close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Функции Грина для двухкомпонентного тела со слабо искривленной границей раздела.

код для вставкиСкачать
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 3
И. Д. Волков, М. А. Греков
ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО ТЕЛА
СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА∗
1. Введение. Под функциями Грина в теории упругости понимают напряжения и
перемещения, возникшие в твердом теле при действии сосредоточенной силы, а также при любом сосредоточенном воздействии, в частности, краевой дислокации. Эти
функции называют также фундаментальным, или сингулярным решением. В общем
трехмерном случае эти функции составляют тензоры Грина [1], которые играют важную роль при переходе к граничным интегральным уравнениям [2, 3] для решения
краевых задач. Разумеется, речь идет, прежде всего, о функциях Грина, выраженных
в явном виде через элементарные функции.
Что касается слоистых структур, то в двумерной постановке в явном виде получены
решения для одиночной силы [4–6], одиночной краевой дислокации [7, 8] и периодической системы сил [6, 9] и дислокаций [9], действующих в соединенных полуплоскостях
из различных материалов. Все эти сингулярные решения построены для случая плоской
границы раздела. Вместе с тем на определенном масштабном уровне граница раздела
двух сред по разным причинам не является плоской. В ряде случаев рельеф поверхности раздела формируется под воздействием процесса образования покрытий при окислении [10] или плазменном напылении [11, 12]. При некоторых условиях межфазная
граница имеет тенденцию становиться неплоской в силу стремления к термодинамически равновесному состоянию, обеспечивающему минимум суммы энергии деформации
и поверхностной энергии [13, 14].
Целью данной работы является построение приближенных выражений для функций
Грина, отвечающих действию сосредоточенной силы или краевой дислокации, когда
граница раздела имеет слабое отклонение от плоской формы.
2. Постановка задачи. Рассмотрим двухкомпонентное упругое тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. За исключением достаточно малого слабо искривленного участка межфазная поверхность
данного композита является плоской. Это позволяет сформулировать соответствующую двумерную задачу теории упругости для плоскости комплексного переменного
z = x1 + ix2 , состоящей из двух полуограниченных областей Ωk = {z : Re (z − ζ) = 0,
(−1)k Im (z − ζ) > 0} (k = 1, 2). Граница раздела этих областей Γc (рис. 1) определяется
уравнением
z = ζ = x1 + iεg(x1 ),
(1)
где
g(x1 ) =
(
f (x1 ),
0,
|x1 | ≤ l,
ε > 0, ε ≪ 1.
|x1 | ≥ l,
Функция f (x1 ) непрерывна и |f (x1 )| ≤ l, |f ′ (x1 )| < M (M = const), а на Γc имеют
место условия идеального сцепления
u− (ζ) = u+ (ζ),
σ − (ζ) = σ + (ζ),
ζ ∈ Γc .
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00274).
c И. Д. Волков, М. А. Греков, 2007
126
(2)
Рис. 1. Сосредоточенная сила P (краевая дислокация b) около криволинейной межфазной границы.
Здесь u± =
lim u(z), σ ± =
z→ζ±i0
lim σ(z), u = u1 + iu2 , σ = σnn + iσnt , u1 , u2 — компо-
z→ζ±i0
ненты вектора перемещений соответственно вдоль осей x1 и x2 ; σnn , σnt — нормальное
и касательное усилия на площадке с нормалью n (в (2) вектор n перпендикулярен к
Γc в точке ζ, а направление вектора t совпадает с положительным направлением касательной к Γc ). Орты n, t определяют правую систему координат n, t.
В точке z1 ∈ Ω1 действует сосредоточенная сила P = (P1 , P2 ) или имеет место
краевая дислокация с вектором Бюргерса b = (b1 , b2 ) (рис. 1).
Напряжения σij и угол поворота ω удовлетворяют следующим условиям на бесконечности:
lim σij (z) = 0, lim ω(z) = 0.
(3)
|z|→∞
|z|→∞
3. Основные соотношения. В соответствии с принципом суперпозиции [15] решение задачи будем искать в виде
(
(
0,
z ∈ Ω2 ,
0,
z ∈ Ω2 ,
c
c
σ(z) = σ (z) +
u(z) = u (z) +
(4)
1
1
σ (z), z ∈ Ω1 ,
u (z), z ∈ Ω1 ,
где σ 1 (z), u1 (z) — усилия и перемещения, возникающие в однородной плоскости с упругими свойствами среды Ω1 при действии силы или при наличии дислокации в точке z1 ; σ c (z), uc (z) — усилия и перемещения, возникшие в двухкомпонентной плоскости
при отсутствии в ней внутренних источников возмущения и наличии скачков усилий
∆σ c = σ c+ − σ c− и перемещений ∆uc = uc+ − uc− на границе раздела Γc .
Подставив (4) в (2), находим
∆σ c = σ 1 , ∆uc = u1 .
(5)
127
Введем следующие обозначения:
(
(
σ c (z),
ηk = 1,
σ(z),
ηk = 1,
c
G(z, α) =
Gc (z, α) =
du
du
−2µk , ηk = −κk ,
−2µk
, ηk = −κk ,
dz
dz
(
σ 1 (z),
η1 = 1,
(6)
G1 (z, α) =
1
du
−2µ1
, η1 = −κ1 ,
dz
где κk = (3 − νk )/(1 + νk ) при плоском напряженном состоянии, κk = 3 − 4νk при
плоской деформации; νk и µk — соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига
среды Ωk . Дифференцирование в (6) производится в направлении вектора t, который
составляет с осью x1 угол α, отсчитываемый от оси x1 против часовой стрелки.
Из (4) и (6), очевидно, следует
G(z, α) = Gc (z, α) + G1 (z, α)δk1 , z ∈ Ωk .
Здесь δk1 = 1 при k = 1 и δk1 = 0 при k = 2.
Согласно [16] для функции Gc (z, α) имеет место соотношение
Gc (z, α) = ηk Φk (z) + Φk (z) − Φk (z) + Φk (z) − (z − z)Φ′k (z) e−2iα , z ∈ Ωk .
(7)
(8)
ec; Γ
e c = {z : z = ζ}. Черта сверху
Здесь Φk (z) — функции, голоморфные вне Γc ∪ Γ
означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу.
Функция G1 (z, α) является функцией Грина для однородной изотропной плоскости
с упругими свойствами среды Ω1 и, согласно [15], определяется по формуле
G1 (z, α) = H
где
dk1
dk2
λ1 − η1
− Hλ1
−H
, z ∈ Ωk ,
z − z1
dz
dz
z − z1
z − z1
, k2 (z) =
.
z − z1
z − z1
При этом при действии сосредоточенной силы
k1 (z) = ln
λ1 = κ1 , H =
(9)
(10)
P
, P = P1 + iP2 ,
2π(κ1 + 1)
(11)
iµ1 b
, b = b1 + ib2 .
π(κ1 + 1)
(12)
а при наличии краевой дислокации
λ1 = −1, H =
Применим к соотношениям (10) оператор d/dz = ∂/∂z + e−2iα ∂/∂z. Тогда равенство
(9) принимает вид
G1 (z, α) = −
Hη1
Hλ1 e−2iα − H
He−2iα (z − z1 )
+
+
, z ∈ Ω1 .
z − z1
z − z1
(z − z1 )2
(13)
Перейдем в (8) к пределу при z → ζ ∈ Γc , считая, что α → α0 , где α0 — угол между
положительным направлением касательной к Γc в точке ζ и осью x1 . Тогда равенства
(5) при учете очевидного соотношения
e−2iα0 = 1 −
128
2iεg ′ (x1 )
1 + iεg ′ (x1 )
(14)
приводят к двум краевым условиям относительно функций Φk , которые запишем в
виде следующего одного равенства
h
i+ h
i−
m2 Φ1 (ζ) + m1 η2 Φ2 (ζ) − m2 η1 Φ1 (ζ) + m1 Φ2 (ζ) −
h
i
′
′
− 2iεg(x1 ) m2 Φ1− (ζ) − m1 Φ2+ (ζ) −
"
i+ h
i−
2iεg ′ (x1 ) h
m
Φ
(ζ)
−
m
Φ
(ζ)
+
m
Φ
(ζ)
−
m
Φ
(ζ)
−
−
2
1
1
2
2
1
1
2
1 + iεg ′ (x1 )
#
h
i
′−
′+
− 2iεg(x1 ) m2 Φ1 (ζ) − m1 Φ2 (ζ)
= m2 G1 (ζ, α0 ), ζ ∈ Γc ,
где Φ±
k (ζ) =
(15)
e c . Равенство (15) отвечает первому условию в
lim Φ(z), ζ ∈ Γc ∨ ζ ∈ Γ
z→ζ±i0
(2) при значениях mk = µk , ηk = −κk (k = 1, 2) и второму при mk = ηk = 1.
Представим функции Φk (z) в виде разложений по степеням малого параметра ε:
∞
X
εn
Φk (z) =
Φkn (z), k = 1, 2,
n!
n=0
(16)
e c — в виде соответа граничные значения функций Φkn (z) и их производных на Γc и Γ
ствующих рядов Маклорена в окрестности x2 = 0, рассматривая переменную x1 как
параметр
Φ±
kn (ζ)
∞
∞
X
X
(iεg)m (m)±
(−iεg)m (m)±
±
=
Φkn (x1 ), Φkn (ζ) =
Φkn (x1 ).
m!
m!
m=0
m=0
(17)
Кроме того, в силу (1), (14) и малости величины ε, имеем
G1 (ζ, α0 ) ≡ F (x1 , ε) =
∞
X
εm ∂ m
F (x1 , 0).
m! ∂εm
m=0
(18)
При учете (16)–(18) и разложения
∞
X
1
m
=
(−iεg ′ ) , |εg ′ | < 1
′
1 + iεg
m=0
соотношение (15) преобразуется к виду
"
∞
∞
m
+
X
εn X (iεg(x1 )) (m)
(m)
(−1)m m2 Φ1n (x1 ) + m1 η2 Φ2n (x1 ) −
n! m=0
m!
n=0
−
(m)
(m)
− m2 η1 Φ1n (x1 ) + (−1)m m1 Φ2n (x1 ) −
(m+1)−
(m+1)+
−2(−1)m iεg(x1 ) m2 Φ1n
(x1 ) − m1 Φ2n
(x1 ) −
129

−2(−1)m iεg ′ (x1 ) 
×
∞
X
j=0

j
− iεg ′ (x1 )  ×
+ −
(m)
(m)
(m)
(m)
m2 Φ1n (x1 ) − m1 Φ2n (x1 )
+ m2 Φ1n (x1 ) − m1 Φ2n (x1 ) −
−2iεg(x1 )
(m+1)−
m2 Φ1n
(x1 )
−
(m+1)+
m1 Φ2n
(x1 )
!#
∞
X
εm ∂ m
F (x1 , 0),
= m2
m! ∂εm
m=0
x1 ∈ (−∞, +∞).
(19)
Приравнивая в (19) коэффициенты при εn (n = 0, 1, . . . ) нулю, приходим к бесконечной последовательности краевых задач Гильберта:
где
+ −
m2 Φ1n (x1 ) + m1 η2 Φ2n (x1 ) − m2 η1 Φ1n (x1 ) + m1 Φ2n (x1 )
= Hn (x1 ),
(20)
H0 (x1 ) = m2 F (x1 , 0) = m2 G1 (x1 , 0),
n−1
X
n!
Hn (x1 ) = −
m!
m=0
(
k "
+
ig(x1 )
(k)
(k)
(−1)k m2 Φ1m (x1 ) + m1 η2 Φ2m (x1 ) −
k!
−
(k)
(k)
− m2 η1 Φ1m (x1 ) + (−1)k m1 Φ2m (x1 ) −
k−1
−2(−1)
k
k−1
−2(−1)
×
"
(k)−
m2 Φ1m (x1 )
X
1≤j≤k
−
(k)+
m1 Φ2m (x1 )
#
−
k−j
j
ig(x1 )
ig ′ (x1 ) ×
(k − j)!
+
(k−j)
(k−j)
m2 Φ1m (x1 ) − m1 (2k − 2j + 1)Φ2m (x1 )
+
−
(k−j)
(k−j)
m2 (2k − 2j + 1)Φ1m (x1 ) − m1 Φ2m (x1 )
#)
+ m2
∂n
F (x1 , 0),
∂εn
x1 ∈ (−∞, +∞), k = n − m, n = 1, 2, . . .
Заметим, что
(21)
lim Hn (x1 ) = 0 для всех n, поскольку g(x1 ) = 0 при |x1 | ≥ l и
|x1 |→∞
lim F (x1 , ε) = 0.
|x1 |→∞
Введем обозначения
Hn (x1 ) =
130
(
H1n (x1 ), mk = ηk = 1,
H2n (x1 ), mk = µk , ηk = −κk
(k = 1, 2).
(22)
Тогда краевое условие (20) может быть записано в виде следующих двух:
+ −
µ2 Φ1n (x1 ) − µ1 κ2 Φ2n (x1 ) + µ2 κ1 Φ1n (x1 ) − µ1 Φ2n (x1 )
= H2n (x1 ),
где
+ −
Φ1n (x1 ) + Φ2n (x1 ) − Φ1n (x1 ) + Φ2n (x1 )
= H1n (x1 ).
(23)
(24)
Согласно [15] решение задачи (23), (24), удовлетворяющее условиям (3), имеет вид

µ1 κ2 In (z) + Jn (z)

, Im z > 0,

µ2 + µ1 κ2

Φ1n (z) =
Φ2n (z) = −Φ1n (z) + In (z),
(25)


 µ1 In (z) − Jn (z)
Im z < 0,
µ1 + µ2 κ1 ,
1
In (z) =
2πi
+∞
Z
−∞
H1n (t)
1
dt, Jn (z) =
t−z
2πi
+∞
Z
−∞
H2n (t)
dt.
t−z
(26)
Ограничимся далее нулевым и первым приближением.
4. Нулевое приближение. Используя свойства интеграла типа Коши [17], из (13),
(20), (21) и (26) находим



− H ,
Im z > 0,



 z − z1
−µ2 κ1 I0 (z), Im z > 0,
I0 (z) =
J0 (z) =
(27)




H(z1 − z1 )
Hλ
1

µ
I
(z),
Im
z
<
0.
, Im z < 0,
− z − z +
2 0
1
(z − z1 )2
Подставив (27) в (25), получим выражения для комплексных потенциалов в нулевом
приближении:




−M2 I0 (z), Im z > 0,
(M2 + 1)I0 (z), Im z > 0,
Φ10 (z) =
Φ20 (z) =
(28)




−M1 I0 (z), Im z < 0,
(M1 + 1)I0 (z), Im z < 0.
Здесь
µκ1 − κ2
µ2
µ−1
, M2 =
, µ=
.
1 + µκ1
µ + κ2
µ1
Заметим, что потенциалы (28) отвечают действию сосредоточенной силы (при выполнении равенств (11)) или краевой дислокации (при выполнении равенств (12)) в
композите с прямолинейной границей раздела Γc .
5. Первое приближение. Выпишем основные формулы для нахождения комплексных потенциалов Φ11 и Φ21 . Из (21) имеем
(
h
+ −
H1 (x1 ) = − ig(x1 ) − m2 Φ′10 (x1 ) + m1 η2 Φ′20 (x1 ) − m2 η1 Φ′10 (x1 ) − m1 Φ′20 (x1 ) −
M1 =
i
h
+
′+
′
(x
)
−
m
Φ
(x
)
−
2ig
(x
)
m
Φ
(x
)
−
m
Φ
(x
)
+
−2 m2 Φ′−
1
1
1
1
2
10
1
1
20
1
10
20
)
− i
∂
+ m2 Φ10 (x1 ) − m1 Φ20 (x1 )
+ m2 F (x1 , 0).
∂ε
(29)
131
Полагая в равенстве (13) z = ζ, α = α0 , с учетом (1), (14) получим
∂
∂
iHη1 g(x1 ) 2i(Hλ1 + H)g ′ (x1 ) i(Hλ1 + 2H)g(x1 )
F (x1 , 0) =
G(ζ, α0 )
=
−
+
−
∂ε
∂ε
(x1 − z1 )2
x1 − z1
(x1 − z1 )2
ε=0
−
2iH(z1 − z1 )g(x1 ) 2iH(z1 − z1 )g ′ (x1 )
+
.
(x1 − z1 )3
(x1 − z1 )2
(30)
Из (27) и (28) следует
′
Φ+
10 (x1 ) = −
M2 H
Hλ1
2H(z1 − z1 )
−′
,
Φ
(x
)
=
−M
−
.
1
1
10
(x1 − z1 )2
(x1 − z1 )2
(x1 − z1 )3
(31)
Используя выписанные соотношения (27)–(31), можно по формулам (25) найти выражения для потенциалов Φ11 и Φ21 , если определена форма искривленного участка
границы раздела, т. е. функция f .
В качестве примера рассмотрим локальное искривление границы Γc , форма которого определяется равенством
x2 = εf (x1 ) = εl 1 − (x1 /l)2
q/2
, |x1 | < l (q = 2, 3, . . . ).
(32)
На рис. 2 представлены графики функции f при q = 2 и q = 8 (соответственно
кривые 1, 2). Заметим, что при q = 2 точки x1 = ±l являются угловыми точками Γc .
Производная g ′ (x) в этих точках терпит разрыв. При q > 2 граница Γc гладкая.
Рис. 2. Вид функций f , определяющих
искривленную форму границы раздела.
Из (26)–(28) и (29)–(31) следует, что для того, чтобы получить выражения для потенциалов Φ11 и Φ21 , необходимо найти следующие функции:
1
F1 (z) =
2πi
Z1
ih(t)
dt
1
, F2 (z) =
2
(t − a) t − w
2πi
Z1
−1
ih(t)
dt
,
3
(t − a) t − w
Z1
ih′ (t) dt
1
, F4 (z) =
(t − a) t − w
2πi
Z1
ih′ (t)
dt
,
2
(t − a) t − w
−1
1
F3 (z) =
2πi
−1
где a = z1 /l или a = z1 /l, w = z/l, h(t) = f (tl)/l.
132
−1
(33)
Выражения для интегралов в (33) можно получить в явном виде при любом целом
показателе степени q, однако в общем случае при четном q они слишком громоздки.
Поэтому приведем здесь функции Fj при q = 2m + 1 (m = 1, 2, . . . ). На основании
свойств интеграла типа Коши с учетом (32) находим
(−1)m (w2 − 1)m X(w)
c11
c12
1
F1 (z) =
−
−
− Q2m−1 (w) ,
2
(w − a)2
w − a (w − a)2
(−1)m (w2 − 1)m X(w)
c21
c22
c23
2
F2 (z) =
−
−
−
− Q2m−2 (w) ,
2
(w − a)3
w − a (w − a)2
(w − a)3
(−1)m (2m + 1) w(w2 − 1)m−1 X(w)
c31
3
−
− Q2m−1 (w) ,
F3 (z) =
2
w−a
w−a
(−1)m (2m + 1) w(w2 − 1)m−1 X(w)
c41
c42
4
F4 (z) =
−
−
− Q2m−2 (w) . (34)
2
(w − a)2
w − a (w − a)2
√
(34) ветвь функции X(w) = w2 − 1 определяется равенством
√ В соотношениях
1 = 1, Qjk — полином степени k — главная часть в разложении на бесконечности первого слагаемого в квадратных скобках, соответствующего функции Fj (j = 1, 2, 3, 4),
и
c12 = (a2 − 1)m X(a), c11 = (2m + 1)a(a2 − 1)m−1 X(a), c23 = c12 , c22 = c11 ,
c21 =
1
2c21
(2m + 1)(2ma2 − 1)(a2 − 1)m−2 X(a), c31 = ac12 , c42 = c31 , c41 =
.
2
2m + 1
Через функции Fj в явном виде выражаются интегралы I1 , I2 , и вслед за этим,
согласно формулам (25), потенциалы Φ11 , Φ21 . Затем с учетом (6)–(8) и разложений (16)
находятся и сами функции Грина (напряжения и перемещения), которые определяются
функцией G. Последняя, в силу (7), (8) и (16), в первом приближении равна G =
G0 + εG1 . Функция G0 отвечает нулевому приближению, в котором граница раздела
совпадает с осью x1 .
Для изучения характера изменения напряжений на искривленном участке границы раздела и сравнения этих напряжений с напряжениями на прямолинейной границе
были проведены соответствующие расчеты в первом и нулевом приближении в предположении, что выполнены условия плоской деформации. Рассмотрена сосредоточенная
сила P (P1 = 0, P2 = −p < 0), действующая в точке z1 = −i вдоль оси x2 . Коэффициенты Пуассона взяты равными ν1 = ν2 = 0,3. В этом случае величина µ равна отношению
модулей Юнга сред (µ = E2 /E1 ). В (32) принято q = 2, ε = 0,3.
Полученная картина распределения напряжений на криволинейном участке и прилегающих к нему прямолинейных участках межфазной границы, а также на прямолинейной границе, представлена на рис. 3.
В отличие от контактных усилий σnn и σnt , напряжения σtt терпят разрыв при
переходе через Γc . На рис. 3 приведены графики предельных значений этих напряжений
+
−
±
σtt
и σtt
на Γc , где σtt
= lim σtt при ζ ∈ Γc , вектор t направлен по касательной к Γc в
z→ζ±i0
точке ζ. Интересно отметить, что на некоторых участках границы раздела напряжения
+
−
σtt
и σtt
имеют разные знаки в одной и той же точке.
Как и следовало ожидать, слабое искривление границы раздела приводит к ослаблению контактных усилий в средней части искривленного участка, поскольку он находится дальше от сосредоточенной силы, чем прямолинейный участок, соответствующий
133
Рис. 3. Распределение напряжений на границе раздела в нулевом (пунктирные линии) и первом (сплошные) при относительной жесткости сред µ = 3 (а) и µ = 1/3 (б).
нулевому приближению. Вычисления показывают, что при аналогичном искривлении
в противоположную сторону эффект оказывается обратным. Из рисунков видно, что
вне искривленного участка границы нулевое и первое приближения сближаются.
Заметим, что угловые точки границы x1 = ±l являются сингулярными точками напряжений, поэтому в первом приближении напряжения неограничены в окрестностях
134
Рис. 4. Зависимость напряжений от параметра µ в середине криволинейного участка межфазной
границы в нулевом (1) и первом (2) приближениях.
этих точек. Аналогичное поведение напряжений было выявлено в работе [18] в окрестности угловых точек границы полуограниченной области при действии продольных
усилий вдали от искривленного участка.
Для более полного представления о влиянии относительной жесткости композита на
напряженное состояние границы раздела построены зависимости напряжений в середине искривленного участка границы (0, εl) от величины µ (рис. 4). При µ = 0 граница
раздела двух сред Γc превращается просто в границу среды Ω1 , а при µ → ∞ упругая
среда Ω1 контактирует с жесткой. Соответствующие предельные значения напряжений
приведены в таблице.
Напряжения в середине искривленного участка границы
µ
0
∞
Нулевое приближение
−
+
σnn
σnt
σtt
σtt
0
0
−0,637
0
0,495
0
0,212
0,141
Первое приближение
−
+
σnn
σnt
σtt
σtt
0
0
−0,302
0
0,313
0
0,134
0,075
В заключение хочется отметить, что если форма искривленного участка опреде3/2
ляется функцией f = l 1 − (x1 /l)2
Qm (x1 ), где Qm — полином степени m, то для
функций Fj в (33) также имеют место простые выражения, аналогичные (34). Таким
образом, в первом приближении функции Грина могут быть выписаны в явном виде
для достаточно общей формы локального криволинейного участка гладкой границы
раздела двух сред.
Summary
I. D. Volkov, M. A. Grekov. Green’s functions for bonded dissimilar materials with a slightly
curved interface.
The 2-D model of two-component elastic composite with a slightly curved interface is considered.
The concentrated force and/or edge dislocation acts in one of the component. The solution of both
problems is represented in a form of series expansion of complex potentials in terms of power of a
small parameter on the base of the perturbation technique. The algorithm for deriving the complex
potentials of any-order accurate solution in a closed form has been developed for a wide range of local
perturbed curves. Some basic formulas are given for the first-order solution when a local deviation
of the interface from the straight one is described by power functions. The stress distribution at the
curvilinear interface of a certain form is analyzed for the case of concentrated force.
135
Литература
1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
2. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 272 с.
3. Греков М. А., Еременко Н. Г. О функциях Грина для упругих сред // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПб.: СПбГУ, 2003. Вып. 7. С. 265–
274.
4. Frasier J. T., Rongved L. Force in the plane of two joined semi-infinite plates // Trans. ASME.
Ser. E. J. Appl. Mech., 1957. Vol. 27. N 4. P. 582–584.
5. Dundurs J. Force in smoothly joined elastic half-planes // J. Eng. Mech. Division. Proceedings
of the ASCE, 1962. Vol. 88. EM5. Pt. 1. P. 25–40.
6. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.
7. Head A. K. Proc. Phys. Soc. London, Sect. B 66, 1953. P. 793.
8. Mura T. The continuum theory of dislocations // Advances in materials research. N.Y.:
Interscience Publ., 1968. Vol. 3. P. 1–107.
9. Греков М. А., Моисеева Н. Б. Фундаментальные периодические решения уравнений теории упругости для соединенных разномодульных полуплоскостей // Вестн. С.-Петерб. ун-та.
Сер. 1, 1998. Вып. 4. С. 75–78.
10. Liu Y. Y., Nateso K. The adherence of nickel oxide on nickel during high-temperature
oxidation // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. Vol. 119, Adhesion in Solids. Reno, 1988. С. 213–221.
11. Steeper T. J., Rotolico A. J., Nerz J. E. et al. Experimental studies of air plasma sprayed
alumina coatings // Ceramic Coatings (ASME Winter Annual Meeting, MD-Vol. 44). New Orleans,
1993. 139.
12. Пух В. П., Байкова Л. Г., Звонарева Т. К. и др. О возможности защиты высокопрочного
стекла алмазоподобным покрытием // XIV Петербургские чтения по проблемам прочности.
СПб., 2003. С. 217–218.
13. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Int. J.
Solids Struct., 1991. Vol. 28. С. 703–725.
14. Kung H., Chang H., Gibala R. Interfacial structures of M oSi2 –M o5 Si3 eutectic alloys //
Structure and Properties of Interfaces in Materials (Mat. Res. Soc. Symp. Proc. Vol. 238). Pittsburh,
1992. С. 599–604.
15. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 2001. 192 с.
16. Греков М. А. Метод возмущений в задаче о деформации композита со слабо искривленной границей раздела // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2004. Вып. 1. С. 81–88.
17. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
М.: Наука. 1966. 708 с.
18. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка
поверхности упругого тела // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 2004. № 6. С. 53–61.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
136
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
354 Кб
Теги
раздел, искривленном, двухкомпонентной, функции, слабое, границе, тела, грина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа