close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условия существования инвариантных решений уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на развертывающихся поверхностях.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о.м,
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
мз
1972
1/1
532.526-3
УСЛОВИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЯ
РЕШЕНИй
ИНВАРИАНТНЫХ
УРАВНЕНИй
ТРЕХМЕРНОГО
ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НА РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЯХ
В. С. Каплан
Найдены все распределения
сти, при
которых уравнения
давления на обтекаемой поверхно­
трехмерного
ламинарного
пограничного
слоя в несжимаемой ЖИДКQСТИ допускают уменьшение числа незави­
симых переменных. Для каждого из 9ТИХ распределений установлена
основная группа преобразований, что позволяет найти инвариантные
решения ранга 2 уравнений пограничного слоя.
Рассмотрим уравнения трехмерного ламинарного пограничного
слоя на плоскости. Без ограничения общности их можно записать
в безразмерном виде:
aw
aw
aw
aw
др
2
u-+v-+w--=---+-дх
ду
az
az ду2'
ди
дх
(1 )
+ av +aw =0
ду.·
az .
z-
Здесь х,
система ортогональных координат на обтекаемой
поверхности (плоскости), у измеряется вдоль нормали к поверх­
ности,
u,v, w -
скорости, р
- безразмер­
ное давление. Так как при изгибании поверхности
не меняется, то уравнения (1) будут справедливы и
безразмерные
ее метрика
для поверх­
ности, получаемой изгибанием
проекции
плоскости, т. е. для любой развер­
Тывающейся поверхности. Иначе говоря, на любой развертываю­
щейся поверхности можно выбрать систему координат так, что
уравнения пограничного слоя на этой поверхности примут вид
36·
(1).
Как известно, при некоторых распределениях давления р (х,
уравнения пограничного
ных,
в
результате
z)
слоя допускают преобразование перемен­
которого
число независимых переменных умеllЬ­
шается до двух или даже одного. Примером могут служить так
называемые линейно-подобные и поверхностно-подобные решения
2] (а в теории двумерного пограничного слоя - автомодельные
решения). Сокращение числа независимых переменных, естествеюIO,
значительно упрощает задачу интегрирования системы (1). Суще­
<:твует метод [3, 4], позволяющий для заданной системы уравнений
11,
найти структуру всех решений, отыскание которых сводится к ин­
тегрированию системы уравнений с меньшим числом аргументов,
чем у заданной. Такие решения называются инвариантно-группо­
выми или инвариантными. Ниже будет идти речь об инвариантных
реше!шях ранга 2, т. е. решениях, структура которых такова, что
<:истема (1) сводится к системе с двумя независимыми перемен­
ными. Цель данной работы состоит в том, чтобы найти условия
существования инвариантных решений ранга 2 с.цстемы (1). Под
условиями
существования
ния, при которых система
подразумеваются распределенйя давле­
(1)
может иметь такие решения.
Найдем общее решение определяющих уравнений алгебры Ли,
которая соответствует основной группе, допускаемой системой (1).
При этом будем считать, как принято в теории пограничного слоя,
что давление р (х, z) - заданная функция. Пользуясь методикой [3],
получим, что коэффициенты инфинитезимальных операторов
имеют следующий вид:
~x=Bx
+ Cz + D,
~y = -Ay+~(x,
~z=Ex
Здесь А, В, . .. , о
руемая функция.
подгруппа
с
z),
+ Fz+G,
-
=
(3)
'
1
константы, ер (х, z)-произвольная дифФеренци­
Этой функции соответствует бесконечно-мерная
оператором
д
Хс:о=ср(х, z) ду
Сходные
+ В) и + Cw,
дер
дер
ev = А", + и дх + W i)z
Ew Еu + (2А + Р) w.
~u;= (2А
результаты
для
+
(дер
и дх
уравнений
слоя получил Ю. Н. Павловский
д~ \ д
+w dz)
д",
(4)
.
двумерного
по граничного
[5].
Однако решенце (3) нельзя считать общим решением опреде­
ляющих уравнений, так как .семь констант А, В, ... , О, вообще
говоря,
зависимы.
В
результате
уравнений установлено,
(Вх
интегрирования
определяющих
что должны выполняться равенства
2
2
д2
д2 р
Р
др
др
+ Cz + D) ддхР2 + (Ех + Fz + О) дхд dz=
(4А +В) дх + С dz '
др
др
(BX+CZ+D)dx:z+CEX+Fz+G) dz2 =E dx +(4A+F)dz'
37
Так как р (х, z) считается заданной функцией, то константы
А, В, ... , о нужно выбирать так, чтобш удовлетворялись уравне­
ния (5). Имеются два очевидных предельных случая: а) если
р = const, ~o уравнения (5) удовлетворяются при любых значениях
констант; б) если р (х, z) - произвольная функция, то уравнения (5)
удовлетворяются только
ЦИЙ
условия
(5)
при А
=
выполняются
В
при
= ... = G =
О. ДЛЯ ряда функ­
определенных
ограничениях,
налагаемых на константы. Ограничения Состоят либо в фиксации
значений некоторых
констант, либо в наличйи определенных
соотношений между ними, либо в том и другом. Например, если
р=х 2 , то нужно положить A=C=D=E=O, а если p=x+z,
то В
+С= Е+F =
стант,
4А. Вследствие этих ограничений ЧИСЛО кон­
-
которые остаются
независимыми,
становится
меньше
семи.
Следовательно, общее решение определяющих уравнений алгебры
Ли, соответствующей
основной
группе,
зависит от одной произ­
вольной функции и k произвольных постоянных, причем 0-<'k-<,7.
Разумеется, если для данной функции р (х, z) уравнения (5) удовлетворяются при некоторых ограничениях в выборе констант
А, В, ... , О, ТО ОНИ будут удовлетворяться и при более жестких
ограничениях [например, если р = const, то равенства (5) имеют
место и при условиях А == С = D = Е = О, необходимых для р=х2 ],
В дальнейшем, говоря об ограничениях, налагаемых на константы
видом функции р (х, z), будем иметь в виду наиболее общие пред­
положения, при которых выполняются условия (5).
Если
задано
конкретное
распределение давления
р (х,
z),
то
путем подстановки его в уравнения (5) можно получить условия,
при которых они удовлетворяются. По этим условиям находятся
независимые константы, и тогда формулы (3) дают общее решение
определяющих уравнений алгебры Ли, соответствующей ОСНОВНОЙ
группе [для каждой функции р (х, z) будет своя основная группа].
Следовательно, уравнения (5) сразу дают ответ на вопрос о том,
имеет ли система (1) при данном распределении давления решения,
зависящие от одного
решения
могут
ИЛИ
двух,
существовать
в
независимых
том
и
только
переменных.
в
том
Такие
случае,
когда
заданная функция р (х, z) удовлетворяет уравнениям (5), оставляя
произвольной хотя бы одну из констант А, В, .. . ,О. Таким обра­
зом,
если
распределение
давления
задано,
то
основная группа, а значит и инвариантные
находятся из равенств (3) и (5).
соответствующая
решения
системы
"(1)
Однако наша задача состоит в том, чтобы найти все распре­
деления давления, при которых система (1) может иметь инвариант­
ные решения. Поэтому будем далее считать функцию р (х, z)
неизвестной, а равенства (5) рассматривать как уравнения, опре­
деляющие р (х, z). Так как уменьшение числа независимых пере­
менных в системе (1) возможно только при тех распределениях
давления, которые удовлетворяют уравнениям (5), то задача сво­
дится к интегрированию системы уравнений (5) при любых значе­
ниях А, В,
констант,
...
при
,О
и
к
которых
установлению
имеет место
Для интегрирования системы
тех
то
(5)
или
,
др
38
иное
введем
переменные:
Л= дх '
ограничений
др
1-'-= дz '
в
выборе
решение.
новые
независимые
после чего система
(Вх
(5)
заменится эквивалентной
.
дл
дл
+ Cz + D) дх +(Ех + Fz +0) az =(4А + В)л + С!-'-,
(Вх + Cz + D) ~: + (Ех + Fz + О) : : = Ел + (4А + Р) 11,
д/,
д!-,-
az
Ври
любых
путем
значениях
перехода
Х1
=
к
А,
новым
Х 1 (х, Z, А, В,
=
дх
В,
... ,
.
о
первые
независимым
.. . , О);
уравнения
(6)
переменным
=
Zl
два
I
(6)
Z1 (х, Z, А, В,
... , О)
могут быть приведены к виду
дд
л
Х1
=
(4А + В)л + С!-,-, дд!-'- = Ел + (4А + Р)!-'-.
(7)
Х1
Интегрирование
системы
(7)
по
существу
не
отличается
от
интегрирования системы двух обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка; различие лишь в том, что вместо
постоянных в решение входят функции переменного Zl' Решения
системы (7) подставляются в третье уравнение
ного дифференциала. Удовлетворяющие этому
условие пол­
условию функции
л и !-'- будут частными производными р, ПО которым и находится
р (х, z). Одновременно с функцией р (х, z) в процессе решения
получаются те ограничения в константах А, В, ... , О, при которых
эта функция удовлетворяет системе (5).
Как видно из приводимой ниже сводки полученных решений,
все допускаемые системой (5) распределения давления могут быть
представлены либо суммой, либо произведением двух функций
разных
аргументов,
р=
Здесь
t1
и
t2 -
т.
(6) -
е.
f (tl) + g (t 2 )
координаты
или
точки
Р
= f(t 1) g (t 2 ).
на
обтекаемой
(8)
поверхности
в одной из четырех систем координат: декартовой, прямолинейной
косоугольной, полярной и равноугольной спиральной [6] (подразу­
мевается тот вид координатной
сети,
который
она примет, если
обтекаемую поверхность развернуть на плоскость). Конечно, если
выбрать систему координат. от личную от четырех перечисленных,
то решение системы (5) не будет иметь в ней вида (8). Будем назы­
вать данное решение системы (5) решением в той системе коорди­
нат, в которой оно имеет вид (8). [Если решение записывается
в форме (8) в различных системах, то будем относить его к той
системе, в которой оно выражается проще]. Таким образом, любое
распределение
независимых
ний
давления,
при
переменных
котором возможно уменьшение числа
в системе
(1),
будет
решением уравне­
в одной из четырех указанных систем координат.
Далее при водится сводка условий существования инвариант­
(5)
ных решений. Для каждого распределения давления указаны ин фи­
нитезимальные операторы, которые порождают алгебру Ли, соот­
ветствующую основной группе: В приводимых формулах Ф (t) озна­
чает произвольную дважды дифференцируемую функцию. Ограни­
чения,
накладываемые
чтобы решения
на
с меньшим
величины
числом
т
и
n,
введены
произвольных
для того,
параметров не
39
сводились К решениям с большим числом параметров. По той же
причине считается, что постоянныle коэффициенты РI и Р2 не обра­
щаются в нуль. Оператор
вых координатах.
Число
произвольных
=
ХОО
определен формулой
(4)
в де'карто-
'
постоянных
равно
7
тог да
и
только
тогда, когда р
const. Следовательно, основнЬ{е группы для всех
остальных решений системы (5) суть подгруппы основной группы
для р = const. Поэтому
инфинитезимальные
операторы,
кото­
рые порождают соответствующую оснОвной группе алгебру Ли,
в случае Р = const обозначим через Ys • а во всех остальных слу­
чаях - через X s '
Имеем
д
д
дх
ди
Уl=х-+ид
Y2 =z дz
У
з
д,
д
У 5=Х-гид-'
,Z
w
д
'
д
+W дw
У
'
д
-6-дх
~
д
. д
. д
. д
'V_~
=-y-+2u.-+V-+2wдуди
dv
дw ' ,L 7 -'-'дz '
д
У4 = Z дх
д
ди '
+w
1. Распределения давления в декартовой системе координат.
Для краткости представим инфинитезимальные операторы, соот­
ветствующие ,решени~м
в декартовой
Р =РО
Х) =
2 (У)
Р = РО'-1
2" Рl (х ~ хо)2tn -
(n -
координат, в Биде
-PI X -P2 Z .
+У 2 )--} УЗ,
Х З =Р 1 У 2 -Р2 У 5'
Х1 =
системе
Ys :
линейных комбинаций
Х2 =Р2 У) - Рl У 4 ,
Х 4 =У 6 ,
Х 5 =У7 ,
1
'2
Р2·(z -
I){У 1 - хО У 6 ) + (т -
1)(1"2 -
zo)2n
ZO
У 7) +
Х 6 =ХОО •
(
' ::f О, 21' )
,m,'n
1, .
+
(т -
1){n -1) Уз.
Х 2 =Хоо •
Р = РО Х) = У)
i-P)
(х -ХО)2т-Р2Z (m 4 О и
,
,1'
- Х О У 6 -2 (т -1) У2, +2"(m..,.. 1) Уз;
Х2 = У 7 ,
Р = Ро -
-} ) .
-4- Рl (х -
хо)2т -
Хз
-:- Х оо •
p 2 1n (z - zo)
(щ ::f о и ~
) "
х1= У1-'-.хо У 6+ (т -:- 1) ({- УЗ - У2 + Zo У7)' Х2= Х00 40
i- р. (х
р = Ро -
хо)2m -
-
*
-} Р2 e 2nz
(т О и
m-l
1
X 1 =Yl·- Х О V 6+2:(m--l)V з + -n- У),
Р =РО-
1
2 Р! e
1
2mx -P2Z
1
Хl=mУ6+2:VЗ'
Р
1
1
+ 2: Уз- У 2 + Z
O
р=ф (х)
-
1
2 Р!
X 1 = V2 - Z 0 У 7 ,
Х 2 =Хоо •
Хз=Хоо •
1
=PO-2Pte2mx - р 2 1п (z - zo)
Х1=mУ6
n*о) .
О).
(m*
Х 2 =У 7 •
-}-,
(т
*0).
Х2 =ХОО •
V7 •
(z- ZO)2.
Х2 =Х оо •
2. Распределения давления в прямолинейной косоугольной
системе координат. декартовы координаты х. Z точки на обтекае­
мой поверхности связаны с косоугольными координатами Х р Zl
той же точки соотношениями
х
=
Х 1 sin 11 +Zl sin 12.
Z=X 1 cos
11
+ Zl cos 12'
причем sin1j::O, где 1=II-12-УГОЛ между осями косоугольной
системы. Параллельные обтекаемой поверхности проекции ско­
рости
ными
в декартовой
системе
чатся
и
соотношениями.
координат.
распределения
косоугольной
Операторы
Разумеется,
давления
если
в
системах
связаны
в косоугольной
положить 1 = 900, то полу­
декартовой
системе
дополняющие распределения, приведенные в разд.
P=Po--}Рt(Хt~Хо)2m (m*О и
а
Xt=(xt-xo)-a- Х1
д
+ mи 1 -д-+
1
и
аналогич­
представлены
координат.
1:
-}-)-
m-I
д
д
2
Y-a-+Zt-a-+
~
~
m-l
д
д
2
va,
v +mw 1 - aW 1
41
1
2" Рl (Хl -
Р = Ро-
.
Х 1 = (Х 1 -
д
ХО) -дХ1
хо)2 д
Р = РО
д
Х 2 = (Х !
1
-
=
д
д
2 у ду
+(U1+W j
+ (и !
COS1)
+ и1
W 1)
д~l },
+ y'V 'a'V +w
aW 1 •
COS 1
+
д
ди 1
(m.::j:O).
1
д
д
.
д
д
1
cos1 + Zj)-a- +(и ! cos1 +Wj)-д-'
Zl"
w1
Ф(х.)
-д
Хl=-д-'
Zl
д~1}+
Х СО '
1
- 2"Рlе2mХl
р=
42
д~l
ZO]
Хз
дх !
д
,
+ Pl {[(Х 1 - ХО) cos 1 + Z1 -
=m1
ZO)2.
+ (Zl- Zo) -д+ U1 -д+ W 1 -д,
Z1
Ul
W1
X2=P2{rXI-ХО+(Z1-Z0)СОS1] д~l
Х!
1
"2 Р2 (Zl -
-- Рl Zl.
X~=XCO'
Р = Ро- Ф (Xt) e2nz ,
(n
д
1
д
1
1
д
*
О).
д
д
Х1 =n aZ 1 -ТУ ду +и! ди} +T v av + W1 aW 1
'
Х 2 =ХОО •
Распределения давления в полярной системе координат.
Полярные координаты г, 6 точки на обтекаемой поверхности свя­
3.
заны с декартовыми координатами х,
V х 2 +z2,
r=
z
той же точки соотношениями
6 = arctg ~ ,
z
а параллельные обтекаемой поверхности проекции скорости
ношениями
-
соот­
u=Ve cos 6 + vrsin 6, W =VrCOS 6 - Ve s1n 6.
Распределения давления имеют следующий вид:
1
1
Р =Po-2Рtг2=Ро- 2 Р1 (х2
Р =РО
д
Х 1 =г дг
Р
= Ро - 21
Х] =г-~ +
дг
1(У
+"2
t
-
+ Z2).
Рl 6 -Р2 1 пг.
д
д)
ду - v av '
Рl г2mе2nв
д
Х 2 = д6'
[(т
-1)2 + n 2
хз=хоо •
*
О].
-т (y~ _ v~-\)+m (v _д_ +V&_a_)
av
ду
2
aVr
r
х 2 =_1 ~ _ _
1 (y~ .-V~) +V _a_+V&~a_
.
n
д6
ду
2
av
r
дv г
.
aVe '
aVe'
.Уз =ХОО _
р=Ф(6)-р 1 Iпг.
X]=г~+_1
(y~-v~)
Х 2 =Хсо •
дг
2 , ду
av'
Р = Ф (г)
д
Х1 = дО'
-
Рl
Х2
=
Р=РО - г 2m Ф (6)
д
Х 1 =г-+
дг
l-m (д
д )
2
У . ду - v av
6.
Хсо.
(т *0).
+ m (д
v r av r + Ve
Х 2 =Х оо •
Р
=
Ро - Ф (г) е 2nв
(n
д )•
av&
*
О).
X 1 =_t дд _ _
1 (y~ - V~) +V _a_+ V&~
Х2 =Хоо •
n 6
2
ду
av
r avr
av& '
43
4. Распределения давления в спиральной равноугольной
системе координат. Полярные координаты г, 6 точки на обтекае­
мой
в
поверхности
связаны
спиральной системе
-
а6
а2
ql =
с
qj, q2
координатами
той
же
точки
координат соотношениями
Ь lп
+ Ь2
r
.
q2 =
а lп
r + Ь6
а2
+ Ь2
где а, Ь - константы, причем считается, что ни одна из них ".е
обращается в нуль. Обозначим проекцию скорости на координат­
ную линию ql (т. е. линию q? = const) через V 1, а проекцию на
координатную линию q2 - через V z. Эти проекции связаны с проек­
циями
u
и
w
соотношениями
V1
= и cos сх. -
W
sin сх.,
'V 2 =
и
sill сх.
ах+
bz
+ w cos
r:J.,
где
сх. = arctg az _ Ьх .
В спиральной равноугольной системе координат имеем только
два
распределения
давления:
р= Ф(ql)
-
р 1 1 п q2.
Х1 =_д_
+~(Y
~- V~)
Х 2 =Х ОО '
aq2
2
ду
av'
р
а-n
2
= 110 -
(У :у
Ф
(ql) e2nq ••
- v :v ) + n (V
1
д~l + v д~2
2
),
Х 2 =Хоо •
Если функция Р (х, z) не выражается ни одной из приведенных
формул и не может быть представлена в указанном виде, то
основная группа исчерпывается преобразованиями, соответствую­
щими оператору Х оо • Иначе говоря, если р (х, z)- произвольная
функция, то единственным преобразованием, не меняющим вида
.системы (1), будет
atf
дф
Y=Y+tf(x, z};
v=v+u дх
+W
д~'
ЛИТЕРАТУРА
1. W u е s t W. Verallgemeinerte ahl1liche Lбsuпgеп Ье! dreidimen siona1en Grenzsch!chten. мш. Max-P1anck-Inst., Nr 24, 1959.
2. I< а n л а н В. С. Условия существования линейно-подобных
решений уравнений пространственного пограничного слоя. Труды
ЦАГИ, вып. 1063, 1967. 3. О в с я н н и к о в Л. В. Группы и инвариаитно-групповые
решения дифференциальных уравнений. ДАН СССР, т. 118, .1'ё 3, 1958.
4. О в с я н н и к о в Л. В. Групповые свойства уравнения нели­
ней ной теплопроводности. ДАН СССР, т. 125, М2 3, 1959.
5.
П а в л о в с к и й
Ю. Н. Исследование некоторых
инвариант­
ных решений уравнений пограничного слоя .• Жури. вычислит. мат.
и матем. физики·, т. 1, .1'ё 2, 1961.
6. I<irstein Р. Т., I<ino О. S. Solut!on of space-charge flow
Ьу the method of separalion of variables. J. of Арр1. Phis., vol.29, No 12,
1958.
Рукопись поступила
17/[/ 1971
г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа