close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009
Математика и механика
№ 4(8)
УДК 517.54
А.Н. Малютина, М.А. Елизарова
ТЕОРЕМЫ О ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ СНИЗУ ОТОБРАЖЕНИЙ
С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ1
В настоящей работе исследуются свойства отображений с s-усредненной характеристикой. Доказано, что отображения с s-усредненной характеристикой являются полунепрерывными снизу.
Ключевые слова: пространственные отображения, отображения с
s-усредненной характеристикой, полунепрерывность снизу.
Одними из главных направлений в современной теории однолистных отображений являются задача об экстремумах различных непрерывных функционалов
задача об определении множества значений, принимаемых непрерывным комплексным функционалом на классе однолистных функций. Куфаревым П.П., профессором ТГУ, выполнены работы, в которых на двусвязные области обобщаются
уравнение Левнера и вариационная формула Голузина Г.М. [1].
Наряду с интенсивно развивающейся теорией комплексного переменного и ее
приложений в механике, с 30-х годов XX века начала развиваться теория пространственных отображений. С 1969 года начались глубокие исследования более
общих отображений – отображений с ограниченным искажением [2] и квазирегулярных отображений [3].
В данной работе исследуется класс отображений, обобщающих квазирегулярные отображения.
Пусть D – область в R n и отображение f : D → R n – открытое, непрерывное,
изолированное. Якобиан отображения J (x, f ) сохраняет знак почти всюду в D
(для определенности возьмем J (x, f ) > 0).
Определение 1. Отображение f называется отображением с Ko,s-усредненной
характеристикой, если
1) f ∈ Wn1,loc ( D ) ;
2) Существует постоянная Ko,s ≥ 0, такая, что выполняется неравенство
K o, s ( f ) =
(
∫ K o ( x, f ) d σ x
s
D
)
1s
≤ K o, s .
(1)
Определение 2. Отображение f называется отображением с K o,* s -усредненной
характеристикой, если
1) f ∈ Wn1,loc ( D ) ;
2) Существует постоянная K o,* s ≥ 0 , такая, что выполняется неравенство
K o,* s ( f ) =
1
(
∫ K o ( x, f ) J ( x , f ) d σ x
s
D
)
1s
≤ K o,* s .
(2)
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России». Госконтракт П 937 от 20 августа 2009 года. Тема «Локализации модулей и колец, проблемы
классификации».
Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой
47
Определение 3. Отображение f называется отображением с K i, s -усредненной
характеристикой, если
1) f ∈ Wn1,loc ( D ) ;
2) Существует постоянная K i , s ≥ 0, такая, что выполняется неравенство
1s
⎛
⎞
K i, s ( f ) = ⎜⎜ ∫ Kis ( x, f ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
≤ K i, s .
(3)
Определение 4. Отображение f называется отображением с K i*,s -усредненной
характеристикой, если
1) f ∈ Wn1,loc ( D ) ;
2) Существует постоянная K i*,s ≥ 0 , такая, что выполняется неравенство
1s
⎛
⎞
K i*, s ( f ) = ⎜⎜ ∫ K is ( x, f ) J ( x, f ) d σ x ⎟⎟ ≤ K i*, s .
(4)
⎝D
⎠
Определение 5. Отображение f называется отображением с (s,s*)o-усредненной
характеристикой, если оно является отображением с Ko,s- и K o,* s -усредненными
характеристиками.
Определение 6. Отображение f называется отображением с ( s, s* )i -усредненной характеристикой, если оно является отображением с K i, s - и K i*,s -усредненными характеристиками, где Ko(x, f ) – внешняя дилатация отображения f,
dx
K i ( x, f ) – внутренняя дилатация отображения f [2], d σ x =
.
n
1+ x 2
(
)
Замечание 1. В силу неравенства K i ( x, f ) ≤ K o ( x, f ) , а также других неравенств, связывающих между собой внешнюю и внутреннюю дилатации отображения f [4], отображения в определениях 5, 6 также называют отображениями с
s-усредненной характеристикой.
Пусть D, D∗ ⊂ R n ограниченные области, n ≥ 3. Пусть f – отображение с
s-усредненной характеристикой. Известно, что характеристики отображения f
удовлетворяют следующим неравенствам [4]:
K o ( x, f ) ≤ n n 2 λ ( x, f ) ≤ n n 2 K o ( x , f ) ,
(5)
λ ( x, f ) = n − n 2 ∇f ( x) n J ( x, f ) −1 .
(6)
Теорема 1. Пусть Dm ⊂ D∗ , m = 0,1, 2..., – ограниченные области, |D*| ≤ R <∞.
Пусть fm : D →Dm – последовательность отображений с s-усредненной характеристикой, s > (n –1)–1 и последовательность {fm} сходится равномерно внутри D к
непрерывному отображению f, f : D → R n .
Тогда
1s
⎛
⎞
K o, s ( f ) = ⎜⎜ ∫ K os ( x, f ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
≤ lim Qs ( f m ).
m →∞
(7)
А.Н. Малютина, М.А. Елизарова
48
Доказательство. Рассмотрим характеристику отображения f. Для каждого
номера m, m=0,1,2…, согласно (1), имеем
1s
⎛
⎞
K o, s ( f m ) = ⎜⎜ ∫ K os ( x, f m ) d σ x ⎟⎟ ≤ K o, s .
(8).
⎝D
⎠
Применяя к интегралу в (8) неравенство Гельдера и оценку (6), получаем, что
∫ K o ( x, f m ) d σ x ≤ ∫ n
s
D
= n ns 2 ∫
λ ( x, f m ) d σ x =
ns 2 s
D
n − ns 2 ∇f m
sn
J ( x, f m ) s
D
⎛
≤ ⎜⎜ ∫ ∇f m
⎝D
sn /( s +1)
∫ ∇f m
sn
J ( x, f m ) − s d σ x ≤
D
⎞
d σ x ⎟⎟
⎠
sn /( s +1)
⎛
≤ ⎜⎜ ∫ ∇f m
⎝D
d σx =
s +1
⎛
⎞
⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f m ) − s ( −1/ s ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
⎞
d σ x ⎟⎟
⎠
s +1
−s
≤
−s
⎛
⎞
⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟⎟ .
⎝D
⎠
В силу ограниченности Dm ⊂ D∗ , m = 0,1, 2..., имеем
s +1
⎛
⎞
sn /( s +1)
d σ x ⎟⎟ ⋅ R − s .
∫ ( x, f m ) d σ x ≤ ⎜⎜ ∫ ∇f m
⎝D
⎠
D
Следовательно, для каждого m, m = 0,1,2…, имеет место следующая оценка:
K os
s +1
⎛
⎞
sn /( n +1)
d σ x ⎟⎟ ≥ R − s ∫ K os ( x, f m ) d σ x = R − s K o,s s ( f m ) .
(9)
⎜⎜ ∫ ∇f m
⎝D
⎠
D
Обозначим d = lim K o, s ( f m ) . Из общей последовательности отображений выm →∞
берем подпоследовательность {fm} такую, что Ko,s (fm) → d при m→∞. Однако в
силу справедливости: оценки следующей из
∫ K o ( x, f m ) d σ x ≤ K o
s
s
,
(8)
D
равномерной сходимости fm к непрерывной функции f внутри D и неравенства (9),
из последовательности {fm} можно выбрать подпоследовательность, которая сходится сильно в Lp(D), слабо в W p1 ( D) , p = sn(s+1)–1 (по теореме вложения Соболева [5]); последовательность характеристик K m = K os ( x, f m ) слабо сходится в L1(D)
к некоторой функции K (x) и якобиан J (x, fm) сходится слабо в L1(D) к J (x, f ) (по
лемме 6 [6]). Таким образом, предельное отображение f ∈ W p1 ( D) .
Возьмем теперь шар B (x, r) в R n с центром в точке x и радиусом r, x ∈ D –
произвольная точка области D и r, такое, что B ( x, r ) ⊂ D .
Из теоремы Казимирова о полунепрерывности интегралов вариационного исчисления [7] следует, что
∫
B( x, r )
∇f
p
d σ x ≤ lim
∫
m →∞ B ( x , r )
∇f m
p
d σx .
Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой
49
В силу слабой сходимости Km к K (x), J (x, fm) к J (x, f ) и неравенств (5), (9),
(10) получаем следующую оценку:
∫
p
∇f
d σx ≤
B( x, r )
∫
∇f
sn /( s +1)
B( x,r )
∫
∇f
n
s
s +1
dσx =
B( x,r )
ns
=
∫
d σx =
s
s
n 2( s +1) λ( x, f ) s +1 J ( x, f ) s +1 d σ x ≤
B( x,r )
1
≤n
ns
2( s +1)
s
s s +1
⎛
⎞ s +1 ⎛
⎞ s +1
⎡
⎤
s +1
⎜
⎟ ⎜
λ
σ
(
x
,
f
)
d
J ( x, f ) d σ x ⎟ ≤
⎢
⎥
x
∫
∫
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎥⎦
⎠
⎝ B( x , r ) ⎢⎣
⎠ ⎝ B( x,r )
1
≤
p n
+
n2 2
s
⎛
⎞ s +1 ⎛
⎞ s +1
⎜ ∫ K os ( x, f ) d σ x ⎟ ⋅ ⎜ ∫ J ( x, f ) d σ x ⎟ .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ B( x,r )
⎠
⎝ B( x,r )
⎠
Таким образом
1
s
⎛
⎞ s +1 ⎛
⎞ s +1
p
⎜ ∫ K os ( x, f ) d σ x ⎟ ⎜ ∫ J ( x, f ) d σ x ⎟ .
(11)
∫ ∇f d σ x
⎜
⎟ ⎜
⎟
B( x, r )
⎝ B( x,r )
⎠ ⎝ B( x,r )
⎠
Переходя в (11) к пределу при r → 0 по теореме Лебега, получаем, что для
почти всех x ∈ D справедливо
p+n
≤n 2
∇f
p
≤
1
p n
+
s
2
2
n
K ( x) +1
s
⋅ J ( x, f ) s +1 .
(12)
Возведем обе части (12) в степень s+1 и разделим на J ( x, f ) s > 0 . Тогда
s
n
⎛ ∇f
⎞
2
⎜
⎟ ≤ K ( x) ⋅ n
⎝ J ( x, f m ) ⎠
n
и, в силу (1), имеем K os ( x, f ) ≤ n 2 K ( x ) .
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть Dm ⊂ D∗ , m = 0,1, 2..., – ограниченные области, |D*| ≤ R <∞.
Пусть fm : D →Dm – последовательность отображений с s-усредненной характеристикой, s ≥ 1 и последовательность {fm} сходится равномерно внутри D к непрерывному отображению f, f : D → R n .
Тогда f ∈ Wn1 ( D) ,
1s
⎛
⎞
(13)
( f ) = ⎜⎜ ∫ K os ( x, f ) J ( x, f ) d σ x ⎟⎟ ≤ lim Κ *o, s ( f m ).
m →∞
⎝D
⎠
Доказательство. Пусть s > 1. Воспользуемся неравенствами (6), (2) и неравенством Гельдера. В силу ограниченности Dm ⊂ D∗ , m = 0,1, 2..., получаем слеK o,* s
А.Н. Малютина, М.А. Елизарова
50
дующую оценку:
∫ ∇f
n
D
d σ x = ∫ ∇f
J ( x, f m ) (1− s ) / s J ( x, f m ) − (1− s ) / s d σ x ≤
D
⎛
≤ ⎜⎜ ∫ ∇f
⎝D
⎛
= ⎜⎜ ∫ ⎡⎣ ∇f
⎝D
n
n
1s
⎞
J ( x, f m ) (1− s ) d σ x ⎟⎟
⎠
ns
J ( x, f m )
1s
⎞
⎤ J ( x, f m ) d σ x ⎟
⎦
⎟
⎠
−1 s
1s
ns
⎛
⎞
= n 2 ⎜⎜ ∫ λ( x, f m ) s d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
≤
ns
n2
⎛
⎞
⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
1s
≤
ns
n 2 K o,* s R ( s −1) s
=
⎛
⎞
⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
⎛
⎞
⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
⎛
⎞
s
⎜⎜ ∫ K o ( x, f m ) J ( x, f m ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
( s −1) s
( s −1) s
=
( s −1) s
⎛
⎞
⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟⎟
⎝D
⎠
≤
( s −1) s
≤
= M < ∞.
Таким образом выполнено соотношение
∫ ∇f
n
d σx ≤ M .
(14)
D
Обозначим d = lim K o,* s ( f m ) . Из общей последовательности отображений выm →∞
берем подпоследовательность {fm}, такую, что
а) lim K o,* s ( f m ) = d ;
m →∞
б) подпоследовательность {fm} слабо сходится в Wn1 ( D) , сильно в Ln(D), почти
всюду в D к некоторой функции f ∈ W 1 ( D) ;
n
в) последовательность характеристик, K m* ( x) = K os ( x, f m ) J ( x, f m ) , слабо сходится в L1(D) к некоторой функции K ∗ ( x) ∈ L1 ( D) ;
г) последовательность J (x, fm) сходится слабо в L1(D) к J (x, f ).
Ясно, что f ( x) = f ( x) . Выполнение условий (а) – (г) следует из условия теоремы и оценки (14).
Теперь пусть r > 0, такое, что шар B (x, r) с центром в точке x и радиусом r целиком лежит в D.
Из работы [7] следует, что
∫
B ( x, r )
∇f
n
d σ x ≤ lim
∫
m →∞ B ( x , r )
∇f m n d σ x .
Отсюда для выбранной подпоследовательности {fm}, применяя неравенство
Гельдера, неравенство (6), п. в), г), получаем, что
Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой
∫
∇f
n
d σ x ≤ lim
∫
∇f m
m →∞ B ( x , r )
∇f m n d σ x =
m →∞ B ( x , r )
B( x, r )
= lim
∫
n
J ( x, f )
1− s
s
J ( x, f m )
s −1
s
d σx ≤
1
⎛
≤ lim ⎜ ∫ ∇f m
m →∞ ⎜ B ( x , r )
⎝
ns
⎞s
J ( x, f m ) 1− s d σ x ⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
⋅ ⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟
⎜
⎟
⎝ B( x,r )
⎠
s −1
s
1
ns
⎛
⎞s
≤ lim ⎜ ∫ n 2 λ( x, f m ) s J ( x, f ) d σ x ⎟
⎟
m →∞ ⎜ B ( x , r )
⎝
⎠
⎛
⎞
⋅ ⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟
⎜
⎟
⎝ B( x,r )
⎠
1
≤
ns
n2
51
⎛
⎞s
lim ⎜ ∫ K os ( x, f m ) J ( x, f m ) d σ x ⎟
⎟
m →∞ ⎜ B ( x , r )
⎝
⎠
s −1
s
⎛
⎞
⋅ ⎜ ∫ J ( x, f m ) d σ x ⎟
⎜
⎟
⎝ B( x,r )
⎠
1
⎛
⎞s ⎛
⎞
= ⎜ ∫ K ∗ ( x ) d σ x ⎟ ⋅ ⎜ ∫ J ( x, f ) d σ x ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ B( x,r )
⎠ ⎝ B( x,r )
⎠
То есть выполняется следующее неравенство:
n
n2
≤
≤
s −1
s
=
s −1
s
.
s −1
1
⎛
⎞s ⎛
⎞ s
n
∗
(15)
∫ ∇f d σ x ⎜⎜ ∫ K ( x)d σ x ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ∫ J ( x, f ) d σ x ⎟⎟ .
B( x, r )
⎝ B ( x, r )
⎠ ⎝ B( x,r )
⎠
Переходя в (15) к пределу по теореме Лебега при r → 0, получаем, что для
почти всех x ∈ D справедливо неравенство:
n
≤n 2
∇f
n
≤
1
n
∗
2
n K ( x) s
⋅ J ( x, f )
s −1
s .
Производя несложные преобразования, имеем:
∇f
ns
ns
J ( x, f ) 1− s ≤ n 2 K ∗ ( x) .
С учетом (5), (6) получаем
ns
ns
n 2 λ( x, f m ) s J ( x, f ) ≤ n 2 K ∗ ( x),
K os ( x, f m ) J ( x, f m ) ≤ n
−
ns
2 K ∗ ( x ).
Отсюда
1
⎛
⎞s
K o,* s ( f ) ≤ n ⎜ ∫ K ∗ ( x)d σ x ⎟ ≤ d .
⎜
⎟
⎝ B( x,r )
⎠
При s = 1 утверждение теоремы очевидно.
Теорема доказана.
−
ns
2
(16)
52
А.Н. Малютина, М.А. Елизарова
Отсюда можно сделать вывод, что отображения с s-усредненной характеристикой являются полунепрерывными снизу.
Для отображений квазиконформных в среднем см.работу Стругова Ю.Ф. [8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Труды П.П. Куфарева. Томск: Изд-во НТЛ, 2009.
2. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.
3. Martio O., Ricman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ans. Acad. Sci.
Fenn; 448 (1969).
4. Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейства кривых // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во
Том. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 189 – 193.
5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
6. Решетняк Ю.Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений // Сиб.
матем. журнал. 1966. Т. VІІ. № 4.
7. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // УМН.
1956. Т. XІ. Вып. 3(69).
8. Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск, 1979. 39 с. /
Препринт АН СССР, Сиб. отд. Ин-т математики.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
МАЛЮТИНА Александра Николаевна – кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: NDM@main.tusur.ru
ЕЛИЗАРОВА Мария Александровна – аспирантка кафедры теории функций механикоматематического факультета Томского государственного университета. E-mail: elizarova_m
@sibmail.com
Статья принята в печать 22.09.2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
464 Кб
Теги
теорема, снизу, характеристика, отображений, полунепрерывного, усредненных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа