close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СМЕСЕЙ
ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ТЕПЛОПРОВОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин
В статье представлен результат существования обобщенных решений краевой задачи для системы
уравнений, описывающих стационарное движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей.
We consider the equations for mixtures of compressible heat conducting viscous fluids in the steady three dimensional case and show the existence of a weak solution in the case of no-slip boundary condition for the velocity
and Newton boundary condition for the temperature.
Ключевые слова: краевые задачи, динамика смесей, решение уравнений Навье-Стокса.
I. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ
РЕШЕНИЙ
Lij = − µij ∆ − (λij + µij )∇div,
1. Постановка задачи
Кроме классических уравнений гидродинамики,
при решении многих современных задач механики
сплошных сред используются более сложные модели,
точнее учитывающие неоднородный характер состава
реальных жидкостей и газов. Одним из примеров
таких моделей служит модель двухкомпонентных
смесей
вязких
сжимаемых
теплопроводных
жидкостей. Вопрос о глобальной разрешимости
краевых задач движения двухкомпонентных смесей
сжимаемых теплопроводных жидкостей в настоящее
время исследован в значительно меньшей степени, по
сравнению с моделью Навье-Стокса для сжимаемого
теплопроводного газа (см. [10, 7, 8] и указанную там
библиографию), имеются лишь результаты в случае
одномерного движения [21], [20].
В данной работе рассматривается задача об
установившемся
движении
двухкомпонентной
смеси
вязких
сжимаемых
теплопроводных
жидкостей в общем случае трехмерного движения.
Задача Б
Пусть смесь занимает ограниченную область
Ω ⊂ R 3 евклидова пространства точек x = ( x1 , x2 , x3 )
граница ∂Ω которой принадлежит классу C 2 .
Требуется найти векторные поля скоростей

u (i ) : Ω → R 3 , i = 1, 2 , скалярные поля плотностей
ρi : Ω → R + и температур θi : Ω → R + , i = 1, 2
составляющих смеси, удовлетворяющие следующим
уравнениям и краевым условиям [10], [18, 9, 4, 22]:

(1.1)
div( ρi u (i ) ) = 0 â Ω, i = 1, 2,



∑Lij u ( j ) + div( ρi u (i ) ⊗ u (i ) ) + ∇pi =
2


=
J (вi ) + ρi fi ( i ) Ω,
= 1, 2,
 (i )
 (i )

div( ρiθi u ) + div q = σˆ (i ) : ∇u (i ) −

− ρiθi div uв(i ) + Γi i Ω, = 1, 2,

u (i ) = 0 í à ∂Ω, i = 1, 2,

)∇θ ⋅ n +i L(θ )(θ − θˆ) = 0
k (θна
∂Ω,
i
i
i
∫ρ dx = M
i
Ω
i
i
i
> 0, i = 1, 2.
В уравнениях (1.2) операторы
(1.2)
(1.3)
(1.4)
= 1, 2,
(1.5)
(1.6)
определены
так, что для некоторой постоянной
выполняется неравенство:
2
2



∑ ∫Lij u ( j ) ⋅ u (i ) dx ≥ C0 ∑ ∫ | ∇u (i ) |2 dx.
i , j =1Ω
C0 > 0
(1.7)
i =1 Ω
Кроме того, предполагаются выполненными
следующие соотношения:
pi = ρiγ + ρiθi , i = 1, 2, γ > 1
– давление i -ой составляющей смеси,

m
q (i )где
= −kki (θi )∇θi , i = 1, 2,
i (θ i ) = 1 + θ i ,
i = 1, 2, m > 1
– вектор теплового потока i -ой компоненты смеси,



J (i ) = (−1)i +1 a (u (2) − u (1) ), i = 1, 2, a > 0
– интенсивность обмена импульсом между
составляющими смеси,


Γ1 = b(θ 2 − θ1 ), Γ 2 = −b(θ 2 − θ1 ) + a | u (1) − u (2) |2 , b > 0
–
интенсивность
обмена
энергией
между
составляющими смеси,
λ



σ (i ) = 2 µii D(u (i ) ) + ii divu (i ) I , i = 1, 2,
3
L(θi ) = 1 + θim −1 , i = 1, 2.
В краевых условиях (1.5) предполагается, что
θˆ > 0 – известная достаточно гладкая функция.


Массовые силы f (1) и f (2) в уравнениях (1.2)
считаются заданными непрерывными векторными
полями. Величины M i , λij , µij , γ , a , m и b
считаются заданными константами.
Определение 1. Обобщенным решением
краевой задачи Б называются неотрицательные
1,
3
ρi ∈ L1 (Ω) 1), θi ∈ W 2 (Ω) ,

векторные поля u (i ) ∈ W01,2 (Ω) , i = 1, 2 ,
функции
j =1
i, j = 1, 2
i = 1, 2
и
В работе используются общепринятые в литературе обозначения Lp (W l , p ) (см., например, [16], [12])
1)
для пространств функций интегрируемых со степенью p ≥ 1 (вместе с обобщенными производными до
порядка l ≥ 0 ). Через C l ( Ω ) ( C0l ( Ω ) ) обозначим ба-
нахово пространство l раз непрерывно дифференцируемых функций (обращающихся в нуль на ∂Ω ),
l ≥ 0 . Обозначения пространств для векторных
9
удовлетворяющие следующим условиям:
 (i )
2
1
∫Ωρi dx = M i , ρiθi ∈ L (Ω), ρi u ∈ L (Ω),
( Б1 )
θim ∇θi ∈ L1 (Ω), θim ∈ L1 (∂Ω),

ρiγ ∈ L1loc (Ω), ρi | u (i ) |2 ∈ L1loc (Ω), i = 1, 2;
( j)
2
∑L uε
+
ij
j =1
ε
2

ρiε uε(i ) +
ε M i  (i )
2|Ω|
1 ε  (i )

ρi (uε ⋅ ∇)uε(i ) +
2
uε +
1


+ div( ρiε uε( i ) ⊗ uε( i ) ) + ∇piε =
2


= 1, 2.
=+
J ε(вi ) ρiε fi ( i ) Ω,
(1.9)
( Б2 ) для любых дифференцируемых функций Gi с
ε


ε ε  (i )
ε ε + θi
(
)
(
)
div
u
div
k
ρ
θ
θ
−
∇θ iε  =
 i i
ограниченными производными Gi ' ∈ C ( R) , i = 1, 2 и
i i ε
ε
θi


произвольных
функций
i = 1, 2
ψ i ∈ C 1 (Ω) ,
 (i )
 (i )
ε ε
(i )
= 1, 2.
= σˆ ε : ∇uε − вρi θi divi uε + Γεi Ω,
выполняются интегральные тождества:

 Gi ( ρi )u (i ) ⋅∇ψ i +

 )

uε(iна
= 0, ∇iρiε ⋅ n = 0
∂Ω,
= 1, 2,
∫Ω  + ( G ( ρ ) − G ′( ρ ) ρ )ψ div u (i ) dx = 0, i = 1, 2;
ε
i
i
i
i
i
i


ε ε + θi
ε 

( Б3 ) для любых векторных полей ϕ (i ) ∈ C0∞ (Ω) , ki (θi ) θ ε ∇θi ⋅ n +
i
i = 1, 2 выполняются интегральные тождества:
ε
(θiε )(θiε − iθˆ) = 0
= 1, 2.
+ε ln θi + Lна
∂Ω,
2 
 (i )
 (i ) 
( j)
( j)
 µij ∫∇u : ∇ϕ dx + (λij + µij ) ∫div u div ϕ dx  −
∑
ε
j =1 

Ω
Ω
∫ρi dx = M i , i = 1, 2,
 (i )
 (i )  (i )
Ω
− ∫ρi u ⊗ u : ∇ϕ dx =
которую условимся называть задачей Бε .
Ω
 (i )
 (i )
γ
piε = ( ρiε )γ + ρiε θiε ,
= ∫ρi div ϕ dx + ∫ρiθ i div ϕ dx +
Ω
Ω



+ ∫ ( J ( i ) + ρi f ( i ) ) ⋅ ϕ ( i ) dx,

i = 1, 2;
Ω
( Б4 ) для любых функций ηi ∈ C ∞ (Ω) , i = 1, 2
выполняются интегральные тождества:

− ∫ρiθ i u ( i ) ⋅ ∇ηi dx + ∫ L(θ i )(θ i − θˆ)ηi dσ +
Ω
∂Ω

+ ∫ki (θ i )∇θ i ⋅ ∇ηi dx = 2 µii ∫ | D (u ( i ) ) |2 ηi dx +
Ω
+
λii
3
Ω
 (i ) 2
∫ | div u | ηi dx −
Ω

− ∫ρiθ i div u ( i )ηi dx + ∫Γ iηi dx,
Ω
σˆ ε( i ) = 2 µii D (uε( i ) ) +
ε
функций будем использовать такие же, как и для

скалярных функций, а принадлежность u ∈ X будем понимать как

ui ∈ X , =i 1,..., n, =
u ( u1 ,..., un ) .
(1.12)
Здесь
i = 1, 2 ,
ε
Γ1 = b(θ 2 − θ1 ) ,


Γε2 = −b(θ 2ε − θ1ε ) + a | uε(1) − uε(2) |2 ,
| Ω |= meas (Ω) , ε ∈ (0,1] .
Сначала мы докажем существование сильного
обобщенного решения задачи Áε . Затем совершим
предельный переход в слабом смысле в уравнениях
(1.8)-(1.10) при ε → 0 .
i = 1, 2.
γ > 3 краевая задача Б имеет, по крайней мере,
одно обобщенное решение.
Доказательству этого утверждения посвящена
оставшаяся часть статьи. Ограниченный объем
статьи позволяет лишь кратко охарактеризовать
основные этапы доказательства. Обобщенное
решение задачи Á будет получено как предел
решений следующей краевой задачи:
M

−ε ∆ρiε + div( ρiε uε(i ) ) + ερiε = ε i â Ω, i = 1, 2, (1.8)
|Ω |
ε
(1.11)

div uε( i ) ,
3
 (i )
 (2)  (1)
i +1
J ε = ( −1) a (uε − uε ),
2. Существование сильного обобщенного
решения задачи Áε
Ω
Основной результат данной работы состоит в
доказательстве
существования
обобщенного
решения задачи Б и формулируется в виде
следующей теоремы.

Теорема 1. Для любых f (i ) ∈ C (Ω) , i = 1, 2 ,
θˆ ∈ C (∂Ω) , θˆ > 0 , m > 6(γ − 1)(2γ − 1) /(γ − 3)(6γ − 1) ,
λii
(1.10)
Определение 2. Сильным обобщенным решением
задачи Áε называются неотрицательные функции
ρiε , θiε ∈ W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ ,
∫ρ
ε
i
dx = M i , i = 1, 2 и
Ω

векторные поля uε(i ) ∈ W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ , i = 1, 2
такие, что уравнения (1.8)-(1.10) выполнены п.в. в
Ω и п.в. на ∂Ω - краевые условия (1.11).

Теорема 2. Для любых f (i ) ∈ C (Ω), i = 1, 2 ,
θˆ ∈ C (∂Ω) , θˆ > 0 , m > 6(γ − 1)(2γ − 1) /(γ − 3)(6γ − 1) ,
γ > 3 краевая задача Áε имеет, по крайней мере,
одно сильное обобщенное решение, которое
удовлетворяет неравенству:
 ε


 ρi L2γ ( Ω ) + uε(i ) W1,2 ( Ω ) +

0


2
 + ε∇ρ ε 6γ + θ ε
 ≤ C , (2.1)
+
∑
i Lγ +3 ( Ω )
i L3 m ( Ω )


i =1


− siε
siε
ε
ε
 + ∇θi L2 ( Ω ) + ∫ (e + e ) dσ + ∇si L2 ( Ω ) 
∂Ω


10
где siε = ln θiε , i = 1, 2 , постоянная C > 0 зависит

только от f (i )
, θˆ
, λij , µij , m , γ , |Ω | , a ,
C (Ω)
C ( ∂Ω )
b , M i и не зависит от параметра ε .
Доказательство теоремы 2 проведем, применяя
принцип неподвижной точки Лере-Шаудера. С этой
целью, рассмотрим следующее семейство краевых
задач:
tM i

−ε∆ρi = − div( ρ
Ω,
в i u ( i ) ) − ερi + ε
|Ω |

∇ρi ⋅ nна
=0
∂Ω, dx∫ρi tM= i i ,
= 1, 2, (2.2)
Ω
tM i  (i ) 1
ε 



Lij u ( j ) = − ρi u (i ) − ε
u − ρi (u (i ) ⋅ ∇)u (i ) −
∑
2
2|Ω|
2
j =1
2
1


s
− div( ρi u (i ) ⊗ u (i ) ) − ∇ρiγ − t∇( ρi e i ) +
2



+tJ (iв) + t ρi fu(i ) Ω,на (i ) = 0i ∂Ω, = 1, 2,
(2.3)
msi
)(e − θˆ)i
= −tL(e на
si
si
∂Ω,
= 1, 2,
(2.4)
где si = ln θi , i = 1, 2 , t ∈ [0,1] . Выводя априорные
оценки двухпараметрического семейства решений
сформулированных выше краевых задач, чтобы не
загромождать запись, индексы ε и t опускаем.

Предположим, что ρi > 0 , si , u (i ) , i = 1, 2 ,
принадлежащие W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ удовлетворяют
(2.2)-(2.4). Докажем, что при этом имеет место
неравенство (2.1), не зависящее от параметров ε , t .

Умножая обе части уравнений (2.3) скалярно на u (i ) ,
i = 1, 2 , интегрируя результат по области Ω и
суммируя по i = 1, 2 , получим:
ε
 (i )
 (i ) 2
(i )
∫Ωσ : ∇u dx + 2 Ω∫ρi | u | dx +
tM i
γ

ρ γ dx +
| u ( i ) |2 dx + ε
∫
γ − 1 Ω∫ i
2|Ω|Ω

+εγ ∫ρiγ − 2 | ∇ρi |2 dx − t ∫ρiθ i div u ( i ) dx =
+ε
Ω
∂Ω
∂Ω

−t ∫ρiθ i div u ( i ) dx + t ∫Γ i dx,
Ω
, λij ,
Ω
(2.7)
i = 1, 2.
Ω
Складывая равенства (2.5) и (2.7), приходим к
соотношениям:
t ∫ L(θ i )(θ i − θˆ) dσ + ε ∫ si dσ =
∂Ω
∂Ω
∫(tσˆ
=
(i )
ε


− σ ) : ∇u ( i ) dx − ∫ρi | u ( i ) |2 dx −
2Ω
i
tM i
γ

ρ γ dx −
| u ( i ) |2 dx − ε
∫
γ − 1 Ω∫ i
2|Ω|Ω
−ε
tM i γ
ρiγ −1 dx +
| Ω | γ − 1 Ω∫
−εγ ∫ρiγ − 2 | ∇ρi |2 dx + ε
Ω



+t ∫ ( J ( i ) + ρi f ( i ) ) ⋅ u ( i ) dx + t ∫Γ i dx,
Ω
i = 1, 2. (2.8)
Ω
С другой стороны, разделив обе части уравнений
(2.4) на θi и интегрируя результат по области Ω ,
получим следующие равенства:

ε + θi
σˆ ( i ) : ∇u ( i )
t∫
dx + ∫ki (θ i )
| ∇si |2 dx +
θi
Ω
+t ∫ L(θ i )
∂Ω
θi
Ω
θˆ
−s
d σ − ε ∫ si e i d σ −
θi
∂Ω


−t ∫ ( ρi u ( i ) ⋅ ∇si − u ( i ) ⋅ ∇ρi ) dx +
Ω
Γi
+t ∫
θi
Ω
dx = t ∫ L(θ i ) d σ ,
i = 1, 2.
(2.9)
∂Ω
Правую часть равенств (2.9) представим в виде:
t ∫ L(θ i ) dσ = t ∫ L(θ i )(θ i − θˆ) dσ +
∂Ω
∂Ω
+t ∫ L(θ i )(1 + θˆ) dσ − t ∫ L(θ i )θ i dσ ,
i = 1, 2
∂Ω
и воспользуемся соотношениями (2.8). Тогда, из
(2.9) получаем, что

2
2
ε + θi
σˆ ( i ) : ∇u ( i )
t ∑∫
dx + ∑ ∫ki (θ i )
| ∇si |2 dx +
θi
θi
i =1 Ω
i =1 Ω
2
i = 1, 2,
C (Ω)
(2.4), получаем:

t ∫ L(θ i )(θ i − θˆ) dσ + ε ∫ si dσ = t ∫σˆ ( i ) : ∇u ( i ) dx −
∂Ω
Ω
tM i γ
γ −1
=ε
∫ρi dx +
| Ω | γ −1 Ω



+t ∫ ( J ( i ) + ρi f ( i ) ) ⋅ u ( i ) dx,
(i )
µij , γ , |Ω | и M i , но не зависящей от параметров ε
и t.
Интегрируя теперь по области Ω уравнения
Ω

)(ε + si )∇si ) = tσˆ ( i ) : ∇u ( i ) −

s 
s
−tdiv ( ρi e i u ( i ) )в− t ρi e i div u ( i ) + t Γ i Ω,

(1 + e msi )(ε + si )∇si ⋅ n + ε si =
− div ((1 + e

с постоянной C , зависящей только от f
(2.5)
+t ∑ ∫ L(θ i )
i =1 ∂Ω
2
2
Γ
θˆ
d σ + t ∑ ∫ L(θ i )θ i d σ + t ∑ ∫ i dx +
θi
i =1 ∂Ω
i =1 Ω θ i
Ω
где
θi = e i ,
s
i = 1, 2 .
В
силу
ограниченности
вложения W01,2 (Ω) в L6 (Ω) , из (2.5) следует
нервенство
2
2
 (i ) 2
2
∑ u W 1, 2 ( Ω ) ≤ C ∑ ρi 6 +
0
i =1
2
+C ∑ ρ iθ i
i =1
i =1
L5
(Ω)
+
ε
2
∑ρ
2 ∫
i =1 Ω
+ C,
(2.6)
tM i
γ 2


| u ( i ) |2 dx + ε
| u ( i ) |2 dx + ε
∑ ρ γ dx +
∫
γ − 1 i =1 Ω∫ i
2|Ω|Ω
s−
+εγ ∑ ∫ρiγ − 2 | ∇ρi |2 dx + ε t ∑ ∫  si− e i + si+  dσ =


i =1 Ω
i =1 ∂Ω
2
2
2
2


= t ∑ ∫ ( ρi u (i ) ⋅ ∇si − u (i ) ⋅ ∇ρi ) dx + t ∑ ∫ L(θi )(1 + θˆ) dσ +
i =1 Ω
2
L2 ( Ω )
i
i =1 ∂Ω
tM i γ 2 γ −1

+ ∑ ∫ (tσˆ (i ) − σ (i ) ) : ∇u (i ) dx + ε
∑ ρi dx +
| Ω | γ − 1 i =1 Ω∫
i =1 Ω
2
11
2
2


− s+
+t ∑ ∫ρi f ( i ) ⋅ u ( i ) dx + ε t ∑ ∫  si+ e i + si−  dσ , (2.10)

i =1 Ω
i =1 ∂Ω 
| si | + si
| s | − si
, si− = i
, i = 1, 2 . В левой
2
2
части (2.10) все слагаемые неотрицательны. Этот
факт вытекает из следующих соотношений:

σˆ (i ) : ∇u (i ) ≥ 0 ⇔ µii > 0, λii + 2µii > 0, i = 1, 2,


2
Γi
| θ1 − θ 2 |2
| u (1) − u (2) |2
+
b
a
=
.
∑
где si+ =
θi
i =1
θ1θ 2
θ2
Рассмотрим первое слагаемое в правой части
(2.10). Используя уравнения (2.2), получаем:
2


t ∑ ∫ ( ρi u ( i ) ⋅ ∇si − u ( i ) ⋅ ∇ρi ) dx =
i =1 Ω
2
M
= t ∑ ∫ (ε∇ρi ⋅ ∇si + ερi ln θ i − ε t i ln θ i −
|Ω|
i =1 Ω
| ∇ρi |2
−ε
ρi
− ερi ln ρi + ε t
В силу оценок:
2
ε t ∑ ∫∇ρi ⋅ ∇si dx ≤
i =1 Ω
2
+ε t ∑ ∫
| ∇ρi |2
ρi
i =1 Ω
−ε t 2
+
εt
4
dx +
εγ
2
Mi
ln ρi ) dx.
|Ω|
2
∑ ∫ρ γ
i
−2
(2.11)
| ∇ρi |2 dx +
i =1 Ω
1 2
∑ ∇si
4 i =1
2
2
L2 ( Ω )
,
2
Mi
M
si+ dx +
∑ ∫ ln θi dx ≤ −ε t 2 | Ωi | ∑
∫
| Ω | i =1 Ω
i =1 Ω
s−
2
∑ ∫ si− e i dσ +
i =1 ∂Ω
1 2
∑ ∇si
4 i =1
2
L2 ( Ω )
+ tC ,
2
t ∑ ∫ (ερi ln θ i − ερi ln ρi +
i =1 Ω
Mi
2
ln ρi ) dx ≤ t ρiθ i L2 ( Ω ) + tC
|Ω|
из (2.11) следует неравенство:
2
εγ 2 γ − 2


t ∑ ∫ ( ρi u (i ) ⋅∇si − u (i ) ⋅∇ρi ) dx ≤
∑ ρi | ∇ρi |2 dx +
2 i =1 Ω∫
i =1 Ω
+ε t
1 2
2
2
+ ∑∇ si L2 ( Ω ) + t ρiθ i L2 ( Ω ) + tC.
(2.12)
2 i =1
Рассмотрим теперь последнее слагаемое в
правой части (2.10). Используя оценки
1
1
s−
s−
− s+
si− ≤ si− e i + 1, si+ e i ≤ si− e i − si− + 1, i = 1, 2,
8
8
получаем, что
− s+
ε t ∑ ∫  si+ e i + si−  d σ ≤
2
i =1 ∂Ω
≤
εt
2


∑ ∫s
−
i
e
si−
1 + θim
| ∇θi |2 dx +
∑
2
∫
θ
i =1 Ω
i
2
2


θˆ
+t ∑ ∫  L(θi ) + L(θi )θi + ε | si |  dσ ≤
θi
i =1 ∂Ω 

2
2
 2  2

2
2
≤ tC  ∑ u (i ) 1,2 + ∑ ρi 6 + ∑ ρiθi L2 ( Ω ) + 1 . (2.14)
W (Ω)
 i =1

0
i =1
i =1
L5 ( Ω )


Из неравенства (2.14), в силу вложения W 1,2 (Ω)
в L6 (Ω), следует, что
2
∑θ
m
i L3 m ( Ω )
≤
i =1
2
2
 2  2

2
2
≤ C  ∑ u (i ) 1,2 + ∑ ρi 6 + ∑ ρiθi L2 ( Ω ) + 1 . (2.15)
W (Ω)
 i =1

0
i =1
i =1
L5 ( Ω )


Для вывода других оценок решений задач (2.2)(2.4) заметим, что из уравнений (2.3) следуют
интегральные соотношения:
2 
 (i )
 (i ) 
( j)
( j)
 µij ∫∇u : ∇ϕ dx + (λij + µij ) ∫div u div ϕ dx  +
∑
j =1 

Ω
Ω
tM i  (i )  (i )
ε
 (i )  (i )
+ ∫ρi u ⋅ ϕ dx + ε
u ⋅ ϕ dx +
2Ω
2 | Ω | Ω∫


1
1




ρi (u (i ) ⋅ ∇)u (i ) ⋅ ϕ (i ) dx − ∫ρi u (i ) ⊗ u (i ) : ∇ϕ (i ) dx −
∫
2Ω
2Ω
 (i )
 (i )
γ
− ∫ρi div ϕ dx − t ∫ρiθ i div ϕ dx =
+
Ω
Ω



=∫ (tJ ( i ) + t ρi f ( i ) ) ⋅ ϕ ( i ) dx,
(2.16)
Ω
справедливые для любых векторных полей

ϕ ( i ) ∈ C0∞ (Ω) , i = 1, 2 . Возьмем в качестве пробных

функций ϕ (i ) в тождествах (3.16) такие, что


1
div ϕ (вi ) = ρiγ −
на
ρiγ dx Ωi, ϕ (i ) = 0
| Ω | Ω∫
В результате получаем соотношения:
∂Ω,
= 1, 2.
2

1  γ
t
γ
∫Ωρ dx = |Ω |  Ω∫ρi dx  + | Ω | Ω∫ρi dx Ω∫ρiθi dx −

ε

−t ∫ρiγ +1θ i dx + ∫ρi u ( i ) ⋅ ϕ ( i ) dx +
2
Ω
Ω
2γ
i
+ε
tM i  (i )  (i )
1

 
u ⋅ ϕ dx + ∫ρi (u (i ) ⋅∇)u (i ) ⋅ ϕ (i ) dx +
∫
2|Ω|Ω
2Ω
2 





+ ∑  µij ∫∇u ( j ) : ∇ϕ (i ) dx + (λij + µij ) ∫div u ( j ) div ϕ (i ) dx  −
j =1 

Ω
Ω
2
d σ − ε t ∑ ∫ si− d σ + tC. (2.13)
4 i =1 ∂Ω
i =1 ∂Ω
Таким образом, в силу (2.12), (2.13), из формулы
(2.10) получим неравенство:

1


ρi u ( i ) ⊗ u ( i ) : ∇ϕ ( i ) dx −
∫
2Ω




− ∫tJ ( i ) ⋅ ϕ ( i ) dx − t ∫ρi f ( i ) ⋅ ϕ ( i ) dx,
−
Ω
В силу неравенства
 (i )
ϕ
≤ C ρi
1,2
W
0
(Ω)
γ
L2 γ ( Ω )
следует, что при m > 1 , γ > 3
12
i = 1, 2.
(2.17)
Ω
(см. [12]) из (2.17),
ρi
γ
L2γ ( Ω )
+C ρ i
≤C ρ
L2 γ ( Ω )
2γ − 3
2γ −1
i L2γ ( Ω )
γ

+ C u (i )
2

+ C∑ u ( j)
j =1
+C ρ i
L2 γ ( Ω )
θi
2
W 1,2 ( Ω )
0
+ C,
m
L3 m ( Ω )
2
W 1,2 ( Ω )
0
ρ
5γ
3(2γ −1)
i L2γ ( Ω )
+
+
i =1
(2.18)
i = 1, 2,
где постоянная C не зависит от параметров ε и t .
Из (2.18), в свою очередь, получаем, что
ρi
γ
2γ − 3
2 γ −1
2
L γ (Ω)
γ
≤ C ρi
L2 γ ( Ω )
+
5γ
3(2 γ −1)
L2 γ ( Ω )
 2 
 2
2
+C  ∑ u ( j ) 1,2
 ∑ ρi
(Ω)
W
0
 j =1
 i =1
2
2

+C ∑ u ( j ) 1,2
+
W
0
j =1
 2
+C  ∑ θ j
 j =1
L3 m ( Ω )
2
+C ∑ ρ i
L2 γ ( Ω )
 2
 ∑ ρi
 i =1
+ C,
2
∑
+
2
+C ∑ ρ i
i =1
2
∑
ρi
i =1
m
10 γ
3(2 γ −1) m − 2
L2 γ ( Ω )
θi
(2.19)
6
L5 ( Ω )
m
L3 m ( Ω )
+
i =1
,
2γ
3(2 γ −1)
L2 γ ( Ω )
2
2
≤ C ( M i )∑ ρi
i =1
,
(2.20)
получаем теперь из (2.6), (2.15) и (2.19) соотношение:

 γ
[ R ( ρ )]γ ≤ C[ R ( ρ )]
10 γ
2γ − 3
2 γ −1
8γ − 3

+ C[ R ( ρ )] 6γ − 3 +
2γ
m
+1


+C[ R ( ρ )]3(2γ −1) m − 2 + C[ R ( ρ )]3(2γ −1) +

+C[ R ( ρ )]

+C[ R ( ρ )]

+C[ R ( ρ )]
10 γ
m
3(2 γ −1) m − 2
5γ
3(2 γ −1)

где R( ρ ) = ∑ ρi

+ C[ R ( ρ )]
10 γ
5γ
m
+
3(2 γ −1) m − 2 3(2 γ −1)
L2γ ( Ω )
7γ
3(2 γ −1)
+
+

+ CR ( ρ ) + C ,
2
(2.21)

, ρ = ( ρ1 , ρ 2 ) . Далее, так как
i =1
при m >
6(γ − 1)(2γ − 1)
, γ > 3 верно неравенство
(γ − 3)(6γ − 1)
m
2γ − 3 8γ − 3
10γ
,
,
+ 1,
2γ − 1 6γ − 3 3(2γ − 1) m − 2
m
2γ
10γ
7γ
,
,
,
3(2γ − 1) 3(2γ − 1) m − 2 3(2γ − 1)
m
10γ
5γ
5γ
,
},
+
3(2γ − 1) m − 2 3(2γ − 1) 3(2γ − 1)
то из (2.21) получаем первую априорную оценку
решений краевых задач (2.2)-(2.4):
2

(2.22)
R ( ρ ) = ∑ ρi L2γ ( Ω ) ≤ C.
γ > max{1, γ
θi2
≥ 1,
m > 2,
i = 1, 2 и
∇θ i
2
L2 ( Ω )
≤ C.
(2.26)
i =1
i =1
2
1 + θim
соотношений (2.22), (2.25), получим теперь из (2.14)
оценку:
L2 γ ( Ω )
∑
(Ω)
Из (2.6) и оценок (2.20), (2.22) получим, что
1 2
 (i ) 2
m
C ∑ u W 1,2 ( Ω ) ≤ ∑ θ i L3 m ( Ω ) + C. (2.24)
0
4 i =1
i =1
Таким образом, из соотношений (2.23), (2.24)
следует априорная оценка:
2
 (i ) 2
m
 u
+ θ i L3 m ( Ω ) 

 ≤ C. (2.25)
∑
W 1, 2 ( Ω )
0

i =1 
В силу неравенств
i = 1, 2.
Используя неравенства
2
1
2
C ∑ ρiθ i L2 ( Ω ) ≤
4
i =1
W
0
i =1
2
+
(Ω)
m
Далее, из (2.15) и оценок (2.20) и (2.22) вытекает
неравенство:
2
2
2

m
∑ θi L3m ( Ω ) ≤ C ∑ u (i ) 1,2 + C. (2.23)
Осталось заметить, что из априорных оценок
(2.22), (2.25) и (2.26), неравенства (2.14) и
соотношений (см. [5])
2
2



ε∇ρi Lγ6+γ3 ( Ω ) ≤  1 + ∑ ρi u ( i ) Lγ6+γ3 ( Ω )  ≤ C
∑
i =1
i =1


следует неравенство (2.1) с постоянной С, не
зависящей от параметров ε и t .
Далее, в силу неравенства (2.1) и классических
результатов о регулярности решений эллиптических
дифференциальных уравнений и систем уравнений
[1, 2, 13, 14, 15, 25, 24, 17], из (2.2)-(2.4) следует, что

2  ρi
+ u ( i ) 2, q
+
W 2, q ( Ω )
(Ω)
W

 < C (ε ) ,
∑

(2.27)
i =1  + si
+
θ
i W 2, q ( Ω )
W 2, q ( Ω )


1 ≤ q < ∞.
Априорная оценка (2.27) позволяет доказать
существование сильного обобщенного решения
задачи Áε при помощи принципа неподвижной
точки Лере-Шаудера. С этой целью рассмотрим
семейство отображений (u , ρ , s ) = Ψ (t , u * , ρ * , s* ) ,
 
ρ = ( ρ1 , ρ 2 ) ,
s = ( s1 , s2 ) ,
u = (u (1) , u (2) ) ,
 (1)  (2)
*
*
*
*
*
*
из
u = (u* , u* ) ,
ρ = ( ρ1 , ρ 2 ) ,
s = ( s1 , s2* )
W 1, ∞ (Ω) в W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ , определенных как
решение краевых задач:
tM i

−ε∆ρi = − div( ρ
Ω,
в i u*( i ) ) − ερi + ε
|Ω |

∇ρi ⋅ nна
=0
∂Ω, dx∫ρi tM= i i ,
= 1, 2, (2.28)
Ω
( j)
ε
tM i  ( i ) 1


u* − ρi (u*( i ) ⋅ ∇)u*( i ) −
2
|
|
2
Ω
j =1

1


s*
− div( ρi u*( i ) ⊗ u*( i ) ) − ∇ρiγ − t ∇( ρi e i ) + tJ *( i ) +
2

 i)
=0
= 1, 2,
∂Ω
t ρвi f ( i ) u Ω, (на
i ,
(2.29)
2
∑L u
ij
i =1
13
=−
2

ρi u*(i ) − ε

ms*
− div((1 + e i )(ε + si* )∇si ) = tσˆ *( i ) : ∇u*( i ) −

s* 
s*
tdiv( ρi e i u*( i ) )в − t ρi ei i div u*( i ) + t Γ*i Ω,
= 1, 2,

msi*
(1 + e )(ε + si* )∇si ⋅ n + ε si =
*
*
si
s
= −tL(e на
)(e i − θˆi)
∂Ω,
= 1, 2,
(2.30)



где J *( i ) = ( −1)i +1 a (u*(2) − u*(1) ),

σˆ *( i ) = 2 µii D (u*( i ) ) +
λii
3

div u*( i ) I , i = 1, 2 ,


Γ1* = b(e − e ), Γ*2 = −b(e − e ) + a | u*(1) − u*(2) |2 .
s*2
s1*
s*
2
s1*
Если
функции
то
u * , ρ * , s* ∈ W 1, ∞ (Ω) ,
существование и единственность полей плотностей
ρi > 0 , принадлежащих W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ , следует
из результатов работы [5]. Существование и

единственность
векторных
полей
u (i ) ,
принадлежащих W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ , вытекает из
результатов о разрешимости краевых задач для
сильно эллиптических систем уравнений (см. [14,
15, 25, 24]). А результаты о существовании,
единственности и принадлежности скалярных полей
si пространству W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ имеются в
работах [8], [17].
Для
решений
(2.28)-(2.30)
справедлива
априорная оценка (2.27). Выберем число q так,
чтобы имело место вложение W 2, q (Ω) в W 1, ∞ (Ω) .
Тогда, справедлива оценка:

+ u (i )
 ρi 1, ∞
(Ω)
W

∑
i =1  + si
+ θi
W 1, ∞ ( Ω )

2
W 1, ∞ ( Ω )
W 1, ∞ ( Ω )
+
 < C (ε ) .
(2.31)


Обозначим через M подмножество в W 1, ∞ (Ω) ,
определенное неравенством (2.31). Ясно, что
отображение Ψ :[0,1] × M → W 2, q (Ω) непрерывно.
предельному переходу последовательности решений
регуляризованной задачи к решению задачи Á .
3. Предельный переход
В
силу
априорной
оценки
(2.1)
из
 (i )
ε
ε
последовательностей решений ρi , θi , uε , i = 1, 2
задачи Áε можно извлечь подпоследовательности,
за которыми сохраним прежние обозначения такие,
что при ε → 0
(3.1)
ρiε → ρi слабо в L2γ (Ω), i = 1, 2,
θiε → θi слабо в W 1,2 (Ω) ∩ L3m (Ω), i = 1, 2,
(3.2)
 (i )
 (i )
1,2
(3.3)
= 1, 2
uε слабо
→u вW
0 i (Ω),
и, следовательно,
θiε → θi сильно в Lq (Ω), q ∈ [1;3m), i = 1, 2, (3.4)
 )

uε(iсильно
→ u (i ) в L
qq (Ω),
∈i[1;6), = 1, 2. (3.5)
Кроме того, из (2.1) и (2.5) при t = 1 следует
неравенство:
2
ε ∑ ∫ ( ρiε )γ − 2 | ∇ρiε |2 dx ≤ C ,
(3.6)
i =1 Ω
где постоянная C не зависит от параметра ε . Из
этого неравенства и из уравнений (1.8) следует, что
при ε → 0
6γ
, i = 1, 2. (3.7)
ε∇ρiε → 0 сильно в Lq (Ω), 1 ≤ q <
γ +3
Действительно, из оценки (3.6) следует, что для
любого δ > 0 (при γ ≥ 2 )
ε ∇ρiε I
2
{
ρiε ≥δ
}
L2 ( Ω )
1
≤ Cε 2 δ
1−
γ
2
,
i=
1, 2,
(3.8)
где I K - характеристическая функция множества
K . С другой стороны, из уравнений (1.8) получим,
что
1


≤ C  δ + ( εδ ) 2  , i =
1, 2. (3.9)
i
2


L (Ω)
Таким образом, из неравенств (3.8), (3.9) с
1, ∞
Следовательно, оператор Ψ :[0,1] × M → W (Ω)

1 
=
δ ε α , α ∈  0,
 получаем, что
непрерывен и компактен. Легко видеть, что
γ
−2

Ψ (0, ⋅) ≡ 0 . Неравенство (2.31) означает, что
ε∇ρiε → 0 сильно в L2 (Ω) при ε → 0, i = 1, 2, (3.10)
отображение Ψ (t , ⋅) не имеет неподвижных точек на откуда в силу оценки (2.1) и следуют соотношения
границе множества M для любого t ∈ [0,1] . В силу (3.7).
Переходя
к
пределу
по
выбранным
теоремы Лере-Шаудера, можно утверждать, что
уравнение (u , ρ , s ) = Ψ (1, u , ρ , s ) имеет решение подпоследовательностям в уравнениях (1.8)-(1.10)
при ε → 0 получим, что предельные функции
u , ρ , s ∈ M ∩ W 2, q (Ω) , 1 ≤ q < ∞ . Осталось заметить,
ρi ∈ L2γ (Ω), ρi > 0, ∫ρi dx = M i ,
что это решение удовлетворяет неравенству (2.1).
Ω
Теорема 2 доказана.

θi ∈ W 1,2 (Ω) ∩ L3m (Ω), θi > 0, u (i ) ∈ W01,2 (Ω) , i = 1, 2
II. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
В предыдущей части работы рассматривалась
регуляризация задачи Á об установившемся
движении
двухкомпонентной
смеси
вязких
сжимаемых теплопроводных жидкостей, получены
равномерные по параметру регуляризации оценки
последовательности приближенных решений. В
этой части работы мы дадим обоснование
ε ∇ρiε I ρ ε <δ
{ }
2
6(γ − 1)(2γ − 1)
, γ > 3 удовлетворяют в
(γ − 3)(6γ − 1)
слабом смысле следующей системе уравнений:

(3.11)
div( ρ
в i u ( i ) ) i= 0 Ω,
= 1, 2,
при m >
( j)
2
∑L u
ij
j =1
(


+ div( ρi u ( i ) ⊗ u ( i ) ) +
)


+∇ ρiγ + ρiθ i = J (вi ) + ρi fi ( i )
14
Ω,
= 1, 2, (3.12)
 ρ γ + ρ θ − (λ + 2 µ )div u (1) −  2
i i
i1
i1
→ ∫ρ j  i
 τ dx
 (2)
(3.17)


(
2
)
−
+
λ
µ
div
u
Ω
i2
 i2
∀τ ∈ C0∞ (Ω), i, j = 1, 2.
Доказательство. Рассмотрим линейные ограниченные операторы:
∂ −1
∆ ,
Ak : Lp (Ω) → W 1, p (Ω), Ak =
∂xk
(3.18)
k = 1, 2, 3,


div ( ρiθ i u ( i ) ) − div ( ki (θ i )∇θ i ) = σˆ ( i ) : ∇u ( i ) −

= 1, 2,
−θ i ρi div uв( i ) + Γ ii Ω,
(3.13)
 (i )
 (i )
(i )
γ
обозначают слабые
где ρi , ρi div u , σˆ : ∇u
пределы
соответственно
последовательностей


ρiε div uε( i ) , σˆ ε( i ) : ∇uε( i ) ,
в
i = 1, 2
( ρiε )γ ,
2γ
γ +1
пространствах L (Ω) , L (Ω) и L1 (Ω) .
Для завершения доказательства теоремы
требуется, таким образом, доказать формулы:
2
γ
γ
ρi = ρi , i = 1, 2,


ρi div u ( i ) = ρi div u ( i ) , i = 1, 2,


σˆ ( i ) : ∇u ( i ) = σˆ ( i ) : ∇u (i ) , i = 1, 2.
1
Aks : Lp (Ω) → Lp (Ω),
(3.14)
Aks =
∂2
∆ −1 ,
∂xk ∂xs
(3.19)
k , s = 1, 2, 3,
где для произвольной функции v ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ ,
(3.15)
(3.16)
Следующая
лемма
показывает
слабую
регулярность так называемых эффективных вязких
потоков компонентов смеси, которые определяются
формулами:


pi − (λi1 + 2 µi1 )div u (1) − (λi 2 + 2 µi 2 )div u (2) , i = 1, 2,
продолженной
нулем
в
оператор
R3 \ Ω ,
3/2
1
v( y )
2π
dy , ω3 =
∆ −1 (v) = −
> 0 при
3ω3 R∫3 | x − y |
3Γ ( 3/2 )
3
является вполне непрерывным оператором из
2
Lp (Ω) в C (Ω) [23].

Пусть ϕ ( j ) = ∇(τ∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ )) , j = 1, 2 , где τ p>
γ
где pi = ρi + ρiθi .

Лемма 1. Пусть ρiε , θiε , uε(i ) , i = 1, 2 последовательности
решений
задачи
Áε ,
существование которых гарантируется теоремой

2, и пусть ρi , θi , u (i ) , i = 1, 2 их пределы,
определенные в (3.1), (3.2) и (3.3) соответственно.
Тогда, при ε → 0

 ( ρiε )γ + ρiε θ iε − (λi1 + 2 µi1 )div uε(1) −  2
ε
 τ dx →
∫ρ j  −(λ + 2µ )div u (2)

Ω
i2
i2
ε

и все
произвольная функция из
C0∞ (Ω)
рассматриваемые функции считаем продолженными
нулем в R 3 \ Ω . Приняв данные вектор-функции

ϕ ( j ) в качестве тестовых, из уравнений (1.9)
получаем соотношения:


 ( ρiε )γ + ρiε θ iε − (λi1 + 2 µi1 )div uε(1) − (λi 2 + 2 µi 2 )div uε(2)  τ 2 dx =
Ω


= ∫ρ j  ( ρiε )γ + ρiε θ iε − (λi1 + 2 µi1 )div uε(1) − (λi 2 + 2 µi 2 ) div uε(2)  τ 2 dx −
∫ρ
ε
j
Ω
− ∫ ( ρiε )γ ∆ (τ )∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ) dx − 2 ∫ ( ρiε )γ ∇τ ⋅ ∇∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ) dx −
Ω
Ω
− ∫ρiε θ iε ∆ (τ )∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ) dx − 2 ∫ρiε θ iε ∇τ ⋅ ∇∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ) dx +
Ω
Ω
2


+ ∑(λik + 2 µik ) ∫div uε( k ) ∆ (τ )∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ) dx + 2∑(λik + 2 µik ) ∫div uε( k ) ∇τ ⋅ ∇∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ) dx −
2
Ω
k =1
k =1
Ω
1



− ∫ρiε uε( i ) ⊗ uε( i ) : ∇(∇(τ∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ))) dx + ∫ (ε∇ρiε ⋅ ∇)uε( i ) ⋅ ∇(τ∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ )) dx +
2Ω
Ω


1


+ ∫ε∇ρiε ⊗ uε(i ) : ∇(∇(τ∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ ))) dx − ∫[−ερiε uε(i ) + J ε(i ) + ρiε f (i ) ] ⋅ ∇(τ∆ −1 (( ρ εj − ρ j )τ )) dx, i, j = 1, 2. (3.20)
2Ω
Ω
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (3.20). В силу (2.1), получим:
2
2
ε γ
(3.21)
∫( ρi ) ρ jτ dx → при
∫ pi ρ jτ dx i εj → 0, , = 1, 2,
Ω
Ω
ε ε
2
2
∫ρi θi ρ jτ dx →при
∫ρiθi ρ jτ dx i j ε → 0,
Ω
 (i )
∫div uε
Ω
Ω

→ ∫div u ( i ) ρ jτi 2jdx
ρ jτ 2 dxпри
ε → 0,
, = 1, 2,
(3.22)
, = 1, 2.
(3.23)
Ω
Все остальные слагаемые в правой части (3.20)
стремятся к нулю при ε → 0 . Это вытекает из
свойств операторов ∆ −1 , Ak , Ak s , k , s = 1, 2,3 ,
соотношений (3.1)-(3.3) и оценки (2.1). Лемма 1
доказана.
Следствием леммы 1 является следующее
важное утверждение.
15

Лемма 2. Пусть ρiε , θiε , uε(i ) , i = 1, 2 последовательности
решений
задачи
Áε ,
существование которых гарантируется теоремой

2, и пусть ρi , θi , u (i ) , i = 1, 2 их пределы,
определенные в (3.1), (3.2) и (3.3) соответственно.
Тогда, при ε → 0
  ( ρ1ε )γ + ρ1ε θ1ε 
 (1) ε
 (2) ε  2
ε
ε
∫Ω  A  ( ρ2ε )γ + ρ2ε θ 2ε  ⋅ ( ρ1 , ρ2 ) − div uε ρ1 − div uε ρ2  τ dx


  ( ρ )γ + ρ θ 



1 1
 1
 ⋅ ( ρ1 , ρ 2 ) − div u (1) ρ1 − div u (2) ρ 2  τ 2 dx
→ ∫ A
γ



Ω
  ( ρ 2 ) + ρ 2θ 2 

(3.24)
где
 =  λ11 + 2 µ11
A

 λ21 + 2 µ 21
Докажем теперь равенства (3.14). Отметим
сначала следующее утверждение [3].

Предложение 1. Пусть ρ , u - решение

уравнения div ( ρ u ) = 0 в D ′(Ω) такое, что


ρ ∈ L2 (Ω) , u ∈ W01,2 (Ω) . Тогда, продолжая ρ и u
нулем в R 3 \ Ω получим, что продолженные
функции являются решением данного уравнения в
D ′( R 3 ) , т.е. для любых функций ψ ∈ C0∞ ( R 3 )
выполнено тождество

(3.25)
∫ ρ u ⋅ ∇ψ dx = 0.
R3
В силу предложения 1, из уравнений (3.11)

следует (считая ρi , u (i ) , i = 1, 2 продолженными
нулем в R 3 \ Ω ), что для любых ψ i ∈ C0∞ ( R 3 ) ,
i = 1, 2 выполняются равенства
 (i )
(3.26)
∫ ρi u ⋅∇ψ i dx = 0, i = 1, 2.
R3
Введем в рассмотрение оператор усреднения:
1
| x− y |
S h [v ] = 3 ∫ θ 
 v( y )dy,
h R3  h 
(где θ ( t ) - бесконечно дифференцируемая, четная
неотрицательная функция одного переменного t
( −∞ < t < +∞ ), равная нулю для | t |≥ 1 и такая, что
∫θ (| t |) dt = 1 ,
h - произвольное положительное
R3
число), обладающий следующими свойствами [19],
[5]:
1) если v ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ и v = 0 в R 3 \ Ω , то
S h [v]иLp (SR3 ) v≤ Cv v
при
[ ] −h
Lp ( Ω )
h
L p ( R3 )
→0
→ 0;

2) если ρ ∈ Lp ( R 3 ) , u ∈ W 1, q ( R 3 ) , 1 < q ,
1 1 1
+ = < 1 , то
p q δ


div ( S h [ ρ u ]) − div ( S h [ ρ ]u )

≤ C ρ Lp ( R3 ) u W 1, q ( R3 )


и div( S h [ ρ u ])при
− div
h ( S h [ ρ ]u )
−1
λ12 + 2 µ12 
.
λ22 + 2 µ 22 
Lδ ( R3 )
→0
→ 0.
Приняв в качестве тестовых функций в (3.26)
1 | x− y |
функции ψ i = 3 θ 
 , i = 1, 2, получаем
h  h 
равенства

div( S h [ ρi ]u ( i ) ) = ri h , i = 1, 2,
(3.27)
где


ri h = div( S h [при
ρi ]u (hi ) ) − div( S h [ ρi u (i ) ]) → 0
→0
в L1 ( R 3 ) , i = 1, 2 согласно свойству 2). Теперь,
умножая
уравнения
(3.27)
на
Gi '( S h [ ρi ])
( Gi ( ρi ) ∈ C ′( R) – произвольная функция как в
условии (Б2) определения 1), получаем:

div(Gi ( S h [ ρi ])u ( i ) ) + (Gi′( S h [ ρi ]) S h [ ρi ] −
(3.28)

−Gi ( S h [ ρi ]))div(u ( i ) ) = ri h Gi′( S h [ ρi ]), i = 1, 2.
Из (3.28) следует, что для произвольных функций
ψ i ∈ C1 ( R 3 ) , i = 1, 2 , имеют место тождества:
 (i )
∫ Gi ( Sh [ ρi ])u ⋅ ∇ψ i dx + ∫ (Gi ( Sh [ ρi ]) −
R3
R3

−Gi′( S h [ ρi ]) S h [ ρi ]) div(u ( i ) )ψ i dx +
+ ∫ ri h Gi′( S h [ ρi ])ψ i dx = 0,
(3.29)
i = 1, 2.
R3
Совершая в тождествах (3.29) предельный
переход при h → 0 , приходим к равенствам:
 (i )
∫ Gi ( ρi )u ⋅∇ψ i dx +
R3
(3.30)

+ ∫ (Gi ( ρi ) − Gi′( ρi ) ρi )div(u (i ) )ψ i dx = 0, i = 1, 2,
R3
которые справедливы для всех ψ i ∈ C1 ( R 3 ) , i = 1, 2 .
Этот факт вытекает из следующих соотношений для
отдельных слагаемых в (3.29):
p < ∞,
 (i )
G (h
ρ )) u
∫ ( G ( S [ ρ ]) −при
i
h
i
i
i
Lδ ( R3 )
≤
⋅∇
i ψ i dx ≤ C S h [ ρi ] − ρi
L2 ( R3 )
R3
16
→0
→ 0,
= 1, 2;
(3.31)
∫ ( (G ′( S [ ρ ]) S [ ρ ] − G ( S [ ρ ]) − (G ′( ρ ) ρ
i
h
i
h
i
i
h
i
i
i
i

− Gi ( ρi )) ) divu ( i )ψ i dx
(3.32)
R3
≤ C (Gi′( S h [ ρi ])
при
S h [hρi ] − Gi ( S
i h [ ρi ]) − (Gi′( ρi ) ρi − Gi ( ρi ))
∫r
h
i
h
Gi′( S h [ ρ
при
i ])ψh
i dx ≤ C iri
R3
L1 ( R3 )
→0
L2 ( R3 )
→0
→ 0,
→ 0,
= 1, 2;
= 1, 2.
Таким образом, предельные функции
γ


  ( ρ1 ) + ρ1θ1  ⋅ ( ρ , ρ ) dx −
являются
ренормализованными
≤ ∫A
1
2
 ( ρ )γ + ρ θ 
Ω

2
2 2 
решениями уравнений (1.1).


Можно убедиться, что соотношения (3.31)-(3.33)
− ∫ρ1 div u (1) dx − ∫ρ 2 div u (2) dx =
справедливы также в том случае, если принять в
Ω
Ω
качестве Gi ( z ) = z ln z , i = 1, 2 . Следовательно, из
γ


  ( ρ1 ) + ρ1θ1  ⋅ ( ρ , ρ ) dx.
(3.29) вытекают равенства:
= ∫A
1
2
 (i )
 ( ρ )γ + ρ θ 
Ω
(3.34)

2
2 2 
∫Ωρi div u dx = 0, i = 1, 2.
Таким образом, доказано, что
C другой стороны, из (1.8) следуют оценки:
ε γ
ε ε
  ( ρ1 ) + ρ1 θ1  ⋅ ( ρ ε , ρ ε ) dx ≤
2
2
A
lim
M
+
M
|
Ω
|
+
|
Ω
|
 (i )
∫  ( ρ 2ε )γ + ρ 2ε θ 2ε  1 2
ε
i
i
ε →0
= ε C,
Ω
∫Ωρi divuε dx ≤ ε
(3.35)
|Ω|
γ


i = 1, 2.
  ( ρ1 ) + ρ1θ1  ⋅ ( ρ , ρ ) dx.
≤ ∫A
1
2
 ( ρ )γ + ρ θ 
Ω
Действительно, умножая обе части уравнений
 2
2 2 
(1.8) на ln ρiε + 1 получаем, что
Далее, так как
Mi
 (i )
ε
ε
ε
ε
∫Ω ρi divuε dx ≤ ε Ω Ω∫ ( ln ρi + 1) dx − ε Ω∫ ρi ( ln ρi + 1) dx ,
  ( ρ1ε )γ + ρ1ε θ1ε 
 ( ρ1 )γ + ρ1θ1ε
∫Ω  A  ( ρ 2ε )γ + ρ 2ε θ 2ε  − A  ( ρ 2 )γ + ρ 2θ 2ε
i = 1, 2,

(3.33)
ρi , i = 1, 2
откуда, учитывая неравенства
ln z + 1 ≤ z , − z ( ln z + 1) < z + 1 , следует
справедливость оценок (3.35).
Возьмем
теперь
последовательность функций
τn
неубывающую
такую, что
(3.36)

  ⋅

⋅(( ρ1ε , ρ 2ε ) − ( ρ1 , ρ 2 )) dx ≥ 0,
то, в силу (3.36), имеем:
γ
  ( ρ )γ + ρ θ 

1
1 1

  ( ρ1 ) + ρ1θ1   ⋅
A

−
A
∫   ( ρ )γ + ρ θ   ( ρ 2 )γ + ρ 2θ 2  
Ω
2 2 
  2

τ n ∈ C0∞ (Ω) ,
τ n → 1 при n → ∞ , 0 ≤ τ n ≤ 1 .
Объединяя лемму 2, (3.34) и (3.35), получаем:
ε γ
ε ε
  ( ρ1 ) + ρ1 θ1  ⋅ ( ρ ε , ρ ε ) dx ≤
lim ∫ A
1
2
ε γ
ε ε
ε →0
 ( ρ2 ) + ρ2 θ2 
Ω
⋅(( ρ1 , ρ 2 ) − ( ρ1 , ρ 2 )) dx ≥ 0.
 


Полагая ρ = ρ + ηψ , где ρ = ( ρ1 , ρ 2 ) ,


ρ = ( ρ1 , ρ 2 ) , η → 0 , а ψ ∈ L2γ (Ω) - произвольная
вектор-функция, приходим к равенствам (3.14):
 ( ρ ε )γ + ρ1ε θ1ε 
≤ lim lim ∫  1ε γ
⋅ ( ρ1ε , ρ 2ε )τ n2 dx ≤
ε ε 
n →∞ ε → 0
(
)
ρ
ρ
θ
+
2
2 2 
Ω
ρiγ = ρiγ , i = 1, 2.
 ( ρ ε )γ + ρ1ε θ1ε 

≤ lim lim ∫τ n2 [ A  1ε γ
⋅ ( ρ1ε , ρ 2ε ) − div uε(1) ρ1ε −
ε ε 
n →∞ ε → 0
 ( ρ2 ) + ρ2 θ2 
Ω
 (2) ε

− div uε ρ 2 ]dx + lim lim ∫τ n2 ρ1ε div uε(1) dx +
n →∞ ε → 0
Ω

+ lim lim ∫τ ρ 2 div uε(2) dx ≤
n →∞ ε → 0
2
n
ε
Ω
γ


  ( ρ1 ) + ρ1θ1  ⋅ ( ρ , ρ ) − div u (1) ρ −
≤ lim ∫τ n2 [ A
1
2
1
 ( ρ )γ + ρ θ 
n →∞
Ω
 2
2 2 


− div u (2) ρ 2 ]dx + lim ∫ρ1ε div uε(1) dx +
ε →0
Ω

+ lim ∫ρ 2ε div uε(2) dx ≤
ε →0
Ω
Докажем теперь равенства (3.15). Из формулы
(3.14) и соотношений (3.1) получаем, что при ε → 0
ρiε → ρi сильно в Lq (Ω), q ∈ [1, 2γ ), i = 1, 2. (3.37)
Отсюда и из соотношений (3.3) и следует
справедливость равенств (3.15):


ρi div u ( i ) = ρi div u ( i ) , i = 1, 2.
Таким образом, чтобы завершить доказательство
теоремы 1, осталось показать, что выполняются


равенства (3.16): σˆ (i ) : ∇u (i ) = σˆ (i ) : ∇u (i ) , i = 1, 2.
Для этого достаточно доказать факт сильной
сходимости градиента скоростей. Используя
сильную сходимость плотностей (3.37), докажем
сначала
сильную
сходимость
дивергенции
скоростей. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 3. Для любой функции τ ∈ C0∞ (Ω)
выполняются интегральные соотношения:
17
 (1)
 ( j )  (λi1 + 2 µi1 ) div uε +  2
div
u

ε
 (2)  τ dx →
∫

Ω
 + (λi 2 + 2 µi 2 ) div uε 

 (1)
 ( j )  (λi1 + 2 µi1 ) div u +  2
→ ∫div u

 (2)  τ dx
 + (λi 2 + 2 µi 2 ) div u 

Ω

при ε → 0,
(
(3.38)
i, j = 1, 2.
Заметим далее, что из леммы 3 вытекает.
Лемма 4. Для любой функции
справедливы формулы:
 (i ) 2 2
lim ∫ | div uε | τ dx =
ε →0
=
Ω
 (i )
∫ | div u
|2 τ 2 dx,
τ ∈ C0∞ (Ω)
i = 1, 2.
(3.39)
Беря теперь неубывающую последовательность
функций τ n такую, что τ n ∈ C0∞ (Ω) , τ n → 1 при
n → ∞ , 0 ≤ τ n ≤ 1 , получим в силу леммы 4
 (i ) 2
 (i ) 2 2
lim ∫ | div uε | dx ≤ limlim ∫ | div uε | τ n dx =
n →∞ ε → 0
Ω
Ω
W 1, q ( Ω )
i = 1, 2,
2


ω ε( i ) q
≤ C ∑ ε∆ρiε uε( i )
L
(Ω)
i =1
Ω
i = 1, 2,
Ω
то, в силу (3.40), имеем:
 (i )

u (i ) |2 dx → 0i
∫ | div uε − divпри
ε → 0,
(3.46)
W −1, q ( Ω )
,
(3.47)
i = 1, 2,
где постоянная C не зависит от параметра ε .
 i
≤ C , i = 1, 2
Из оценок Gε( ) 4γ6γ+ 3
(Ω)
Ω
Далее, так как
 (i )
 (i ) 2
∫ | div uε − div u | dx ≥ 0,
,
Lq ( Ω )
L
 (i ) 2 2
 (i ) 2
lim ∫ | div u | τ n dx ≤ ∫ | div u | dx, i = 1, 2. (3.40)
n →∞
)

≤ C Gε( i )

ωε( i )
Ω
ε →0
i
i
M i
i
i
i
H ε( ) = J ε( ) + ρiε fε( ) − ρiε uε( ) ⋅ ∇ uε( ) − ε i uε( ) ,
Ω

ε

H ε(i ) = − ∆ρiε uε(i ) , i = 1, 2,
2

τ i , i = 1, 2 - два взаимно перпендикулярных
касательных вектора к ∂Ω . В силу свойств решений
задач (3.44), (3.45) справедливы следующие
неравенства:
компактного вложения W
1,
6γ
4γ + 3
(Ω)
и
в L2 ( Ω )
следует, что при γ > 3


ωε(i ) → ω (i ) сильно в L2 ( Ω ) при ε → 0, i = 1, 2. (3.48)
В силу неравенства:

∑ ε∆ρiε uε(i ) −1,2 =
2
= 1, 2. (3.41)
Ω
(Ω)
W
i =1
Таким образом, при ε → 0




= ∑
ε ∫ ∆ρiε uε( i ) ⋅ ϕ ( i ) dx =
sup
(3.42)
div uε(i ) →сильно
div u (i )в L
i 2 (Ω), = 1, 2.
Ω
i =1 ϕ ( i )
≤1
W 1,2 ( Ω )
Докажем теперь, что при ε → 0


2
(3.43)
rot uε(i ) →
сильно
rot u (i )в L
i 2 (Ω), = 1, 2.


=
| ∫ div ε∇ρiε ⊗ uε( i ) ⋅ ϕ ( i ) dx −
sup
∑
 (i )
Ω
i =1 ϕ ( i )
Для этого представим rot uε как сумму двух
≤1
 (i )
W 1,2 ( Ω )
 (i )
компонент ωε и ωε таких, что (см., например, [8])


− ∫ ε ( ∇ρiε ⋅ ∇ ) uε( i ) ⋅ ϕ ( i ) dx |≤
 (i )
 (i )
Ω
−∆ωε = rot Gвε
Ωi, = 1, 2,
2


 (i ) 
≤∑
ε∇ρiε ⊗ uε( i ) : ϕ ( i ) dx +
sup
ωε ⋅τ 1 = 0 на ∂Ω, i = 1, 2,
∫
Ω
i =1 ϕ ( i )
≤1
 
(3.44)
W 1,2 ( Ω )
ωε(i ) ⋅τ 2 = 0 на ∂Ω, i = 1, 2,

2
 (i )  (i )
ε
ωε(i ) = 0 i ∂Ω, = 1, 2,
divна
+∑
sup
∫ ( ε∇ρi ⋅ ∇ ) uε ⋅ ϕ dx ≤
2
(

i
 ( i ) Ωi,
= 1, 2,
−∆ω ε( ) = rot Gв
ε
 (i ) 
ωε ⋅τ 1 = 0 на ∂Ω, i = 1, 2,


ω ε( i ) ⋅τ 2 = 0 на ∂Ω, i = 1, 2,

= 1, 2,
divна
ω ε( i ) = 0 i ∂Ω,
где

Gε(1) =


1
 µ 22 H ε(1) − µ12 H ε( 2 )  ,


µ11 µ 22 − µ12 µ 21



1
 − µ 21 H ε(1) + µ11 H ε( 2 )  ,
Gε( 2 ) =


µ11 µ 22 − µ12 µ 21



1
 µ H (1) − µ H ( 2)  ,
G ε(1) =
ε 
12

µ11 µ 22 − µ12 µ 21  22 ε



1
 − µ H (1) + µ H ( 2)  ,
G ε( 2) =
ε 
11

µ11 µ 22 − µ12 µ 21  21 ε
i =1 ϕ ( i )
W 1,2 ( Ω )
Ω
≤1

2
≤ C∑
ϕ (i )
sup
i =1 ϕ ( i )
(3.45)
W 1,2 ( Ω )
≤1
+C ∑
i =1 ϕ ( i )
≤ C ∑  ε∇ρiε
i =1 
2
L3 ( Ω )
2
≤ C ∑ ε∇ρiε
i =1
ϕ (i )
sup
W 1,2 ( Ω )

W 1,2 ( Ω )

2
)
≤1

uε(i )
L6 ( Ω )
W 1,2 ( Ω )
+ ε∇ρiε
ε∇ρiε ⊗ uε( i )
(ε∇ρ
L3 ( Ω )
ε
i
L2 ( Ω )
i
⋅ ∇ ) uε( )

∇uε(i )
L2 ( Ω )
≤


+
6
L5 ( Ω )
≤
(3.49)
L3 ( Ω )
(в котором константа C не зависит от ε ) и
доказанных ранее соотношений
18
6γ
, i = 1, 2 (см. (3.7)),
γ +3
мы получаем, что при γ > 3

ωε(i ) → 0 сильно в L2 ( Ω ) при ε → 0, i = 1, 2. (3.50)
Из соотношений (3.48), (3.50) и следует
справедливость свойств (3.43).
В силу тождества:
 2
 2
 2

1,2
∫ | ∇v | dx = ∫ | div v | dx + ∫ | rot v | dx, v ∈ W0 (Ω)
ε∇ρiε
Ω
Lq ( Ω )
→ 0, 1 ≤ q <
Ω
Ω
из (3.42) и (3.43) следует, что
 i)

∇uε( сильно
→ ∇u (вi ) L
при 2 ( Ω ) i ε → 0,
= 1, 2.
(3.51)
Отсюда, в частности, получаем:
 )

σˆ ε(i ) : ∇uε(i сильно
→ σˆ (i ) в: ∇Lu (i ) при
1
(Ω)
ε → 0,
(3.52)
i = 1, 2.
Теорема 1 доказана.
Литература
1. Agmon, S. Estimates near the boundary for
solutions of elliptic partial differential equations
satisfying general boundary conditions. I / S. Agmon,
A. Douglis, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math.
12, 1959. Р. 623-727. (Русский перевод: Оценки
вблизи границы решений эллиптический уравнений
в частных производных при общих граничных
условиях. – М.: ИЛ, 1962).
2. Agmon, S. Estimates near the boundary for
solutions of elliptic partial differential equations
satisfying general boundary conditions. II / S. Agmon,
A. Douglis, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math. –
17, 1964. – Р. 35 – 92.
3. Feireisl, E. On the existence of globally defined
weak solutions to the Navier-Stokes equations /
E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova // J. of Math.
Fluid Mech. – 3, 2001. – P. 358 – 392.
4. Haupt, P. Continuum mechanics and theory of
materials / P. Haupt. – Berlin: Springer-Verlag, 2002.
5. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid
mechanics. V. 1: Incompressible Models / P.-L. Lions. –
New York: Oxford University Press, 1996.
6. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid
mechanics. V. 2: Compressible Models / P.-L. Lions. –
New York: Oxford University Press, 1998.
7. Mucha, P. On the steady compressible NavierStokes-Fourier system / P. Mucha, M. Pokorny //
Commun. in Math. Phys. V. 288. – №1. – 2007. –
P. 349-377.
8. Mucha, P. Weak solutions to equations of
steady compressible heat conducting fluids. Necas
Center for Mathematical Modeling. Preprint no. 200904, 2009 P. Mucha, M. Pokorny // http://ncmm.
karlin.mff.cuni.cz/preprints/098225413pr.pdf.
9. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R.
Rajagopal, L. Tao. – London: World Scientific
Publishing, 1995.
10. Антонцев, С. Н. Краевые задачи механики
неоднородных жидкостей / С. Н. Антонцев,
А. В. Кажихов, В. Н. Монахов. – Новосибирск:
Наука, 1983.
11. Боговский, М. Е. О решении некоторых
задач векторного анализа, связанных с операторами
div и grad / М. Е. Боговский // Труды семинара
С. Л. Соболева. Т. 1. – Новосибирск: Ин-т
математики СО АН СССР, 1980. – С. 5 – 40.
12. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М.: Наука, 1976.
13. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго
порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. – М.: Наука,
1989.
14. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. – М.: Наука,
1973.
15. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные
уравнения
эллиптического
типа
/
О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. – М.: Наука,
1964.
16. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения
нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. – М.:
Мир, 1972.
17. Михайлов, В. П. Дифференциальные
уравнения в частных производных / В. П. Михайлов.
– М.: Наука, 1976.
18. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных
сред / Р. И. Нигматулин. Ч. 1. – М.: Наука, 1987.
19. Никольский, С. Л. Приближение функций
многих переменных и теоремы вложения /
С. Л. Никольский. – М.: Наука, 1969.
20. Папин, А. А. Краевые задачи двухфазной
фильтрации / А. А. Папин. – Барнаул: Издательство
Алтайского государственного университета, 2009.
21. Петров, А. Н. Корректность начальнокраевой задачи для одномерных уравнений
взаимопроникающего движения совершенных газов
/ А. Н. Петров // Динамика сплошной среды. Вып.
56. –Новосибирск, 1982.
22. Седов, Л. И. Механика сплошной среды /
Л. И. Седов. Т. 1. – М.: Наука, 1970.
23. Соболев, С. Л. Избранные вопросы теории
функциональных пространств и обобщенных
функций / С. Л. Соболев. – М.: Наука, 1989.
24. Солонников, В. А. Об общих краевых
задачах для систем эллиптических уравнений в
смысле А. Дуглиса - Л. Ниренберга, II /
В. А. Солонников // Труды математического
института им. В. А. Стеклова. Т. XCII, 1966. – C. 233
– 297.
25. Солонников, В. А. Об общих краевых
задачах, эллиптических в смысле А. Дуглиса - Л.
Ниренберга, I / В. А. Солонников // Изв. АН СССР. –
Т. 28, №3, 1964. – C. 665 – 706.
26. Солонников, В. А. Переопределенные
эллиптические краевые задачи. Зап. научн. сем.
ЛОМИ. 21, 1971. – С. 112 – 158.
Рецензент – В. И. Полтавцев, ФГОУ ВПО
«Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт».
19
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
348 Кб
Теги
решение, уравнения, стационарный, жидкостей, вязких, теплопроводных, сжимаемых, смесей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа