close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория оптимального использования ресурсов Л. В. Канторовича в работах уфимской научной школы

код для вставкиСкачать
УДК 519.854.2
А. С. ФИЛИППОВА
Ю. И. ВАЛИАХМЕТОВА
ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ
Л. В. КАНТОРОВИЧА В РАБОТАХ
УФИМСКОЙ НАУЧНОЙ ШКОЛЫ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Уфимский государственный
авиационный технический университет
Приводятся исторические предпосылки создания Уфимской научной школы раскроя-упаковки под руководством Э. А. Мухачевой, научные исследования которой
являются продолжением гениальных идей Нобелевского лауреата Л. В. Канторовича в области оптимального использования ресурсов. Приводится краткий обзор
задач и методов решения, разработанных за последние 50 лет в рамках Уфимской
научной школы.
Ключевые слова: оптимальное использование ресурсов, задачи раскроя-упаковки,
линейное программирование, комбинаторные методы.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
проект 12-07-00631-а.
Посвящается
замечательному ученому и прекрасному человеку
Э. А. Мухачевой
лой болезни Э.А. Мухачева скончалась, не увидев
этой книги. Работа была завершена ее учениками и
коллегами уже после ее смерти. В подготовке обзора активно участвовали уфимцы А. С. Филиппова,
В. М. Картак, Э. Ю. Орехов, В. Ю. Кузнецов, Э. И. Хасанова, Н. А. Гильманова, Ю. И. Валиахметова,
Г. Н. Белов, М. А. Месягутов; кроме них над дополнением к третьему изданию трудились и специалисты
из других городов: Т. А. Панюкова (г. Челябинск),
А. А. Петунин (г. Екатеринбург), В. Д. Фроловский
(г. Новосибирск) и И. В. Романовский (г. СанктПетербург).
1. Область исследований уфимской научной
школы раскроя-упаковки. Под задачами раскрояупаковки (РУ) понимается широкий класс проблем,
допускающих различное толкование во многих прикладных областях. Например, использование транспорта, планирование работы механизмов, распределение каналов связи, составление расписаний,
размещение оборудования, планирование работы
команды, и т.д. Эти проблемы не ограничены производственной отраслью. Проблемы РУ встречаются
и в абстрактной форме, например, в операционном
исследовании, в финансовом секторе. Задачи РУ являются типичными представителями NP-трудных
проблем и для их решения (включая проблемы нестинга) разрабатываются и применяются общие
подходы: точные методы, простые эвристики и метаэвристики. Ввиду неполиномиальной сложности
точных алгоритмов авторами многих работ, в том
числе и авторами уфимской научной школы РУ, уделяется значительное внимание приближенным методам и эвристикам.
2. Постановки задач раскроя-упаковки. Разнообразие моделей РУ определяется, прежде всего,
фактором геометрии. Различаются задачи линейного (одномерного), прямоугольного (двухмерного)
и параллелепипедного (трехмерного) раскроя-упа-
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Введение. Основополагающую роль в становлении и развитии теории оптимального использования
ресурсов и линейного программирования сыграла
работа Л. В. Канторовича (1912–1986), посвященная
математическим методам организации и планирования производства, изданная в виде брошюры Ленинградским университетом в 1939 году. Она была написана после консультации сотрудников Фанерного
треста по решению задачи о наилучшем использовании производственных мощностей, которую не удавалось решить традиционными методами. Л. В. Канторовичу удалось найти способ решения этой задачи
и возможность использования этого способа решения для многих других задач народного хозяйства, в
том числе и для решения задачи массового раскроя
[1], исследование которой стало основой для зарождения в начале 60-х годов прошлого века Уфимской
научной школы (УфНШ) под руководством Э. А. Мухачевой (1930–2011).
Обзору основных научных результатов, полученных в рамках Уфимской научной школы, посвящена
данная статья. Появление и вся деятельность УфНШ
неразрывно связаны с именем доктора технических наук, профессора, заслуженного деятеля науки РФ Элиты Александровны Мухачевой, ученицы
Г. Ш. Рубинштейна, соратника Л. В. Канторовича.
Э. А. Мухачева с 1958-го и до последнего дня работала в Уфимском авиационном вузе (УАИ, УГАТУ).
Основополагающей работой для развития исследований в области оптимального использования ресурсов, а именно — задач раскроя-упаковки, стала
книга Л. В. Канторовича [2]. Второе, дополненное издание этой книги было опубликовано в 1971 году. К
столетию (2012) со дня рождения Л. В. Канторовича
было решено выпустить третье издание, дополненное обзором исследований в этой области за последние годы. Этот обзор готовился УфНШ под руководством Э. А. Мухачевой. К сожалению, после тяже-
39
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
ковки. Среди этих задач выделяется гильотинный
раскрой и упаковка. Особо выделены проблемы
нестинга, размещения деталей сложной геометрической формы в заданных областях. Для них на первый план выступают информационные проблемы
задания фигур, учета и обеспечения их непересечения, кодировки, и другие. Кроме того, к задачам РУ
сводятся и другие задачи комбинаторики, например,
задачи о составлении расписания.
2.1 Одномерные задачи. Одномерные задачи –
основная категория проблем РУ. Среди них можно
выделить следующие три типа: задача загрузки рюкзака, задача раскроя и задача упаковки. Простейшей
из них является первая.
Задача загрузки рюкзака (Knapsack Packing,
KP). Для заданного множества I={p1,…,pm} элементов известны размеры li, i=1,…,m, имеющие смысл
веса или длины элемента pi, и величины ci, i=1,… ,m,
(цена, оценка элемента pi), а также вместимость
рюкзака b. Требуется найти подмножество I'⊂I такое, что стоимость рюкзака ∑ ci достигает максиi∈I '
мума при ∑ li ≤ b .
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
i∈I '
40
Задача одномерного раскроя (1 Dimensional Cutting Stock, 1DCS). Материал для раскроя на заготовки заданных размеров поступает в виде одинаковых
стержней (полос). Требуется раскроить стержни
на заготовки с наименьшими затратами материала.
В условиях серийного производства для каждой заготовки известно их требуемое количество (ассортиментное отношение).
Задача одномерного раскроя материала различных длин (Multi Cutting Stock, MCS). Более сложная
модель предыдущей задачи, раскрой материала различной длины. Требуется найти набор из различных
шаблонов раскроев и интенсивности их применения, для которых расход материала будет минимальным при получении заданных заготовок и непревышении допустимого расхода материала.
Задача одномерной упаковки (1D Bin Packing,
1DBP) является частным случаем задачи линейного
раскроя, когда каждая заготовка требуется в единственном экземпляре. Н. Гэри и Д. Джонсон показали, что эта задача NP-трудная [3]. Если считать,
что все раскрои известны, то 1DCS является задачей линейного целочисленного программирования.
Именно в такой постановке 1DCS рассматривалась в
ранних работах Л. В. Канторовича, В. А. Залгаллера и
P. Gilmore, R. Gomory [4].
2.2 Двумерные задачи. Имеются малые элементы, их необходимо разместить без взаимного перекрытия внутри больших объектов так, чтобы заданная целевая функция достигла минимума.
Задача упаковки прямоугольников в полосу (2D
Strip Packing, 2DSP). Один из размеров полосы, например, ширина W������������������������������
�������������������������������
— задан, второй — длина — является переменным. Требуется найти упаковку в
полосу минимальной длины ������������������������
L�����������������������
. Эту задачу часто именуют 1.5DBP.
Задача упаковки прямоугольников в контейнеры (2D Bin Packing, 2DBP). Оба размера, ширина
W и длина L, заданы. Требуется найти минимальное
количество контейнеров, в которые упакованы все
малые прямоугольные элементы.
Задача упаковки прямоугольников в открытую
область (квадрант) (2 Dimensional Area Packing,
2DAP). Оба размера, ширина W и длина L, являются
для прямоугольного объекта переменными. Требуется найти упаковку элементов в угол, образованный осями координат, совпадающими с шириной и
длиной области, для которой площадь огибающего
элементы прямоугольника достигает минимума.
Задачи гильотинного раскроя. Возможными являются только сквозные резы, параллельные кромкам материала. Задача гильотинного раскроя является обобщением 1DCS на двумерный случай. Что
касается гильотинной упаковки, то это упаковка
рядами, например, так размещаются контейнеры и
автомашины на палубах судов.
В задаче гильотинного раскроя полубесконечной полосы (2���������������������������������������
D��������������������������������������
Guillotine���������������������������
�������������������������������������
Strip���������������������
��������������������������
Cutting�������������
��������������������
, 2����������
DGSC������
) требуется найти гильотинный раскрой рулона на заданные прямоугольные предметы, который обеспечит
минимальную длину использованной части полосы.
В задаче гильотинного раскроя листов (2D Guil�����
lotine Bin Cutting, 2DGBC) требуется найти набор
гильотинных раскроев, обеспечивающий минимальный расход листов.
2.3 Трехмерная упаковка. Объектами упаковки
являются прямоугольные параллелепипеды, размещаемые либо в прямоугольном контейнере c одной
незафиксированной гранью, либо в нескольких контейнерах с заданными линейными размерами.
Задача трехмерной упаковки контейнеров (3D
Bin���������������������������������������������
Packing�������������������������������������
��������������������������������������������
, 3DBP). Имеется неограниченное количество контейнеров заданной длины L, ширины W
и высоты H. В них требуется разместить объектыпараллелепипеды с заданными размерами (li, wi, hi),
i=1,…,m, выполняя условия ортогональности и неперекрытия при минимизации числа задействованных контейнеров.
2.4 N-мерная упаковка. Задача упаковки N-мерных прямоугольных параллелепипедов в N-мерную
полубесконечную полосу является обобщением известной задачи упаковки прямоугольников в полубесконечную полосу, а также задачи заполнения неограниченного контейнера. Заданы размеры N-мерной полубесконечной полосы, набор из m размещаемых N-параллелепипедов со своими линейными
размерами. Требуется найти упаковку без пересечений N-параллелепипедов в N-полосу, на которой
целевая функция достигает минимума. Для данной
задачи в уфимской школе РУ В. М. Картак разработал матричную модель и методы решения [5].
Кроме перечисленных классических задач РУ и
их модификаций, таких как раскрой с обходом дефектных областей материала, или упаковка с учетом
запретных областей [6], и др., в УфНШ разрабатываются эффективные методы и алгоритмы решения
различных комбинаторных задач. Например, задачи
n-мерных упаковок гофр [7]; размещения прямоугольных предметов на многосвязных ортогональных
полигонах [8]; покрытие прямоугольными предметами максимального количества листов [9]; покрытие ортогональных многоугольников с запретными
участками минимальным количеством элементов;
покрытие двумерной области с запретными участками кругами [10]; задачи маршрутизации с учетом
рациональной загрузки транспортных средств [11];
задачи маршрутизации и расписания [12]; аппроксимация плоского контура многоугольником при
решении задач оптимизации размещения деталей
[13] и др.
3. Алгоритмы и методы решения задач РУ, разработанные в Уфимской научной школе.
3.1 Использование методов математического
программирования. Для решения задачи гильотинного раскроя Э. А. Мухачевой был разработан метод, ориентирующий на применение динамического программирования [14], и алгоритмы условной
оценок, берущий начало от идеи объективно-обусловленных оценок Л. В. Канторовича. Он реализуется по модифицированной схеме «первый подходящий с упорядочиванием» с процедурами приоритета
и повторения. Упорядочивание элементов основано
на экономическом смысле двойственных переменных в линейном программировании. Метод можно
назвать общим для решения задач РУ. Он применяется в случаях линейного и гильотинного раскроя,
2- и 3-мерной упаковки, а также адаптирован уфимскими учеными и для решения задач нестинга.
Для решения задач 3D упаковки используются
главным образом простые и многопроходные эвристики, хорошо известные для решения 1D и 2D
проблем. Ситуация усложняется появлением еще
одной координаты и практически приемлемых точных алгоритмов нет. Хотя известны обобщения на
трехмерный случай точных алгоритмов для решения
2DBP. Например, метод связных матриц В. М. Картака обобщен для решения задач n-мерной упаковки.
3.4 Вероятностные методы локального поиска
оптимума. Большое внимание в УфНШ отводится
изучению и повышению эффективности применения эволюционных алгоритмов. Был разработан
оригинальный блочный декодер, его модификации
и алгоритмы декодирования [24] для применения их
в общих эволюционных схемах, где генами являются блоки — прямоугольные фрагменты упаковки.
Среди эволюционных алгоритмов особое место занимает специальная блочная технология конструирования алгоритмов локального поиска оптимума в
задачах 1.5D и 2DBPP. Ю. И. Валиахметовой разработана мультиметодная технология конструирования алгоритмов решения [25], она основана на идее
московского ученого И. П. Норенкова использовать
в качестве кода упаковки перечисление простых эвристик. А. И. Ермаченко, А. Р. Усмановой, при содействии новосибирского ученого Ю. А. Кочетова разработаны алгоритмы «поиска с запретами» для решения задач гильотинного и линейного раскроя [26].
Заключение. На протяжении всех лет существования УфНШ РУ разработанные методы внедряются
в производство. Несмотря на большие достижения в
области исследования и разработки методов решения задач РУ, сделанные учеными УфНШ под руководством Элиты Александровны Мухачевой, открытым остается большой круг проблем, связанных с
комбинаторными методами решения этих трудных
и актуальных задач. Многие ученые из коллектива
Э. А. Мухачевой переехали в другие страны и продолжают работу в этой области. Вклад Э. А. Мухачевой и ее учеников оказывает заметное влияние
на важнейшие результаты в области РУ в мировой
науке.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Библиографический список
1. Рациональный раскрой промышленных материалов /
Л. В. Канторович [и др.]. – 3-е изд. – СПб. : Невский Диалект,
2012. – 304 с.
2. Расчет рационального раскроя материалов / Л. В. Канторович [и др.]. – Лениздат, 1951. – 198 с.
3. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NPCompleteness / M. R. Garey, D. S. Johnson. – San-Francisco,
Freeman, 1979. [Русский перевод: Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон. – М. :
Мир, 1982. – 416 с.]
4. Gilmоrе, P. C. A linear programming approach to the cuttingstock problem / P. C. Gilmоrе, R. E. Gomory // OR. – 1961, № 9. –
P. 849–859.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
оптимизации, учитывающие специфику реального
производства [15]. В то время основной целью этих
и многих других работ являлось применение линейного программирования в сфере производственных
задач. Эта цель в той или иной мере была достигнута в условиях массового и серийного производства.
Книга Э. А. Мухачевой [16] была написана и опубликована под личным патронатом Л. В. Канторовича.
Однако задачи РУ, по своей сути, являются проблемами дискретной оптимизации, и их решение с помощью линейного программирования — не более
чем непрерывная релаксация. Целесообразно использовать различные способы округления релаксации и построение различных задач остатка.
Развитие точных алгоритмов на базе линейного
целочисленного программирования — приближение непрерывной релаксации к целочисленному оптимуму — реализовали немецкие ученые с участием
уфимского специалиста Г. Н. Белова [17]. Они предложили решать задачи линейного и гильотинного
раскроя методом секущих плоскостей Гомори. Этот
метод авторами пролонгирован и на случай раскроя
материала различной длины и гильотинного раскроя [18]. Аналогичные проблемы рассматривались
намного раньше авторами из Уфы: Э. А. Мухачева и
С. М. Ибатуллина предложили метод с построением
начального базиса для решения задачи раскроя материала различной цены в заданном ассортиментном отношении [19].
3.2 Точные методы комбинаторной оптимизации. Метод «ветвей и границ» для решения задач
упаковки получает развитие за счет введения процедур сокращения перебора в уфимских работах
Э. А. Мухачевой и В. М. Картака. Ими же предложена идея сведения задачи 2DBP и 1.5DBP к двум
задачам 1DBP с дополнительными ограничениями.
Метод обобщен для случая N-мерных упаковок
[5, 7]. М. А. Месягутовым предложен точный метод
решения задачи одномерной продолженной упаковки, основанный на критериях доминантности и правилах отсечения для сокращения переборного процесса [20]. Эти авторы уделяют большое внимание
поиску нижних границ.
3.3 Приближенные и эвристические методы.
В УфНШ разработаны простые эвристики для решения задач гильотинного раскроя большой размерности. Ряд таких алгоритмов разработан А. И. Ермаченко и Т. М. Сиразетдиновым [21]. Этот метод
специализирован на решении задач с большой комплектностью деталей при относительно небольшом
количестве типоразмеров.
Среди простых алгоритмов решения задач
1.5DBP и 2DBP выделяются те, которые служат декодерами в многопроходных алгоритмах. Их разработка стала актуальной в связи с появлением и развитием вероятностных методов локального поиска
оптимума. Они вычисляют значение целевой функции и восстанавливают эскиз упаковки. Для этого с
помощью декодера достаточно найти прямую схему
кодирования — последовательность координат (x; y)
нижних левых углов заготовок, удовлетворяющая
условиям допустимости упаковки. В качестве исходных кодов часто используют приоритетные списки
(перестановки номеров прямоугольников). Затем с
помощью декодера переходят к прямой схеме. Эффективные декодеры с блочным представлением
упаковки разработаны в УфНШ А. В. Чиглинцевым,
А. С. Филипповой [22, 23].
К многопроходным эвристикам относится эффективный метод последовательного уточнения
41
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
5. Картак, В. М. Оптимальная упаковка N-мерных параллелепипедов в полубесконечную область / В. М. Картак // Методы оптимизации и их приложения. Прикладные задачи оптимизации и динамики : 12-я Байкальская междунар. конф. –
Иркутск, 2001. – С. 19–22.
6. Филиппова, А. С. Задачи о минимальном покрытии ортогональных многоугольников с запретными участками /
А. С. Филиппова, В. Ю. Кузнецов // М. : Информационные
технологии. – 2008. – № 9. – С. 60–65.
7. Мухачева, Э. А. Задача планирования n-мерных упаковок гофров / Э. А. Мухачева, В. М. Картак, Л. И. Васильева //
Распределительные системы: оптимизация и приложения в
экономике и науках об окружающей среде : Материалы Междунар. конф. – Екатеринбург : Изд-во ИММ УрО РАН, 2000. –
С. 152–156.
8. Проектирование размещения ортогональных объектов
на полигонах с препятствиями / Э. А. Мухачева [и др.] // Информационные технологии. – 2010. – № 10. – С. 16–22.
9. Мухачева, А. С. Простые эвристики для решения двумерной задачи максимального покрытия / А. С. Мухачева //
Принятие решений в условиях неопределенности : Межвузовский науч. сб. – Вып. 2. Ч. 1. – Уфа : Изд-во УГАТУ, 2005. –
С. 38–43.
10. Кузнецов, В. Ю. Задача покрытия двумерной области
кругами с запретными участками / В. Ю. Кузнецов // Математическое программирование и приложения: Информационный бюллетень Ачссоциации математического программирования № 11. Научное издание. – Екатеринбург : Изд-во
УрО РАН, 2007. – С. 189.
11. Филиппова, А. С. Задачи маршрутизации в транспортных логистических системах: локальный поиск оптимальных
решений / А. С. Филиппова, Д. В. Филиппов, Н. А. Гильманова //
Информационные технологии. – 2009. – №2. – С.59 – 63.
12. Филиппова, А. С. О создании оперативных сетевых
графиков работ бригад текущего и капитального ремонта скважин / А. С. Филиппова, Р. В. Фролов // Информационные технологии. – 2011. – № 6. – С. 39–41.
13. Мартынов, В. В. Аппроксимация плоского контура
многоугольником при решении задач оптимизации размещения деталей обводообразующей оснастки / В. В. Мартынов //
Начертательная геометрия и машинная графика в практике
решения инженерных задач. – Омск : Изд-во ОмПИ, 1988. –
С. 7–78.
14. Мухачева, Э. А. Метод динамического перебора в задаче двумерной упаковки / Э. А. Мухачева, А. Ф. Валеева //
Информационные технологии. – 2000. – № 5. – С. 30–37.
15. Мухачева, Э. А. Методы условной оптимизации в задаче
рационального раскроя листового проката / Э. А. Мухачева //
Оптимизация : сб. науч. трудов СО АН СССР, 1978. – Вып. 22. –
С. 83–93.
16. Мухачева, Э. А. Рациональный раскрой промышленных
материалов. Применение в АСУ / Э. А. Мухачева. – М. : Машиностроение, 1984. – 176 с.
17. Scheithauer, G. Solveng one-dimensional cutting stock
problems exactly with a cutting plane algorithm / G. Scheithauer,
Y. Terno, A. Muller, G. Belov // Journal of the Operational Research
Society, 2001. – Vol. 52. – P. 1390–1401.
18. Belov, G A cutting plane algorithm for the one-dimensional
cutting stock problem with multiple stock lengths / G. Belov,
G. Scheithauer // EJOR, 2002. – Vol. 141. – P. 274–294.
19. Мухачева, Э. А. Оптимизация раскроя материала
в заданном ассортиментном отношении / Э. А. Мухачева,
С. М. Ибатуллина // Оптимизация. – 1984. – № 34(51). –
С. 122–128.
20. Месягутов, М. А. Модификация метода ветвей и границ
для поиска оптимального решения задачи одномерной упаковки прямоугольно-ориентированной структуры / М. А. Месягутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. – 2010. – № 3. –
С. 130–134.
21. Ермаченко, А. И. Рекурсивный метод для решения задачи гильотинного раскроя / А. И. Ермаченко, Т. М. Сиразетдинов // Принятие решений в условиях неопределенности : сб.
науч. ст. – Уфа : Изд-во УГАТУ, 2000. – С. 35–39.
22. Мухачева, Э. А. Генетический алгоритм блочной структуры в задачах двумерной упаковки / Э. А. Мухачева, А. С. Мухачева, А. В. Чиглинцев // Информационные технологии. –
1999. – № 11. – С. 13–18.
23. Мухачева, Э. А. Задача прямоугольной упаковки в полубесконечную полосу: численный эксперимент с безотходными
задачами E.Hopper на базе алгоритмов блочной структуры /
Э. А. Мухачева, А. С. Филиппова, А. В. Чиглинцев // Информационные технологии. – 2005. – № 7. – С. 23–32.
24. Мухачева, Э. А. Конструирование прямоугольных
упаковок: алгоритм перестройки на базе блочных структур /
Э. А. Мухачева, Д. А. Назаров // Автоматика и телемеханика. –
М. : Наука, 2008. – Т. 69. – № 2. – С. 262–277.
25. Мультиметодная технология ортогональной упаковки и
ее применение в задачах транспортной логистики / Ю. И. Валиахметова [и др.] // Приложение к журналу «Информационные технологии». – 2009. – № 12. – 31 с.
26. Усманова, А. Р. Вероятностные жадные эвристики для
задачи упаковки в контейнеры / А. Р. Усманова. – СП.: Изд-во
ОПТИМ, 2001. – № 12. – C. 141–146.
ФИЛИППОВА Анна Сергеевна, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры
компьютерной математики.
ВАЛИАХМЕТОВА Юлия Ильясовна, кандидат
технических наук, доцент кафедры вычислительной
математики и кибернетики.
Адрес для переписки: annamuh@mail.ru
Статья поступила в редакцию 24.12.2012 г.
© А. С. Филиппова, Ю. И. Валихметова
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Книжная полка
42
51/Ц55
Цехан, О. Б. Матричный анализ : учеб. пособие / О. Б. Цехан. – М. : Форум, 2012. – 355 с.
Учебное пособие содержит изложение раздела «Матричный анализ» курса «Геометрия и алгебра» в соответствии с образовательными стандартами по специальностям «Прикладная математика» и «Экономическая
кибернетика», множество примеров, приложений, вопросов и заданий для самоконтроля. Учебное пособие
снабжено предметным указателем, что позволяет использовать его как справочник. Будет полезно студентам и аспирантам других специальностей, пользующихся матричными методами, а также преподавателям и
практикам, применяющим методы и алгоритмы матричного анализа для решения прикладных задач.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
428 Кб
Теги
оптимальное, школа, использование, работа, научно, уфимской, теория, ресурсов, канторовича
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа