close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Фазовый портрет маятника под действием периодическогомомента.

код для вставкиСкачать
306
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского университета Н.В.
им. Н.И.
Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 306–310
Киселева
УДК 517.92
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ МАЯТНИКА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО МОМЕНТА
 2014 г.
Н.В. Киселева
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
kis-tudm.@yandex.ru
Поступила в редакцию 11.05.2014
Качественно-численными методами изучена эволюция фазового портрета математической модели
маятника под действием периодического момента, описываемой трехпараметрическим нелинейным
неавтономным дифференциальным уравнением. Исследованы области притяжения установившихся
2π- и 4π-периодических режимов.
Ключевые слова: периодические движения, устойчивость, область притяжения, метод точечных
отображений, неподвижная точка.
Исследуется нелинейное неавтономное дифференциальное уравнение
x  hx  a sin x   sin t ,
(1)
моделирующее движения маятника с внешним
гармоническим воздействием. Здесь x – угол
отклонения маятника от вертикали, параметры
h  0 , a  0 и   0 характеризуют соответственно коэффициент диссипации, момент силы
тяжести и амплитуду внешнего периодического
момента.
Периодическим движениям маятника отвечают решения (синхронизмы) p ,q : x  x(t ) уравнения (1), удовлетворяющие условию x(t 
2p)  x(t )  2q ( p  1,2,, q  0,1,  2,) .
При q  0 решение p,q отвечает 2πpпериодическому колебанию маятника, при
q  0 – периодическому вращению: за период
2πp происходит q оборотов маятника в положительном (q  0) или отрицательном (q  0)
направлении.
В работе [1] в пространстве параметров выделены области существования и устойчивости
2π- и 4π-периодических режимов движения маятника. Каждый режим имеет свою область
притяжения. Установление одного из них зависит от начальных условий.
В настоящей работе с помощью программного комплекса NaDyS [2] проведено качественно-численное построение фазовых портретов точечного отображения T поверхности
H {x(mod2) x} кругового цилиндра в себя,
порождаемого фазовыми траекториями уравнения (1). Согласно методу точечных отображений [3] каждому 2π-периодическому решению
1,q соответствует неподвижная точка отобра-
жения T, каждому 4π-периодическому решению
2 ,q отвечает двучленный цикл двукратных неподвижных точек.
Проведенное исследование позволило оценить области притяжения устойчивых 2- и 4периодических колебаний и вращений маятника, представляющих наибольший интерес для
приложений.
h  0.125 ,
Для
значений
параметров
0  a  1.5 , 0    3.5 области установившихся
2- и 4-периодических движений маятника
представлены на рис. 1. В областях D1, 0 ( H) ,
D1, 0 ( B ) и D1, 0 ( ) устанавливаются 2-периоди-
ческие колебания 1,0 маятника около нижнего
положения равновесия (им соответствуют неподвижные точки A1, 0( H) и B1,0 ( H) точечного
отображения Т), верхнего положения равновесия (неподвижные точки A1, 0 ( B) и B1, 0 ( B) ) и вокруг прямой, образующей с вертикалью некоторый угол φ (неподвижные точки A11, 0( ) , A12, 0( ) ,
B11, 0 ( ) и B12, 0( ) ). Область D1,1 отвечает 2периодическим вращениям 1,1 маятника (неподвижные точки A и B  ). Область D 2, 2 соответствует 4-периодическим вращениям 2, 2
маятника (двукратный цикл A1 , A2  отображе-
ния Т). В областях D11,,01( H ) , D11,,01( B ) и D11,,01( ) одновременно существуют 2-периодические вращения маятника 1,1 и 2-периодические колебания 1, 0
одного из трех видов. Области
307
Фазовый портрет маятника под действием периодического момента
Рис. 1. Области установившихся 2- и 4-периодических движений маятника
A1, 0( H) (6.021;1.901) ,
седловая
точка
D12,0, 2( H ) , D12, 0, 2( B ) и D12, 0, 2( ) отвечают одновременно-
точка
му существованию 4-периодических вращений
2, 2 и 2-периодических колебаний 1,0 . В об-
B1,0 ( H) (2.966;1.552) и её сепаратрисные инва-
ластях D не обнаружены устойчивые неподвижные точки отображения T, соответствующие движениям 1, 0 , 1,1 , 2, 2 маятника.
Для всех областей, представленных на рис. 1,
построены фазовые портреты. При значениях параметров a  0.15 ,   1.75 из области D1, 0 ( H) на
рис. 2 изображены устойчивая неподвижная
риантные кривые (зелёный цвет). Видно, что
областью притяжения устойчивой точки A1, 0( H)
является вся поверхность фазового цилиндра.
На рис. 3 при a  0.3 ,   1.75 (область D11,,01( H ) )
показаны те же устойчивая точка A1, 0 ( H) (5.971;
2.077) и седловая B1,0 ( H ) (2.999;1.397) вместе
со своими сепаратрисами, а также устойчивая
308
Н.В. Киселева
1,1
Рис. 2. Фазовый портрет в области D1, 0 ( H)
Рис. 3. Фазовый портрет в области D1, 0 ( H )
2, 2
Рис. 5. Фазовый портрет в области D1, 0 (  )
Рис. 4. Фазовый портрет в области D1, 0 ( H )
точка
A (5.331;0.718)
и
седловая
точка

B (3.817;0.659) (её сепаратрисы построены
синим цветом). Из сравнения с предыдущим
рисунком видно, что области притяжения
устойчивых точек A1, 0( H) и A стали слоистыми
и извилистыми. На рис. 4 при a  0.4 ,   1.75
из области D12, 0, 2( H ) изображены устойчивая неподвижная точка A1, 0( H) (5.937;2.189) , седловые
точки
B1, 0( H) (3.018;1.304) ,
B  (3.588;0.641) ,
A (5.559;0.734) (её сепаратрисы построены
оранжевым цветом) и устойчивый двукратный
цикл A1 , A2   (4.931;0.569); (5.996;0.899) .
Область притяжения устойчивой точки A1, 0( H)
ввиду существования гомоклинических структур стала изрезанной и сложной.
При значениях параметров a  0.15 ,   2.5
из области D1, 0 ( ) построены (рис. 5) устойчивые точки
A11, 0( ) (1.945;2.378) ,
A12, 0 ( ) (3.769;
2.344) , седловые точки B11,0 ( ) (5.936;2.618) ,
B12, 0( ) (2.874;2.289) и их сепаратрисные инвариантные кривые (красный и зелёный цвета соот-
ветственно). Слои областей притяжения точек
A11, 0( ) и A12, 0( ) на фазовом цилиндре чередуются. На рис. 6 при a  0.3 ,   2.5 из области
D11,,01( )
изображены
устойчивые
точки
A11, 0( ) (1.665;
2.398) ,

A (4.967;1.540)
1
1, 0 (  )
B
(5.900;
A12, 0 ( ) (4.049;
2.317) ,
седловые
точки
и
2.760) , B
2
1, 0 (  )
(2.914;
2.107) ,
B  (3.840;1.310) вместе со своими сепаратрисами. Области притяжения устойчивых точек
становятся более узкими. На рис. 7 при
a  0.45 ,   2.5 (область D12, 0, 2( ) ) построены
устойчивые
2.288) ,
2
1, 0 (  )
(4.106;
1
1, 0 (  )
(5.866;2.887) ,
A
B

A11, 0( ) (1.608;
точки
седловые
2
1, 0 (  )
B
(2.951;
2.413) ,
точки
1.924) ,

B (3.489;1.200) , A (5.282;1.710) и их сепа
ратрисы (сепаратрисы точки A изображены
оранжевым цветом), а также устойчивый цикл
A1 , A2   (5.185;1.628); (5.380;1.790) . Слоистый характер областей притяжения устойчивых точек сохраняется, сами области становятся
более извилистыми.
309
Фазовый портрет маятника под действием периодического момента
1,1
Рис. 6. Фазовый портрет в области D1, 0 (  )
Рис. 8. Фазовый портрет в области D
Фазовые
портреты из областей
1,1
Рис. 9. Фазовый портрет в области D
D1, 0 ( B ) ,
D11,,01( B ) , D12, 0, 2( B ) имеют вид, аналогичный фазовым
портретам в областях D1, 0 ( H) , D11,,01( H ) , D12,0, 2( H ) соответственно.
При значениях параметров a  0.85 ,   2.0
изображён фазовый портрет в области D1,1 (рис.
A11, 0( ) (0.719;2.638)
и
8). Здесь точки
A12, 0( ) (4.762;2.363) являются седловыми, их
сепаратрисы изображены черным цветом. Также существуют седловые точки B11,0 ( ) (5.790;
2.815) , B12,0 ( ) (3.058;1.145) и B  (3.274;
0.722) . Область притяжения устойчивой точки
A (5.705;1.402) ввиду существования гомоклинических структур является сложной. На рис. 9 в
области D 2, 2 при a  0.6 ,   2.5 изображены те
же седловые неподвижные точки A11, 0( ) (1.602;
2.425) ,
A12, 0( ) (4.113;2.258) ,
3.002) ,
B12, 0( ) (2.984;1.750)
B11,0 ( ) (5.835;
и
2, 2
Рис. 7. Фазовый портрет в области D1, 0 (  )
B  (3.355;
1.121) . Точка A (5.364;1.865) также является
седловой (её сепаратрисы изображены оранжевым цветом), но имеется устойчивый двукрат-
2, 2
ный цикл A1 , A2   {(4.687;1.129); (0.294;
2.370)} . Фазовый портрет на рис. 10 ( a  0.75 ,
  2.5 ) соответствует области D . Здесь изображены седловые неподвижные точки A11, 0( ) (1.615;
2.430) ,
2.015) ,
A12, 0 ( ) (4.100;
2.225) ,
B11,0 ( ) (5.807; 3.107) ,
A  (5.368;
B12,0 ( ) (3.011;
1.593) и B  (3.285;1.055) и их сепаратрисные
инвариантные кривые. Устойчивых неподвижных точек и двукратных циклов отображения Т,
отвечающих 2π- и 4π-периодическим колебаниям или вращениям маятника, не обнаружено.
Фазовая точка блуждает по поверхности фазового цилиндра.
Таким образом, в ходе проведенного исследования установлено, что вблизи границы области существования устойчивые неподвижные
точки, соответствующие 2π-периодическим колебаниям и вращениям маятника, имеют слоистый характер областей притяжения. По мере
удаления от границы возникают касания, а затем пересечения ограничивающих их сепаратрисных инвариантных кривых седловых неподвижных точек и образование гомоклинических
структур. Области притяжения устойчивых неподвижных точек усложняются и становятся
310
Н.В. Киселева
ближается к ней, то удаляется и лишь попав в
достаточно малую её окрестность стремится к
ней. Бифуркация удвоения периода неподвижных точек ещё более увеличивает тонкость областей притяжения устойчивых двукратных
циклов.
Список литературы
Рис. 10. Фазовый портрет в области D
очень тонкими. При этом приближение фазовых
точек к устойчивой неподвижной точке носит
немонотонный характер: фазовая точка то при-
1. Киселева Н.В., Шишкин А.А. О движениях
маятника под действием периодического момента
//Вестник ННГУ. 2011. № 31(2). С. 83–86.
2. Исследование
неавтономных
динамических
систем второго порядка: методическое описание
учебно-лабораторного комплекса / Сост. Н.А. Ежевская,
Н.В. Киселева, А.С. Загранцев, Е.А. Павлов. Н.
Новгород: ННГУ, 2008. 33 с.
3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в
теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.
471 с.
PENDULUM PHASE PORTRAIT UNDER THE ACTION OF A PERIODIC MOMENT
N.V. Kiseleva
Qualitative numerical methods are used to study the evolution of a phase portrait of a pendulum mathematical model under the action of a periodic moment described by a nonlinear nonautonomous three-parameter differential equation. Attraction domains of 2π- and 4π-steady-state periodic modes are investigated.
Keywords: periodic motions, stability, attraction domain, method of point mapping, fixed point.
References
1. Kiseleva N.V., Shishkin A.A. O dvizheniyah
mayatnika pod dejstviem periodicheskogo momenta
//Vestnik NNGU. 2011. № 31(2). S. 83–86.
2. Issledovanie neavtonomnyh dinamicheskih sis-
tem vtorogo poryadka: metodicheskoe opisanie
uchebno-laboratornogo kompleksa / Sost. N.A.
Ezhevskaya, N.V. Kiseleva, A.S. Zagrancev, E.A.
Pavlov. N. Novgorod: NNGU, 2008. 33 s.
3. Nejmark Yu.I. Metod tochechnyh otobrazhenij
v teorii nelinejnyh kolebanij. M.: Nauka, 1976. 471 s.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
367 Кб
Теги
маятник, портрет, периодическогомомента, действие, фазовые, под
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа