close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки.

код для вставкиСкачать
www.volsu.ru
МАТЕМАТИКА
DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2015.5.1
УДК 514.752.44+514.772
ББК (В)22.161.5
УРАВНЕНИЕ БЕЛЬТРАМИ ПЕРЕМЕННОГО ТИПА
И КОНФОРМНЫЕ МУЛЬТИСКЛАДКИ
Александр Николаевич Кондрашов
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных наук и
экспериментальной математики,
Волгоградский государственный университет
ankondr@mail.ru, alexander.kondrashov@volsu.ru
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
© Кондрашов А.Н., 2015
Аннотация. Задача построения теории уравнения Бельтрами переменного типа ставилась Л.И. Волковыским [5]. В работе [8] установлено, что
решения уравнения Бельтрами переменного типа определенного строения
((, )-мультискладки) являются композицией конформной мультискладки
и подходящего гомеоморфизма. При этом линии смены типа не могут быть
произвольными, а лишь преобразуемыми указанным гомеоморфизмом в аналитические дуги. Поэтому понимание устройства конформных мультискладок
является ключевым для понимания строения (, )-мультискладок. Основные
результаты настоящей работы:
1) теорема об устранимости разрезов для конформных мультискладок,
то есть теорема о возможности
продолжения по непрерывности на область
⋃︀
 с области Γ0 =  ∖ γ∈Γ0 |γ|, отличающейся от  на набор дуг Γ0 из
множества смены типа;
2) описание процесса построения конформных мультискладок по аналитическому заданию кривых смены типа.
Ключевые слова: уравнение Бельтрами переменного типа, конформная
мультискладка, черно-белое разбиение области, мультиобласть, продолжение
по непрерывности.
1. Некоторые сведения об уравнениях Бельтрами переменного типа
Пусть в односвязной области  ⊂ C задано дифференциальное уравнение
() () + () () = 0, ( = 1 + 2 ∈ ),
6
(1)
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
МАТЕМАТИКА
где (), () (|()| =
̸ |()| п. в. в ) — конечные измеримые комплекснозначные
функции. В случае  = µ,  = −1 уравнением (1) является уравнение Бельтрами
 () = µ() ().
(2)
Уравнение Бельтрами с |µ()| < 1 п. в. в  является классическим и хорошо изученным.
Известно (см.: [3, гл. 2]), что при условии
ess sup′ |µ()| < 1 во всякой подобласти ′ b ,
(3)
1,2
оно имеет гомеоморфное решение  =  (), принадлежащее классу loc
вместе с
обратным. Это решение единственно с точностью до суперпозиции с конформным отображением.
Напомним [1, c. 7], что коэффициент µ() =  ()/ () называется комплексной
дилатацией отображения  (), а условие (3) эквивалентно его локальной квазиконформности.
Случаи |µ()| < 1 п. в. в  и |µ()| > 1 п. в. в  отличаются тем, что в первом гомеоморфные отображения не меняют ориентацию, а во втором меняют. Различие
здесь лишь формальное. Интерес представляет ситуация, когда одновременно существуют подобласти , в которых п. в. выполнено |µ()| < 1 и подобласти , в которых п. в.
|µ()| > 1. В этом случае говорится, что уравнение Бельтрами имеет переменный тип.
Его решения описывают отображения со складками, сборками и т. п. Задача исследования таких уравнений была поставлена Л.И. Волковыским [5], а ряд успехов в этом
направлении были сделаны в работах Якубова и Сребро [12–14]. Следует отметить,
что уравнение (1) впервые рассматривалось в работе [12]. В той же работе [12] было
изучено строение отображений со сменой ориентации в окрестности критических точек,
лежащих на линии смены типа. В частности, в этой работе было дано описание некоторых важных случаев таких точек — точек, в которых отображение является складкой,
зонтиком или (, )-сборкой. Некоторые новые результаты по этой тематике получены
нами в [7–9].
Пусть существует замкнутое относительно  множество  ⊂  меры mes2  = 0.
Если непрерывная в  функция  () является решением уравнения (1) в  ∖  1 , то
функцию  () будем называть решением с особенностью  данного уравнения.
Наличие особенностей у решений характерно для уравнений (1), вырождающихся
на некотором множестве  , то есть таком  , что
⃒
⃒
⃒|()| − |()|⃒ = 0
ess inf
⋂︀
 ()

для всякого  > 0, где  () — круг с центром  ∈  . При этом в качестве  часто
выступает множество смены типа уравнения (1), то есть множество раздела между
{ :  ∈ , |()| < |()|} и { :  ∈ , |()| > |()|}.
Для всякого множества  ⊂ C его замыкание будет обозначаться через []. Черта
везде далее будет обозначать комплексное сопряжение или симметричное отражение
относительно вещественной оси. В частности, через  везде обозначается множество,
получаемое из множества  преобразованием симметрии  →  .
Пусть  ⊂ C — область. Пусть задано конечное семейство жордановых дуг Γ,
разбивающих  на конечный набор подобластей  (Γ) = { }
=1 . Дуги, входящие
в семейство Γ, могут быть открытыми, замкнутыми 2 или полуоткрытыми, то есть
взаимно-однозначными образами интервала, отрезка или полуинтервала.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
7
МАТЕМАТИКА
Определение 1. Пусть имеется полуоткрытая дуга γ, заданная непрерывным взаимнооднозначным отображением  = () : [, ) → C. У нее определен конец при  =  —
точка (), но не определен конец при  = . В этом случае под концом понимается
точка 0 ∈ C, определяемая равенством
0 = lim (),
→−0
если такая точка существует. Точку () будем при этом называть собственным концом
дуги γ, а точку 0 — несобственным.
Аналогично определяются понятия несобственного конца полуоткрытой дуги γ вида  = () : (, ] → C при  = , а также несобственных концов открытой дуги
 = () : (, ) → C при  =  и  = , если они существуют. Замкнутая дуга
 = () : [, ] → C имеет два собственных конца () и ().
В дальнейшем договоримся обозначать через ⟨, ⟩ любой промежуток вида (, ),
(, ], [, ) или [, ].
Носитель дуги γ будем в дальнейшем обозначать через |γ|.
Относительно дуг семейства Γ предполагаем следующее.
1) Всякая дуга из семейства Γ имеет ровно два конца, собственных или несобственных.
2) Разные дуги могут иметь общими разве лишь концевые точки.
3) Все конечные несобственные концы лежат на границе области . Какая-либо
точка области  может быть разве лишь собственным концом некоторого четного
набора дуг, в количестве не менее четырех (или, что тоже самое, быть общей
граничной точкой не менее 4 областей  ).
4) Среди замкнутых дуг γ ∈ Γ нет вырождающихся в точку.
5) Каждая дуга без концевых точек является частью границы двух и только двух
областей { }.
В дальнейшем, говоря о концах рассматриваемых дуг, слова «собственный» и
«несобственный» мы будем опускать, считая ясным из контекста, о концах какого вида
идет речь.
Определение 2. Разбиение  (Γ) = { }
=1 называется правильным, если оно допускает
черно-белую раскраску, то есть такую раскраску, что любые две области  и  , имеющие общую невырожденную граничную дугу γ ∈ Γ, имели разные цвета (см. рис. 1).
Очевидно, что в случае правильности разбиения  (Γ) раскраска однозначно определяется указанием цвета любой из областей и существует только две возможные раскраски. В частности, можно считать, что раскраска  (Γ) определяется приписыванием
области 1 белого цвета.
В дальнейшем, чтобы не усложнять обозначений, примем следующие договоренности:
1) поскольку речь будет исключительно о черно-белых раскрасках, то слова «чернобелая» будут опускаться;
2) будем отождествлять Γ с множеством точек в , образованным точками всевозможных
носителей этих кривых, входящих в это семейство, то есть с множеством
⋃︀
|γ|;
γ∈Γ
8
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
3) договоримся считать, что всякий гомеоморфизм  :  →  () индуцирует в
 () разбиение  ( * Γ) = { ( )}, при этом раскраска  ( * Γ) сохраняется, если 
сохраняет ориентацию, и меняется на другую, если ориентация меняется.
Рис. 1: a) — правильное разбиение; b) — неправильное разбиение
Напомним [10, гл. 2, § 3, п. 35], что дуга γ ⊂ C, заданная в виде
 =  () : (α, β) → C,  ′ () ̸= 0,
где  () — аналитическая по вещественному переменному  функция, называется аналитической.
Определение 3. Пусть в области  с разбиением  (Γ) с заданной раскраской определено уравнение (1), причем |()| ≤ |()| п.в. в белых областях  и |()| ≥ |()|
п.в. в черных областях  . Предположим, что  () :  ⊂ C →  () ⊂ C решение с
особенностью Γ этого уравнения и для него выполнены свойства:
1) отображение  гомеоморфно в каждой из подобластей  и на каждой дуге
γ ∈ Γ;
2) отображение  сохраняет ориентацию в каждой белой области и меняет в каждой
черной области.
Тогда будем называть отображение  (, )-мультискладкой.
В случае когда отображение  является (, )-мультискладкой, критическими точками являются точки всех дуг, входящих в семейство Γ. В терминах степени отображения (см., например, [4]) (, )-мультискладки  можно охарактеризовать тем, что
локальная степень отображения в этих точках равна deg(, ) = 0. В белых областях
deg(, ) = 1, а в черных deg(, ) = −1.
Гомеоморфное отображение области  ⊂ C, осуществляемое голоморфной функцией, будем называть, следуя [11, с. 92], конформным отображением первого рода, а осуществляемое антиголоморфной функцией, будем называть конформным отображением
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
9
МАТЕМАТИКА
второго рода. Отметим, что голоморфность или антиголоморфность гомеоморфности не
подразумевает.
Следуя [7], уравнению (1) поставим в соответствие классическое уравнение Бельтрами, называемое уравнением, ассоциированным с уравнением (1), с комплексной
дилатацией
⎧
⎨ −()/() при |()| ≤ |()|,
*
µ () =
⎩
−()/() при |()| > |()|.
В [8] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Предположим, что в области  с разбиением  (Γ) и заданной чернобелой раскраской задана (, )-мультискладка  () :  → C. Предположим также,
что существует  = 0 () :  → 0 () — гомеоморфное решение с особенностью
Γ, уравнения ассоциированного с (1). Кроме того, предположим, что для всякого
1,2
1,2
 выполнено 0−1 ∈ loc
(0 ( )) и −1 ∈ loc
( ( )), где −1 ветвь многозначной
функции  −1 , соответствующая  .
Тогда:
1)  (0−1 ()) — конформное отображение первого рода всякой белой области
0 ( ) и конформное отображение второго рода всякой черной области 0 ( );
2) дуги 0 (γ) без концевых точек — аналитические.
Данная теорема указывает на особую роль класса комплекснозначных функций,
описываемых следующим определением.
Определение 4. Отображение  =  () :  → C называется конформной мультискладкой с правильным разбиением  (Γ) = { } области  и заданной черно-белой
раскраской, если:
1) дуги, входящие в семейство Γ — аналитичны, за исключением, быть может,
концов;
2) на дугах γ ⊂ Γ отображение  : γ →  (γ) — гомеоморфно;
3) в каждой белой области  отображение  =  () является конформным первого
рода, а в каждой черной области  отображение  =  () является конформным
второго рода.
Замечание 1. Иначе говоря, конформные мультискладки — это мультискладки, являющиеся решениями уравнения Бельтрами
 () () +  () () = 0,
(4)
где  () — характеристическая функция множества точек  ∈ , окрашенных в
белый цвет, а  (), соответственно, в черный.
Следствие теоремы 1. При выполнении условий теоремы 1 (, )-мультискладка  () представима в виде
 () = ϕ(0 ()),
где ϕ — конформная мультискладка в 0 () с разбиением  (0* Γ).
Из сказанного следует, что задача описания мультискладок сводится к задаче описания конформных мультискладок. Дальнейшая часть работы будет посвящена этому
частному случаю.
10
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
2. Устранимость разрезов для конформных мультискладок
Отметим следующее свойство единственности, характеризующее всю совокупность
конформных мультискладок с заданным разбиением с раскраской  (Γ).
Теорема 2. Пусть  = 1 () и ζ = 2 () — конформные мультискладки области  с
одним и тем же разбиением  (Γ) = { } с заданной раскраской. Тогда существует
аналитическая функция ϕ : 1 () → 2 (), такая, что
2 () = ϕ(1 ()).
Доказательство. См. [8, с. 32].
Заметим, что указанное в теореме ϕ является гомеоморфизмом между 1 ( ) и
2 ( ).
Предположим Γ0 ⊂ Γ — некоторое семейство дуг, для которого открытое множество
⋃︁
Γ0 =  ∖
|γ|
γ∈Γ0
есть область.
Разбиение  (Γ) в  задает разбиение  (Γ′ ) в Γ0 на тот же набор областей { },
но с другим семейством смежных дуг Γ′ . Это разбиение является правильным, причем
при проведении разрезов, очевидно, черно-белые раскраски разбиений  (Γ) и  (Γ′ ) не
меняются (то есть белые области остаются белыми, а черные — черными).
Семейство дуг Γ′ получается из семейства Γ следующим образом. Из Γ удаляются
дуги, входящие в Γ0 , а те дуги из Γ, которые не входят в Γ0 , но имеют общие собственные концы с некоторыми дугами, входящими в Γ0 , заменяются на соответствующие
дуги без этих концов. Договоримся обозначать описанную операцию «разности» двух
˜, записывая, в частности, Γ′ = Γ∖Γ
˜ 0 . Положим
семейств Γ и Γ0 через ∖
⋃︁
Σ=
|γ|.
γ∈Γ0
Предположим, что имеются две конформные мультискладки  = 1 () в  с разбиением  (Γ) и ζ = 2 () в Γ0 с разбиением  (Γ′ ) и одной и той же раскраской.
Из сказанного ясно, что так как Γ0 ⊂ , то 1 () также является мультискладкой
в Γ0 .
В силу предыдущей теоремы можно записать равенство
2 () = ϕ(1 ()),  ∈ Γ0 ,
(5)
где ζ = ϕ(),  ∈ 1 (Γ0 ) — аналитическая функция. Если 0 ∈ Σ, то определено
значение 1 (0 ), но, вообще говоря, не определено значение 2 (0 ). Если бы ϕ() была однозначным образом продолжима по непрерывности на 1 (Σ), то и 2 () была бы
продолжима в 0 по формуле
2 (0 ) = ϕ(1 (0 )) при 0 ∈ Σ,
а функция 2 () являлась бы мультискладкой в области  с разбиением  (Γ).
При каких условиях можно утверждать, что 2 () является мультискладкой в ?
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
11
МАТЕМАТИКА
Теорема 3 (Об устранимости разрезов). Предположим, что выполняются следующие
условия:
(A1) Функции  () ( = 1, 2) продолжаются аналитически (антианалитически) из каждой белой (черной) области  на область Ω ⊃ [] и эти продолжения
 () ( = 1, . . . ,  ) являются гомеоморфизмами области Ω.
⋂︀

(A2) 
=1 1 (Ω) ⊃ [1 ()].
Тогда конформная мультискладка 2 () в Γ0 является также конформной
мультискладкой в .
Доказательство. Введем обозначения  = 1 (Ω),   = 2 (Ω). Пусть  — компо⋂︀ 
⋂︀

нента связности 
=1 1 (Ω), содержащая [1 ()]. В силу (A1) существуют
=1  =
конформные гомеоморфизмы
ϕ1 : 1 →  1 , . . . , ϕ :  →   ,
причем
2 () = ϕ (1 ()),  ∈ Ω.
Заметим, что каждый из гомеоморфизмов ϕ () совпадает
⋂︀ с некоторым другим гомеоморфизмом ϕ () на некотором множестве Δγ ⊂ 1 ( ) 1 ( ), (γ ⊂ Γ′ ), описанном
в доказательстве теоремы 2 (см.: [8, теорема 2, с. 32]). Поэтому в силу теоремы ⋂︀
единственности для голоморфных функций ϕ () ≡ ϕ () на компоненте связности   ,
содержащей [1 ( )]. Отсюда следует, что все ϕ () совпадают на . Тем самым в 
определена голоморфная функция Φ(), такая что Φ() ≡ ϕ () при всех  = 1, . . . ,  .
С другой стороны, так как ϕ () ≡ ϕ() на 1 ( ) (ϕ из равенства (5)), то это означает, что Φ() является продолжением ϕ() на некоторую окрестность  множества
[1 ()]. При этом Φ() является гомеоморфным в . Тогда (5) можно переписать в виде
2 () = Φ(1 ()),  ∈ Γ0 ,
(6)
где ζ = Φ(),  ∈ 1 (Γ0 ).
Если 0 ∈ Σ, то при  → 0 имеем 1 () → 1 (0 ), а значит 2 () = Φ(1 ()) →
→ Φ(1 (0 )).
Это означает, что 2 () продолжается из Γ0 на  однозначным образом и ее
можно рассматривать как конформную мультискладку.
3. Граф разбиения
Пусть  (Γ) = { } — правильное разбиение области  с раскраской, производимое
семейством аналитических дуг Γ. Структуру данного разбиения  (Γ) = { } можно
представить с использованием понятия графа. Не вдаваясь в подробности, далее считаем
известной терминологию теории графов (см. для ознакомления, например, [6]).
Данному разбиению поставим в соответствие граф  ( (Γ), ) следующим образом. В каждой области  выберем по точке. Затем соединим отмеченные точки ребрами
по количеству общих для каждой пары областей граничных дуг γ ∈ Γ.3 Вершины получившегося графа будем также обозначать буквами  .
Определение 5. Разбиение  (Γ) будем называть древовидным, если его граф  ( (Γ), )
есть дерево.
12
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
В случае если граф  ( (Γ), ) есть дерево, договоримся считать 1 — корневой
вершиной.
В общем случае разбиение может быть недревовидным, причем его граф может
допускать наличие кратных ребер. Геометрически это означает наличие нескольких дуг,
по которым области смежны.
Примеры древовидного и недревовидного разбиений с соответствующими графами
показаны на рисунке 2.
Рис. 2: a) – древовидное разбиение области ; b) – недревовидное разбиение области , граф
которого содержит кратные ребра, соответствующие дугам γ1 и γ2
Отметим, что в случае древовидного разбиения дуги, входящие в семейство Γ,
могут иметь разве лишь несобственные концы.
4. Мультиобласти
4.1. Определение мультиобласти
Для дальнейших целей нам потребуется специальный случай складчатых поверхностей (см. [5]), который будем называть мультиобластью. Именно мультиобластью
мы будем называть поверхность, полученную из конечного набора двумерных областей
посредством односторонней склейки.
Дадим строгое описание этой конструкции.
Пусть имеется набор областей D = { }
=1 в C, каждая область  имеет участки
границы, являющиеся жордановыми дугами.
Определение 6. Пусть области  допускают одностороннюю склейку по граничным
жордановым дугам, образуя поверхность (новое связное топологическое пространство ),
в соответствии со следующими правилами.
(K1) Если области  и  склеены по наборам невырожденных жордановых дуг
⋂︀

{γ }=1
, |γ | ⊂   ( ̸= , но γ = γ ,  =  ), то внутренние точки этих дуг не могут участвовать в склейке  с какой-либо областью, отличной
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
13
МАТЕМАТИКА
от  , и области  с какой-либо областью, отличной от  4 ; области  и 
локально лежат по одну сторону от любой из дуг γ .
(K2) Любые пары областей  и  можно соединить цепочкой областей
 , 1 , . . . ,  ,  ,
так что в указанной последовательности всякая пара последовательных областей
является склеенной в смысле (K1).
(K3) На областях  можно задать согласованную ориентацию: то есть, если две области  и  имеют общую граничную дугу γ , то ориентации их различны.
(K4) Дуги γ имеют два конца, собственных или несобственных. Вся совокупность дуг,
имеющих общий собственный конец, может быть представлена последовательностью вида
γ112 , γ223 , . . . , γ1 ,
где  ≥ 4 — некоторое четное число, или являться совокупностью нескольких
таких последовательностей. В последнем случае будет считаться, что имеется
несколько экземпляров различных концов, относящихся к разным последовательностям этой совокупности.
Описанную склейку будем называть мультиобластью и обозначать через (D, Γ̃).
Замечание 2. Понятие склейки областей по граничным дугам, упомянутое в (K1), нуждается в пояснении. Из общей топологии ([2, с. 40—42]) известна конструкция склейки
топологических пространств {λ }λ∈ по непрерывным отображениям ℎλµ : λµ → µλ ,
где λµ ⊂ λ , µλ ⊂ µ . То есть должны быть заданы множества λµ ⊂ λ и µλ ⊂ µ ,
по которым осуществляется склейка каждой пары λ и µ и функция склейки ℎλµ ,
позволяющая отождествлять точки  ∈ λµ ⊂ λ и ℎλµ () ∈ µλ ⊂ µ . Значит говорить о склейке областей по граничным дугам (которые в области не входят!) не кор 
ректно. Договоримся
понимать под склейкой областей { }
=1 по наборам дуг {γ }=1 ,
⋂︀
|γ | ⊂   , ( ̸= , ,  = 1, . . . ,  ) топологическую склейку множеств
˜  = 


 ⋃︁
⋃︁ ⋃︁
|γ |,
=1 =1
наделенных топологией, индуцированной из C, где склеивающими функциями являются
ℎ () =  :  → 
c  =  =
⋃︀
=1
˜  ,  ⊂ 
˜.
|γ |, но при этом считается  ⊂ 
Геометрически мультиобласть можно представлять как поверхность, склеенную из
набора взаимно налегающих друг на друга кусков плоскости (и в плоскости расположенных!). Простейшей наглядной моделью мультиобласти может являться многократно
перегнутый лист бумаги.
Обозначим через Γ̃ = {γ } — набор всевозможных дуг, участвующих в описанном
процессе склейки. (Здесь ,  = 1, . . . , , ( ̸= ),  = 1, . . . ,  .) Пары областей  и
 , описанные в (K1), называются в дальнейшем непосредственно склеенными, или
смежными по дугам γ .
14
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
В дальнейшем тривиальный случай одной области D = {} и Γ̃ = {∅} допускается.
При этом считается (D, Γ̃) = .
Множество

⋃︁
⋃︁ ⋃︁
spt (D, Γ̃) =

|γ |
=1
,,
будем называть носителем мультиобласти (D, Γ̃).
Структуру мультиобласти (D, Γ̃), как и в случае разбиения области, можно охарактеризовать графом ((D, Γ̃)), ставя каждой области  в соответствие вершину,
обозначаемую той же буквой  и соединяя вершины, соответствующие непосредственно склеенным областям  и  , ребрами по числу дуг  .
Мультиобласть называется древовидной, если ее граф — дерево. В этом случае все
 = 1.
4.2. Мультиобласти и мультискладки
Пусть имеется мультискладка  =  () :  →  () ⊂ C, согласованная с правильным разбиением  (Γ) и фиксированной раскраской. Обозначим через Γ = {γ } набор
жордановых дуг, осуществляющих данное разбиение, считая
γ = γ , ,  = 1, . . . , , ( ̸= ),  = 1, . . . ,  ,
где  =  — число смежных участков областей  и  .
Данная мультискладка порождает мультиобласть (D′ , Γ̃′ ), где D′ = { ( )}
=1 , а
Γ̃′ = { (γ )}, ,  = 1, . . . , , ( ̸= ),  = 1, . . . ,  .
При этом, очевидно, spt (D′ , Γ̃′ ) =  (), а графы  ( (Γ), ) и ((D′ , Γ̃′ )) изоморфны (с соответствием вершин  ←→  ( )).
Введение понятия мультиобласти позволяет рассматривать мультискладку  () как
гомеоморфизм
 () :  → (D′ , Γ̃′ ).
(Здесь известная аналогия с римановыми поверхностями, позволяющими рассматривать
многозначные аналитические функции как однозначные.) При этом если в мультиобласти (D′ , Γ̃′ ) задана ориентация, то будем называть мультискладку сохраняющей ориентацию, если белые области переходят в положительно ориентированные области  ( ),
а черные — в отрицательно ориентированные области. В противном случае будем говорить, что ориентация не сохраняется.
5. Получение новых мультиобластей с помощью отображения
Пусть имеется древовидная мультиобласть (D, Γ̃) и вместе с ним:
(1)
(2)
1) жорданова дуга γ̃ ⊂ 0 , делящая 0 на две подобласти 0 и 0 , с несобственными концами, которые не являются внутренними точками какой-либо из
дуг γ0  ;
2) гомеоморфизм ϕ : spt (D, Γ̃) → ϕ(spt (D, Γ̃)) ⊂ C, переводящий γ̃ в промежуток на оси абсцисс.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
15
МАТЕМАТИКА
Обозначим набор дуг {γ0  },  = 1, . . . , , ( ̸= 0 ),  = 1, . . . , 0  через Γ̃0 , его
(1)
поднабор дуг, которые являются граничными для 0 и не являются граничными для
(2)
(1)
(2)
(1)
0 , обозначим через Γ̃0 , а через Γ̃0 = Γ̃0 ∖ Γ̃0 .
(1)
(2)
Рассмотрим два набора областей D0 и D0 , построенных по следующим правилам.
(1)
(1)
К набору D0 отнесем 0 и все области { } ( ̸= 0 ), которые в (D, Γ̃) соединяются с 0 некоторой цепочкой последовательно непосредственно склеенных областей
0 , 1 , . . . ,  ,  , причем склейка 0 , 1 осуществляется по некоторым дугам из
(1)
Γ̃0 .
(2)
(2)
К набору D0 отнесем 0 и все области { } ( ̸= 0 ), которые в (D, Γ̃) соединяются с 0 некоторой цепочкой последовательно непосредственно склеенных областей
0 , 1 , . . . ,  ,  , причем склейка 0 , 1 осуществляется по некоторым дугам из
(2)
Γ̃0 .
(1)
Другими словами, γ̃ делит (D, Γ̃) на две компоненты связности. К D0 отне(1)
(1)
сем 0 и все  ∈ D, которые лежат в той же компоненте связности, что и 0 .
(2)
Аналогично можно определить и набор D0 .
(1)
(1)
Пусть ϕ(D0 ) означает набор областей, включающий ϕ(0 ) и все области вида
(1)
(2)
ϕ( ),  ̸= , где  ∈ D0 . Аналогичный смысл будут иметь обозначения ϕ(D0 ) и
(2)
(2)
(1)
ϕ(D0 ), а также ϕ(Γ̃0 ), ϕ(Γ̃0 ).
Положим
⋃︁
(1)
(2)
D′ = ϕ(D0 ) ϕ(D0 ),
(1)
Γ̃′ = ϕ(Γ̃0 )
⋃︁
(2)
ϕ(Γ̃0 )
⋃︁
ϕ(γ̃).
(2)
(1)
Склеим области ϕ(0 ) и ϕ(0 ) по промежутку ϕ(γ̃) ⊂ {Im  = 0} в соответ(1)
(2)
ствии с «естественной» склейкой 0 и 0 по γ̃; области ϕ( ) и ϕ( ) (,  ̸= 0 ,
(1)
(2)
 ,  ∈ D0 ), а также области ϕ( ) и ϕ( ) (,  ̸= 0 ,  ,  ∈ D0 ) в соответствии
(1)
(1)
со склейкой областей  и  в (D, Γ̃). Склеим ϕ(0 ) и ϕ( ),  ∈ D0 , а так(2)
(2)
же (ϕ(0 )) и (ϕ( )),  ∈ D0 , в соответствии со склейкой областей 0 и  в
(D, Γ̃).
Тем самым будет получена новая мультиобласть (D′ , Γ̃′ ). Об этой мультиобласти
(1)
будем говорить, что она получена из мультиобласти (D, Γ̃) в результате (ϕ, γ̃, 0 )перегибания. При этом также возникает гомеоморфное отображение
Φ : (D, Γ̃) → (D′ , Γ̃′ ),
действующее в  по формуле
⎧
(1)
⎨ ϕ(),  ∈  ,  ∈ D(1)
или  ∈ 0
0
Φ() =
⎩
(2)
(2)
ϕ(),  ∈  ,  ∈ D0 или  ∈ 0 .
(7)
(1)
Будем говорить, что Φ индуцировано (ϕ, γ̃, 0 )-перегибанием.
Далее наряду с традиционным обозначением комплексного сопряжения в виде черты используем и не традиционное в виде (·)[σ] , полагая
{︃
(·) если σ = 0,
[σ ]
(·) =
(·) если σ = 1.
16
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
При этом будет верно соотношение
((·)[σ] )[δ] = (·)[σ+δ] ,
если сумму в скобках понимать по модулю 2.
С учетом введенного обозначения (7) локально может быть записано
Φ() = ϕ[σ] (), (считается ϕ[σ] () = (ϕ())[σ] ),
(1)
(2)
подразумевая, что σ выбирается в зависимости от того, к какому из наборов 0 , 0
относится область, содержащая  .
6. Построение конформных мультискладок с заданной разметкой
Пусть  ⊂ C — односвязная область,  (Γ) = { }
=1 — ее правильное разбиение,
осуществляемое семейством аналитических дуг Γ = {γ }, ,  = 1, . . . , , ( ̸= ),  =
= 1, . . . ,  . (Раскраска задана приписыванием белого цвета области 1 .) Число дуг,
входящих в семейство Γ, обозначим через  .
Пусть дуги γ заданы взаимно-однозначными отображениями
 = ψ ( ) : ⟨α , β ⟩ → C.
(8)
Всюду далее предполагаем, что отображения (8) имеют аналитическое продолжение


 = ψ (
) : O → ψ (O ) ⊂ C (
=  + τ ),
(9)
с промежутка ⟨α , β ⟩ в некоторую достаточно большую окрестность O его замыкания, в частности такую, что ψ (O ) ⊃ Ω ⊃ []. Причем будем считать эту окрестность
симметричной относительно вещественной оси, то есть O = O . Кроме того, будем
считать, что данное продолжение есть конформный гомеоморфизм O на ψ (O ).
Через ϕ будем обозначать обратный к нему гомеоморфизм.
Функции ψ и ϕ будем называть основными.
Далее нам потребуется рассматривать различные суперпозиции, составленные из
этих функций, и для корректности наших последующих рассмотрений будем накладывать дополнительное условие (A).
(A) Все суперпозиции вида

−1
( ) = (ϕ111 )[σ1 ] ∘ ψ222 ∘ (ϕ333 )[σ2 ] ∘ ψ444 ∘ · · · ∘ (ϕ−1
−1 )
[σ  ]
2
∘ ψ (( )[] ),
длины  ≤ 2 − 1 определены на O как конформные гомеоморфизмы первого рода
или конформные гомеоморфизмы второго рода, причем
(O )
⊃
ϕ111 (Ω)
⋃︁
ϕ111 (Ω),
(︂

ϕ (Ω)
⋃︁
)︂
ϕ (Ω)
⊂ O111 .
Замечание 3. Ниже мы объясним мотивировку ограничения  ≤ 2 − 1.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
17
МАТЕМАТИКА
Замечание 4. Нетрудно видеть, что
1) ( ) конформное отображение первого рода, если
σ 1 + σ2 + . . . + σ  +  ≡ 0
mod 2
σ1 + σ 2 + . . . + σ  +  ≡ 1
mod 2.
2
и второго рода, если
2
2) Функция ( ) вещественно-аналитическая на промежутке ⟨α , β ⟩. Ее
аналитическим продолжением в O является ( ), если это отображение является
конформным первого рода и функция

[σ  ]
−1
( ) = (ϕ111 )[σ1 ] ∘ ψ222 ∘ (ϕ333 )[σ2 ] ∘ ψ444 ∘ · · · ∘ (ϕ−1
−1 )
2
∘ ψ (( )[+1] ),
если функция ( ) является конформным отображением второго рода.
6.1. Древовидный случай
Так как  = 1, то имеются только ϕ1 . Перенумеруем их сплошным образом
ϕ(1) , ϕ(2) , . . . ,ϕ( ) . В соответствии с этим порядком перенумеруем также все объекты,
имеющие тройную нумерацию (·)1 . В частности, перенумеруем
— обратные функции ψ1 , используя обозначения ψ(1) , ψ(2) , . . . , ψ( ) ;
— дуги γ1 , используя обозначения γ1 , γ2 , . . . , γ ;
1
= 1 + τ1 , используя обозначения (1) = (1) + τ(1) , . . . , ( ) =
— переменные 
= ( ) + τ( ) ;
— области O1 , используя обозначения O(1) , . . . , O( ) ;
— промежутки ⟨α1 , β1 ⟩, используя обозначения ⟨α(1) , β(1) ⟩, . . . , ⟨α( ) , β( ) ⟩.
˜ 1+ одну из двух подобластей, на которые разбивается область 
Обозначим через 
кривой γ1 , которая содержит область 1 .
˜ 1+ )-перегибание к тривиальной мультиобласти 0 ({}, {∅}),
Применим (ϕ(1) , γ1 , 
получая новую мультиобласть 1 (D1 , Γ̃1 ). Пусть Φ1 : 0 ({}, {∅}) → 1 (D1 , Γ̃1 ) —
отображение, индуцированное этим перегибанием. Тогда заметим, что spt 1 (D1 , Γ̃1 ) ⊂
⊂ O(1) .
(1)
Пусть γ2 — образ дуги γ2 при отображении Φ1 . Ясно, что эта дуга аналитическая.
Она имеет представление
(1) = Φ1 (ψ(2) ((2) ))
или в развернутом виде
[σ ]
(1) = ϕ(1) ∘ ψ(2) ((2) ), где σ = 0 или σ = 1.
(10)
Обозначим через
[ σ]
[σ ]
ψ1(2) ((2) ) = ϕ(1) ∘ ψ(2) ((2) )
аналитическое продолжение на O(2) функции (10) и через
[ σ]
[ σ]
ϕ1(2) ((1) ) = ϕ(2) ∘ ψ(1) ((1) )
18
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
— обратное к нему отображение.
(1)
Дуга γ2 делит мультиобласть 1 (D1 , Γ̃1 ) на две компоненты связности. Пусть
1+ — та из них, которая содержит Φ1 (1 ). Кроме того, она принадлежит некоторой об˜ 2+ — та из них, которая содержится
ласти набора D1 и делито есть на две части; пусть 
в 1+ .
(1) ˜ +
Теперь применим (ϕ1(2) , γ2 , 
2 )-перегибание к мультиобласти 1 (D1 , Γ̃1 ). Получим
новую мультиобласть 2 (D2 , Γ̃2 ), (spt 2 (D2 , Γ̃2 ) ⊂ O(2) ) и гомеоморфизм
Φ2 : 1 (D1 , Γ̃1 ) → 2 (D2 , Γ̃2 ),
индуцированный этим перегибанием. Заметим, что локально этот гомеоморфизм может
быть записан в виде
Φ2 ((1) ) = (ϕ1(2) ((1) ))[δ2 ] .
(2)
Рассмотрим дугу γ3 в 2 (D2 , Γ̃2 ), являющуюся образом дуги γ3 при отображении
Φ2 ∘ Φ1 : 0 ({}, {∅}) → 2 (D2 , Γ̃2 ). Эта дуга, очевидно, задается представлением
(2) = Φ2 ∘ Φ1 (ψ(3) ((3) )),
имеющим развернутый вид (после переобозначений выражений, возникающих в квадратных скобках)
[σ ]
[σ ]
(2) = ϕ(2)2 ∘ ψ(1) ∘ ϕ(1)1 ∘ ψ(3) ((3) ).
Эта функция имеет аналитическое продолжение с промежутка ⟨α(3) , β(3) ⟩ на область
O(3) , имеющее вид
[σ ]
[σ ]
[]
(2) = ϕ(2)2 ∘ ψ(1) ∘ ϕ(1)1 ∘ ψ(3) ((3) ), где σ2 + σ1 +  = 0
mod 2.
Обозначим это продолжение ψ2(3) , а обратную к нему функцию ϕ2(3) . Обратная функция
имеет вид
[]
[σ ]
[σ ]
ϕ2(3) ((2) ) = ϕ(3) ∘ ψ(1) ∘ ϕ(1)1 ∘ ψ(2) ((2)2 ).
(2)
Дуга γ3 делит мультиобласть 2 (D2 , Γ̃2 ) на две компоненты связности. Обозначим
через 2+ ту из них, в которой лежит образ Φ2 ∘ Φ1 (1 ). Эта же дуга целиком лежит в
˜ 3+ ту
одной из областей набора D2 и делито есть на две подобласти. Обозначим через 
+
из подобластей, которая будет лежать в 2 .
(2) ˜ +
Применяя (ϕ2(3) , γ3 , 
3 )-перегибание к мультиобласти 2 (D2 , Γ̃2 ), получим новую
мультиобласть 3 (D3 , Γ̃3 ) и гомеоморфизм
Φ3 : 2 (D2 , Γ̃2 ) → 3 (D3 , Γ̃3 ).
Локально этот гомеоморфизм может быть записан в виде
Φ3 ((2) ) = (ϕ2(3) ((2) ))[δ3 ] .
Применяя те же рассуждения к мультиобласти 3 (D3 , Γ̃3 ) и т. д., по индукции
строим цепочку мультиобластей  (D , Γ̃ ),  = 1, 2, . . . ,  и последовательность гомеоморфизмов
Φ : −1 (D−1 , Γ̃−1 ) →  (D , Γ̃ )  = 1, 2, . . . , .
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
19
МАТЕМАТИКА
В общем случае, если  мультиобластей 1 (D1 , Γ̃1 ), . . . ,  (D , Γ̃ ) и гомеоморфизмов
Φ
Φ
Φ
1
2
3
0 ({}, {∅}) −→
1 (D1 , Γ̃1 ) −→
2 (D2 , Γ̃2 ) −→
···
Φ−1
Φ

· · · −→ −1 (D−1 , Γ̃−1 ) −→
 (D , Γ̃ )
уже построено, то образуем новую мультиобласть +1 (D+1 , Γ̃+1 ) следующим образом.
Положим
Φ̃ = Φ ∘ Φ−1 ∘ · · · ∘ Φ1 : 0 ({}, {∅}) →  (D , Γ̃ ).
Тогда образ дуги γ+1 в мультиобласти  (D , Γ̃ ) дается представлением
() = Φ̃ (ψ(+1) ((+1) )).
()
(11)
()
Обозначим его через γ+1 . Пусть ψ+1 ((+1) ) — аналитическое продолжение отобра()
жения Φ̃ ∘ ψ(+1) ((+1) ), а ϕ+1 (() ) — отображение, обратное к нему.
()
Дуга γ+1 принадлежит некоторой области из набора D и делито есть на две
части Ω1 и Ω2 . Эта же дуга делит всю мультиобласть  (D , Γ̃ ) на две компоненты
˜ + ту
связности. Пусть + — та из них, которая содержит Φ̃ (1 ). Обозначим через 
+
из областей Ω1 или Ω2 , которая содержится в  .
()
˜ + )-перегибание к мультиобласти  (D , Γ̃ ), получая ноПрименим (ϕ(+1) , γ+1 , 
вую мультиобласть +1 (D+1 , Γ̃+1 ) и гомеоморфизм
Φ+1 :  (D , Γ̃ ) → +1 (D+1 , Γ̃+1 ),
индуцированный этим перегибанием.
Нетрудно видеть, что суперпозиции ϕ() и ψ() , которые будут возникать в ходе
описанных построений, будут иметь вид, описываемый условием (A), а само это условие
будет гарантировать возможность взятия таких суперпозиций.
Отображение
Φ̃ () = Φ ∘ Φ −1 ∘ · · · ∘ Φ1 : 0 ({}, {∅}) →  (D , Γ̃ )
есть конформная мультискладка с заданными разбиением  (Γ) и раскраской, в которой
1 окрашена в белый цвет.
Последний факт требует пояснения.
Введем обозначения:
 = Φ̃ ( ), 0 =  , γ = Φ̃ (γ ),
 = 1, . . . ,  ,  = 1, . . . ,  .
Каждое отображение Φ представляет собой суперпозицию сохраняющего ориентацию конформного гомеоморфизма ϕ−1
() , примененного к мультиобласти −1 (D−1 , Γ̃−1 ),
и последующей симметрией относительно вещественной оси, примененной к части образа этой мультиобласти, после чего и будет получена новая мультиобласть  (D , Γ̃ ).
Ясно, что на части мультиобласти −1 (D−1 , Γ̃−1 ), не затронутой симметрическим отражением при отображении Φ , ориентация сохраняется, а на затронутой меняется.
20
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
Пометим белые области разбиения  (Γ) знаком «+», а черные знаком «−». Далее
при каждом перегибании будем помечать области  следующим образом. Если −1
не затрагивается симметрическим отражением при отображении Φ , то  помечается
тем же знаком, что и −1 . В противном случае знак меняется.
В результате каждого такого шага области −1
и −1
, которые были смежными
1
2

в мультиобласти −1 (D−1 , Γ̃−1 ) по дуге γ и помеченные разными знаками, перейдут
в мультиобласти  (D , Γ̃ )
в области 1 и 2 , которые будут смежными по дуге γ+1

и помеченные одинаковыми знаками.
Одинаковость знаков двух смежных областей в мультиобласти  (D , Γ̃ ) означает,
что отображение Φ̃ в одной из этих областей сохраняет ориентацию, а в другой меняет.
При последующих перегибаниях это свойство будет сохраняться, поскольку они будут
происходить по дугам, отличным от «потомков» дуги γ , а значит перегибания либо
будут одновременно менять знаки, либо одновременно сохранять. После  шагов все
области  будут помечены одинаковыми знаками. Но 1 на каждом шаге остается
помеченным знаком «+». Поэтому все области  будут помечены тем же знаком, что
и 1 , то есть знаком «+».
Последнее и означает, что отображение Φ̃ () сохраняет ориентацию в белых областях разбиения  (Γ) и меняет в черных.
6.2. Мотивировка ограничения  ≤ 2 +1 − 1
Самая длинная суперпозиция ϕ() и ψ() , которая возникла в наших выкладках,
возникает в функции Φ̃ ().5 Найдем длину этой суперпозиции.
Пусть ℎ означает длину суперпозиции Φ̃ (). Для  = 1 видим ℎ1 = 1, поскольку
[ σ]
Φ̃1 () = Φ1 () = ϕ(1) . Как изменяется ℎ при переходе от  к  + 1?
()
Имеем Φ̃+1 () = Φ+1 ∘ Φ̃ (). Но Φ+1 образуется с помощью ϕ+1 (() ), число
элементов ϕ() и ψ() в котором на 1 больше, чем в Φ̃ (). Отсюда получаем ℎ+1 =
= 2ℎ + 1. Имеем цепочку равенств
ℎ+1 = 2ℎ + 1 = 2(2ℎ−1 + 1) + 1 = 22 ℎ−1 + 1 + 2 =
= 22 (2ℎ−2 + 1) + 1 + 2 = 23 ℎ−2 + 1 + 2 + 22 = . . . = 2+1 ℎ− + 1 + 2 + 22 + · · · + 2 =
= 2 ℎ1 + 1 + 2 + 22 + · · · + 2−1 = 2 + 2 − 1 = 2+1 − 1.
Отсюда  ≤ 2 +1 − 1.
6.3. Недревовидный случай
Пусть, как и в предыдущем случае,  ⊂ C — односвязная область,  (Γ) =
= { }
=1 — его правильное разбиение, осуществляемое семейством аналитических
дуг
Γ = {γ }, ,  = 1, . . . ,  ( ̸= ),  = 1, . . . ,  .
(Раскраска задана приписыванием белого цвета области 1 .)
Граф  ( (Γ), ) связен, но не предполагается деревом.
Заметим следующее. Если заменить область  областью Γ0 , полученной из нее
добавлением разрезов, осуществляемых семейством дуг (возможно с добавлением концевых точек) Γ0 ⊂ Γ, то исходное разбиение  (Γ) порождает в Γ0 разбиение  (Γ′ ),
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
21
МАТЕМАТИКА
˜ 0 . При этом ему отвечает граф  ( (Γ′ ), Γ ), полученный из  ( (Γ), Γ )
Γ′ = Γ∖Γ
0
удалением ребер, отвечающих дугам из Γ0 .
Ясно, что из любого связного графа всегда можно удалить ребра так, чтобы получилось дерево, связывающее все первоначальные вершины. Тем самым Γ0 всегда можно
выбрать так, чтобы разбиение  (Γ′ ) было древовидным.
Применим к Γ0 процедуру построения конформной мультискладки, описанной в
п. 6.1, получая отображение ΦΓ0 ().
Теорема 4. Предположим, что
1) в области  существует конформная мультискладка  () с разбиением
 (Γ), продолжаемая аналитически (антианалитически) из каждой белой (черной)
⋂︀


области  на область Ω ⊃ [], причем 
=1  (Ω) ⊃ [ ()], где  — данные продолжения;
2) представления (8) дуг, входящих в семейство Γ = {γ }, удовлетворяют
условию (A) с той же областью Ω.
Тогда ΦΓ0 () также является конформной мультискладкой над  с разбиением
 (Γ), а всякая другая мультискладка  () с тем же разбиением с раскраской  (Γ)
может быть задана в виде
 () = ϕ(ΦΓ0 ()),
(12)
где ϕ — аналитическая функция, заданная в ΦΓ0 ().
Доказательство. Условия теоремы означают, что выполняются условия теоремы 3 с
1 =  () и 2 = ΦΓ0 (). Представление (12) вытекает из теоремы 2.
ПРИМЕЧАНИЯ
1,2
При этом не известна принадлежность  ∈ loc
().
2 Напомним, что это не то же самое, что жорданова кривая. Жордановой кривой (замкнутой дугой) называется непрерывный взаимно-однозначный образ окружности  1 , или,
другими словами, замкнутая дуга, у которой начало и конец совпадают.
3 В графе допускаются кратные ребра.
⋂︀ 
4 При этом возможно, что |γ |
|γ | =
̸ ∅ при {, } =
̸ {, }.

5 Заметим, что сама эта функция не имеет вид суперпозиции  из условия (A), так
[σ]
как в ней последней всегда является ϕ(1) (). В остальном порядок входящих элементов
соответствует требованиям, и для оценки максимальной длины суперпозиции ее можно использовать.
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белинский, П.␣П. Общие свойства квазиконформных отображений / П.␣П. Белинский. — Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1974. — 100 c.
2. Бурбаки, Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры
/ Н. Бурбаки. — М. : Наука, 1968. — 272 c.
3. Векуа, И.␣Н. Обобщенные аналитические функции / И.␣Н. Векуа. — М. : Наука,
1988. — 512 c.
4. Векторные поля на плоскости / М.␣А. Красносельский, А.␣И. Перов, А.␣И. Поволоцкий, П.␣П. Забрейко. — М. : ГИФМЛ, 1963. — 245 c.
22
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
МАТЕМАТИКА
5. Волковыский, Л.␣И. Некоторые вопросы теории квазиконформных отображений
/ Л.␣И. Волковыский // Некоторые проблемы математики и механики (к семидесятилетию
М.А. Лаврентьева). — Л. : Наука, 1970. — C. 128–134.
6. Дистель, Р. Теория графов / Р. Дистель. — Новосибирск : Изд-во ИМ СО РАН,
2002. — 241 c.
7. Кондрашов, А.␣Н. К теории вырождающихся уравнений Бельтрами переменного
типа / А.␣Н. Кондрашов // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53, № 6. — C. 1321–1337.
8. Кондрашов, А.␣Н. К теории уравнения Бельтрами переменного типа со многими
складками / А.␣Н. Кондрашов // Вестник Волгоградского государственного университета.
Серия 1, Математика. Физика. — 2013. — № 2 (19). — C. 26–35.
9. Кондрашов, А.␣Н. Уравнения Бельтрами, вырождающиеся на дуге / А.␣Н. Кондрашов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика.
Физика. — 2014. — № 5 (24). — C. 24–39.
10. Лаврентьев, М.␣А. Методы теории функций комплексного переменного / М.␣А. Лаврентьев, Б.␣В. Шабат. — М. : ГИФМЛ, 1958. — 678 c.
11. Маркушевич, А.␣И. Теория аналитических функций / А.␣И. Маркушевич. — М. :
Наука, 1967. — Т. 1. — 488 c.
12. Srebro, U. Branched folded maps and alternating Beltrami equations / U. Srebro,
E. Yakubov // Journal d’analyse mathematique. — 1996. — № 70. — P. 65–90.
13. Srebro, U. Uniformization of maps with folds / U. Srebro, E. Yakubov // Israel
mathematical conference proceedings. — 1997. — № 11. — P. 229–232.
14. Srebro, U. µ-Homeomorphisms / U. Srebro, E. Yakubov // Contemporary Mathematics
AMS. — 1997. — № 211. — P. 473–479.
REFERENCES
1. Bеlinskiy P.P. Obshchiе svoystva kvazikonformnykh otobrazhеniy [General Properties
of Quasiconformal Mappings]. Novosibirsk, Nauka, Sib. otd-niе Publ., 1974. 100 p.
2. Burbaki N. Elеmеnty matеmatiki. Obshchaya topologiya. Osnovnyе struktury
[Elements of Mathematics. General Topology. Core Structures]. Moscow, Nauka Publ., 1968.
272 p.
3. Vеkua I.N. Obobshchеnnyе analitichеskiе funktsii [Generalized Analytic Functions].
Moscow, Nauka Publ., 1988. 512 p.
4. Krasnosеlskiy M.A., Pеrov A.I., Povolotskiy A.I., Zabrеyko P.P. Vеktornyе polya na
ploskosti [Plane Vector Fields]. Moscow, GIFML Publ., 1963. 245 p.
5. Volkovyskiı̌ L.I. Nеkotoryе voprosy tеorii kvazikonformnykh otobrazhеniy [Some
Problems of the Theory of Quasiconformal Mappings]. Nеkotoryе problеmy matеmatiki i
mеkhaniki (k sеmidеsyatilеtiyu M.A. Lavrеntyeva) [Some Problems of Mathematics and
Mechanics (to the seventieth birthday of M. A. Lavrentyev)]. Leningrad, Nauka Publ., 1970,
pp. 128-134.
6. Distеl R. Tеoriya grafov [Graph Theory]. Novosibirsk, Izd-vo IM SO RAN Publ., 2002.
241 p.
7. Kondrashov A.N. K tеorii vyrozhdayushchikhsya uravnеniy Bеltrami pеrеmеnnogo tipa
[On the Theory of Degenerate Alternating Beltrami Equations]. Sib. mat. zhurn.␣[Siberian␣Mathematical␣Journal], 2012, vol. 53, no. 6, pp. 1061-1074.
8. Kondrashov A.N. K tеorii uravnеniya Bеltrami pеrеmеnnogo tipa so mnogimi skladkami
[On the Theory of Alternating Beltrami Equation with Many Folds]. Vеstnik Volgogradskogo
gosudarstvеnnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika␣[Science␣Journal␣of␣Volgograd␣State␣University.␣Mathematics.␣Physics], 2013, no. 2 (19), pp. 26-35.
9. Kondrashov A.N. Uravnеniya Bеltrami, vyrozhdayushchiеsya na dugе [Beltrami
Equations with Degenerate on Arcs]. Vеstnik Volgogradskogo gosudarstvеnnogo univеrsitеta.
Sеriya 1, Matеmatika. Fizika␣[Science␣Journal␣of␣Volgograd␣State␣University.␣Mathematics.␣Physics], 2014, no. 5 (24), pp. 24-39.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 5 (30)
23
МАТЕМАТИКА
10. Lavrеntyev M.A., Shabat B.V. Mеtody tеorii funktsiy komplеksnogo pеrеmеnnogo
[Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable]. Moscow, GIFML Publ., 1958.
678 p.
11. Markushеvich A.I. Tеoriya analitichеskikh funktsiy [Theory of Analytic Functions].
Moscow, Nauka Publ., 1967, vol. 1. 488 p.
12. Srebro U., Yakubov E. Branched Folded Maps and Alternating Beltrami Equations.
Journal d’analyse mathematique, 1996, no. 70, pp. 65-90.
13. Srebro U., Yakubov E. Uniformization of Maps with Folds. Israel mathematical
conference proceedings, 1997, no. 11, pp. 229-232.
14. Srebro U., Yakubov E. µ-Homeomorphisms. Contemporary Mathematics AMS, 1997,
no. 211, pp. 473-479.
ALTERNATING BELTRAMI EQUATION AND CONFORMAL MULTIFOLDS
Alexander Nikolaеvich Kondrashov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of
Computer Sciences and Experimental Mathematics,
Volgograd State University
ankondr@mail.ru, alexander.kondrashov@volsu.ru
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. The problem of the study of alternating Beltrami equation was
posed by L.I. Volkovyskiı̌ [5]. In [8] we proved that solutions of the alternating
Beltrami equation of a certain structure ((, )-multifolds) are composition
of conformal multifold and suitable homeomorphism. Thus, lines of change of
orientation cannot be arbitrary, and only mapped by the specified homeomorphism in analytical arcs. Therefore, understanding of the structure of conformal
multifolds is the key to understanding the structure of (, )-multifolds.
The main results of this work.
I. The theorem on removability of conformal multifolds cuts. This theorem is
about
⋃︀ the possibility of extending by continuity from the domain Γ0 =  ∖
∖ γ∈Γ0 |γ| to the whole domain . Here Γ0 is family of arcs which belong to
the set change of type.
Theorem 3. Suppose that conditions are hold.
(A1) Functions  () ( = 1, 2) are analytical ( antianalytical ) extended
from each white ( black ) domain  to a domain Ω ⊃ [] and these extensions
 () ( = 1, . . . ,  ), are homeomorphisms of Ω.
⋂︀

(A2) 
=1 1 (Ω) ⊃ [1 ()].
Then the conformal multifold 2 () in Γ0 is also conformal multifold
in .
II. Description of a process of constructing conformal multifolds on analytical
arcs of change type.
Key words: alternating Beltrami equation, conformal multifold, black-white
cut of domain, multidomain, continuous extending.
24
А.Н. Кондрашов. Уравнение Бельтрами переменного типа и конформные мультискладки
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
441 Кб
Теги
типа, уравнения, конформных, бельтрами, переменного, мультискладки
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа