close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Степенные разложения для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.

код для вставкиСкачать
УДК 539.192
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2008, вып. 1
А. М. Пучков, И. Б. Керницкий
СТЕПЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ
КУЛОНОВСКИХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
НА МНИМОЙ ОСИ
Введение. Настоящая статья относится к циклу работ [1, 2, 3], посвященных исследованию квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров и является непосредственным продолжением [3]. Для удобства напомним некоторые факты, установленные
в этой работе. Рассматривается сингулярная задача Штурма—Лиувилля для кулоновского сфероидального уравнения на мнимой оси:
d
m2
d 2
(ξ + 1) Xmk (ξ; R) − λ + p2 (ξ 2 + 1) − aξ − 2
(1)
Xmk (ξ; R) = 0 ,
dξ
dξ
ξ +1
|Xmk (ξ; R)| −−−−−→ 0,
ξ→±∞
ξ ∈ (−∞, ∞) .
(2)
Выполнение граничных условий (2) требует квадратичной интегрируемости собственной функции Xmk (ξ; R) ∈ L2 (R) . Обратим внимание на то, что уравнение (1) имеет
три особые точки, причем две две из них конечные и регулярные: ξ1 = +ı, ξ2 = −ı, а
одна ξ3 = ∞-иррегулярная. Положение особых точек ξ1 и ξ2 препятствует разложению
Xmk (ξ; R) в степенной ряд, создавая проблему конечного круга сходимости. Преодолеть это препятствие используя только стандартные приемы вроде разложения Яффе
[4] уже невозможно и следовательно необходимо искать более общий подход. В работе
[3] была намечена схема такого подхода. Основная идея состояла в том, чтобы с помощью последовательных замен переменной перевести область определения на отрезок
[-1; +1], но при этом особые точки не должны попасть внутрь единичного круга. Предлагалась следующая цепочка преобразований: ξ → x → t, где ξ = sh x, t = th (x/2).
Сначала выделяется поведение Xmk (ξ; R) в окрестности особых точек
√2
e−p ξ +1
Fmk (ξ; R) ,
(3)
Xmk (ξ; R) = ξ2 + 1
затем производятся указанные замены и в итоге получается следующая краевая задача:
2
1
t(1 − t2 ) t(1 − t2 ) d
2 2 d
(1 − t ) 2 Fmk (t; R) + −2pt −
−
Fmk (t; R)+
4
dt
2
(1 + t2 ) dt
(4)
2at
(1 − t2 )
(1 − t2 )2
2
2
+
+ (m − 1)
+ −λ − p − p
Fmk (t; R) = 0 ,
(1 + t2 ) (1 − t2 )
(1 + t2 )2
|Fmk (±1; R)| < ∞, −1 ≤ t ≤ +1 .
(5)
Старые регулярные особые точки ξ1 и ξ2 сохраняют свой тип и остаются на месте.
Для них вводятся новые обозначения: t1 = +ı и t2 = −ı (показатели ρ1,2 = ±m + 1).
Иррегулярная особая точка ξ3 = ∞ переходит в две новые иррегулярные: t3 = −1
c
116
А. М. Пучков, И. Б. Керницкий, 2008
и t4 = +1. Дополнительно появляется еще одна иррегулярная особая точка t5 = ∞.
Таким образом в результате преобразований количество особых точек увеличилось с
трех до пяти.
Вообще говоря, успех того или иного алгоритма решения задачи (4, 5) в значительной мере определяется выбором базиса разложения собственной функции. К базисным мономам должен предъявляться целый ряд требований, в частности, такие как
простота и ограниченность в совокупности на всем промежутке [−1, +1]. Кроме того,
они должны обеспечить правильное поведение собственной функции на комплексной
t−плоскости в окрестности t1 и t2 . К сожалению, на роль базисных мономов не подходят степенные функции tn , (t − ı)n , (t + ı)n или
ортогональные
полиномы,
классические
n n
t−ı
t+ı
однако годятся дробно-линейные функции
,
, (см. [3]). Разложение
t+ı
t−ı
по такому базису приводит к пятичленным рекуррентным соотношениям для коэффициентов и в итоге проблема поиска собственных значений сводится к задаче линейной
алгебры. К сожалению, матрица определяющая наборы коэффициентов комплексна и
неэрмитова. Это существенный недостаток, потому что в ее спектре могут встретиться
комплексные числа. В настоящей работе будут рассмотрены более совершенные алгоритмы, лишенные отмеченного недостатка.
Степенные разложения для сфероидальных собственных функций. Положим зарядовый параметр a = 0. Тогда в задаче (1, 2) появится симметрия относительно замены ξ → −ξ. Все множество собственных функций будет состоять из четных —
(1)
(2)
Xmk (ξ; R) и нечетных — Xmk (ξ; R) функций. Поскольку выделение множителя в (3),
и последующие замены не нарушают симметрии, то очевидно, что собственные функ(1)
ции краевой задачи (4, 5) также будут либо четными — Fmk (t; R), либо нечетными —
(2)
Fmk (t; R). Представим их в виде степенных рядов. В качестве базисных мономов возьмем полиномы из совокупности {(1 + t2 )n /2n }∞
n=1 . Они просты, ограничены для всех
t ∈ [−1, +1] и обращаются в нуль в окрестности t1 и t2 . Тогда анзац для четных функций
будет выглядеть следующим образом:
(1)
Fmk (t; R) =
∞
f1n
n=0
а для нечетных:
(2)
Fmk (t; R) = t
∞
n=0
(1 + t2 )n
,
2n
(6)
(1 + t2 )n
.
2n
(7)
f2n
Коэффициенты обоих наборов fjn где j = 1, 2 связаны между собой четырехчленными
рекуррентными соотношениями:
βj
βj
βj
αj
αj
αj
−1 + 2 + 22 fjn+2 + 4 + 1 + 21 fjn+1 + −5 + 0 + 20 fjn +
n
n
n
n
n
n
(8)
αj−1
βj−1
+ 2+
+ 2 fjn−1 = 0 .
n
n
Для четного набора {f1n }∞
n=0 имеем:
α2 := −2,
β2 := m2 − 1,
α1 := 2p + 3,
β1 := p − 2m2 + 1,
117
α0 := −4p + 2,
α−1 := −3,
β0 := −λ − p2 + p + m2 − 1,
β−1 := 1,
а для нечетного — {f2n }∞
n=0 :
α2 := −2,
β2 := m2 − 1,
α1 := 2p + 5,
β1 := p − 2m2 + 2,
α0 := −4p − 2,
α−1 := −1,
β0 := −λ − p2 − p + m2 − 1,
β−1 := 0,
Коэффициенты fj0 , fj1 произвольны. Первые две строки запишем отдельно, во избежание недоразумений:
βj2 fj2 + βj1 fj1 + βj0 fj0 = 0 ,
(−1 + αj2 + βj2 )fj3 + (4 + αj1 + βj1 )fj2 + (−5 + αj0 + βj0 )fj1 + (2 + αj−1 + βj−1 )fj0 = 0 .
Соотношения (8) для обоих наборов являются иррегулярными разностными уравнениями типа Пуанкаре—Перрона [5, 6]. Соответствующее характеристическое уравнение
нулевого порядка по n имеет один двухкратный корень t1,2 = 1 и один однократный
t3 = 2. Вообще говоря, для каждого фиксированного j, эти разностные уравнения имеют три решения, поэтому необходимо убедиться, что среди них имеется минимальное,
отвечающее сходящимся рядам (6) и (7). Рассмотрим характеристическое уравнение с
учетом членов первого порядка по n−1 :
αj αj αj αj Pj (t) = −1 + 2 t3 (n) + 4 + 1 t2 (n) + −5 + 0 t(n) + 2 + −1 = 0 .
n
n
n
n
Общие выражения для корней этого уравнения выглядят громоздко, но понять как
корни расположены на комплексной t-плоскости можно и не используя их явный вид.
Достаточно заметить, что точки экстремума кубического полинома Pj (t) имеют следующее асимптотическое поведение:
1
1
tj
,
=1− +O
min
n
n2
1
1
5
5
1
1
t1max = −
=
(4p − 7) + O
+
(4p
−
1)
+
O
,
t
,
2
max
2
3 3n
n
3 3n
n2
а сам полином слева и справа от tmin при t > 0 может принимать как положительные,
так и отрицательные значения: Pj (0) = 2 + αj−1 /n > 0 при n ≥ 2, Pj (1) = −2p/n < 0.
Отсюда следует, что все корни веществены и положительны, причем обязательно один
из них tj1 < 1, а остальные 1 < tj2 < tj3 , tj3 ≈ 2. Здесь уместно напомнить, что существует другой строго математический способ узнать сколько вещественных корней
имеет полином с вещественными коэффициентами на заданном промежутке. Этот способ основан на принципе счетчика и дается теоремой Штурма [7]. Разумеется его применение к полиному Pj (t) на отрезках [0, 1] и [0, 2] приводит к тем же результатам.
Правильные частные решения разностного уравнения (8) должны соответствовать
корню tj1 , поскольку только в этом случае получаются сходящиеся ряды.
Устранимые особые точки. Аналог метода 1/N . Представим Fmk (t; R) в (4) в
виде:
Fmk (t; R) = 1 + t2 Gmk (t; R) .
118
Тогда краевая задача (4), (5) преобразуется в следующую:
d
d2
1
(1 − t2 )2 2 Gmk (t; R) + −2pt − t 1 − t2
Gmk (t; R)+
4
dt
dt
2at
1
1 (1 − t2 )2
2
+
m
+ −λ − p2 − p − +
−
Gmk (t; R) = 0 ,
2 (1 − t2 )
4 (1 + t2 )2
(9)
|Gmk (±1; R)| < ∞, −1 ≤ t ≤ +1 .
(10)
Если параметр m = ±1/2, то последнее слагаемое в квадратных скобках в (9) обращается в нуль и тогда t1 , t2 уже не будут влиять на разложение собственной функции.
Такие особые точки называют устранимыми [5]. Рассмотрим сначала самый простой
случай когда m = ±1/2 и a = 0. Представим четные и нечетные функции в следующем
виде:
∞
∞
(1)
(2)
g1s t2s ; Gmk (t; R) =
g2s t2s+1 .
(11)
Gmk (t; R) =
s=0
s=0
Коэффициенты gjs , где j = 1, 2 теперь связаны между собой трехчленными рекуррентными соотношениями:
αjs gjs+1 − βjs gjs + γjs gjs−1 = 0 , gj−1 = 0 .
После подстановки (11) в (9) для четного набора получим:
(s + 1)(2s + 1)
,
2
(s − 1)(2s + 1)
γ1s :=
2
и соответственно для нечетного:
α1s :=
(s + 1)(2s + 3)
,
2
(s + 1)(2s − 1)
:=
2
α2s :=
γ2s
β1s := λ + p2 + p +
1
+ (4p + 1)s + 2s2 ,
2
β2s := λ + p2 + 3p +
3
+ (4p + 3)s + 2s2 ,
2
Известно, что трехчленные системы имеют существенные преимущества перед системами с большим числом членов, поскольку они тесно связаны с аппаратом цепных дробей
[8]. В частности, зависимость λ = λ(p) может быть найдена из условия обращения в
нуль цепной дроби:
αj0 γj1
. . . = 0.
(12)
F (p, λ) = βj0 −
αj1 γj2
βj1 −
βj2 −
Сходимость этой цепной дроби следует из неравенства:
αjs−1 γjs −−−→ 1 1 − 4p + O 1 < 1 .
βj βj s→∞ 4
s
s2
4
s−1
s
Сходимость рядов (11) определяется поведением отношения при больших s:
gjs+1
1
βjs
p
αjs γjs
+O
−−−→
1− 1−4 2
=1−2
.
s→∞
gjs
2αjs
βjs
s
s
119
откуда получаем, что радиус сходимости равен единице, то есть ряды (11) сходятся во
всей области определения собственной функции.
Теперь рассмотрим случай, когда m = ±1/2, a = 0. Анзац для собственной функции
представим в следующем виде:
a/2p a/2p ∞
∞
1+t
1−t
n
n
Gmk (t; R) = A
an t +
bn t .
(13)
1−t
1+t
n=0
n=0
В этом выражении A является нормировочной константой. Оба набора коэффициентов
∞
{an }∞
n=0 и {bn }n=0 удовлетворяют пятичленным рекуррентным соотношениям. Выпишим условия для первого набора:
a0 , a1 произвольны,
β2 a 2 + β1 a 1 + β0 a 0 = 0 ,
(1 + α2 + β2 )a3 + (α1 + β1 )a2 + (−2 + α0 + β0 )a1 + (α−1 + β−1 )a0 = 0 ,
α1
β2
β1
β0
α0
α2
+ 2 an+2 +
+ 2 an+1 + −2 +
+ 2 an +
1+
n
n
n
n
n
n
α−1
β−1
β−2
α−2
+
+ 2 an−1 + 1 +
+ 2 an−2 = 0 . n ≥ 2 .
n
n
n
n
α2 := 3,
2a
α1 :=
,
p
1
α0 := −4 2p +
,
2
2a
α−1 := − ,
p
α−2 := −1,
(14)
β2 := 2,
2a
β1 :=
,
p
a2
1
2
β0 := 4 −λ − p − p − + 2 ,
2 4p
β−1 := 0,
β−2 := −2.
Характеристический полином с учетом членов первого порядка по n−1 для разностного
уравнения (14):
α1 3
α0 2
α−1
α−2 α2 4
t (n) +
t (n) + −2 +
t (n) +
t(n) + 1 +
=0
1+
n
n
n
n
n
имеет следующие корни:
1
1
i=2
− i=2
α
− i=2
i
i=−2
i=−2 αi
, t3,4 = −1 ±
, где
αi = −8p .
t1,2 = 1 ±
n
n
i=−2
(15)
∞
Поскольку условия для определения {bn }∞
n=0 получаются из условий для {an }n=0 с
помощью замены a → −a, то и соответствующий характеристический полином также
имеет корни (15). Заметим, что два из них обязательно попадут внутрь единичного
∞
круга: именно они отвечают правильным наборам {an }∞
n=0 и {bn }n=0 . Численные расчеты показывают, что в случае m = 1/2, разложения (11) для (a = 0) и (13) для (a = 0)
120
весьма эффективны и поэтому возникает желание применить метод степенных разложений в общей ситуации, когда m = 1/2, a = 0. Однако здесь имеется естественное
препятствие связанное с тем, что функция y(t) = (1 − t2 )2 /(1 + t2 )2 не полином по t. В
принципе, существует способ обойти это препятствие и ниже мы изложим его суть, не
останавливаясь на детальном обосновании алгоритма и выписывании громоздких формул. Прежде всего, заметим что y(t) ∈ C ∞ ((−1; +1)), поэтому ее можно интерполировать полиномом любой, сколь угодно большой степени. Очевидно, что распределение
этих узлов в сетке не должно иметь принципиального значения. Возьмем в качестве переменной интерполяции t2 и по ней устроим равномерную сетку на отрезке [0, 1]. Тогда
для интерполяционного полинома можно воспользоваться например формулой Ньютона (интерполяция вперед), где все коэффициенты определены через конечные разности
[6, 7, 9]. Оценка остаточного члена будет определять точность приближения, следовательно старшую степень полинома и N −количество узлов в сетке. Однако оказывается
целесообразнее поступать несколько иначе. Коэффициенты q1 , . . . , ql интерполяционного полинома
Q2l (t) = 1 + q1 t2 + . . . + ql t2l , 2l < N − 1 ,
будем разыскивать минимизируя сумму квадратов невязок
N
2
yi − 1 − q1 t2i − . . . − ql t2l
.
i
i=1
Условие минимума приведет к системе l линейных уравнений относительно l коэффициентов. Оказывается, что эта система имеет единственное решение. Теперь заменим
в уравнении последнее слагаемое в квадратных скобках на (m2 − 1/4)Q2l (t) и получим
следующую краевую задачу:
d
d2 2
1
2
2 mk (t; R)+
(1 − t2 )2 2 G
G
mk (t; R) + −2pt − t 1 − t
4
dt
dt
2 − p2 − p − 1 + 2at + m2 − 1 Q2l (t) G
2mk (t; R) = 0 ,
+ −λ
2 (1 − t2 )
4
(16)
2mk (±1; R)| < ∞, −1 ≤ t ≤ +1 .
|G
(17)
2 mk (t; R) подойдет анзац типа выражения (13),но конечно
Для собственной функции G
2 ∞
с новыми наборами коэффициентов {2
an } ∞
n=0 и {bn }n=0 . Оба эти набора теперь будут
определяться уже не пятичленными, а l + 2−членными рекуррентными соотношения2иG
2 mk (t; R) сводится к решению
ми типа Пуанкаре—Перрона. Таким образом поиск λ
алгебраической частичной проблемы собственного значения. Численные расчеты показывают, что если известны λ±1/2,k и G±1/2,k , то нет даже необходимости решать
эту частичную проблему заново. Действительно, из общей теории дифференциальных
уравнений второго порядка известно, что весь спектр (16, 17) монотонный и невырож2mk (p, a), с различными |m| и k отделены друг от
2mk = λ
денный. Иначе говоря, все λ
друга и нигде не пересекаются. Кроме того, выполняется неравенство
20k < λ±1/2k < λ
2±1k < λ
2±mk , m ≥ 1.
λ
(18)
Особенно наглядно (18) проявляется в случае сфероидального уравнения (см. рис. 1).
2mk (p, a) для a = 0. Из этого следует,
На рис. 2 для сравнения представлена зависимость λ
121
emk = λ
emk (p, a) в случае сфероидального уравнения
Рис. 1. Зависимость λ
(a = 0).
Сплошные линии соответствуют целым значениям m, а точки m = ±1/2.
что достаточно принять λ±1/2,k и соответствующие наборы коэффициентов в качестве
приближения а затем воспользоваться каким-либо методом уточнения отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора, например методом
Дерведюэ или какой-либо его модификацией [10]. Проведя несколько итераций достигаем требуемой точности. Естественно, что после встанет вопрос о том, как меняются
2mk и G
2 mk (t; R) с ростом N и l. Сошлемся опять на опыт численных расчетов. Оказыλ
вается, что при достаточно больших N начинают выполняться условия:
2
2
|λmk − λ3
mk | → 0, ||Gmk (t; R) − Gmk (t; R)|| = sup |Gmk (t; R) − Gmk (t; R)| → 0 , (19)
[−1;1]
то есть имеет место устойчивость данной процедуры. Величины точного собственного значения λmk и точной собственной функции Gmk (t; R) для проверки (19) были
получены независимым эталонным способом (метод стрельбы в сочетании с методом
половинного деления см. [2]).
По существу, идея решения краевой задачи является не чем иным как аналогом
метода 1/N [11] или своеобразной теорией возмущений. Несмотря на кажущуюся громоздкость этот алгоритм все же достаточно эффективен, по крайней мере, для первых
десяти состояний.
В заключении отметим, что все программы реализующие описанные выше алгоритмы были написаны на языках Barsic 895 и Maple V (Release 9.5).
122
emk = λ
emk (p, a) для a = 10, k = 1, m = 0 изображена
Рис. 2. Зависимость λ
сплошной линией. Точками представлена λ±1/2,1 (p, 10).
На вставке видно различие между обоими кривыми.
Авторы благодарят С. Ю. Славянова и И. В. Комарова за многочисленные обсуждения и замечания.
Summary
A. M. Puchkov, I. B. Kernitsky. Series expantion for square integrable solutions of spheroidal
Coulomb equation on image axis.
The boundary-value problem for the spheroidal Coulomb equation for pure imaginary variable
with homogeneous boundary conditions is considered. If the charge parameter is equal to zero the
equation becomes spheroidal and then one can expand the eigenfunctions in power series. The series
coefficients are bound by four member recurrence and Poincare—Perron — like relation. The series
convergence is discussed. The elementary singular points case when the eigenfunction expansion in
power series is possible is considered separately. The series coefficients are bound by three member
recurrence relation. The numerically durable algorithm is based on these expansions by 1/N -method
analogy.
Литература
1. Пучков A. М., Кожедуб А. В. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.4: Физика, химия. 2002.
Вып. 1. C. 105–112.
2. Пучков A. М., Кожедуб А. В. // Там же. 2005. Вып. 3. C. 16–27.
123
3. Пучков A. М. // Там же. 2006. Вып. 2. C. 88–94.
4. Jaffe G. // Z. Physik. 1934. Bd 87. S. 535–544.
5. Славянов С. Ю., Лай В. Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе
особенностей. СПб., 2002.
6. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., 2006.
7. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. СПб.; М.; Краснодар, 2004.
8. Комаров И. В., Пономарeв Л. И., Славянов С. Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М., 1976.
9. Бахвалов Н. С. Численные методы: анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные
уравнения. М., 1973.
10. Фаддеев Д. К., Фаддеeва В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., 1960.
11. Мур В. Д., Попов В. С., Сергеев А. В. Журн. экспер.-теор. физики. 97, 32–46, 1990.
Статья поступила в редакцию 17 апреля 2007 г.
124
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
331 Кб
Теги
оси, сфероидальных, функции, разложение, степенных, мнимом, квадратичної, интегрируемых, кулоновские
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа