close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Убывание решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
76 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
MSC 35K55
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л.М. Кожевникова, А.А. Леонтьев
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,
пр. Ленина, 37, Стерлитамак, 453100, Россия, e-mail: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru
Ключевые слова: параболические уравнения, неограниченные области, первая смешан-
ная задача.
Пусть ? неограниченная область пространства Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )}, n ? 2.
В цилиндре D = {t > 0} Ч ? для анизотропного параболического уравнения второго
порядка с двойной нелинейностью рассматривается первая смешанная задача
(|u|k?2 u)t =
n
?
(a? (u2x? )ux? )x? ,
k > 1,
(t, x) ? D;
(1)
?=1
u(t, x)S = 0,
u(0, x) = ?(x),
S = {t > 0} Ч ??;
?(x) ? Lk (?),
(2)
?x? (x) ? Lp? (?),
(3)
? = 1, n .
Предполагается, что неотрицательные функции a? (s), s ? 0, ? = 1, n, подчиняются
условиям: a(0) = 0, a(s) ? C 1 (0, ?),
as(p? ?2)/2 ? a? (s) ? b
as(p? ?2)/2 ,
p1 a? (s)/2 ? a? (s) + a?? (s)s ? bba? (s),
? = 1, n ,
с положительными константами b
a ? a, 2bb ? p1 > k (p1 ? p2 ? . . . ? pn ). Например,
a? (s) = s(p? ?2)/2 , ? = 1, n, bb = pn .
Работа посвящена исследованию зависимости скорости стабилизации при t ? ?
решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией ?(x) от показателей нелинейности.
? 1,1
?
?
T
Банаховы пространства W k,p1 (?), W 0,1
W k,p (DT ) определим как поk,p (D ),
T +1
), соответственно, по нормам ?u?Wk,p1 (?) =
полнения пространств C0? (?), C0? (D?1
?n
?n
?=1 ?ux? ?Lp? (DT ) , ?u?W 1,1 (DT ) =
?=1 ?ux? ?Lp? (?) + ?u?Lk (?) , ?u?W 0,1 (DT ) = ?u?Lk (DT ) +
k,p
k,p
?u?W 0,1 (DT ) + ?ut ?Lk (DT ) .
k,p
?
Определение. Обобщенным решением задачи (1)(3) с функцией ?(x) ?W k,p1 (?)
?
T
назовем функцию u(t, x) такую, что при всех T > 0 u(t, x) ? W 0,1
k,p (D ) и удовлетворяет
интегральному тождеству
)
?
? (
n
?
k?2
2
?|u| uvt +
a? (ux? )ux? vx? dxdt = |?(x)|k?2 ?(x)v(0, x)dx,
DT
?=1
?
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40 77
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
?
T
для любой функции v(t, x) ?W 1,1
k,p (D ), v(T, x) = 0.
Существование решения задачи (1)-(3) доказывается методом галеркинских приближений, который был предложен Ф.Х. Мукминовым для модельного изотропного
параболического уравнения с двойной нелинейностью и обобщен авторами статьи на
уравнения вида (1) (см. [1], [2]).
n
?
1/p? < 1 + n/pn , то обобщенное решение u(t, x) задачи
Утверждение. Если
?=1
(1)-(3) с ограниченной начальной функцией ?(x) является ограниченным.
Приведем результат об убывании для областей, расположенных вдоль выделенной
оси Oxs , s ? 1, n (область ? лежит в полупространстве xs > 0, сечение ?r = {x ?
? | xs = r} не пусто и ограничено при любом r > 0). Предполагается, что
supp ? ? ?R0 ,
R0 > 0.
Теорема 1. Cуществуют C(?, k, p1 , ba, bb) > 0 и ограниченное решение u(t, x) задачи
(1)(3) такие, что при всех t ? 0 справедливо неравенство
?u(t)?Lk (?) ? ???Lk (?) (C(?)t + 1)?1/(p1 ?k) .
Для r > 0 введем следующие обозначения:
{
}
?(r) = inf ?gx1 ?Lp1 (?r ) g(x) ? C0? (?), ?g?Lp1 (?r ) = 1 ,
{
µ1 (r) = inf ?gx1 ?Lp1 (?r )
}
?
r
g(
x
)
?
C
(?),
?g?
=
1
, ?r = {x ? ? |xs < r}.
Lk (? )
0
Предполагается, что выполнено условие: lim µ1 (r) = 0. Иначе достигается максимальr??
ная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка
?u(t)?Lk (?) ? M t?1/(p1 ?k) ,
t > 0.
Теорема 2. Пусть s ? 2, n. Если выполнены условия:
?a
µ1 (r) ? Cr ,
r > 1,
a, C > 0 ,
1
lim
r?? ln r
?r
? p1 /ps (?)d? = ? ,
1
то существуют M (ps , p1 , ???Lk (?) ) > 0 и ограниченное решение u(t, x) задачи (1)(3)
такие, что для любого ? ? (0, 1) справедлива оценка
?u(t)?Lk (?) ? M t?(1??)/(p1 ?k) ,
Работа поддержана РФФИ (грант ќ 13-01-0081-а).
t > 0.
78 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
Литература
1. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического
уравнения с двойной нелинейностью // Уфимский математический журнал. 2011. 3, ќ4. C.64-85.
2. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Убывание решения анизотропного параболического
уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Уфимский математический журнал. 2013. 5, ќ1. С.65-83.
SOLUTIONS DECREASING OF ANISOTROPIC PARABOLIC EQUATIONS
WITH DOUBLE NONLINEARITY
IN UNBOUNDED DOMAINS
L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev
Sterlitamak department of Bashkir State University
Lenin Av., 68, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru
Кey words: parabolic equations, unbounded domains, rst mixed problem.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа