close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Функция Грина в гравистатике Эйнштейна.

код для вставкиСкачать
Вестник РУДН
Серия Математика. Информатика. Физика.
№ 3. 2009. С. 85–88
УДК 530.12:531.51
Функция Грина в гравистатике Эйнштейна
Ц. И. Гуцунаев, А. А. Шайдеман, Х. Д. Ариас Эрнандес,
Х. Ф. Визуэте Франко, А. В. Калмыков
Кафедра теоретической физики
Российский университет дружбы народов
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье применяется метод функции Грина для построения статических аксиальносимметричных решений уравнений Эйнштейна.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, статические решения, функция Грина.
1.
Введение
Для вакуумных статических уравнений Эйнштейна было получено в 1916 г.
сферическое симметричное решение Шварцшильдом [1]. Для статических аксиально-симметричных уравнений Вейля [2] были получены решения Шази [3], Керзоном [4] и другими. Данная работа основана на методе функции Грина. С помощью этого метода были получены некоторые статические решения уравнений
Эйнштейна.
2.
Основные уравнения
Для аксиально-симметричных статических вакуумных гравитационных полей
линейный элемент Вейля имеет вид:
]︀
1 [︀ 2
 (d2 + d 2 ) + 2 d2 −  d2 ,
(1)
2 =

где , ,  и  — канонические координаты Вейля и время. Здесь  =  (, ) и
 = (, ).
Уравнения Эйнштейна для аксиально-симметричных гравитационных полей
вне источника имеют вид:
⃗ )2 .
 Δ = (∇
(2)

4
=  −2

(︃(︂


)︂2
(︂
−


)︂2 )︃
,
2

 
=  −2
.

 
(3)
⃗ определяются по формулам
Операторы Δ и ∇
2
1 
2
+
+
,
2    2
⃗ ≡ ⃗0  + ⃗0  .
∇


Δ≡
(4)
(5)
При замене
 = 2Ψ
(6)
уравнение (2) становится линейным:
ΔΨ =
 2 Ψ 1 Ψ  2 Ψ
+
+
= 0.
 
2
 2
Статья поступила в редакцию 26 мая 2009 г.
(7)
86
Гуцунаев Ц. И. и др.
3.
Метод функции Грина
В правой части (7) содержится нуль, хотя на самом деле должна быть сингулярная функция, характеризующая распределение источников.
Пусть (, ) — массовая плотность таких источников, и тогда перепишем (7)
в виде
(︂
)︂
Ψ
2Ψ
1 

+
= (, ),
(8)
 

 2
Пример 1. Пусть
+∞
∫︁
(, ) = 2()
()0 ()d,
(9)
0
где () =
1
2
+∞
∫︀
 d — -функция Дирака, 0 () — функция Бесселя,  —
−∞
вещественная постоянная, () — производная гладкая функция.
Будем искать решение в форме
2
Ψ(, ) = 

+∞
∫︁
+∞
∫︁
()0 () (, )d.
d
(10)
0
0
Функция Грина (, ) удовлетворяет уравнению
Δ−1 [0 () ] = (, )0 () ,
(11)
где Δ−1 — обратный оператор к (4).
С помощью уравнения Бесселя:
(︂
2
1 
+
0 () = − 2 0 ()
2

 
)︂
(12)
мы находим
(, ) = −
2
1
.
+ 2
(13)
Если подставим (13) в (10), то получим решение
+∞
∫︁
()0 ()− d.
Ψ(, ) = −
(14)
0
а) В случае () =   , где  = 0, 1, 2, . . ., мы имеем решения
Ψ(, ) = −Γ( + 1)
(︂√︀
2 +  2
)︂−−1
(︂
×  √︀
)︂

,
2
 + 2
(15)
где  — полиномы Лежандра, Γ( + 1) — гамма-функция. Легко видеть, что
решение (15) удовлетворяет уравнению (7).
В частном случае  = 0 мы получаем решение Шази–Керзона

Ψ(, ) = − √︀
.
2
 + 2
(16)
Функция Грина в гравистатике Эйнштейна
87
б) В случае () = +   (), где ,  = 0, 1, 2, . . .; ,  — вещественные
постоянные,  () — функция Бесселя, мы имеем решение
(︂ )︂
 −−−1 
Ψ(, ) = −
Γ( + 1) 2
×
+∞
∑︁
Γ( +  + 1 + 2)
2
×
 −, −;  + 1; 2
!Γ( + 1)

=0
(︂
)︂ (︂
2
− 2
4
)︂
, (17)
где Γ() — гамма-функция,  (, ; ; ) — гипергеометрическая функция. При
 =  =  = 0 мы получаем (16).
Пример 2. Пусть
() 2
(, ) = 2
 
+∞
∫︁
˜()
sin 
cos d,

(18)
0
где () =
+∞
∫︀
0 ()d — -функция Дирака, 0 () — функция Бесселя, ˜() —
0
произвольная гладкая функция.
Будем искать решение в форме
4
Ψ(, ) =

+∞
∫︁
˜()0 ()
cos  sin 
(, )d.

(19)
0
Функция Грина (, ) удовлетворяет уравнению
Δ−1 [0 () cos ] = (, )0 () cos .
(20)
Из (20) находим
(, ) = −
1
.
 2 + 2
В этом случае получим решение
4
Ψ(, ) = −

+∞
∫︁
cos  sin 
˜()0 ()d =

0
2
=

+∞
∫︁
sin( − )
2
˜()0 ()d −


0
+∞
∫︁
sin( + )
˜()0 ()d, (21)

0
где 0 () — функция Макдональда.
Если ˜() = +1 ,  = const, то мы получим
2 Γ2 ( 2+
2 +  2 +  3 ( − )2
 )
( − )
,
; ;−
−
2+

2
2
2
2
(︂
)︂]︂
2 +  2 +  3 ( + )2
− ( + )
,
; ;−
, (22)
2
2
2
2
[︂
Ψ(, ) = 2
(︂
)︂
где  (, ; ; ) — гипергеометрическая функция. В частном случае  = −1 мы
получим решение Шварцшильда
√︀
 −  + 2 + ( − )2
√︀
Ψ(, ) = ln
.
 +  + 2 + ( + )2
88
Гуцунаев Ц. И. и др.
4.
Заключение
Что можно сказать о физическом смысле полученных решений? По всей
видимости, они описывают поля деформированных статических аксиальносимметричных источников. Кроме того, преимуществом метода функции Грина
является то, что он позволяет строить в явном виде функции источников рассматриваемых решений.
Литература
1. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinishen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. — 1916. — Vol. 7. — P. 189.
2. Weyl H. Zur Gravitationstheorie // Annal. Physik. — 1917. — Vol. 54. — P. 117.
3. Chazy I. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la théorie de la
relativité // Bull. Soc. Math. France. — 1924. — Vol. 52. — P. 17.
4. Curzon H. Bipolar Solutions of Einstein’s Gravitational Equations // Proc. Math.
Soc. London. — 1924. — Vol. 23. — P. 477.
UDC 530.12:531.51
The Green’s Function for Static Gravitational Einstein Fields
Ts. I. Gutsunaev, A. A. Shaideman, J. D. Arias Hernandez, J. F. Vizuete
Franco, A. V. Kalmykov
Department of Theoretical Physics
Peoples’ Friendship University of Russia
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198
We apply the method of Green’s function to generating axisymmetric static solutions to
Einstein’s equations.
Key words and phrases: Einstein’s equations, static solutions, Green’s function.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
493 Кб
Теги
эйнштейн, гравистатике, функции, грина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа