close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
www.volsu.ru
DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.5.4
УДК 517.956.25
ББК 22.161.626
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ
АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Лариса Михайловна Кожевникова
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа,
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
kosul@mail.ru
просп. Ленина, 37, 453103 г. Стерлитамак, Российская Федерация
Александр Шамилевич Камалетдинов
© Кожевникова Л.М., Камалетдинов А.Ш., 2016
Аспирант,
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
просп. Ленина, 37, 453103 г. Стерлитамак, Российская Федерация
Аннотация. Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с переменными показателями нелинейностей в произвольных неограниченных областях рассматривается задача Дирихле с однородным граничным условием. В анизотропных пространствах Соболева с
переменными показателями доказано существование слабых решений.
Ключевые слова: анизотропное эллиптическое уравнение, существование решения, переменные показатели, задача Дирихле, псевдомонотонный
оператор.
Введение
Пусть Ω — произвольная область пространства R = {x = (1 , 2 , . . . ,  )}, Ω (
( R ,  ≥ 2. Для анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений второго
порядка рассматривается задача Дирихле


∑︁
( (x, , ∇)) − 0 (x, , ∇) = 0,
x ∈ Ω;
(1)
=1
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
29
МАТЕМАТИКА
⃒
⃒
⃒
(2)
= 0.
Ω
Предполагается, что функции  (x, 0 , 1 , . . . ,  ) имеют степенной рост по переменным
 с показателями  (x) ∈ (1, ∞),  = 0, 1, . . . , . Условия на функции  (x, 0 , s),
 = 0, 1, . . . , , будут сформулированы в § 2. В качестве простейшего примера можно
привести уравнение


∑︁
∑︁
(| | (x)−2  ) − ||0 (x)−2  =
(φ (x)) − φ0 (x).
=1
=1
В работе [4] для изотропного эллиптического уравнения с переменными показателями нелинейностей доказано существование решения задачи Дирихле в ограниченной области. Для изотропного уравнения с постоянными степенными нелинейностями
существование решения задачи Дирихле в произвольной области установлено Ф. Браудером [5], оно основано на абстрактной теореме для псевдомонотонных операторов. В
настоящей работе, следуя [5], при условии  (x) ≤ 0 (x),  = 1, . . . , , проведено доказательство существования решения задачи (1), (2) без предположения ограниченности
области Ω и гладкости ее границы. Ранее Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи [2] доказано
существование решений задачи (1), (2) в произвольных неограниченных областях для
анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями.
1. Предварительные сведения
Пусть  — произвольная область пространства R . Обозначим
 + () = {(x) ∈ () : 1 < (x) < +∞ ∀ x ∈ },
+
∞ () = {(x) ∈ ∞ () : 1 ≤ (x) < +∞ для п.в. x ∈ }.
−
+
Пусть (x) ∈ +
∞ (), положим  = inf (x) ≥ 1,  = sup (x) < ∞.


Очевидно неравенство Юнга:
′
|| ≤ ||(x) + || (x) ,
,  ∈ R,
′ (x) = (x)/((x) − 1).
(1)
Кроме того, ввиду выпуклости справедливо неравенство:
+ −1
| + |(x) ≤ 2
(||(x) + ||(x) ),
,  ∈ R.
(2)
Определим Лебегово пространство с переменным показателем (·) () как множество измеримых на  вещественнозначных функций (x) таких, что:
w
ρ(·), () = |(x)|(x) x < ∞.

Норма Люксембурга в пространстве (·) () определяется равенством
⃒
}︃
⃒
⃒
 > 0 ⃒ ρ(·), (/) ≤ 1 .
⃒
{︃
‖‖(·), = ‖‖(·) () = inf
30
Л.М. Кожевникова, А.Ш. Камалетдинов. Существование решений
МАТЕМАТИКА
Ниже будут использоваться обозначения ‖‖(·),Ω = ‖‖(·) , ρ(·),Ω () = ρ(·) (). Пространство (·) (Ω) является сепарабельным банаховым пространством. Если 1 < − ≤
≤ + < ∞, то пространство (·) () рефлексивное.
Для любых  ∈ (·) (),  ∈ ′ (·) () справедливо неравенство Гельдера
⃒w
⃒
⃒
⃒
⃒ (x)(x)x⃒ ≤ 2‖‖(·), ‖‖′ (·), ,
⃒ 
⃒
(3)
а также имеют место следующие соотношения [1]:
−
(︀
+
‖‖(·), − 1 ≤ ρ(·), () ≤ ‖‖(·), + 1,
(4)
)︀1/+
(︀
)︀1/−
ρ(·), () − 1
≤ ‖‖(·), ≤ ρ(·), () + 1
.
(5)
−

Обозначим →
p (x) = (1 (x), 2 (x), ...,  (x)) ∈ (+
∞ ()) и определим для x ∈ ,
− (x) = min {1 (x), 2 (x), ...,  (x)},
+ (x) = max{1 (x), 2 (x), ...,  (x)}.
=1,
=1,
1
˚−
Анизотропное пространство Соболева с переменными показателями 
→
p (·) () определим
∞
как пополнение 0 () по норме
‖‖˚→
1
−
p (·)
()
=

∑︁
‖ ‖ (·), .
=1
1
˚→
Если 1 < −
 ,  = 1, 2, . . . , , то −
p (·) () — рефлексивное банахово пространство [6].
Пусть
(︃
(x) = 

∑︁
=1
)︃−1
1/ (x)
{︃
,
* (x) =
(x)
,
−(x)
+∞,
(x) > ,
(x) ≤ ,
∞ (x) = max{* (x), + (x)}.
1
˚−
Приведем теорему вложения для пространства 
→
p (·) () [6].
−
Лемма 1. Пусть  — ограниченная область и →
p (x) = (1 (x), 2 (x), ...,  (x)) ∈
+

+
∈ ( ()) . Если (x) ∈  () и
(x) < ∞ (x) ∀ x ∈ ,
(6)
1
˚−
то имеет место непрерывное и компактное вложение 
→
p (·) () ˓→˓→ (·) ().
Лемма 2. Пусть 1 < (x) < ∞,   (x),  = 1, . . . , ∞, (x) — такие функции из
(·) (Ω), что
‖  ‖(·) ≤ ,  = 1, 2, . . . ,
  →  п.в. в Ω,
 → ∞,
тогда   ⇀  слабо в (·) (Ω) при  → ∞.
Доказательство леммы 2 для ограниченной области проведено в [4], для неограниченной
области оно также справедливо.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
31
МАТЕМАТИКА
2. Формулировка результата
−
+1
Пусть →
p (x) = (0 (x), 1 (x), ...,  (x)) ∈ (+
∩ ( + (Ω))+1 . Предполага∞ (Ω))
ется, что функции  (x, 0 , s),  = 0, . . . , , измеримы по x ∈ Ω для s = (0 , s) =
= (0 , 1 , . . . ,  ) ∈ R+1 , непрерывны по s ∈ R+1 для почти всех x ∈ Ω. Пусть существуют положительные числа ̂︀
,  и измеримые неотрицательные функции φ(x) ∈ 1 (Ω),
Φ (x) ∈ ′ (·) (Ω),  = 0, 1, . . . , , такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых s = (0 , s) ∈ R+1
справедливы неравенства
′
| (x, 0 , s)| ≤ ̂︀
(| | (x)−1 + |0 |0 (x)/ (x) ) + Φ (x),

∑︁
( (x, 0 , s) −  (x, 0 , t))( −  ) > 0,
 = 0, 1, . . . , ;
(1)
s ̸= t;
(2)
=1

∑︁
 (x, 0 , s) ≥ 
=0

∑︁
| | (x) − φ(x).
(3)
=0
Применяя (2), из неравенств (1) выводим оценки:
′
̂︀  | (x) + |0 |0 (x) ) + Ψ (x),
| (x, 0 , s)| (x) ≤ (|
 = 0, 1, . . . , ,
(1′ )
̂︀ > 0 и функциями Ψ (x) ∈ 1 (Ω),  = 0, 1, . . . , .
с
→
Через L−
p ′ (·) (Ω) обозначим пространство ′0 (·) (Ω) × ′1 (·) (Ω) × . . . × ′ (·) (Ω) с
нормой
→
‖v‖−
p ′ (·) = ‖0 ‖′0 (·) + ‖1 ‖′1 (·) + . . . + ‖ ‖′ (·) ,
→
v = (0 , 1 , . . . ,  ) ∈ L−
p ′ (·) (Ω).
Введем обозначение 0 =  . Определим пространство Соболева с переменными показа1
˚−
телями 
(Ω) как пополнение пространства 0∞ (Ω) по норме
→
p (·)
‖‖
1
˚→
−
p (·)
(Ω)
= ‖‖0 (·) + ‖‖˚→
1
−
p (·)
(Ω)
=

∑︁
‖ ‖ (·) .
=0
Будем считать, что
0 (x) < * (x),
x ∈ Ω;
+ (x) ≤ 0 (x),
x ∈ Ω.
1
˚−
Из неравенства (1′ ), пользуясь (5), для  ∈ 
(Ω) выводим оценку
→
p (·)
→
‖a(x, , ∇)‖−
p ′ (·) =

∑︁
‖ (x, , ∇)‖′ (·) ≤
=0

∑︁
[︀
]︀1/′ −

ρ′ (·) ( (x, , ∇)) + 1
≤
(4)
(5)
(6)
=0
 [︁
]︁1/′ −
∑︁
(︀
)︀
̂︀
≤
 ρ (·) ( ) + ρ0 (·) () + ‖Ψ ‖1 + 1
< ∞.
=0
1
˚→
→
Далее, по элементу a(x, , ∇) ∈ L−
(Ω) определим функp ′ (·) (Ω) для (x) ∈ −
p (·)
ционал A() равенством:
⟨A(), ⟩ =

w ∑︁
 (x, , ∇) x.
(7)
Ω =0
32
Л.М. Кожевникова, А.Ш. Камалетдинов. Существование решений
МАТЕМАТИКА
1
˚−
Используя неравенство Гельдера (3), для функций (x), (x) ∈ 
(Ω) выводим
→
p (·)
неравенства:
|⟨A(), ⟩| ≤ 2

∑︁
→
‖ ‖′ (·) ‖ ‖ (·) ≤ 2‖a(x, , ∇)‖−
1
˚→
p ′ (·) ‖‖
−
p (·)
=0
(Ω) .
(8)
Из (8), (6) следует, что функционал A(), определяемый равенством (7) в пространстве
1
˚−

(Ω), является ограниченным.
→
p (·)
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) назовем функцию (x) ∈
1
˚−
∈
(Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству
→
p (·)
⟨A(), ⟩ = 0
(9)
1
˚−
для любой функции (x) ∈ 
(Ω).
→
p (·)
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема. Если выполнены условия (1)–(5), то существует обобщенное решение задачи (1), (2).
3. Доказательство существования
Доказательство теоремы основано на утверждении о псевдомонотонности оператора A.
Определение 2. Оператор  :  →  ′ называется псевдомонотонным, если
(i)  — ограниченный оператор;
(ii) из условия  ⇀  слабо в  и lim sup⟨( ),  − ⟩ ≤ 0 следует, что для
→∞
любого  ∈ 
lim inf⟨( ),  − ⟩ ≥ ⟨(),  − ⟩.
→∞
(1)
Лемма 3. Пусть V — рефлексивное сепарабельное банахово пространство. Пусть
оператор  :  →  ′ обладает следующими свойствами: оператор A псевдомонотонный и коэрцитивный, то есть
⟨(), ⟩
→∞
‖‖
(2)
при ‖‖ → ∞. Тогда отображение  :  →  ′ сюръективно, то есть для всякого
 ∈  ′ существует такой  ∈  , что () =  [3, гл. II, § 2, теорема 2.7].
Замечание 2. Чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа
«из последовательности  можно выделить подпоследовательность (обозначим ее также), сходящуюся п.в. в Ω при  → ∞», будем писать просто «последовательность 
выборочно сходится п.в. в Ω при  → ∞». Соответственно, будем использовать термин
«выборочно слабо сходится» и т. п.
Утверждение 1. Пусть выполнены условия (1)–(5), тогда оператор
(︁
)︁′
1
1
˚−
˚−
→
→
A:
(Ω)
→

(Ω)
,
p (·)
p (·)
определяемый равенством (7), является псевдомонотонным.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
33
МАТЕМАТИКА
Доказательство. Ограниченность оператора A следует из оценок (6), (8). Рассмотрим
1
˚→
(Ω) такую, что
последовательность { }∞
=1 в пространстве −
p (·)
1
˚−
→
 ⇀  слабо в 
p (·) (Ω),
 → ∞;
(3)
lim sup⟨A( ),  − ⟩ ≤ 0.
(4)
→∞
Покажем, что
(︁
)︁′
1
˚−
→

(Ω)
,
p (·)
A( ) ⇀ A() слабо в
⟨A( ),  − ⟩ → 0,
 → ∞;
 → ∞.
(5)
(6)
Очевидно, что из (5), (6) следует (1).
Прежде всего, из сходимости (3) и неравенства (4) имеем оценки:
‖ ‖
1
˚→
−
≤ 1 ,
 = 1, 2, . . . ;
(7)
ρ (·) ( ) ≤ 2 ,
 = 1, 2, . . . .
(8)
p (·)

∑︁
(Ω)
=0
Кроме того, соединяя (6), (8), выводим оценку
→
‖a(x,  , ∇ )‖−
p ′ (·) =

∑︁
‖ (x,  , ∇ )‖′ (·) ≤ 3 ,
 = 1, 2, . . . .
(9)
=0
1
˚−
Зафиксируем произвольное  > 0. По лемме 1 пространство 
(Ω( + 1)) ком→
p (·)
пактно вложено в (·) (Ω( + 1)) для любой функции (x), удовлетворяющей условию
1
˚−
(Ω( + 1)) компактно вложено в
(6). Согласно условиям (4), (5), пространство 
→
p (·)
пространства  (·) (Ω( + 1)),  = 0, . . . , .
Пусть η () = min(1, max(0,  + 1 − )). Пользуясь (2), (5), (8), выводим неравенства
(︃ 
)︃
w
∑︁
|( η (|x|)) | (x) + | η (|x|)|0 (x) x ≤
=1
Ω(+1)
w
≤
(︃ 
)︃
∑︁

  (x)
 0 (x)
(| | + | |)
+ | |
x ≤
=1
Ω(+1)
≤
w
(︃ 
∑︁
Ω(+1)
)︃
+
 −1
2
(| | (x) + | | (x) ) + | |0 (x) x ≤
=1
≤ 4
w
Ω(+1)
= 4
(︃ 
∑︁
(︃ 
∑︁
)︃
| | (x)
+ 1 x =
=0
)︃
ρ (·) ( ) + mes Ω( + 1)
≤ 5 (),
 = 1, 2, . . . .
=0
34
Л.М. Кожевникова, А.Ш. Камалетдинов. Существование решений
МАТЕМАТИКА
1
˚→
Следовательно, последовательность { η }∞
(Ω( +
=1 ограничена в пространстве −
p (·)
+ 1)). Ввиду компактности вложений
1
˚−
→

p (·) (Ω( + 1)) ⊂  (·) (Ω( + 1)),
 = 0, . . . , ,
имеют место выборочные сильные сходимости
 η → η
в  (·) (Ω( + 1)),
 = 0, 1, . . . , ,
 → ∞,
из которых следуют сильные сходимости
 →  в  (·) (Ω()),
 → ∞,
 = 0, 1, . . . , ,
(10)
а также выборочная сходимость  →  почти всюду в Ω(). Диагональным процессом
устанавливается сходимость
 →  п.в. в Ω,
 → ∞.
(11)
Положим
 (x) =

∑︁
(︀
)︀
 (x,  , ∇ ) −  (x, , ∇) ( − ) +
=1
(︀
)︀
+ 0 (x,  , ∇ ) − 0 (x, , ∇) ( − ),
тогда
⟨A( ) − A(),  − ⟩ =
w
 (x)x,
 = 1, 2, . . . ,
 = 1, 2, . . . .
Ω
Согласно (3), (4), имеем
lim sup
→∞
w
 (x)x ≤ 0.
(12)
Ω
Запишем  (x) в следующем виде:

 (x) =

∑︁
(︀
)︀
 (x,  , ∇ ) −  (x,  , ∇) ( − ) +
=1
+

∑︁
(︀
)︀
 (x,  , ∇) −  (x, , ∇) ( − ) +
=1
)︀
+ 0 (x,  , ∇ ) − 0 (x, , ∇) ( − ) =   (x) +  (x) +  (x),
(︀


 = 1, . . . .
(13)
Покажем, что
 (x) → 0 п.в. в Ω,
 → ∞,
(14)
 (x) → 0 п.в. в Ω,
 → ∞.
(15)
Рассмотрим операторы Немыцкого  () =  (x, , ∇),  = 1, 2, . . . , , при фикси1
˚−
рованном  ∈ 
(Ω) для x ∈ Ω(),  > 0. Применяя оценку (1), имеем неравенства
→
p (·)
′
| (x, , ∇)| ≤ ̂︀
(| | (x)−1 + ||0 (x)/ (x) ) + Φ (x),
 = 1, . . . , ,
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
35
МАТЕМАТИКА
c функциями ̂︀
| | (x)−1 + Φ (x) ∈ 1 (Ω). Согласно [7], операторы  действуют из
0 (·) (Ω()) в ′ (·) (Ω()),  = 1, 2, . . . , , они непрерывны и ограничены в 0 (·) (Ω())
при любом  > 0.
Применяя неравенство (3), выводим
w

| (x)|x ≤ 2

∑︁
‖ (x,  , ∇) −  (x, , ∇)‖′ (·),Ω() ‖( − ) ‖ (·),Ω() .
=1
Ω()
Ввиду сходимости  →  в 0 (·) (Ω()),  → ∞ (см. (10)), и непрерывности операторов
 : 0 (·) (Ω()) →  (·) (Ω()),  = 1, 2, . . . , , первый сомножитель стремится к
нулю, а второй равномерно ограничен (см. (7)). Таким образом, установлено, что для
любого  > 0  (x) → 0,  → ∞, в 1 (Ω()). Отсюда диагональным процессом
устанавливается сходимость (14).
Используя неравенство (3), получаем
w
| (x)|x ≤ 2‖0 (x,  , ∇ ) − 0 (x, , ∇)‖′0 (·),Ω() ‖ − ‖0 (·),Ω() .
Ω()
Первый сомножитель равномерно ограничен (см. (9)), а второй стремится к нулю (см.
(10)), поэтому для любого  > 0  (x) → 0,  → ∞, в 1 (Ω()). Отсюда диагональным
процессом устанавливается сходимость (15).
Далее запишем  (x) в виде:

 (x) =

∑︁
 (x,  , ∇ ) + 0 (x,  , ∇ ) −   (x),
 = 1, 2, . . . ,
(16)
=1
где
  (x) =

∑︁
 (x, , ∇)( − ) + 0 (x, , ∇)( − ) +
=1
+

∑︁
 (x,  , ∇ ) + 0 (x,  , ∇ ) ∈ 1 (Ω),
 = 1, 2, . . . .
=1
Используя неравенство (1), для ε ∈ (0, 1) получаем
(︃ 
)︃

∑︁
∑︁
′
|  (x)| ≤ ε
| | (x) +
| (x,  , ∇ )| (x) +
+ 6 (ε)
(︃ =0

∑︁
 (x)
| |
+
=0
=0

∑︁
)︃
′ (x)
| (x, , ∇)|
) .
=0
Применяя (1′ ), выводим неравенства
|  (x)| ≤ ε7

∑︁
| | (x) + 8 (ε)
=0
(︃ 
∑︁
| | (x) +

∑︁
=0
)︃
Ψ (x) .
(17)
=0
Используя (3), перепишем (16) в виде:

 (x) ≥ 

∑︁
| | (x) − φ(x) − |  (x)|.
(18)
=0
36
Л.М. Кожевникова, А.Ш. Камалетдинов. Существование решений
МАТЕМАТИКА
Соединяя (17), (18), выбирая ε < /7 , устанавливаем оценку
(︃ 
)︃


∑︁
∑︁
∑︁

  (x)
 (x)
 (x) ≥ 9
| |
− φ(x) − 8
| |
+
Ψ (x) ,
=0
=0
 = 1, . . . .
(19)
=0
Пусть  (x) = + (x) − − (x), + (x), − (x) — положительная и отрицательная
части  (x) соответственно. Из (19) следует оценка
+
 (x) ≥ 9

∑︁
| | (x) − Ψ (x),
(20)
 = 1, . . . ,
=0
(︂
c неотрицательной функцией Ψ (x) = φ(x) + 8

∑︀
 (x)
| |
=0

∑︀
+
)︂
Ψ (x) ∈ 1 (Ω),
=0
конечной п.в. в Ω. Если  (x) — характеристическая функция множества {x : − (x) >
> 0}, тогда
−− =    +   +   ,
причем, согласно (14), (15),   (x) → 0,   (x) → 0 п.в. в Ω при  → ∞. Ввиду (2),
   (x) ≥ 0 п.в. в Ω, тогда − (x) → 0 п.в. в Ω при  → ∞.
Кроме того, из (19) следует оценка
)︃
(︃ 

∑︁
∑︁
Ψ (x) = −Ψ (x),  = 0, 1, . . . .
| | (x) +
 (x) ≥ −φ(x) − 8
=0
=0
Отсюда имеем: − (x) ≤ Ψ (x),  = 1, . . . . Тогда, согласно теореме Лебега,
− (x) → 0 в 1 (Ω),
 → ∞.
(21)
Поэтому, согласно (12),
w
w
w
+

0 ≤ lim sup  (x)x = lim sup  (x)x + lim sup − (x)x ≤ 0.
→∞
→∞
Ω
→∞
Ω
Ω
Следовательно,
+ (x) → 0 в 1 (Ω),
 → ∞.
(22)
 → ∞,
(23)
Таким образом, из (21), (22) имеем сходимость
 (x) → 0 в 1 (Ω),
а также выборочную сходимость
+ (x) → 0,
 (x) → 0 п.в. в Ω,
 → ∞.
(24)
Установим сходимость
 (x) →  (x) п.в. в Ω,
 = 1, 2, . . . , ,
 → ∞.
(25)
Обозначим через Ω′ ⊂ Ω подмножество точек полной меры, для которых имеют место
сходимости (11), (24) и выполнены неравенства (1)–(3).
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
37
МАТЕМАТИКА
От противного, пусть в некоторой точке x* ∈ Ω′ нет сходимости. Обозначим 0 =
=  (x* ), 0 = (x* ),  =  (x* ),  =  (x* ),  = 1, 2, . . . , .

∑︀
*
Предположим, что последовательность
| | (x ) ,  = 1, 2, . . . не ограничена. То=0
гда из оценки (20) следует неограниченность последовательности + (x* ),  = 1, 2, . . .,
что противоречит (24). Отсюда следует ограниченность последовательностей { }∞
=1 ,  =



*
*
* *
= 1, 2, . . . , . Пусть s = (1 , 2 , . . . ,  ) — один из частичных пределов s = (1 , 2 , . . . ,  )
при  → ∞, тогда, с учетом (11), имеем
0 → 0 ,
 → * ,
 = 1, 2, . . . , ,
 → ∞.
Поэтому, применяя (14), (15), (24), из (13) и непрерывности  (x* , 0 , s) по s = (0 , s)
вытекает, что

*
 (x ) →

∑︁
( (x* , 0 , s* ) −  (x* , 0 , s)) (* −  ) = 0,
=1
следовательно, согласно (2), s = s* . Это противоречит тому, что в точке x* нет сходимости.
Таким образом, из (11), (25) и непрерывности  (x, 0 , s) по s = (0 , s) следует, что
 (x,  , ∇ ) →  (x, , ∇),
п.в. в Ω,
 = 0, 1, . . . , ,
 → ∞.
Кроме того, ввиду (9), последовательности { (x,  , ∇ )}∞
=1 ограничены в ′ (·) (Ω),
 = 0, 1, . . . , . Согласно лемме 2 имеем слабые сходимости
 (x,  , ∇ ) ⇀  (x, , ∇) в ′ (·) (Ω),
 = 0, 1, . . . , .
(26)
Очевидно, из (26) вытекает слабая сходимость (5).
Чтобы завершить доказательство, заметим, что из (3), (23) следует (6)
⟨A( ),  − ⟩ = ⟨A( ) − A(),  − ⟩ + ⟨A(),  − ⟩ → 0,
 → ∞.
Доказательство теоремы. Докажем коэрцитивность оператора A. Пользуясь (3), (4),
выводим
⟨A(), ⟩ =
 w
∑︁
 (x, , ∇) x ≥ 
=0 Ω
≥

∑︁
ρ (·) ( ) − ‖φ‖1 ≥
(27)
=0

∑︁
−

‖ ‖ (·) − ( + 1) − ‖φ‖1 .
=0
Пусть ‖ ‖
1
˚→
−
→ ∞ при  → ∞. Тогда для любого  > 0 найдется 0 такое,
что для всех  ≥ 0 справедливы неравенства
p (·)
(Ω)

∑︁
‖ ‖ (·) > ( + 1).
(28)
=0
38
Л.М. Кожевникова, А.Ш. Камалетдинов. Существование решений
МАТЕМАТИКА
При каждом  ≥ 0 найдется хотя бы одно слагаемое больше . Пусть для определенности при фиксированном  ≥ 0 наибольшим является первое слагаемое ‖ ‖0 (·) > .
Соединяя (27), (28), получаем
− −1
‖ ‖00 (·)
−
3
⟨A(), ⟩
1
≥
−
> 2 0 −1 −
.

‖ ‖
( + 1)
( + 1)

1
˚→
(Ω)
−
p (·)
Отсюда, ввиду произвольности  и ,  ≥ 0 , следует (2).
1
˚−
Из утверждения 1, cогласно лемме 3, следует существование функции  ∈ 
(Ω)
→
p (·)
1
˚−
такой, что A() = O. Таким образом, для любого  ∈ 
→ (Ω) справедливо тождеp (·)
ство (9).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жиков, В.␣В. О вариационных задачах и нелинейных эллиптических уравнениях с
нестандартными условиями роста / В.␣В. Жиков // Проблемы математического анализа. —
2011. — Вып. 54. — C. 23–112.
2. Кожевникова, Л.␣M. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.␣M. Кожевникова, A.␣A. Хаджи // Вестн. Сам.
гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 19, № 1. — C. 44–62.
3. Лионс, Ж.␣Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.␣Л. Лионс. — М. : Мир, 1972. — 596 c.
4. Benboubker, M.␣B. Quasilinear elliptic problems with nonstandard growths
/ M.␣B. Benboubker, E. Azroul, A. Barbara // Electronic Journal of Differential Equations. —
2011. — № 62. — P. 1–16.
5. Browder, F.␣E. Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value
problems on unbounded domains / F.␣E. Browder // Proc. Nation. Acad. Sci. USA. — 1977. —
Vol. 74, № 7. — P. 2659–2661.
6. Fan, X. Anisotropic variable exponent Sobolev spaces and ()-Laplacian equations
/ X. Fan // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2011. — Vol. 56, № 7–9. —
P. 623–642. — DOI: http://dx.doi.org/10.1080/17476931003728412.
7. Fan, X. On the Spases  () and  ,() / X. Fan, D. Zhao // J. Math. Anal. Appl. —
2001. — Vol. 263. — P. 424–446. — DOI: http://doi:10.1006/jmaa.2000.7617.
REFERENCES
1. Zhikov V.V. O variatsionnykh zadachakh i nеlinеynykh elliptichеskikh uravnеniyakh
s nеstandartnymi usloviyami rosta [On Variational Problems and Nonlinear Elliptic Equations
with Non-Standard Growth Conditions]. Problеmy matеmatichеskogo analiza, 2011, iss. 54,
pp. 23-112.
2. Kozhеvnikova L.M., Khadzhi A.A. O rеshеniyakh elliptichеskikh uravnеniy s
nеstеpеnnymi nеlinеynostyami v nеogranichеnnykh oblastyakh [On Solutions of Elliptic
Equations with Nonpower Nonlinearities in Unbounded Domains]. Vеstn. Sam. gos. tеkhn.
un-ta, 2015, vol. 19, no. 1, pp. 44-62.
3. Lions Zh.L. Nеkotoryе mеtody rеshеniya nеlinеynykh kraеvykh zadach [Some
Methods of Solving Nonlinear Boundary Value Problems]. Moscow, Mir Publ., 1972. 596 p.
4. Benboubker M.B., Azroul E., Barbara A. Quasilinear Elliptic Problems with
Nonstandard Growths. Electronic Journal of Differential Equations, 2011, no. 62, pp. 1-16.
5. Browder F.E. Pseudo-Monotone Operators and Nonlinear Elliptic Boundary Value
Problems on Unbounded Domains. Proc. Nation. Acad. Sci. USA, 1977, vol. 74, no. 7,
pp. 2659-2661.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
39
МАТЕМАТИКА
6. Fan X. Anisotropic Variable Exponent Sobolev Spaces and ()-Laplacian Equations.
Complex Variables and Elliptic Equations, 2011, vol. 56, no. 7–9, pp. 623-642. DOI:
http://dx.doi.org/10.1080/17476931003728412.
7. Fan X., Zhao D. On the Spases  () and   , (). J. Math. Anal. Appl., 2001,
vol. 263, pp. 424-446. DOI: http://doi:10.1006/jmaa.2000.7617.
EXISTENCE OF SOLUTIONS OF ANISOTROPIC ELLIPTIC EQUATIONS
WITH VARIABLE EXPONENTS OF NONLINEARITY
IN UNBOUNDED DOMAINS
Larisa Mikhaylovna Kozhеvnikova
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
Department of Mathematical Analysis,
Sterlitamak Branch of Bashkir State University
kosul@mail.ru
Prosp. Lenina, 37, 453103 Sterlitamak, Russian Federation
Alexander Shamilеvich Kamalеtdinov
Postgraduate Student,
Sterlitamak Branch of Bashkir State University
Prosp. Lenina, 37, 453103 Sterlitamak, Russian Federation
Abstract. For anisotropic quasilinear second order elliptic equations in divergence form with a non-standard growth conditions

∑︁
( (x, , ∇)) − 0 (x, , ∇) = 0,
x ∈ Ω;
(1)
=1
in domain Ω of the space R , Ω ( R ,  ≥ 2, the Dirichlet problem is considered
with homogeneous boundary condition
⃒
⃒
⃒ = 0.
(2)
Ω
It is assumed that the functions  (x, 0 , 1 , . . . ,  ) have a polinomial growth on
variable  with powers  (x) ∈ (1, ∞),  = 0, 1, . . . , . As example we can use
the equation


∑︁
∑︁
 (x)−2
0 (x)−2
(| |
 ) − ||
=
(φ (x)) − φ0 (x).
=1
=1
In the paper by M.B. Benboubker, E. Azroul, A. Barbara (Quasilinear
elliptic problems with nonstandard growths, Electronic Journal of Differential
Equations, 2011) the existence of solutions of the Dirichlet problem in a bounded
domain was proved for an isotropic elliptic equations with variable nonlinearities.
For isotropic equations with constant power of nonlinearity the existence of
solutions of the Dirichlet problem in an arbitrary domain was established by
F.E. Browder (Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value
40
Л.М. Кожевникова, А.Ш. Камалетдинов. Существование решений
МАТЕМАТИКА
problems on unbounded domains, Proc. Nati. Acad. Sci. USA, 1977). The proof
is based on an abstract theorem for pseudomonotone operators. In this paper we
prove the existence of solutions of the problem (1), (2) without the assumption
of boundedness of Ω and the smoothness of its boundary.
Note by (·) (Ω) Lebesgue spaces with variable exponent (x) and the
−
+1
∩
Luxemburg norm ‖·‖(·) . Let the →
p (x) = (0 (x), 1 (x), ...,  (x)) ∈ (+
∞ (Ω))
+
+1
1
˚
∩ ( (Ω)) . The Sobolev — Orlicz space with variable exponents −
(Ω) is
→
p (·)
∞
defined as the completion of the space 0 (Ω) in the norm
‖‖
1
˚→
−
p (·)
(Ω)
= ‖‖0 (·) +

∑︁
‖ ‖ (·) .
=1
It is assumed that
+ (x) ≤ 0 (x) < * (x),
x ∈ Ω,
(3)
where
{︃
+ (x) = max{1 (x), 2 (x), ...,  (x)},
(︃
(x) = 

∑︁
* (x) =
(x)
,
−(x)
+∞,
(x) > ,
,
(x) ≤ ,
)︃−1
1/ (x)
.
=1
And it is also assumed that  (x, 0 , s),  = 0, . . . , , x ∈ Ω, s = (0 , s) =
= (0 , 1 , . . . ,  ) ∈ R+1 , are the Caratheodory functions, and there exist positive
numbers ̂︀
,  and measurable non-negative function φ(x) ∈ 1 (Ω), Φ (x) ∈
∈ ′ (·) (Ω), ′ (x) =  (x)/( (x) − 1),  = 0, 1, . . . , , such that for almost
all x ∈ Ω and any s = (0 , s) ∈ R+1 the inequalities hold:
′
| (x, 0 , s)| ≤ ̂︀
(| | (x)−1 + |0 |0 (x)/ (x) ) + Φ (x),

∑︁
( (x, 0 , s) −  (x, 0 , t))( −  ) > 0,
 = 0, 1, . . . , ;
(4)
s ̸= t;
(5)
=1

∑︁
 (x, 0 , s) ≥ 
=0

∑︁
⟨A(), ⟩ =
(6)
=0
1
˚−
Elliptic operators A : 
(Ω) →
→
p (·)
problem (1), (2), defined by the equation:

w ∑︁
| | (x) − φ(x).
(︁
)︁′
1
˚−

(Ω)
, corresponding to the
→
p (·)
 (x, , ∇) x,
1
˚−
→
(x), (x) ∈ 
p (·) (Ω).
Ω =0
It is proved that operator A is pseudomonotone, bounded and coercitive. On the
basis of these properties we prove the theorem.
Theorem. If the conditions (3)–(6), there is a generalized solution of the
problem (1), (2).
Key words: anisotropic elliptic equation, existence of solution, variable
exponents, Dirichlet problem, pseudomonotone operator.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36)
41
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа