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Точная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности.

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33
??????? ????? ? ?????????????????? ?????. 2009. ?2(68)
??? 514.74
?????? ?????? ??????? ??????????
???????? ????????? ????????
???????????1
c 2009
?.?. ???????2
???????? ?????? ????????? ?????? ?? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ??????????? ? ???????? ???????????? ?????????????? ???????? ???????? ???????? ????????.
???????? ?????: ????????? ??????, ???????? ?????? ????????.
1.
???????? ??????? ? ?????????
P
????? f k = ni,j=1 akij xi xj , (k = 1, . . . , m) ? ???????????? ????????????
P
k
???????????? ?????. ???????? ????? f = m
k=1 ?k f ? ?????????? ???????????? ??????? ???????????? ????? f : det f = det(?1 a1ij + . . . + ?m am
ij ).
??? ?????????? ????????? ??????? n ?? ?1 , . . . , ?m , ?? ????
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m
X
kn =1
...
m
X
?k1 ?k2 . . . ?kn D(f k1 , . . . , f kn ).
k1 =1
??????????? ??? ?k1 ?k2 . . . ?kn , ?????? ???????????? ?? ???? ????????, ?????????? ????????? ?????????????? ???? f k1 , f k2 , . . . , f kn ???
?????? (akij1 ), (akij2 ), . . . , (akijn ).
????? S ????????? ???????? ??????????? ? (n + 1)-?????? ??????????
???????????? E n+1 , ? ??????? ??????? ????????? ?????????? x1 , . . . , xn+1 .
???? S ?????????, ?? ??????? ???? ?????? ???????????????, ? ????????
???????? ?? ? ????? ????? ????????????, ?? ?? ??????? ??????? H ????2H
???? ??? ?? ???????? ???????????? [1]. ????????? ?x? i ?x
= Hij . ???????
j
??????? ?????????? ???????? ????????????? ?????????
det(Hij ? R?ij ) = 0 (i, j = 1, . . . , n + 1),
1
(1.1)
?????? ?????????? ???????? ???? ? 08-01-00151 ? ???? ? 3341.
??????? ?????? ?????????? (?o1949@yandex.ru), ??????? ??????? ? ?????????
?????????? ???????????????? ????????????, 443011, ??????, ?. ??????, ??. ????.
???????, 1.
2
34
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??? ??????????? ?????? H ???? ????????? ?? ????????? ????? [1]. ????????? (1.1) ????? ???? ??????????? ?????? R = 0 . ?????????? ???? ??????, ?? ??????? ????? ????????, ??? ???????????? ???? ??????? ????????
???????? ????????? ????? ???? ??????? ??????? n-?? ??????? ???????
Hij . ???? ???? ?????? ?????????? ? ????????? ????:
1
= nD(Hij , . . . , Hij , ?ij ) (i, j = 1, . . . , n + 1),
KS
|
{z
}
(1.2)
n
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????? S ? E ?????????? ????????? ???????? ??????????? ? (n +
+1)-?????? ?????????? ???????????? E n+1 ? ????????????? ????????? ?????????. ????? S ? E ????? ?????????? ??????????? ??????????? ?? ????????? ?????
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??? ????? ?????????? ???????????
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??????? ???????????? ?????? ????? x ??????????? S ? ??????? ????????
? ????? y ??????????? E ? ??? ?? ??????? ????????.
????????????? ????????? ??????????? ????????????? ???????????
????? Tx (S), Ty (E) ? T? (S n ) ? ???????????? ?????????????? ? S, E ?
S n ? ?????? x, y ? ?. ????? ??????? d? ? T? (S n ) ????????????? ???????
dx ? Tx (S) ? dy ? Ty (E).
n
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E ? ????? x. ????? ????? ?? ???????? ????????? ????????? ???????? S
???????????? E ? ?????????? R?i . ??? ???????? ???????? ???????? ???????? ?????????
det(LSij ? R?LE
(1.3)
ij ) = 0 (i, j = 1, . . . , n),
??? LSij , LE
ij ? ???????????? ?????? ???????????? ???? ???????????? S
? E, ??????????????.
??? ???????? ???????? ???????? ??????????? ?????????? ??????? ???????, ? ?????? ??? ??? ??????????? d?, ? ??????? ????????? dxd?
dyd? ????????? ??????????, ??????????????? ????? d? ??????? dx ? dy ???????????????, ?? ????
dx ? R?i dy = 0,
??? R?i ? ??????????????? ???????? ?????? ????????. ?????? ??????????,
??? ? ??????? ???????????? ??????????? S +?E ???????? ??????? ???????? ????? R?i + ?.
n
????????? ????? KS , KE ???????? ????????, ? ????? D1S , D1E , D1S , D2S ,
D2E ? ????????????? ?????? ? ?????? ???????????? ???? ????????????
?????? ?????? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
35
S, E ? ????????? ????? S n . ?????
KS =
D2S
D2E
,
K
=
.
E
D1S
D1E
?? ??????? ??????
n
n
D1S
D1S
= KS2 ,
= KE2 .
S
D1
D1E
????? ????????
n
DS K 2
DS DE DS
KS
= 2E 1S n 1 S = E2 S2 .
KE
D2 D1 D1
D2 KE
?????? ? ?? (1.3)
KE
D2S
= E
= R?1 и и и R?n .
KS
D2
????????? ??????? ??????? ???????????? S ? E ????? H ? H 0 , ??????????????. ??????? ???????? ???????? ?? ??????????? (1.2) ????? ???????
???????, ????????
D(Hij , . . . , Hij , ?ij ) = (Hij0 , . . . , Hij0 , ?ij )R?1 и и и R?n (i, j = 1, . . . , n + 1).
|
{z
}
|
{z
}
n
n
??????? ???????????? ??????????? S + ?E ????? ??????? ??????? H +
+ ?H 0 . ???????
D(Hij + ?Hij0 , . . . , Hij + ?Hij0 , ?ij ) =
|
{z
}
n
= D(Hij0 , . . . , Hij0 , ?ij )(R?1 +?) и и и (R?n +?) (i, j = 1, . . . , n+1).
|
{z
}
n
???????? ??? ????? ?? ???????? ? ? ??????????? ???????????? ???
?????????? ????????, ????????
Cnk D(Hij , . . . , Hij , Hij0 , . . . , Hij0 , ?ij ) = D(Hij0 , . . . , Hij0 , ?ij )?k (i, j = 1, . . . , n + 1).
{z
}
|
{z
}
|
k
n
(1.4)
????????? ???????????? ????? ? ??? ??????????? ??? tk R?n?k s ? ????????????
det(tHij + R?Hij0 + s?ij ).
(1.5)
? ???????, ??? xn+1 6= 0, ????? ????? ??????????? (??. [1]):
Hn+1,j = ?
n
X
i=1
Hij
xi
xn+1
0
, Hn+1,j
=?
n
X
i=1
Hij0
xi
xn+1
.
xi
???????, ???? i-? ?????? ???????????? (1.5) ???????? ?? ? xn+1
? ????????? ? n + 1-? ?????? ??? ???? i = 1, . . . , n , ? i-? ??????? ???? ????????
36
?.?. ???????
xi
? ????????? ? n + 1-?? ??????? ??? ???? i = 1, . . . , n, ?? ???????? ? xn+1
?????? (1.5) ?????? ???
?
?
x1
0 +s
0
tH11 + R?H11
tH12 + R?H12
. . . ?s xn+1
x2
? tH + R?H 0
?
0 + s ...
tH22 + R?H22
?s xn+1
21
?
?
21
?.
det ?
..
..
..
..
?
?
.
.
.
.
?
?
x1
?s xn+1
x2
?s xn+1
... s
x21 +иии+x2n
xn+1
?????? ???????? ??????????? ??? tk R?n?k s :
x21 + и и и + x2n
D(Hij , . . . , Hij , Hij0 , . . . , Hij0 ), (i, j = 1, . . . , n).
|
xn+1
{z
}
k
?? ????? ?????????? ????????????? ? ????? ????? (1.4), ? ??? H = H 0
??????? ????????? ???????????? ? ?????? ????? (1.4). ????? ??????, ???????? ?? (1.4)
Cnk D(Hij , . . . , Hij , Hij0 , . . . , Hij0 ) = D(Hij0 , . . . , Hij0 )?k , (i, j = 1, . . . , n).
{z
}
|
{z
}
|
k
(1.6)
n
??? ?????????? ??????????? ? ??????? xn+1 6= 0.
????????? ????????????? ???????????? ?????? ??????? ??????? ??????? H, ???????
x1
xn
H(x1 , . . . , xn+1 ) = xn+1 H(
,...,
, 1).
xn+1
xn+1
xi
xn+1
1
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p
????????? ?????, ?? x21 +. . .+xn+1 = 1 ? ? = 1 + v12 + . . . + vn2 . ?????????
xn
x1
,...,
, 1) = h(v1 , . . . , vn ).
H(
xn+1
xn+1
?????????
??????? h ???????? ???????????? ??????? H ?? ????????? xn+1 =
= 1. ????????? ????????????????? ?? vi ???????, ????????? ?? v1 , . . . , vn ,
?????????? ??????????????? ???????? ?????, ????????
?h
?2h
= hi ,
= hij .
?vi
?vi ?vj
????? ??????? Hij = ?hij (i, j = 1, . . . , n), ??? Hij ??????????? ?? ????????? ?????, hij ?? ????????? xn+1 = 1 ? ??????, ??????? ?? ????? ????,
??????????? ?? ?????? ?????????.
???????????? ??????? H 0 ?? ???????? ?? ?? ???????????, ?????????
xn
x1
,...,
, 1) = h0 (v1 , . . . , vn ).
H 0(
xn+1
xn+1
????? Hij0 = ?h0ij . ?????????????, ????????? (1.6) ????????? ???
Cnk D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) = D(h0ij , . . . , h0ij )?k , (i, j = 1, . . . , n).
| {z }
| {z }
k
n
(1.7)
?????? ?????? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
p
n
??? ????????? ????? hS = 1 + v12 + . . . + vn2 = ?
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. . . ?v?13vn
3
3
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. . . ?v?23vn
n
?3
?3
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..
..
..
?
..
.
?
.
.
.
2
?2 ?vn
?vn v2
?vn v1
...
?3
?3
?3
37
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?
?
?
?= 1 .
? ?n+2
?
n
???? ???????? ? ??????????? (1.7) h = h0 , h0 = hS , k = n, ?? ???????
1
.
D(h0ij , . . . , h0ij ) = n+2
?
KE
| {z }
n
?????? ? ?? (1.7) ????????
?k
Cnk D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) = n+2
.
?
KE
| {z }
(1.8)
k
2.
????????? ?????? ??????? ??????????
???????? ????????? ???????? ???????????
????? ?(?) = ?k R?1 (?), . . . , R?n (?) ? k-? ???????????? ??????????????
??????? ???????? ???????? ???????? ??????????? S ???????????? E. ?????? ?????? ??????? ??????? ?????????? ???????? ??????????? S ?????
???????? ??????? ?(?).
????? ?????? ?????????? ???????? ??????????? S ????????? ????????? ? ????? X ? ??????? ???????? ? . ????? R1 > . . . > Rn ? ???????
??????? ?????????? ???????? ??????????? S ? ????? X; ????? KE , rE , RE
?????????, ??????????????, ???????? ????????, ??????????? ? ???????????? ??????? ?????????? ???????? ??????????? E ? ????? X. ????????
??? xi ?????????? ??????? ????????? ??????????? i-?? ???????? ??????????? ??????????? S ? ????? X . ??????????? ??? xn+1 ??????? ??????????? ? ???????????? ??????? ?.
????? ? ??????????? ????? X ?? ????? ???????????? ?????????? (1.8).
??? ???? ???????
(1 + v12 + и и и + vn2 )3/2
(1 + v22 + и и и + vn2 )
????? ? ????? v1 = 0, . . . , vn = 0 ????????? ??????????? ?????????
h11 (0, . . . , 0) = R1 ??.[1]. ?????????????, ? ???? ????? dw = 0, d2 w 6 0.
???????? wi ? wij ? ????? (0, . . . , 0), ???????
w = h11 (v1 , . . . , vn )
wi = h11i = 0, w11 = h1111 + 3h11 , wii = hii11 + h11 (i 6= 1), wij = hij11 (i 6= j).
(2.1)
????? ????, hij (0, . . . , 0) = 0(i 6= j), hii (0, . . . , 0) = Ri . ?????? ? ????????????
???????
?k
.
?k = n+2
?
KE
38
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????????????? ????????? (1.8) ?? v1 ? ????? (0, . . . , 0) ? ?????????
= ?0k , ???????
?
k
z }| {
?X ?D(hij , . . . , hij , h0 , . . . , h0 )
?
ij
ij
?0k = Cnk ?
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?hij
?
??k
?v1
i,j
?
k
z }| {
?
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?
+
h0ij1 ? .
?hij
?
i,j
????????? ???????????? D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) ????? ??????? ????| {z }
k
???? ?????????? hij , h0ij . ????????? ????? d ??????? ???????????? ??
???????????? ?????????? hij , ????? ? ????????? ??????? ????????????
?? ?????????? h0ij . ??????? dhij = hij1 , ?h0ij = h0ij1 , ???????
?
?
?0k = Cnk ?dD(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) + ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ? .
| {z }
| {z }
k
(2.2)
k
????????????? (1.8) ? ????? (0, . . . , 0) ?????? ?? v1 , ?????????
????????
?
? 2 ?k
?v12
= ?00k ,
?00k = Cnk ?d2 D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) + 2d?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) +
| {z }
| {z }
k
k
k
+? 2 D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) +
| {z }
k
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
i,j
?hij
?
k
+
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
hij11 +
?
?
h0ij11 ? .
?
(2.3)
??? ????
k
z }| {
k?1
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
hij11 = mD(h11ij , hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ).
?hij
i,j
??? ??? d2 w 6 0, ??
D(wij , hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) 6 0.
| {z }
k?1
?????? ?????? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
39
?????????? ???? ????????? ??? wij ?? (2.1) , ????????
k
k
z }| {
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?D(
hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
hij11 6 ?2Cnk
h11 ?
Cnk
?hij
?h11
i,j
k?1
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X
h11 D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )ii . (2.4)
| {z }
i
?????
D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )ii
|
{z
k?1
? ????????? ???????????? ?????? (hij )
}
k?1
? (h0ij ) ? ???????????? i-?? ???????? ? ?????????.
????? ????????? ???????? ?ij ?????????????
h01111 = ?3h011 +?11 , h0i111 = ?2h0i1 +?i1 (i 6= 1), h0ij11 = ?h0ij +?ij (i, j 6= 1) (2.5)
? ????????? ? = max |?ij |. ????? ???????
i,j
k
k
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
h0ij11 =
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
k
k
?
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
?ij ?
h0ij ? 2
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0i1
i>1
h0i1 .
(2.6)
??? ??????? ? ??????? ????????? ? ?????? ????? ????? ????????? ?????
k
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
k
h0ij
z }| {
= (n ? k)D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ). (2.7)
k
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
?ij 6
n?k?1
(n ? k)2 ?k ?RE
n?k
KE rE
.
(2.8)
??? ?????? i ?????? ????????? ? D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) ???????? ????
| {z }
k
??????????? hi1 , ???? h0i1 . ???????
k
k
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
i>1
?h0i1
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
0
hi1 +
hi1 =
?hi1
i>1
= D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ).
| {z }
k
40
?.?. ???????
??? ??? ?? (2.1) ? ??? hi1 = 0(i > 1), ??
?
k
z }| {
?X ?D(hij , . . . , hij , h0 , . . . , h0 )
?
ij
ij
?2Cnk ?
h0i1 +
0
?
?h
i1
i>1
?
k
z }| {
?
?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?
h11 ? = ?2?k .
+
?h11
?
????????, ???
n?k
X
(n ? k + 1)?k?1 rE
k?1
Cn?1
D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )ii >
.
n?k+1
| {z }
KE RE
i
(2.9)
(2.10)
k?1
????????, ??? h11 > rE R?1 , ?? (2.4), (2.6) ? (2.10) ????????
?
k
z }| {
?X ?D(hij , . . . , hij , h0 , . . . , h0 )
?
ij
ij
hij11 +
Cnk ?
?hij
?
i,j
?
k
+
z }| {
X ?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
?h0ij
i,j
6 (k ? n ? 2)?k +
n?k?1
(n ? k)2 ?k ?RE
n?k
KE rE
????????? ?????? ? ??????
?
?
?
h0ij11 ? 6
?
n?k+1
R?1
(n ? k + 1)?k?1 rE
n?k+1
KE RE
.
(2.11)
(d2 + 2d? + ? 2 )D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ).
| {z }
k
?????????
max |h0ij1 | = ?.
(2.12)
i,j
?????
?2
Cn2 ? 2 D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) 6 2(n ? k)(n ? k ? 1) 2 ?k .
| {z }
rE
(2.13)
n(n+1)
2
??????????
k
????? ??????? D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) ???????? ??
| {z }
k
hij ??? ????????????? h0ij , ??????? ????????? ????? Dk (h). ??????????
hij ??????????, ????????, ? ????????? ???????:
h11 , h22 , . . . , hnn ; h12 , . . . , h1n , h23 , . . . , h2n , . . . , hn?1,n .
?????? ?????? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
41
?? ??????????? ?.?. ???????????? ??? ????????? ?????????????? ???????????? ???????????? ???? [2]
m
Y
1
n m
D(f , . . . , f ) >
D(f k , . . . , f k , f m+1 , . . . , f n ),
| {z }
k=1
m
??? ???? ????????? ????? ?????? ???? ? ?????? ?????????????????? ????
f 1 , . . . , f m , ????????, ??? ??? ?????
h1 = (h111 , h122 , . . . , h1ij , . . .), h2 = (h211 , h222 , . . . , h2ij , . . .)
1/k
1/k
1/k
Dk (th1 + (1 ? t)h2 )
> t Dk (h1 )
+ (1 ? t) Dk (h2 )
, t ? [0, 1],
??? ???? ????????? ????? ????? ? ?????? ?????, ????? ?????????? ????? h1
? h2 ???????????????. ??? ????????, ??? ? ????? h , ??? hij ???????? ?????????????? ???????????? ???????????? ???????????? ?????, ???????
1/k
Dk ?????? ??????? ?? ???? ???????????? ?? ??????????? ???????????
Oh, ? ??????? ??? ???????.
? ??? h11 > . . . > hnn > 0 ? h11i = 0. ??????? ?????? Oh ?? ?????
1/k
? ????????? h11i = 0. ??????, ? ??? ????? d2 Dk |h11i =0 < 0. ?????????
????? ?1 ???????????? ??????????? ???????? ???? ?????. ?????
X
1
1
1/k?2
1/k?1 2
2
2 1/k
( ? 1)Dk
dDk + Dk
d Dk 6 ?1
h2ij1 .
d Dk =
k
k
i,j>1
??????
1?1/k
d2 Dk 6 kDk
?1
X
i,j>1
1 dD2
h2ij1 + (1 ? ) k .
k Dk
?? (2.2) Cnk dDk = ?0k ? Cnk ?Dk . ??? ??? |Cnk ?Dk | 6
??,
(n?k)2 ??k
,
rE
(2.14)
c??????????-
(n ? k)2 ??k
(n ? k)2 ??k
0
+
6
2|?k | +
.
(2.15)
rE
rE
?????? ?????? ?1 . ???? ???? ? ???????????? ??????????? ???????? ???????
? 2 1/k .
?
1/k
? Dk
.. ? 2 Dk
?hii ?hkl ?
? ?hii ?hjj
? .......
?
(2.16)
?
?
1/k
1/k
.. ? 2 Dk
? 2 Dk
. ?hkl ?hpq
?hkl ?hjj
(Cnk dDk )2
2
?0k
(i, j, k, l, p, q = 2, . . . , n; k 6= l, p 6= q). ??????? ???????, ?? ????? ???????1/k
???? ??????????? ??????? Dk ?? ?????????
?
h11 = const,
?
?
?
?
h12 = const,
?const :
..
?
.
?
?
?
h1n = const .
42
?.?. ???????
?? ????????? ?const ???????????? ??????????? ???????? ???????????? ???1/k
?? d2 Dk ??????????? ?? ???????, ?????????? ????????? ??????? Oh ??
??? ?????????, ?? ???? ?? ??????? (h22 , h33 , . . . , hnn , h23 , . . .).
??? ??? ? ??? hij = 0 ??? i 6= j, ?? ? ??????????? ????? ??????? ?????
X
i,j,p,q>1
1/k
X
X
? 2 Dk
hij hpq = ?1
h2ij = ?1
h2ii .
?hij ?hpq
i,j>1
i>1
????????, ??? ????? ??????? ????? (n?k)-?? ??????? ??????? (h0ij ) ????n?k
n?k
????? ????? ? ?????? ?????????? rE
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i,j,p,q>1
X
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k
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k
k
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k
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i
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ij
? (k ? 2)-? ???????????? ?????????????? ??????? ??
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h11 , . . . , hnn , ????? hii , hjj , ?k = Cnk Dk KE .
????????, ???
X
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Sk?1
hii = kSk ,
i
X
1i
hii
Sk?2
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,
= (k ? 1)Sk?1
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1
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k
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1/k?2
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Sk
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2k R2(n?k) ? r 2(n?k) ?
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E
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1/k?2 1/k 2
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n(n ? 1)?12 KE
.
(2.21)
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(d2 + 2d?)D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ).
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k
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2d?D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij )
|
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k
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?k
k?1 k?1 k?1
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?1 RE
|Aij | 6 Cn?2
.
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?????, ?????? ?????????? ?? hij1 ????????, ???????, ??????? ? ??????
(2.19)
k(n?k)2 (n?1)?12k
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?? 2n2
Cnk (d2 + 2d?)D(hij , . . . , hij , h0ij , . . . , h0ij ) 6
| {z }
k
1
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k
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2k r
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E
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2(n?k)
1
2n RE
2(n?k)
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n?k+1
(n ? k + 1)?k?1 rE
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n?k+1
KE RE
1 ?0 2
6 (k ? n ? 2)?k + (1 ? ) k ? ?00k +
k ?k
(2.23)
44
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+
n?k?1
(n ? k)2 ?k ?RE
n?k
KE rE
(k ? 1)(n ? k)2 ??k
+
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(n ? k)2 ??k
0
2|?k | +
+
rE
2n?2
2n2 RE
?k ?2
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.
?
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2 k
2n 1 + 1 ? 2(n?k) ? ? 2(n?k)
rE
KE rE
0
2n 0
1/k
k
. ?????
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+2(n ? k)(n ? k ? 1)
n
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E
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2
.
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1 ?0 2
00
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k (?k ? ?k ).
k ?k
1
1
k?1
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?k k
k?1 K k ?k?1 .
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C
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k?1
k
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k K r2n 1 + 1 ? 2(n?k) ? ? 2(n?k)
rE
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k E
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2|?0k | +
n?k
krE
krE
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??????????????? ?????:
A
(2.25)
R?1 6
?k (1 + B) ? ?00k .
RE
?????? ???????? ?????? ?? ???????????? ??????? ?????? ????????
R1 6 A ?k (1 + B) ? ?00k .
(2.26)
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???? ?? ????????? ????? [1].
?????? ??? ???????? ???????? ?????????????? ????? ??????? ? ? ?.
????? ?(s)
?? ??????????? E, ?????, ??? ?(0) =
? ?????????????
dv1
dvn
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dkn
ds (0).
?????
kn = LE
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,
ds ds
?LE
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ij dvi dvj dvk
=
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,
ij
ds
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ds2 ds
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?????? ?????? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
45
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?LE
ij
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????? ?ijk ???????? ???????????? ??????? ???????, ????????????? ??
???? ???????? (??. [3]). ????? ????????
dvj
dkn
dvi dvj dvk
d2 vi
dva dvb
dvi dvj dvk
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+ 2( 2 + ?iab
)(LE
) = ?ijk
.
ij
ds
ds ds ds
ds
ds ds
ds
ds ds ds
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2
? r
??
?r
?2?
?ijk =
,
?
.
,
?vi ?vj ?vk
?vk ?vi ?vj
(2.27)
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(v1 , . . . , vn , 1)
r = (h01 , . . . , h0n , h0 ? h0i vi ), ? =
.
(2.28)
(1 + v12 + и и и + vn2 )1/2
????????, ????????
?ijk (0, . . . , 0) = h0ijk (0, . . . , 0).
??? ????????????? ?????? ???????????? ????? ??????????? E ??
(2.28) ????????
E
gij
= h01i h01j + и и и + h0ni h0nj + q,
(2.29)
??? q ? ???????????? ????? ?? v1 , . . . , vn . ?????????????, ? ????? X ?
E ) ? (h0 ) ??????? ???????????? (g E ) =
???????????? (0, . . . , 0) ??????? (gij
ij
ij
E ) ????????? ?????
= (h0ij )2 , ??????? ??????????? ???????? ??????? (gij
2 ? R2 , ? ????? r 2 6 g E 6 R2 .
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ii
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E
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??
?????? ?? ?? E ? ????? X. ??????, ??? ?????? ?????????? ??????? ?? =
= (? 1 , . . . , ? n ) ?????? ?????????? ?????
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???? ??1 = (0, . . . , 0, ? i , 0, . . . , 0) , ???????
3
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2
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? = 1.
(????? ? ????? ?? ????????, ??????????? ? ???? | |, ???????????? ??
3.
????????????.) ?????????????, |?iii | 6 ??RE
??????? ????????? ??????? ??2 , ??3 ? ?????????? ?????? i-?? ? j-??
????????????
??2 = (0, . . . , ?? i , . . . , ?? j , . . . , 0),
??????? |? i | =
?
3
2RE ,
?j =
1
2RE , ?
??3 = (0, . . . , ??? i , . . . , ?? j , . . . , 0).
> 0, ? > 0.
46
?.?. ???????
E ) ?? ??????????? R2 , ?? 1 =
??? ??? ??????????? ???????? ??????? (gij
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2
2
2
E ? i ?2 + 2g E ? i ? j ?2 + g E ? j ?2 6 R2 ? = ?2 , ??????? ? > 1. ?????= g|ii|
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E
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3
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2
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> 0, ?? ???????
???? ???? ? i ?????, ????? 3?|ijj| ? i ? j ? ??
2
2
3
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3 (i 6= j). ????
??????????? ? (2.30) ? ?????? ? +?
> 1 ???????? ?iij 6 ??RE
2
? i ? ??????????????? ??????, ?? ??????? ??????????? ? (2.30) ???????
3
?iij > ???RE
(i 6= j).
??????? ????????? ??????? ??4 , ??5 ? ?????????? ?????? i, j, k-?? ????????????
??4 = (0, . . . , ?? i , . . . , ?? j , . . . , ?? k , . . . , 0),
??5 = (0, . . . , ?? i , . . . , ??? j , . . . , ??? k , . . . , 0).
?
??????? |? i | = |? j | = |? k | = 3R3E , ? > 0, ? > 0. ?????, ??? ? ????,
E ) ?? ??????
? > 1, ? > 1. ? ??? ??? ??????????? ???????? ??????? (gij
2 , ?? ? 6 RE , ? 6 RE .
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3
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+
2
2
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3
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+3?|kjj| ? k ? j
+ 6?|ijk| ? i ? j ? k 6 ??.
(2.31)
2
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????? ???????, ?????????? ? ?????? ????????? ???? ??????????????. ????
? j ??????? ???, ????? ????? ???????, ??????? ? ???????? ????????? ????
k
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???, ????? ? i ? j ? k > 0. ????????,
? ???????
3
3
3
3
|
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6 12 RrEE ? 1 < 1/20, ?? ??????? ??????????? ? (2.31)
2
2
3 (i 6= j 6= k). ??????? ????? ? i , ? j , ?? ??????? ??????????????? ?ijk 6 ??RE
3 (i 6= j 6= k).
???? ? (2.31) ???????? ?ijk > ???RE
????, ? ????? X
3
.
(2.32)
? = max |h0ijk | 6 ??RE
i,j,k
???????? ??????
???
d2 kn
(0)
ds2
. ????????, ??? ?(s) ? ?????????????, ????-
d2 kn
dvi dvj dvk dvl
= ?ijk;l
.
ds2
ds ds ds ds
?????? ?????? ??????? ?????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
47
?? ?ijk;l , ?????? ??????, ?? ??????????? ?? ???? ????????. ???????????
?(ijk;l) = ?ijkl , ????????
d2 kn
dvi dvj dvk dvl
= ?ijkl
.
ds2
ds ds ds ds
2
????????? max | ddsk2n (0)| = ?, ??? ???????? ??????? ?? ???? ??????????
???? ?? E ? ????? X.
?? ??????????? |?ijkl ? i ? j ? k ? l | 6 ? ??? ?????????? ???? ?????????? ??????? ??1 ???????? ??? ???? i
4
|?iiii | 6 ? RE
.
(2.33)
???????????? ??????????? |?ijkl ? i ? j ? k ? l | 6 ? ??? ?????????? ???? ?????????? ??????? ??2 , ???????? ??????? ?????????? ??? ???? i 6= j
?
3 3
13
13
?iijj + 3?jiii < ,
? < ?ijjj ▒
4
2
4
?
13
3 3
13
? < 3?ijjj ▒
?iijj + ?jiii < .
4
2
4
??????
13 4
3 4
|?ijjj | 6 ? RE
, |?iijj | 6 ? RE
(i 6= j).
(2.34)
8
2
|? i | =
??????? ??? ??????? ??4
??????? ??? ???? i 6= j 6= k
?
2
j
2RE , |? |
= |? k | =
1
2RE .
?????? ???? ? i ,
4
|?iijk | 6 4? RE
.
(2.35)
???????? (, i) ????????? ??????? ??????????? ?? vi . ?? ?????? (2.27)
? (2.28) ???????? ? ????? X
?111,1 = h01111 + 3h011 ,
1
?(11i,j) = h011ij + h0ij (i 6= j 6= 1),
2
3
h0 + h0ii
?(111,i) = h0111i + h01i , ?(11i,i) = h011ii + 11
(i 6= 1).
2
2
?? (2.29) ? (2.32) ? ?????? |h0ij | 6 RE ???????? ? ????? X
(2.36)
4
|gij,l | 6 2nRE
??.
???????????
???????? ??????? ????????????????? ???????????? ?????
?? g kl ????????? ????? R12 ? r12 , ?????? |g kl | 6 r12 . ?????????????, ???
E
E
E
????????????? ??????????? ??????????? E ? ????? X ????? ????? ??????
|?kij | 6
4 ??
3n2 RE
.
2
rE
?????
|?ijk;l ? ?ijk,l | 6
7 ?? 2
9n3 RE
,
2
rE
48
?.?. ???????
|?(ijk;l) ? ?(ijk,l) | 6
7 ?? 2
9n3 RE
.
2
rE
?? (2.5), (2.33) ? (2.36) ????????
|?11 | = |h01111 + 3h011 | = |?111,1 | 6 |?111;1 | +
??? ??? |h01i | 6
q
2 ? r2
RE
E
7 ?? 2
7 ?? 2
9n3 RE
9n3 RE
4
6
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R
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.
E
2
2
rE
rE
(i 6= 1), ?? ?? (2.5), (2.34) ? (2.36) ???????
7 ?? 2
9n3 RE
1
1
+
|?i1 | = |?(111,i) + h01i | 6 |?(111;i) | +
2
2
2
rE
7 ?? 2
9n3 RE
13 4
1
6 ? RE
+
+
2
8
2
rE
q
2 ? r2
RE
E
q
2 ? r2 6
RE
E
(i 6= 1).
?????????? ?? (2.5), (2.35) ? (2.36) ????????
7 ?? 2
9n3 RE
1
1
4
+
|?ij | = |?(11i,j) + h0ij | 6 4? RE
+
2
2
2
rE
q
2 ? r2
RE
E
(i 6= j 6= 1).
????? ?? (2.5), (2.34) ?(2.36) ????????
7 ?? 2
9n3 RE
1
1
3 4
1
|?ii | = |?(11i,i) + h0ii ? h011 | 6 ? RE
+
+ (RE ? rE )
2
2
2
2
2
rE
(i 6= 1).
????? ???????, ??? ? = max |?ij | ???????? ??????
i,j
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4
4? RE
7 ?? 2
9n3 RE
1
+
+
2
2
rE
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RE
E
???????????? ?????? ?????????? ???????.
????? ?(s) ? ????????????? ?? ??????????? E, ?????????? ????? ?????
?(0) ? ??????? ???????? ? ? ??????????? ?. ????? kn (s) ? ??????????
???????? ???? ?????????????. ?????????
??(?) = max
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dkn
(0),
ds
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(0)|,
ds2
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3
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49
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k K r2n 1 + 1 ? 2(n?k) ? ? 2(n?k)
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0
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R 6 max
?k (1 + B) ? ?k , ??? ?k =
,
?,? A
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? ????????????????? ??????????? ?? ????? ???? ???????? ????? ?? ????????? ????? ? ????? ? ? ??????????? ?. ???????? ??????? ?? ???? ??????
????? ? ???? ???????????? ? ???? ??????.
?????????? ?????? ???????? ??????: ???? ??????????? S ? E ????????
?????????? ???????, ?? A(?) ? 1, B(?) ? 0, ? ??????? ???? R 6 1.
??????????
[1] ?????????, ?.?. ??????????? ???????? ??????????? / ?.?. ?????????. ? ?.: ?????, 1975. ? 96 ?.
[2] ???????????, ?.?. ????????? ????????????? ? ????????? ?????? /
?.?. ??????????? // ?????. ??. ? 1938. ? ?. 3. ? ? 2. ? ?. 227-251.
[3] ?????, ?.?. ?????? ?????? ???????????? ? ????????? ????????? /
?.?. ?????. ? ?.; ?.: ????, 1948. ? ?. 2 ? 407 ?.
[4] Dubnow, J. Uber Tensoren mit nichtskalaren Komponenten /
J. Dubnow // ????? ???????? ?? ?????????? ? ?????????? ???????. ? 1933. ? ?. 1. ? ?. 196-212.
????????? ? ???????? 23/II/2009;
? ????????????? ???????? ? 23/II/2009.
50
?.?. ???????
PRECISE ESTIMATE OF RADIUS OF NORMAL
CURVATURE OF CLOSED CONVEX SURFACE
c 2009
V.N. Kokarev3
A precise a priori estimate of radiuses of normal curvature of closed
convex surface with given elementary symmetric function of relative
radiuses curvature is obtained.
Key words and phrases: a priori estimates, relative curvature radius.
Paper received 23/II/2009.
Paper accepted 23/II/2009.
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Kokarev Victor Nikolaevich (?o1949@yandex.ru), chair of Algebra and geometry, Samara
State University, Samara, 443011, Russia.
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выпуклой, замкнутого, оценки, кривизна, точная, радиус, нормальной, поверхности
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