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Структурная идентификация сложных объектов управления на базе методов кусочной аппроксимации.

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??? 3.32.965.32.965.9
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2
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????????,
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(dorofeyuk_julia@mail.ru).
79
?????????? ???????? ?????????. ?????? 30
y = F (x ) , x = ( x (1) , ..., x ( k ) ) О X Н R k .
????? ?????? ???????? ?? ??????? ?? N ???????? ??????????? (k + 1)
(1)
~
k +1
(2) ( yt , xt ) = ( yt , xt ,..., xt ) О X = R , t = 1, ... , N ,
?????????? ? ?????? ?????????? ???????????? ????????????????? ???????. ??? ??????? ????? ????? ????????, ??? ???????????? ????? ?????? ????? ?????????????? ????? ??? ????????????? ???????????? ?????? ?????????? ?????? ????
(3) y (t ) = F [ x(t ), x(t - 1), x(t - 2), ..., x(t - m)] ,
??? m ? «??????? ??????» ???????????? ??????. ???????
???????, ???????? ??????? (1) ? (3) ??????? ?????? ? ??????????? ???????????? ?????? X, ??????? ????????????? ??? (3) ?? km.
?? ???????? ???????? ?????????????, ??? ??????, ??????????? ?????????????????? ?????????? ????????? ????????? y
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(1)
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~
2
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?????????? ???????????????? ?????? ??????? F(x, ?), ?? ??????????????? ?????? F? ( x) ????? ????? ???? ??????? ? ????
?????? F? ( x, a ) . ? ???? ?????? ?????? ???????? ? ?????? ??????? ? ?? ????????? ??????? ?????????? (2).
?????? ? ?????????? ??????? ?????????? ????????? ????
????? ???????????. ????? ????, ????????? ??????? F(x) ?? ????????? ???????????? ???????????? ?????? ??????????????
??????????. ??? ?? ?????, ???? ????????, ??? ??????? ?? ????
???????????? X ??????? F(x) ????? ???? ???????????? ? ????
???????????? ????? ??????? «??????», ???????????? ?? ???????? Bj. ? ??????, ???????????? ?????????????? ??????????????? F(x) (???????????????? ??????) ???????????? ? ????:
80
?????????????? ?????? ??????????
мп1, ???? x О B j ,
по0, ???? x П B j ;
r
(5) F ( x ) = е e j ( x ) F j ( x ) , e j ( x) = н
j =1
??? r ? ????? ???????? (???????); ?j(x) ? ??????????????????
??????? ???????? ????????? (?????????????)
(6) H = {B j О X ,
r
? Bj = X}.
j =1
????? ????????????? ?????? ???????? ??????? ?????? ???????? ?????????????. ? ???? ?????? ?????????????????
?????? ????? ???? ???????????? ? ????
~
(7) F ( x) =
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j
~
( x ) F j ( x, a j ) ,
j =1
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?????? ?????????? (4), ??????????????? ????????????????
?????? (7), ???????????? ????????? ???????:
(8) J =
~
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j
j
2
p ( x) dx .
j =1 B j
????? ?????? ???????? ????????????? ????????????????
?????? ??????? ? ?????????? ?????? ????????? ?? ??????, ???
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???? ??????? ???? ?? ??????????. ??????? ???????, ?????????? ????? ????? ????????????? (6) ? ????? ???????? ????????? ?????????? ?j, ??? ??????? ?????????? (8) ???????? ??
??????????? ????????. ?????? ??????, ???????? r (?????
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(8). ?????? ??? ???????? ? ????? (8) ????? ??????????? ????
??????????? ????????? ? ??????????? ????????? ? ????? ?????? ??????????? ?????? ????????????? ????????? ?j. ????????, ??? ??? ?? ????????????? ???????????? ????????????? ??
«???????????» ????? ????????.
81
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2. ?????? ??????? ?????? ???????????
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?????? ??????????? ?????????????
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???????????, ?. ?. ????? ???????? Bj ???????? ??????? (????????, ?????????? ?????).
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?????????; ?2J ? ???????? ?? ????????? H, ?. ?. ?? ????????
???????? Bj. ? ????? ? ???, ??? ???????? ?1J ? ?2J ??????? ??????????, ??????????? ??????? ?????????? ??????????? J ?????
???? ?????????? ? ????????? ?????: ?1J = 0 И ?2J = 0.
??? ??????????? ????????, ??? ????? ??????????? ??????????? ????????????? ??????????? ??????? ???????????
??????????? ????? ????? ????????????? ??? r = 2.
(9)
~
т [y - F ( x, a )]
j
Bj
j
[
~
2
~
Сa j F j ( x, a j ) p ( x) dx = 0, j = 1, 2 ,
(10) F( x, y ) = y - F1 ( x, a j )
82
] - [y - F~ ( x, a )]
2
2
j
2
= 0, x О L ,
?????????????? ?????? ??????????
??? С ? ??????????? ????????, ? ? ???????-??????? ???????
???????????, ??????????? ??????? B1 ? B2, ?(x, y) ? ??????????????? ???????.
??? ??????? ??????? ????????? (9), (10) ???????????? ???????????? ??????????? ????????? ???? ?????????????? ????????????? [2]:
a j ( n + 1) = a j ( n ) - sign F[ x ( n + 1), y ( n + 1)]g j (n + 1) *
(11a)
~
*{ y ( n + 1) - F j [ x (n + 1), a j ( n )]} Сa j F j [ x ( n + 1), a j (n )] ,
~
F[ x (n + 1), y ( n + 1)] = { y ( n + 1) - F1 [ x (n + 1), a1 ( n )]}2 (11?)
~
- { y ( n + 1) - F2 [ x ( n + 1), a 2 ( n )]}2 , j = 1, 2 .
??? ??? ????????? (10) ??? ??????????????? ???????
?(x, y) ???????? ???????? ???????? y, ??????? ???????? ??????
??? ?????? ??????? ??????????, ??? ???????? ??????? ??
????? ???? ???????????? ??? ???????????????. ?? ???? ??????? ??????????????? ??????? ?????? ???? ????????? ??? ??????? f(x), ????????? ?????? ?? ??????? ??????????.
??? ???? ????? ????????? ????????????? ??????? f(x),
????? ???????????? ??????? ????????? ????????????? ??????? ? ???????? [1]. ? ???? ?????? ?????????? (2) ????????????
??? ????????? ???????, ? ???????? sign ?(x, y) ??????????????? ??? ????????? ???????, ?????????? ?????????? ? ???, ???
??????????? ????? x: ? B1 (???? sign ?(x, y) = 1) ??? ? B2 (????
sign ?(x, y) = ?1).
??? ????????????? ??????? f(x) ????? ???????????? ???????????? ????????, ?????????? ?? ?????? ?????????????
??????? [1, 3]. ???? ???????? ? ????????? (11?) ??????????
?????????? ?????????? ???????? ???????? ?????????????.
2.2. ??????????? ????? ??????? ??????
??????????? ?????????????
??? ??? ?????????? ????, ??? ??????? ?????????? ?????
????????????? ???? ????????, ??? ?????? ??????? ???????
????? ???????? ? ?????????? ??????????????? ???????, ????83
?????????? ???????? ?????????. ?????? 30
??????? ????????????? ?????? ???????? y = Fj(x), ??? j ?
?????? ?????? [4]. ??? ???? j-?? ?????? ????????????? ???????????? ??????? Bj ? ???????????? ??????? ?????????? X. ? [5]
??? ????????????? ?????? ???? ???????? ??????? ???? ?????????? ???????????? ?????? ???????? ?????????????. ??????
? ???????? ?????? ????????? ??????? F? j ( x, a j ) ????????????
?????????? ??????? ??????? ? ???????? ??? ???? ?????????.
? ???? ?????? ????????? ???????? ????????????? ???????
?? ???? ??????.
?? ?????? ?????, ????????? ??????? x1, ?, xN, ???????????? X ??????????? ?? r ???????? Bj, ?????? ?? ??????? ????????
?????? «???????» ?????????? xj (? ???????????? ? ?????????
????????? ????????). ? ???????? ???????? ???????? ??????
???????????? ?????????????????? ?????????? ????? ? ??????? Bj
[2, 6]:
(12) J =
r
е т (x - b )
j
2
p ( x) dx ,
j =1 B j
??? bj ? ?????? (??????) ??????? Bj. ??? ????????? ????????????
X ?? ??????? Bj ?????? ???????????? ????????? ?????????????? ????????????? (?????????????) [4, 6].
?? ?????? ????? ?? ??????? (2) ???????? ????????? ????????????? ?????? F? j ( x, a j ) .
??????????? ??????? ??????? ??????? ? ???, ??? ?? ??????
????? ????????? ???????? ????????????? ???????????? ??????
?????????? ? ??????? ??????????. ??? ??????????? ???????
???????? ??????? ????????? ??????? ?????????? ???????
????, ??? ????????, ??????? ?????????? ??????? ??????????
??????????? ????????? ?????????? ????????. ????????????
????????? ?????????????, ?????????? ?? ?????? ??????? ?
??????? ?????? ???????? ?????????????, ????? ?????????????
?????? ???? ?????????? (x1, y1), ?, (xN, yN), ? ?? ????? ???
?????????????? ?????????? ? ??????? ?????????? ? ????
?????? ?? ????????????. ? ?????? ?? ??????? ??????? ???
84
?????????????? ?????? ??????????
?????????? ????????, ??????? ????????? ???????????? ?????????? ? ???????? ????????? y ??? ????? ????, ??? ????????
????????? {Bj, j = 1, ?, r}. ???????? ???? ????? ?????????
??????? ? ?????????.
??????? ???????????? X ??????????? ?? ??????? Bj,
j = 1, ?, l, ??? ????? l ??????????? ??????, ??? «????????»
????? ???????? r . ??? ???? ???? ? ?????? ????????????? ???????? ?????????? ??????????-?????????????????? ??????? [6],
?????????? ?????????: m-????????? ??????????? ?????????
????????, ?????? ????????????? ??????????, ?????? ?????????? ?????????, ?????? ? ???????????? ?????? «????????????» ????? ???????, ?????????? ??????????? ??????????.
????? ???????????? ????????? ??????????? ???????? Bj
????????? ???????. ?? ?????? ???? ????????? ?????????
???? ???????? Bi ? Bj ? ?????????? ?? ???????????. ????? ??????????? ????????: «????????? ?????? ?????????????
F?i ( x, a i ) ? F? j ( x, a j ) ? ???????? Bi ? Bj ????????????? ???????????». ??? ????? ???????? ???? ???????? K(Bi, Bj) ???????? Bi ?
Bj [6] ? ??????????? ??????????? ????????? ??????????? ????
????????. ? ???????? ?????? ????????? ??????? F? j ( x, a j )
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????? ??????????????? ?????? ???????-???????? ?????? (?????????????). ? ???? ?????? ??? ??????????? ???????? ?????????????? ?????????? ??????-??? [7]
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F ( k , N i + N j - 2k ) =
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Ni
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2
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(Ni + N j - 2k ) k ке d p + е d l ъ
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~
~
(13) d p = y ( x p ) - F ( x p ) , x p О Bi , d l = y ( xl ) - F j ( xl ) , xl О B j ,
~
d s = y ( xs ) - Fij ( xs ) , xs О Bi И B j ,
-1
[
[
]
]
[
Ni
]
85
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? Bj ?? ????????????.
????? ???????, ???????? ???????-???????? ????????????? (?????????????) ??????? ? ???????????????? ??????????
????????? ?????????. ?? ?????? ???? ??????????? ?????????? ????? ????????? ? ???????????? ?????? ???? ????????
Bi ? B j , ??? ???????
(14) K ( Bi , B j ) = max K ( Bl , B p ) .
l, p №l
????????? ? ??????? (14) ??????? ???????????? ? ?????
??????? B? i = Bi И B j , ???? F ? F0, ?. ?. ???????? «?????????
?????? ????????????? F?i ( x, a i ) ? F? j ( x, a j ) ? ???????? Bi ? Bj
????????????? ????????????» ?????. ????? ????????? ??????
????????????? ? ???????????? ??????? B?i ???????????? ???
~
~
Fi * ( x) = Fij ( x) . ??? ????????? ??????????? ??? ???? ???????? Bi
? Bj (??? Bi ? B?i ). ? ??????????, ????????, ????????? ?????
??????? B?i ?, ??????????????, ????? ????????? ?????? ??????~
??????? Fi * ( x) , ??????? ? ???????????? ????? ?????? ????????
???????-???????? ?????? ????????????????? ???????, ???
?????? ?????????? ??????? ??????????? ????????.
????????? ????????? ????????? ????????? ??????????????? ????????????? ??????????? ?????? ????????????????? ???????, ???????? ?????????????? ???????? ????????
Bj ? ???????????? X, ? ????? ?????????????? ????????????
86
?????????????? ?????? ??????????
????????? ????????????? ??????? ????????? ????????. ?????? ???????????? ????????????? ????????? ??????? ? ???, ???
????? ???????? r ??? ????????? ???????????? X ??????????
????????????? ? ??????????? ???????.
3. ??????????
????????? ????????? ???????-???????? ?????????????
???? ??????? ???????????? ??? ????????????? ???????
???????? ?????????? ?? ?????? ?????????? ???????. ?? ????
??????? ????????????? ????????? ???????? ???? ???????
?????????????.
??????????
1. ???????? ?.?., ????????? ?.?., ???????? ?.?.
????? ????????????? ??????? ? ?????? ???????? ?????.
? ?.: «?????», 1970. ?495 ?.
2. ?????? ?.?.,
???????? ?.?.,
???????? ?.?.
?????? ??????????-?????????????????? ???????, ???????????? ?? ?????????? ?????????????? ????????????? //
????? ?????? ????????????? ??????????? ??????????
????????? ???????????????? ?????? (MLSD?2008). ??.:
??? ???, 2008. ??. 192?200.
3. ????????? ?.?., ?????? ?.?. ??????????? ??????
????????? ???????????? ??????. - ?.: ?????, 1983. ? 430 ?.
4. ???????? ?.?., ??????? ?.?., ??????????? ?.?.
?????????? ??????? ?????????????? ????????????? ???
?????????? ??????????? ?????? ??????? // ?????????? ?
????????????. ? 1970. ? ?2. ? ?. 34?40.
5. ???????? ?.?., ??????????? ?.?. ??????????
??????? ?????????????? ????????????? ?????? ? ??????
???????? ???????? ??????? // ????????? ? ????????. ? 1967.
? ?4. ? ?. 25?30.
87
?????????? ???????? ?????????. ?????? 30
6. ???????? ?.?. ???????? ?????????? ???????????????????????????? ??????? ? ??? ????????????? ? ???????
??????? ? ????????????????? ???????????????? ??????
?????????? // ????? ?????? ????????????? ???????????
??????????
?????????
????????????????
??????
(MLSD?2008). ??? I. ? ?.: ??? ???, 2008. ? ?. 35?38.
7. CHOW G.C. Tests of Equality between Sets of Coefficients in
Two Linear Regressions // Econometrica. ? 1960. ? Vol. 28, ?3.
? P. 79?86.
COMPLEX CONTROL OBJECTS IDENTIFICATION ON
THE BASE OF PIECEWISE APPROXIMATION METHODS
Julia Dorofeyuk, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow,
research assistant (dorofeyuk_julia@mail.ru).
Abstract: The problem of complex object functioning model development is solved with the aid of algorithms of structure-ranging
analysis and piecewise approximation. Two approaches to the
solution are considered ? the first employs iterative algorithms
which implement variational approach to piecewise approximation,
while the second uses two-phase algorithms where the processes of
input parameter space structuring and local regression model
development are separated.
Keywords: ranging data analysis, structure identification, piecewise
approximation of complex dependence, Fisher-Chow statistic.
?????? ???????????? ? ??????????
?????? ???????????? ???????? ?. ?. ????????
88
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