close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Управляющие функции и аргумент производной.

код для вставкиСкачать
УДК 517.54
Г.Д. Садритдинова
УПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И АРГУМЕНТ ПРОИЗВОДНОЙ
Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Президента РФ для молодых российских ученых, грант № МК – 2409.2003.01
В работе продолжается исследование связи уравнения Левнера и функционала, представляющего собой аргумент производной голоморфных однолистных в круге функций, имеющих p-кратную симметрию вращения относительно нуля.
1. Пусть
S p – класс голоморфных однолистных в
условие f ( z , 0 ) = z , будем иметь
единичном круге E = { z : z < 1} функций, нормиро-
ln
ванных условиями f ( 0 ) = 0, f ′ ( 0 ) = 1 , имеющих p -
( p = 2,3,...)
кратную
симметрию вращения относи-
ln
S p функций
(1)
τ→∞
где f ( z , τ ) = eτ z + ..., 0 ≤ τ < ∞ , решение уравнения
Левнера
μ ( τ) + ζ
dζ
, ζ ( z, 0 ) = z ∈ E ,
= −ζ p
dτ
μ ( τ) − ζ p
p
p
в котором μ ( τ ) , μ ( τ ) = 1 ,– непрерывная или кусочно-
)
где f p ∈ S p , z0 – фиксированная точка в E \ {0} . Этот
функционал дает значение угла поворота касательной
к некоторой кривой, проходящей через точку z0 , в
точке z0 при отображении f p . Известно, что экстремальные функции задачи о максимуме функционала
I f p , z0 принадлежат классу S ′p . Также известно,
zf p′ ( z )
fp ( z)
( z, τ )
d τ.
2
p
p
0 ⎡μ ( τ ) − f ( z , τ ) ⎤
⎣
⎦
∞
= −2 p ∫
)
(
точно решать для подкласса S ′p . Сузим I f p , z
f ( r, τ) = ρ ( r, τ) = ρ ( τ) ,
(
r⎡
p y p − ρp
ln f p′ ( r ) = −2 ∫ ⎢ y p +
⎢
1− ρp y p
0⎣
)
)
) ⎤⎥ ρ
p −1
dρ
⎥ 1− ρ
⎦
(5)
2p
r
+ 2∫
0
ρ2 p −1d ρ
1 − ρ2 p
.
y ( r , ρ ) = 1, на веще-
Заменим функцию y ( r , ρ ) ,
ственнозначную функцию t ( r , ρ ) по формуле
1
⎛i+t ⎞p
y=⎜
⎟ .
⎝ i −t ⎠
Заменим также переменную ρ на s , положив
на
1
⎛ 1− s ⎞ p
ρ=⎜
⎟ .
⎝1+ s ⎠
зависят от arg z0 , то ограничимся рассмотрением
I f p , r = arg f p′ ( r ) , r = z0 .
Будем иметь
(
(
)
r⎡
p y p −ρ p
−2∫ ⎢ y p +
⎢
1−ρ p y p
0⎣
2. Параметризуем функционал I f p , r .
Из уравнения Левнера имеем
p
d ln e f
2f
=− p
dτ
μ −f
p
.
(2)
где σ =
d
f′
2 pμ p f p
ln
=−
,
2
dτ
f
μp − f p
)
тегрировав равенства (2) и (3) по τ , используя (1) и
p−1
dρ
⎥ 1−ρ2 p
⎦
1
⎛ 1 2t
2 st ⎞ ds
=i∫ ⎜
+ 2 2⎟ ,
2
p
s +t ⎠ s
σ ⎝ 1+ t
1− r p
(
)
1
I f p , r = ∫ g ( s, t ) ds,
(3)
где f ′ – производная функции f ( z , τ ) по z . Проин-
) ⎤⎥ ρ
.
1+ r p
Таким образом,
Продифференцировав соотношение (1) по z , получим
78
(4)
и сделаем в равенстве (4) замену переменной τ на ρ .
Получим
подкласс S ′p . Так как оценки функционала на S p не
(
p
⎤
f p ( r, τ)
pμ p ( τ ) f p ( r , τ ) ⎥
⎢
d τ.
=−2 ∫ ⎢ p
+
2⎥
p
p
p
0 ⎢ μ ( τ ) − f ( r , τ ) ⎡μ ( τ ) − f ( r , τ ) ⎤ ⎥
⎣
⎦ ⎦
⎣
Обозначим
функциями класса S ′p . Таким образом, задачу доста-
τ
μ p ( τ) f
∞⎡
что функцию класса S p можно аппроксимировать
(
μ
p
p
f ( r, τ) μ ( τ) = ρ ( r, τ) y ( r, τ) = ρ ( τ) y ( τ)
I f p , z0 = arg f p′ ( z0 ) ,
(
0
( z, τ )
dτ
( τ ) − f p ( z, τ )
f
Отсюда при z = τ получаем
ln f p′ ( r ) =
непрерывная функция на [ 0, ∞ ).
Рассмотрим функционал
(
z
∞
= −2 ∫
и
тельно нуля. Пусть S ′p – плотный подкласс класса
f p ( z ) = lim e τ f ( z , τ ) ,
fp ( z)
где
g ( s, t ) =
σ
1 2t
2t
+ 2 2.
2
ps t + 1 t + s
(6)
Очевидно,
что
некоторое
σ ≤ s < 1, уравнения
(
t = t (s) ,
решение
) (
) (
)
2
2 s2 − t 2
1 2 1− t
+
=0
2
ps 1 + t 2 2
s2 + t 2
gt′ =
(
(7)
)
(
)
доставит максимум функционалу I f p , r .
+x
−1 + 2 ps + 2s 2 − ps 3
+
1 + ps
ps − 2 s 2 − 2 ps 3 + s 4 ps 3 + s 4
−
= 0,
1 + ps
1 + ps
(8)
где x = t 2 .
Поскольку здесь коэффициенты при x3 и свободный член имеют противоположные знаки при
0 < s < 1 , то данное уравнение имеет хотя бы один
положительный корень. Условием существования одного вещественного положительного корня x = x ( s )
уравнения (8) является неравенство
(
) (
)( )
( )
+ ( 8 p + 8 p )( s + 1) s + 433 p ( s + 1) s −
− (16 p + 16 p )( s + 1) s − 716 p s > 0.
− p 2 s12 + 1 + 8 p 3 + 8 p s10 + 1 s − 74 p 2 s8 + 1 s 2 +
3
6
3
3
2
2
5
4
4
2 6
корни t0,1 ( s ) = ± x ( s ) уравнения (7) доставят минимальное и максимальное значения функционалу
I fp,r .
)
4. Для того, чтобы составить представление о графике кривой (7), перейдем к более простой кривой
третьего порядка
1 v
u
+ 2
= 0,
2
p v +1 u +1
где
(
t 2 −1
t 2 − s2
.
, v=
(9)
2t
2ts
Зададим эту кривую параметрически, положив
1 v
h
=− .
2
p v +1
2
Будем иметь
u = um ( h ) =
v = vn ( h ) =
m
h
−1 + ( −1)
n
ph
1 − h2
, m = 0,1,
1 − p 2 h2
, n = 0,1.
Исследовав расположение ветвей этой кривой, отбрасываем ветви, лежащие в четверти плоскости
−∞ < u < 0, 0 < v < +∞, так как их прообразы при
отображении (9) расположены в полуполосе 0 < s < 1,
−∞ < t < 0. Из (6) легко видеть, что верхнюю оценку
(
функционалу I f p , r
)
доставляют только функции
t = t ( s ) , у которых t > 0.
(
(
)
)
2
)
2
4
2
− t2 ±
2 ⎛
2
2
2
2
p t +1 ⎜ p t +1
p2 t + 1
±
±
⎜
2 t2 −1 ⎜ 4 t2 −1
16 t 2 − 1
⎜
⎝
(
)
(
)
(
(
)
)
4
⎞
⎟
− t ⎟.
⎟⎟
⎠
2
2
Это уравнение задает все ветви кривой (7). Выбирая и анализируя те из них, которые проходят через
треугольник Δ , и вводя обозначения
(
)
2
2
p t +1
a (t ) =
, b+ ( t ) = a ( t ) + a 2 ( t ) − t 2 ,
2
4 t −1
b− ( t ) = a ( t ) − a 2 ( t ) − t 2 ,
(
получаем, что максимум функционалу I f p , r
)
при
0 < s ≤ s( 0 ) ,
2 −1
s( 0 ) =
(p+
2
p −1
) +1 + p +
2
,
2
p −1
доставляет решение уравнения (7), задаваемое формулой
s0 ( t ) = b − ( t ) + 2a ( t ) b − ( t ) ,
u=
1 + ( −1)
)
2
2
p t +1
p2 t + 1
±
s=
4 t 2 −1
16 t 2 − 1
При выполнении этого условия соответствующие
(
(
2
p2 v + 1
− 1, l = 0,1.
4
v2
Это уравнение при u > 0, v < 0 представляет собой уравнения интересующих нас ветвей. Заменим
здесь переменные u и v на s и t . Будем иметь
p v2 + 1
l
u =−
+ ( −1)
2 v
l
3. Перепишем уравнение (7) в виде
x3 + x 2
Таким образом, мы будем рассматривать ветви
кривой третьего порядка, расположенные в четверти
плоскости 0 < u < +∞, −∞ < v < 0, которой при отображении (9) соответствует треугольник Δ , определяемый неравенствами 0 < t < 1, 0 < s < 1, t > s.
5. Из уравнения вспомогательной кривой получаем
(10)
а при s( 0 ) < s < 1 – решение уравнения (7), представленное формулой
s1 ( t ) = b + ( t ) + 2a ( t ) b + ( t ) .
(11)
6. Из формул (5) получаем μ = yeiϕ , где ϕ = arg f .
Итак, имеет место
Теорема. Управляющие функции в уравнении
Левнера
μ p ( τ) + ζ p
dζ
= −ζ p
, ζ ( z, 0 ) = z,
dτ
μ ( τ) − ζ p
доставляющие максимум функционалу
(
)
I f p , z = arg f p′ ( z ) , f p ∈ S p
( p = 2,3,...) ,
при фиксированном значении z , z < 1, определяются
формулой
μ k = yk eiϕk , k = 0,1,
79
При этом
1
где
⎛ i + tk ( s ) ⎞ p
yk ( s ) = ⎜⎜
⎟⎟ , 0 < s < 1,
⎝ i − tk ( s ) ⎠
ветственно равенствами (10) и (11), а ϕk = ϕk ( s ) ,
учитывая связь переменных s и ρ
1
(
)
ρ p ykp − ykp
d ϕk
d ln ρ
1 − ρ2 p
i
=
−
,
.
=−
2
2
dτ
dτ
1− ρ p y p
1− ρ p y p
k
если
0 < s ≤ s( 0 ) ,
то есть
ρ( 0 ) ≤ ρ < 1,
функции t0 = t0 ( s ) и t1 = t1 ( s ) неявно задаются соот-
⎛1− s ⎞ p
ρ=⎜
⎟ ,
⎝1+ s ⎠
находятся из уравнений
k = 0,
⎛
⎜
ρ( 0 ) = ⎜
⎜
⎜⎜
⎝
(
(
)
)
1
⎞p
p + p2 −1 + 1 + p + p2 − 1 − 2 + 1 ⎟
⎟ ,
⎟
2
p + p 2 − 1 + 1 + p + p 2 − 1 + 2 − 1 ⎟⎟
⎠
2
и k = 1, если s( 0 ) < s < 1, то есть 0 < ρ < ρ( 0 ) .
Случай p = 1 исследован И.А. Александровым и
А.И. Александровым в [1].
k
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения // ДРАН. 2000.
Т.371. №1. С.7-9.
2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.
3. Попов В.И. Исследование некоторых функционалов и свойств линий уровня на классах однолистных функций: Автореф. дис.… канд.
физ.-мат. наук. Томск, 1965.
Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета,
поступила в научную редакцию 24 мая 2003 г.
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
317 Кб
Теги
управляющем, функции, производной, аргументы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа