close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 2(11)
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 519.2
М.Ю. Киселева, В.И. Смагин
УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ
С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПО УПРАВЛЕНИЮ
Рассматривается задача синтеза прогнозирующего управления, построенного на основе слежении за выходом системы, с учетом запаздывания по
управлению. При решении задачи управления с прогнозирующей моделью
учитываются ограничения, накладываемые на состояние объекта и на управление. Прогнозирование осуществляется на основе вычисления оценок состояний объекта, построенных с использованием экстраполятора Калмана.
Критерием качества является выпуклая квадратичная функция.
Ключевые слова: прогнозирующее управление, запаздывание, экстраполятор Калмана.
Одним из современных формализованных подходов к синтезу систем управления, базирующихся на математических методах оптимизации, является теория
управления динамическими объектами с использованием прогнозирующих моделей – Model Predictive Control (MPC).
Этот подход начал развиваться в начале 60-х годов XX века для управления
процессами и оборудованием в нефтехимическом и энергетическом производстве, для которых применение традиционных методов синтеза было крайне затруднено в связи с исключительной сложностью их математических моделей. В
последнее время область применения MPC значительно расширилась, охватывая
технологические отрасли [1] и экономику при управлении производством [2, 3],
при решении задач управления запасами [4] и портфелем ценных бумаг [5].
Основным достоинством MPC-подхода, определяющим его успешное использование в практике построения и эксплуатации систем управления, служит относительная простота базовой схемы формирования обратной связи, сочетающаяся с
высокими адаптивными свойствами. Последнее обстоятельство позволяет управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной структурой, оптимизировать процессы в режиме реального времени в рамках ограничений на
управляющие и управляемые переменные, учитывать неопределенности в задании
объектов и возмущений. Кроме того, возможен учет запаздываний, поскольку зачастую решение об управлении принимается в момент времени t – h, а реализация
этого решения происходит в момент времени t.
Результаты настоящей статьи обобщают работу [6] на случай запаздываний по
управлению.
М.Ю. Киселева, В.И. Смагин
6
1. Постановка задачи
Пусть имеется объект, который в пространстве состояний описывается системой линейных разностных уравнений вида
xt +1 = Axt + But − h + wt , x0 = x0 ;
(1)
n
ψ t = Hxt + vt ;
(2)
yt = Gxt ,
(3)
m
где xt ∈ R – состояние объекта; ut ∈ R − управление ( ut = ut , t = –h, –h+1,..., –1,
ut – заданные значения); yt ∈ R p − выход; ψ t ∈ R l − наблюдение; h – величина
запаздывания.
Далее будем полагать, что случайные возмущения wt и шумы измерения vt не
коррелированны между собой и подчиняются гауссовскому распределению с нулевым средним и с соответствующими ковариациями
M {wt wkΤ } = Wδt , k , M {vt vkΤ } = Vδt ,k
где δt , k – символ Кронекера.
Ограничения на векторы состояния и управления зададим в виде
a1 ≤ S1xt ≤ a2 ;
φ1(xt) ≤ S2ut–h ≤ φ2(xt),
(4)
(5)
где S1 и S2 – структурные матрицы, состоящие из нулей и единиц и определяющие
компоненты векторов xt и ut, на которые накладываются ограничения; a1, a2, φ1(xt)
и φ2(xt) – заданные постоянные векторы и вектор-функции соответствующих размерностей.
Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям ψt определить стратегию управления, при которой вектор выхода системы yt будет близок к заданному вектору
yt с учетом ограничений (4), (5).
2. Построение прогнозирующего управления
Поскольку случайные возмущения wt и шумы измерения vt имеют гауссовское
распределение, то можно синтезировать алгоритм оптимального прогнозирования поведением объекта и вектором выхода, используя экстраполятор Калмана
[7]. Пусть xˆi| j и yˆi| j − оценки состояния и вектора выхода в момент времени i,
вычисляющие информацию с j-го момента времени, j ≤ i. Тогда
xˆt +1|t = Axˆt |t −1 + But − h + Kt (ψ t − Hxˆt |t −1 ) ,
yˆt +1|t = Gxˆt +1|t ,
−1
Kt = APt H Τ ( HPt H Τ + V ) ,
−1
Pt +1 = W + APt AΤ − APt H Τ ( HPt H Τ + V ) HPt AΤ , P0 = Px0 .
(6)
Указанное выражение для Pt известно как разностное уравнение Риккати с
дискретным временем, Px0 − начальное значение дисперсионной матрицы.
Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению
7
Из уравнений (6) можно построить прогнозируемые оценки вектора состояния
и вектора выхода системы для моментов t+2,…, t+N:
xˆt+i+1|t = A xˆt+i|t + But − h+i|t , x̂1|0 = x0 , i = 1, N ;
(7)
yˆt+i|t = G xˆt+i|t , i = 1, N .
(8)
Здесь ut–h+i|t – управление, используемое для прогнозирования, ut–h+i – действующее управление в момент t+i, N – горизонт прогнозирования.
Используя уравнение (7), запишем следующие соотношения:
xˆt + 2|t = Axˆt +1|t + But − h +1|t ,
xˆt +3|t = Axˆt +2|t + But −h+2|t = A( Axˆt +1|t + But −h+1|t ) + But −h+2|t = A2 xˆt +1|t + АBut −h+1|t + But −h+2|t ,
............................
j −1
xˆt + j|t = A j −1 xˆt +1|t + ∑ А j − k −1 But − h + k |t , j = 2, N .
(9)
k =1
Аналогично может быть представлено и уравнение (8). Важно заметить, что
каждый прогнозируемый вектор выхода – это функция только от начального состояния xˆt+1|t и будущих управляющих сигналов ut–h+i|t:
yˆt+1|t = G xˆt+1|t ,
yˆt + 2|t = Gxˆt + 2|t = G ( Axˆt +1|t + But − h +1|t ) = GAxˆt +1|t + GBut − h +1|t ,
............................
j −1
yˆt + j|t = GA j −1 xˆt +1|t + G ∑ A j − k −1 But − h + k |t , j = 2, N .
(10)
k =1
Приведенные уравнения для прогнозируемых векторов состояния и выхода
могут быть записаны в векторно-матричной форме. Для этого введем следующие
обозначения:
⎡ En ⎤
⎡ G ⎤
⎢ A ⎥
⎢ GA ⎥
⎡ xˆt +1|t ⎤
⎡ yˆt +1|t ⎤
⎡ ut − h +1|t ⎤
⎢
⎥
⎥, U =⎢
⎥ , Ψ = A2 , Λ = ⎢ GA2 ⎥ ,
⎥ , Yˆ = ⎢
Xˆ t = ⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
t
t −h
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣ yˆt + N |t ⎥⎦
⎢⎣ut − h + N |t ⎥⎦
⎢⎣ xˆt + N |t ⎥⎦
⎢ N −1 ⎥
⎢ N −1 ⎥
⎣A ⎦
⎣GA ⎦
0
0 … 0⎤
0
0
0 … 0⎤
⎡ 0
⎡
⎢
⎢ B
⎥
0
0
0
0
0
0⎥
GB
⎢
⎥
⎢
⎥
0
0 ⎥ , Φ = ⎢ GAB
0
0 ⎥ , (11)
B
GB
Ρ = ⎢ AB
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ N −2
⎥
⎢ N −2
⎥
N −3
N −3
B 0⎦
GB 0 ⎦
⎣GA B GA B
⎣A B A B
где En – единичная матрица размера n×n. Тогда прогнозирующая модель (9), (10)
примет вид
Xˆ t = Ψxˆt+1|t + ΡU t − h ,
Yˆt = Λxˆt+1|t + ΦU t − h .
(12)
М.Ю. Киселева, В.И. Смагин
8
3. Синтез прогнозирующего управления
Для решения поставленной задачи в качестве целевой функции используется
критерий
J (t ) =
{
1 N
∑ yˆt + k |t − yt
2 k =1
2
C
+ ut − h + k |t − ut − h + k −1|t
2
D
},
(13)
где матрицы C > 0 и D > 0 – весовые матрицы.
В случае, когда желаемая отслеживаемая траектория управления yt + k не известна для k ≥ 0, целесообразно считать yt + k = yt . Это означает, что заданный
уровень устанавливается постоянным в течение всего времени прогнозирования.
Преобразуем целевую функцию (13). Введем вектор
⎡ yt +1 ⎤
⎥.
Yt = ⎢
⎢
⎥
y
⎣ t+N ⎦
Тогда с учетом (12) получим
1 N
∑ yˆt + k |t − yt
2 k =1
2
=
C
1 ˆ
Yt − Yt
2
2
C
=
1
(14)
= U tΤ− h Φ ΤC ΦU t − h + U tΤ− h [Φ Τ C Λxˆt +1|t − Φ Τ CYt ] + c1 .
2
Здесь c1 – постоянная составляющая, которая не зависит от Ut–h и xˆt +1|t , а C имеет
вид
⎡C
⎢0
C=⎢
⎢
⎣⎢ 0
0
C
0
0⎤
0⎥
⎥.
⎥
C ⎦⎥
Аналогично
1 N
∑ ut −h + k |t − ut −h+ k −1|t
2 k =1
2
D
1
= U tΤ− h DU t − h − utΤ− h +1|t Dut − h + c2 ,
2
(15)
где c2 – постоянная, не зависящая от ut–h+k (k = 1, N ), D представляется в виде
0 ⎤
⎡ 2D −D 0
⎢−D 2D − D
0 ⎥
⎢
⎥
D=⎢
⎥.
− D 2D −D ⎥
⎢ 0
⎢⎣ 0
0 − D 2 D ⎥⎦
Таким образом, с учетом (14), (15) целевая функция запишется следующим
образом:
1
J (t ) = U tΤ− h FU t − h + U tΤ− h f + c3 ,
(16)
2
где c3 есть линейная комбинация c1 и c2, а матрица F и вектор f определяются
соотношениями
Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению
9
⎡ Dut − h ⎤
ˆ
⎢ 0 ⎥
x
⎡
⎤
t +1|t
Τ
Τ
−⎢
F = ΦΤC Φ + D , f = Γ ⎢
⎥ , Γ = ⎡⎣Φ C Λ −Φ C ⎤⎦ .
⎥
⎣ Yt ⎦ ⎢
⎥
⎣⎢ 0 ⎦⎥
Аналитическое решение данной задачи без учета ограничений с использованием формул векторно-матричного дифференцирования [8]
yTAy = tr AyyT,
получится из условия
d tr AXB
d tr AX Τ B
= ATBT,
= BA
dX
dX
∂J
=0:
∂U t − h
∂J
∂
=
∂U t − h ∂U t − h
=
⎡ 1 U Τ FU + U Τ f + c ⎤ =
t −h
⎢⎣ 2 t − h t − h
⎥⎦
1 ∂ (tr FU t − hU tΤ− h ) ∂ (U tΤ− h f ) 1 Τ
+
= ⎡⎣ F U t − h + FU t − h ⎤⎦ + f = 0 .
2
2
∂U t − h
∂U t − h
(17)
В силу симметричности матрицы F уравнение (17) можно представить в виде
FUt–h + f = 0.
Решение этого уравнения определяется выражением
⎛ Dut − h ⎞
⎜ 0 ⎟
⎟,
U t*− h = −(Φ Τ C Φ + D) −1 (Φ Τ C Λxˆt +1|t − Φ Τ CYt ) − ⎜
⎜
⎟
⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
что позволяет найти оптимальное прогнозирующее управление
ut*− h +1|t = ( En
0
0)U t*− h .
3. Моделирование управления экономической системы
В качестве примера рассмотрен вариант экономической системы [3, 6], предназначенной для производства, хранения и поставок товаров потребителям:
qt +1 = A qt + ϕt − h + ξt , q0 = q0 ,
zt +1 = zt + B ωt − h − ϕt − h + ζ t , z0 = z0 ,
(18)
s
где qt ∈ R , qi,t − количество товаров i-го типа у потребителя в момент времени t
( t = 1, T , i = 1, s ); zi,t − количество товаров i-го типа на складе производителя; ωi,t –
объем производства товаров i-го типа; φi,t – объем поставок товаров i-го типа; h –
величина запаздывания (целое число), ξt , ζ t – векторные гауссовские случайные
последовательности с характеристиками M{ ξt } = 0, M{ ζ t } = 0, M {ξt ξΤk } = Σδt ,k ,
M {ζ t ζ Τk } = Ξδt , k , M {ξt ζ Τk } = 0 ; A и B – матрицы, определяющие динамику про-
изводства и потребления. В модели (18) случайные векторы ξt , ζ t учитывают
ошибки, возникающие из-за погрешностей при задании модели.
М.Ю. Киселева, В.И. Смагин
10
В каждый момент времени t должны выполняться ограничения
zmin ≤ zt ≤ zmax, 0 ≤ ωt − h ≤ ωmax, 0 ≤ ϕt − h ≤ zt.
(19)
Переменные ωt и ϕt рассматриваются как управляющие воздействия, и их значения при t = –h, –h+1,..., –1 заданы. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям
определить стратегию управления производством, хранением и поставками товаров, обеспечивающую количество товаров у потребителя qt, близкое к заданному
вектору q , с учетом ограничений вида (19).
Модель экономической системы (18) сводится к модели (1) при n = 2s с ограничениями (4), (5), если ввести следующие обозначения:
0⎤
q
ϕ
ξ
Σ 0⎤
⎡A 0 ⎤
⎡E
xt = ⎡⎢ t ⎤⎥ , ut − h = ⎡⎢ t − h ⎤⎥ , A = ⎢
, B=⎢ s
, wt = ⎡⎢ t ⎤⎥ , W = ⎡⎢
,
⎥
⎥
⎣ 0 Ξ ⎥⎦
⎣ zt ⎦
⎣ ωt − h ⎦
⎣ζt ⎦
⎣ − Es B ⎦
⎣ 0 Es ⎦
E
0⎤
z
a1 = zmin, a2 = zmax, S1 = [0 Es ] , ϕ1 ( xt ) = 0 , S2 = ⎡⎢ s
, ϕ2 ( xt ) = ⎡⎢ t ⎤⎥ .
⎣ 0 Es ⎦⎥
⎣ ωmax ⎦
Оптимизационная задача решается на каждой итерации для прогнозированных
значений вектора состояния. При решении задачи минимизации критерия (16)
численно с использованием системы Matlab [9] необходимо преобразовать ограничения к векторно-матричному виду. Тогда ограничение на объем производства
ωt − h + i|t − h ≤ ωmax для расширенной системы определяется неравенством
R1U t − h ≤ E ωmax ;
(20)
ограничение на объем поставки ϕt − h + i|t − h ≤ zˆt − h + i|t − h запишется в виде
R2U t − h ≤ R1Ψxˆt − h+1|t − h + R1ΡU t − 2 h .
(21)
Так как ωt − h + i|t − h ≥ 0 и ϕt − h + i|t − h ≥ 0, то
Ограничения zˆt + i|t ≤ zmax , zˆt + i|t
Ut – h ≥ 0.
≥ zmin задаются неравенствами
(22)
R1ΡU t − h ≤ Ezmax − R1Ψxˆt+1|t ;
(23)
− R1ΡU t − h ≤ − Ezmin + R1Ψxˆt+1|t .
(24)
В (20), (21), (23), (24) матрицы R1 , R2 , E выражаются следующим образом:
⎡ 0 Es
⎢0 0
R1 = ⎢
⎢
⎣⎢ 0 0
0 0
0 Es
0 0⎤
0 0⎤
⎡ Es 0 0 0
⎡ Es ⎤
⎢ 0 0 Es 0
⎢E ⎥
0 0⎥
0 0⎥
⎥, E = ⎢ s⎥.
⎥ , R2 = ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥
0
0 Es ⎦⎥
0
Es 0 ⎦⎥
⎢⎣ 0 0
⎣⎢ Es ⎦⎥
Моделирование проведено для следующих исходных данных:
0, 75
0 ⎤
0,3 0,1⎤
0,1
1
A = ⎡⎢
, B = ⎡⎢
, zmin = ⎡⎢ ⎤⎥ , zmax = ⎡⎢ ⎤⎥ ,
⎥
⎥
⎣ −0, 25 0,9 ⎦
⎣ 0, 2 0,8⎦
⎣ 0,1⎦
⎣1⎦
0,8
0, 2
0
1
ωmax = ⎡⎢ ⎤⎥ , z0 = ⎡⎢ ⎤⎥ , q0 = ⎡⎢ ⎤⎥ , q = ⎡⎢ ⎤⎥ ,
0,
7
0,
2
0
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣2⎦
h =1, N=8, H = E4, W = 0, V = diag{0,0005; 0,0005; 0,0005; 0,0005}.
Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению
11
Результаты численного моделирования приведены в виде графиков переходных процессов на рис. 1 – 3.
q1
q2
q1
q2
2
1
1,5
1
0,5
0,5
0
5
10
15
20
25
t
0
5
10
15
20
25
t
Рис. 1. Динамика изменения количества товаров у потребителя
ϕ1, z1
ϕ2, z2
1,5
0,4
z1
1
0,3
0,2
z1 min
ϕ1
0,1
z2
ϕ2
0,5
z2 min
0
0
0
5
10
15
20
25
t
0
5
10
15
20
25
t
Рис. 2. Динамика изменения количества товаров на складе и объемов поставок
ω1
0,8
ω2
ωmax 1
ωmax 2
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
0
5
10
15
20
25
t
0
5
10
15
20
25
t
Рис. 3. Процессы изменения объемов производства товаров
Моделирование экономического объекта подтвердило работоспособность алгоритма. Показано, что цель достигается, ограничения на переменные управления
и состояния в условиях запаздывания в контуре управления выполняются.
Заключение
Получено решение задачи синтеза прогнозирующего управления выходом
дискретного объекта, с запаздыванием по управлению с учетом ограничений в
форме неравенств. Для вычисления прогнозируемых значений используется экстраполятор Калмана.
12
М.Ю. Киселева, В.И. Смагин
ЛИТЕРАТУРА
1. Camacho E.F., Bordons C. Model predictive control. London: Springer-Verlag, 2004. 405 p.
2. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара //
Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. C. 103 – 107.
3. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства,
хранения и поставок товаров потребителям // Экономика и математические методы.
2004. Т. 40. № 1. С. 125 – 128.
4. Aggelogiannaki E., Doganis Ph., Sarimveis H. An Adaptive Model Predictive Control configuration for Production-Inventory Systems // International Journal of Production Economics.
2008. V.114. P. 165 – 178.
5. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Лященко Е.А. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2006.
№ 12. C. 71 – 85.
6. Киселева М.Ю., Смагин В.И. Управление производством, хранением и поставками товаров на основе прогнозирующей модели выхода системы // Вестник ТГУ. Управление,
вычислительная техника и информатика. 2009. № 2(7). C. 24 – 30
7. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана – Бьюси. М.: Наука. 1972. 200 с.
8. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение
к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1.
С. 3 – 15.
9. Смагин В.И. Пакет прикладных программ Matlab 5.3: учеб. пособие. Томск: Изд-во Том.
ун-та, 2006. 123 с.
Киселева Марина Юрьевна
Смагин Валерий Иванович
Томский государственный университет
E-mail: kiselevamy@gmail.com; vsm@mail.tsu.ru
Поступила в редакцию 19 декабря 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
436 Кб
Теги
прогнозирующего, управления, запаздыванием, модель, учетом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа