M. Lineinye mnogomernye sistemy upravleniia: Geometricheskii podkhod. Moscow, Nauka, 1980. 376 p.).
7. Krishchenko A.P. Stabilizatsiia programmnykh dvizhenii nelineinykh sistem [Stabilization of programmed motions of non-linear systems]. Izvestiia AN SSSR.
Tekhnicheskaia kibernetika [Proceedings of Academy of Sciences of the USSR.
Technical Cybernetics], 1985, no. 6, pp. 103{112.
8. Zhevnin A.A., Krishchenko A.P. Upravliaemost' nelineinykh sistem i sintez algoritmov upravleniia [Controllability of nonlinear systems and synthesis of control
algorithms]. Doklady AN SSSR [Reports of Academy of Sciences of the USSR],
1981, vol. 258, no. 4, pp. 805{809.
10.7463/1112.0500549
412
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа