close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Усиленная сходимость оптимальных множеств аппроксимирующих задач оптимального управления.

код для вставкиСкачать
А.Л. Калашников
102
УДК 519.6
УСИЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ
АППРОКСИМИРУЮЩИХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
2012 г.
А.Л. Калашников
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
allk123@yandex.ru
Поступила в редакцию 10.09.2012
Рассматривается задача оптимального управления в КВ-линеале. Для исходной задачи имеется аппроксимирующая последовательность задач оптимизации. Представлены условия сходимости в более
сильном смысле (относительно нормы) минимизирующей последовательности управлений, полученной на основе аппроксимирующих задач.
Ключевые слова: оптимальное управление, аппроксимация, КВ-линеал, сходимость, минимизирующая последовательность.
Введение
Многие задачи оптимального управления
представляются как задача минимизации функционала при ограничениях на состояние x X и
управление u U в виде операторного равенства и функциональных неравенств. При этом X
является банаховым пространством, а пространство управлений U является КВ-линеалом
с единицей e. Тогда в U имеются кроме метрических свойств и порядковые. Например, если
U = Ln2 [t0 , t1 ], а e есть вектор-функция e(t) =
= (1, 1, …, 1)T. Известно [1], что в КВ-линеале с
единицей можно ввести подлинеал Ue , состоящий из e-ограниченных элементов, который
также является КВ-линеалом. При этом сходимость в Ue влечет сходимость в U к тому же
пределу, но не наоборот. Тем самым в Ue более
сильная норма, чем в U. Так для U = Ln2 [t0 , t1 ]
подлинеал U e = Ln [t0 , t1 ] и сходимость в Ue будет почти всюду равномерная. Часто параметры
исходной оптимизационной задачи определены
с погрешностью. Поэтому реально имеем некоторую задачу, являющуюся приближением исходной. Возникает вопрос о близости оптимального множества приближенной и исходной
задач. В работе приводятся условия, когда множество оптимальных управлений последовательности приближенных задач сходится ко
множеству оптимальных управлений исходной
задачи в метрике Ue. Тогда в терминах [2] имеем усиленную регулярность для минимизирующей последовательности управлений. Отметим, что такие ее свойства получены здесь
без применения стабилизатора.
Последовательность задач
Рассматривается
g0,0 ( x, u) inf
0-задача
минимизации:
F0 ( x, u) = 0, g j ,0 ( x, u) 0 ,
x X , u U , j = 1, n
и при k ≥ 1 последовательность k-задач:
g0,k ( x, u) inf
Fk ( x, u) = 0, g j ,k ( x, u) 0,
x
X , u U , j = 1, n .
Здесь операции Fk: X×U
Z, где X, Z – банаховые пространства, а U есть КВ-линеал с единицей e. При этом все функционалы gj,k и опера1
ции Fk класса C на X×U. Далее, назовем
U пространством управлений, символом {wk}
будем обозначать последовательность и {wkj},
{wk j } ее подпоследовательности, а d0 = inf в
m
0-задаче и dk = inf в k-задаче.
Пусть в любой k-задаче существует ( xk0 , uk0 )
– точка минимума и для всех u U уравнение
Fk (x, u) = 0 имеет единственное решение xk =
1
= xk (u) класса C . Тогда xk0 = xk (uk0 ) . Предположим, что при k ≥ 1 допустимые управления
k-задач принадлежат некоторому множеству
S U. Например, S может быть шаром. Введем
при k ≥ 1 функции Лагранжа
n
Lk ( x, u,
k)=
j ,k g j ,k ( x, u )
j =0
с множителями
существуют 0
k
0
k
=(
с
j ,k
) R n 1. Согласно [3]
Усиленная сходимость оптимальных множеств аппроксимирующих задач оптимального управления
n
∑λ
j =0
0
j ,k
103
казать, что 0 ≤ λ0k ≤ 1 . Тогда на основе условия
=1
и производная Lk′ ,u ( xk (uk0 ), u k0 , λ0k ) = 0. Допустим,
1) − pk′ ,u ( xk (u k0 ), u k0 , λ0k ) ∈ U a* и из равенств (1)
qk′ ,u (u k0 , λ0k ) ∈ U a* . По условию 2) a′j ,k ,u (u * ) ∈ U a* ,
что при j = 0,n , k ≥ 1 функционалы g j , k ( x, u ) =
где u * ∈ U e . Так как 0 ≤ λ0k ≤ 1 , то q′k ,u (u * , λ0k ) ∈
= a j ,k (u ) + b j ,k ( x, u ), где a j ,k (u ), b j ,k ( x, u ) – неко-
∈ U a* . Используя условие 3), получаем
торые функционалы класса C
k ≥ 1 введем
1
на X×U. Для
| u k0 |≤ B | qk′ ,u (u k0 , λ0k ) − qk′ ,u (u * , λ0k ) | .
Поскольку
qk′ ,u (u k0 , λ0k ), qk′ ,u (u * , λ0k ) ∈ U a* ,
n
qk (u , λ ) = ∑λ j a j ,k (u )
j =0
то
и
n
| qk′ ,u (u00 , λ0k ) − qk′ ,u (u * , λ0k ) | ≤ μa
j =0
для некоторого числа μ ≥ 0 . Но Ba ∈U e . Тогда
0 < Ba ≤ ηe для некоторого числа η ≥ 0 . Отсю-
pk ( x, u , λ ) = ∑λ j b j ,k ( x, u )
при u ∈ U и λ = (λ j ) ∈ R n+1. Предположим, что
сопряженное U * является КВ-линеалом с единицей a. Введем КВ-линеал Ue, состоящий из
e-ограниченных элементов в U, и КВ-линеал
U a* из a-ограниченных элементов в U *. Далее,
да | uk0 |≤ Bμa ≤ μηe и, тем самым, uk0 ∈ U e . Утверждение а) доказано.
На основе {uk0 } ⊂ S и условия 1) получаем
||⋅ ||e – норма в U e , а || ⋅ ||a – норма в U a* .
0 ≤ λ0k ≤ 1 , то нетрудно установить компакт-
Теорема 1. Пусть j = 0,n , k ≥ 1 и 1) для
любой {vk } ⊂ S имеем b′j , k ,u ( xk (vk ), vk ) ∈ U a* и
{b′j , k ,u ( xk (vk ), vk )} компактна в U ; 2) сущест*
a
вует
u * ∈ U e , для которого
3) существует
B > 0 :U * → U
a′j ,k ,u (u * ) ∈ U a* ;
линейный
оператор
Ba ∈ U e , что при всех
с
u , v ∈ S , λ ≥ 0 с ограничением
j =0
j,k
=1
с
uk → u
в Ue
венства (1) следует компактность {qk′ ,u (uk0 , λ0k )} в
U a* . Обозначим wk = q′k ,u (u k0 , λ0k ). Тогда {wk } ⊂
⊂ U a* и компактна в U a* . На основе неравенства
условия 3) |u k0 − u m0 | ≤ B |wk − wm | . Для компактности {uk0 } в U e достаточно показать, что у
подпоследовательность. По компактности {wk }
будет | u − v | ≤ B | qk′ ,u (u , λ) − qk′ ,u (v, λ) | ; 4) для
любой {uk }
ность {− p′k ,u ( xk (uk0 ), uk0 , λ0k )} в U a* . Отсюда из ра-
всякой ее {uk0j } существует сходящаяся в U e
n
∑λ
компактность {b′j , k ,u ( xk (uk0 ), uk0 )} в U a* . Так как
существует
lim xk (uk ) = x0 (u ) в X ; 5) при j = 1, n равноk
мерно b j ,k ( x, u ) ⇒ b j ,0 ( x, u ) и a j ,k (u ) ⇒ a j ,0 (u )
для всех || x|| + ||u||e ≤ const.
Тогда а) при k ≥ 1 оптимальные управления
0
uk ∈ U e ; б) {uk0 } компактна в U e , а ее предельные точки являются e-ограниченными допустимыми управлениями в 0-задаче.
Доказательство. Из равенства
Lk′ , u ( xk (uk0 ), uk0 , λ0k ) = 0
для {wk j } существует {wk j }, сходящаяся в U a* ,
m
которая, очевидно, будет фундаментальной в
U a* . Тогда для всякого числа ε > 0 существует
номер N, что при всех {k j m1 , k j m 2 } ≥ N получаем
|wk j − wk j | < εa. Следовательно, |u k0 j
m1
m2
m1
− u k0 j | ≤
m2
≤ B |wk j − wk j | < εBa < εηe для некоторого чисm1
m2
ла η ≥ 0 . Но это доказывает фундаментальность
{uk0j } в U e и, тем самым, ее сходимость. Таким
m
образом, {uk0 } компактна в U e . Пусть v ∈ U e –
любая предельная точка для {uk0 } . Тогда существует {uk0m } с lim uk0j = v в U e . На основе усло-
при k ≥ 1 получаем
qk′ ,u (uk0 , λ0k ) + pk′ ,u ( xk (uk0 ), uk0 , λ0k ) = 0
kj
вия 4) получаем
или
lim xkm (uk0m ) = x0 (v)
km
в
X.
(1)
Из сходимостей {uk0m } и {xkm (uk0m )} следует
По предположению {u k0 } ⊂ S . Нетрудно по-
|| xkm (u k0m )|| + ||u k0m ||e ≤ const . Используя при k ≥ 1,
qk′ ,u (u k0 , λ0k ) = − p′k ,u ( xk (u k0 ), u k0 , λ0k ).
104
А.Л. Калашников
j = 1, n непрерывность функционалов a j ,k (u ) ,
b j ,k ( x, u ) и условие 5), нетрудно установить
сходимости
b j ,km ( xkm (uk0m ), uk0m ) → b j ,0 ( x0 (v), v)
и
a j , km (uk0m ) → a j ,0 (v) .
g j ,k ( x, u ) = a j ,k (u ) + b j ,k ( x, u ) , то
Поскольку
g j ,km ( xkm (u ), u ) → g j ,0 ( x0 (v), v) . Но так как
0
km
0
km
разом, g 0,0 ( x0 (v), v) = d 0 и тогда управление v –
оптимально в 0-задаче. Отсюда множество
U e0 ≠ ∅ . Теорема 2 доказана.
Приведем случаи минимизируемости 0-задачи k-задачами.
Утверждение. Пусть выполнены условия
теоремы 1, условие 2) теоремы 2 и 1) существует оптимальное u00 в 0-задаче, для которой
d k ≤ g 0, k ( x0 (u00 ), u00 ) при k ≥ 1 . Тогда k-задачи
пределе
минимизируют 0-задачу.
Доказательство. По теореме 1 {uk0 } ком-
g j ,0 ( x0 (v), v) ≤ 0 для j = 1,n . Поэтому предель-
пактна в U e , а ее предельные точки – допусти-
ная точка v является e-ограниченным допустимым управлением в 0-задаче. Теорема 1 доказана.
Назовем k-задачи минимизирующими 0задачу, если lim g 0,k ( xk (uk0 ), uk0 ) = d 0 . Обозначим
мые управления в 0-задаче. Пусть uk0 j → v –
g j , km ( xkm (uk0m ), uk0m ) ≤ 0 ,
то
в
k
через U e0 множество e-ограниченных оптимальных управлений в 0-задаче.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и 1) k-задачи минимизируют 0-задачу;
2) a0,k (u ) ⇒ a0, 0 (u ) и b0,k ( x, u ) ⇒ b0, 0 ( x, u ) равномерно при || x|| + ||u||e ≤ const . Тогда {uk0 } ⊂ U e
и компактна в U e , а все ее предельные точки
будут e-ограниченными оптимальными управлениями в 0-задаче и множество U e0 ≠ ∅ .
Доказательство. По теореме 1 uk0 ∈ U e и
{uk0 } компактна в U e , а все ее предельные точки
– допустимые и e-ограниченные управления в
0-задаче. Пусть v – такая точка. Тогда существует {uk0m } и lim(uk0m ) = v в U e . На основе услоkm
вия 4) теоремы 1 lim xkm (uk0m ) = x0 (v) . Из сходиkm
мостей {xkm (u )} , {u } получаем || xk m (u )|| +
0
km
0
km
0
km
+ ||u || ≤ const. Используя условие 2) теоре0
km e
мы 2 и непрерывность a0, 0 (u ) и b0, 0 ( x, u ) , имеем, как нетрудно установить,
a0,km (uk0m ) → a0, 0 (v) ,
как
g 0,k ( x, u ) = a0,k (u ) + b0,k ( x, u ) ,
то
g 0,km ( xkm (uk0m ), uk0m ) → g 0,0 ( x0 (v), v) . По условию
1) теоремы 2 k-задачи минимизируют 0-задачу.
Поэтому lim g 0,km ( xkm (uk0m ), uk0m ) = d 0 . Но также
km
lim g 0,km ( xkm (uk0m ), uk0m ) = g 0,0 ( x0 (v), v) . Таким обkm
нове условия 4) теоремы 1 lim xk j (uk0j ) = x0 (v) .
kj
0
kj
Из сходимостей {xk j (u )} , {uk0j }
получаем
|| xk j (u )|| + ||u ||e ≤ const. Из условия 2) теоре0
kj
0
kj
мы 2 и непрерывности a0, 0 (u ) и b0, 0 ( x, u ) нетрудно установить
a0,k j (uk0j ) → a0, 0 (v)
и
b0,k j ( xk j (u k0 j ), u k0 j ) → b0, 0 ( x0 (v), v) .
По предположению g 0,k ( x, u ) = a0,k (u ) + b0,k ( x, u ) .
Поэтому lim g 0,k j ( xk j (u k0 j ), u k0 j ) = g 0, 0 ( x0 (v), v). По
kj
условию 2) теоремы 2 и из вида g 0, k ( x, u ) получаем lim g 0,k j ( x0 (u 00 ), u 00 ) = g 0, 0 ( x0 (u 00 ), u 00 ). Тоkj
гда существуют числовые последовательности
α k j , βk j → +0 , для которых
| g 0,k j ( xk j (u k0 j ), u k0 j ) − g 0,0 ( x0 (v), v) |≤ α k j ,
| g 0,k j ( x0 (u00 ), u00 ) − g 0,0 ( x0 , (u00 ), u00 ) |≤ β k j . (2)
Поскольку управление v – допустимое в
0-задаче, то из (2) и условия 1) утверждения,
получаем
g 0,k j ( xk j (u k0 j ), u k0 j ) = d k j ≤ g 0,k j ( x0 (u00 ), u00 ),
а также для досточно больших k j
b0,km ( xkm (uk0m ), uk0m ) → b0, 0 ( x0 (v), v) .
Так
некоторой предельной точке в U e . Тогда на ос-
d 0 ≤ g 0, 0 ( x0 (v), v) ≤ g 0, k j ( xk j (u k0 j ), u k0 j ) + α k j ≤
≤ g 0, k j ( x0 (u 00 ), u 00 ) + α k j ≤ g 0, 0 ( x0 (u 00 ), u 00 ) +
+α k j + β k j ≤ d 0 + α k j + β k j .
(3)
Здесь g 0, 0 ( x0 (u00 ), u00 ) = d 0 .
Так
как
g 0,k j ( xk j (u k0 j ), u k0 j ) = d k j ,
то
из
Усиленная сходимость оптимальных множеств аппроксимирующих задач оптимального управления
неравенств (3) следуют оценки: d 0 ≤ d k j + α k j ≤
получаем
g 0,0 ( x0 (u ), u ),
0
kj
0
kj
105
g 0, 0 ( x0 (v0 ), v0 ) =
≤ d 0 + α k j + β k j . Тогда lim d k = d 0 при α k j ,
= lim g 0,k j ( xk j (u ), u ) = lim g 0,k j ( xk j (vk j ), vk j ) и
β k j → +0. Используя любую сходящуюся {uk0j }
d 0 = g 0 ( x(v0 ), v0 ). Таким образом, {g 0,k ( x(vk ), vk )}
для {uk0 } компактной в U e , нетрудно устано-
компактна и, как нетрудно установить, d 0 – ее
единственный частичный предел. Следовательно, существует lim g 0,k ( x(vk ), vk ) = d 0 . Теорема 3
j
kj
вить компактность {d k } и, что все сходящиеся
{d k m } сходятся к d 0 . Поэтому существует
lim d k = d 0 и k-задачи минимизируют 0-задачу.
kj
kj
k
доказана.
k
Сходимость оптимальных множеств
k-задач
Утверждение доказано.
Замечание 1. Условие 1) утверждения, в частности, будет выполнено, если операции
Fk ( x, u ) = F0 ( x, u ) и g j ,k ( x, u ) ≤ g j , 0 ( x, u ) при x ∈
∈ X , u ∈ U , j = 1, n , k ≥ 1. Тогда для решений
Введем ρe (u, Q) = inf u − v
v∈Q
U e между u ∈U e и Q ⊂ U e .
xk (u ), x0 (u ) уравнений F0 ( x, u ) = 0 и Fk ( x, u ) = 0
имеем xk (u ) = x0 (u ) для всех u ∈U . При u = u00
xk (u ) = x0 (u )
0
0
получаем
0
0
g j , k ( xk (u ), u ) =
0
0
и
0
0
= g j ,k ( x0 (u ), u ) ≤ g j , 0 ( x0 (u ), u ) ≤ 0. Следова0
0
0
0
0
0
0
0
тельно, пара ( x0 (u00 ), u00 ) допустимая в k-задаче
и d k ≤ g 0, k ( x0 (u ), u ) при k ≥ 1 .
0
0
0
0
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и при k ≥ 1 существует v k – допусти-
мое управление в k-задаче с (vk − uk0 ) ∈U e и
|| vk − uk0 ||e ≤ ε k , где ε k → +0 . Тогда {vk } ⊂ U e ,
компактна в U e , а ее предельные точки при0
e
надлежат U и lim g 0, k ( xk (vk ), vk ) = d 0 .
k
Доказательство. По теореме 2 uk0 ∈ U e и
– расстояние в
e
Теорема 4. В условиях теорем 2, 3 U e0 ≠ ∅ и
lim ρ e (vk ,U e0 ) = lim ρe (uk0 ,U e0 ) = 0.
k
k
Доказательство. По теореме 2 U e0 ≠ ∅ . По
теореме 3 v k ∈ U e
и поэтому существует
ak = ρe (vk ,U e0 ) ≥ 0 . Докажем, что {ak } компакт-
на. Из теоремы 3 {vk } компактна в U e , а ее предельные точки принадлежат U e0 . Пусть {ak j } –
любая подпоследовательность для {ak } . По
компактности {vk } существует в U e некоторая
{vk j } для которой vk j → v0 . Используя теореm
m
му 3, получаем v0 ∈ U e0 . Нетрудно проверить
неравенство
{uk0 } компактна в U e . По условию теоремы 3
ak j = ρ (vk j , U e0 ) = inf || vk j − v ||e ≤|| vk j − v0 ||e .
m
m
m
m
0
(vk − u ) ∈U e и lim ||vk − u || = 0. Тогда {vk } ⊂ U e
Но ||vk j − v0 ||e → 0 . Поэтому ak j → 0. Следова-
и, как нетрудно установить, {vk } будет тоже
тельно, {ak } компактна, а любая ее сходящаяся
подпоследовательность имеет нулевой частичный предел. Очевидно, верны неравенства
0 ≤ lim ak ≤ lim ak = 0 .
Тогда
существует
0
k
k
0
k e
компактна в U e . При этом ее предельные точки
совпадают с предельными для {uk0 } и, тем самым,
принадлежат
U e0 .
Покажем,
что
v∈U e
m
k
m
k
lim g 0, k ( xk (vk ), vk ) = d 0 . Пусть v0 – любая пре-
lim ak = 0 и, тем самым, lim ρe (vk ,U e0 ) = 0. По-
дельная точка для {vk } в U e и vk j → v0 в U e .
лагая vk = u k0 , получаем lim ρe (uk0 ,U e0 ) = 0. Тео-
Так как || vk j − uk0 j ||e → 0 , то uk0 j → v0 в U e . На
рема 4 доказана.
Замечание 2. Из теоремы 4 следует, что
0
{uk } и ее аппроксимация {vk } сходятся к U e0
k
основе условия 4) теоремы 1 получаем
xk j (vk j ) → x0 (v0 ) и xk j (uk0 j ) → x0 (v0 ) . Тогда
|| xk j (u k0 j )|| + ||u k0 j ||e ≤ const и || xk j (vk j )|| + ||vk j ||e ≤ const.
Но lim g 0,k j ( xk j (uk0j ), uk0j ) = d 0 и, используя услоkj
вие 2) теоремы 2, непрерывность функционала
k
k
k
в пространстве U e с более сильной нормой, чем
в U.
Приведённая выше теория статьи применима
к задаче оптимального управления. Для этого
рассмотрим 0-задачу:
106
А.Л. Калашников
t1
g 0,0 ( x, u ) = ∫ (a0,0 (u , t ) + b0, 0 ( x, t )) dt → inf,
t0
t
F0 ( x, u ) = x − x0 − ∫ ( S 0 ( x, τ) + C0 (τ)u ) dτ = 0, (4)
t0
t1
g j , 0 ( x , u ) = ∫ ( a j ,0 (u , t ) + b j ,0 ( x , t )) dt ≤ 0,
j = 1, N .
t0
Пусть имеется последовательность k-задач:
t1
g 0,k ( x, u ) = ∫ (a0,k (u , t ) + b0,k ( x, t )) dt → inf,
t0
t
Fk ( x, u ) = x − x0 − ∫ ( S k ( x, τ) + Ck (τ)u ) dτ = 0, (5)
пуклые и класса C 1 на Ln2 [t0 , t1 ] . В работе [4]
приводятся условия выполнения требований
теорем 2, 3 для k-задач и применения их к задачам (4), (5). Здесь КВ-линеал U e = Ln∞ [t 0 , t1 ] и
единица e = e(t ) = (1,1, K , 1)T . Сходимость в U e
будет почти всюду равномерная и из неё следует среднеквадратичная сходимость в Ln2 [t0 , t1 ] .
Замечание 3. Нетрудно показать, что задачи
(4), (5) получаются известным образом из задачи оптимального управления динамической
системы и переходом от дифференциального
уравнения к интегральному.
Список литературы
t0
t1
g j ,k ( x , u ) = ∫ ( a j ,k (u , t ) + b j ,k ( x , t )) dt ≤ 0,
j = 1, N .
t0
m
Здесь состояние x ∈ C([t0, t1], R ), а управление
u ∈ Ln2 [t0 , t1 ] . Для
S k ( x, t ) = ( si ,k ( x, t )) ,
k = 0,1, 2,.... вектор-функции
Ck (t ) = (cik, p (t ))
матрицы
размера m×n. При этом функции si ,k , b j ,k , a j ,k
класса C1 для всех x ∈ R m , u ∈ R n и t ∈ [t0 , t1 ] , а
cik, p (t ) непрерывны на [t0 , t1 ] . Пусть при j = 0, N
и k = 0,1, 2, .... функционалы
∫
t1
t0
a j ,k (u , t ) dt вы-
1. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.
2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.:
Наука, 1988. 280 с.
4. Калашников А.Л. Достаточные условия усиленной сходимости оптимального множества для
приближенных задач оптимального управления с
операторными и функциональными ограничениями //
Вестник ННГУ. Математическое моделирование и
оптимальное управление. Вып.1(18). Н. Новгород:
Изд-во ННГУ, 1998. С. 134–139.
STRONG CONVERGENCE OF THE OPTIMAL SETS
OF APPROXIMATING OPTIMAL CONTROL PROBLEMS
A.L. Kalashnikov
An optimal control problem in the KB-lineal is considered. There is an approximating sequence of the optimization
problems for the initial problem. Convergence conditions are given in the strong sense (relative to the norm) for the minimizing control sequence obtained on the basis of the approximating problems.
Keywords: optimal control, approximation, KB-lineal, convergence, minimizing sequence.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
440 Кб
Теги
сходимость, оптимальное, множества, управления, усиленная, задачи, аппроксимирующего
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа