close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Характеристическое кольцо Ли уравнения Жибера-Шабата-Цицейки.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1871
Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 155-160.
УДК 517.9
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО ЛИ УРАВНЕНИЯ
ЖИБЕРА-ШАБАТА-ЦИЦЕЙКИ
А.У. САКИЕВА
Аннотация. В работе приведено полное описание характеристического кольца Ли
уравнения Жибера-Шабата-Цицейки. Построен базис линейного пространства кратных коммутаторов произвольного порядка. Доказано, что характеристическое кольцо
является кольцом медленного роста.
Ключевые слова: характеристическое кольцо, нелинейное гиперболическое уравнение, интеграл.
1.
Введение
Характеристические кольца Ли являются важным инструментом для исследования
дифференциальных уравнений в частных производных. Впервые понятие характеристического векторного поля, которое лежит в основе характеристического кольца, было введено
Гурса в [1]. Понятие характеристической алгебры было введено в работе А.Н. Лезнова,
В.Г. Смирнова, А.Б. Шабата [2]. Характеристические алгебры и кольца для дифференциальных уравнений и систем исследовались также в работах [3–6].
В данной статье рассматривается задача описания характеристического кольца Ли для
уравнения
 =  + −2 .
(1)
Уравнение (1) впервые было найдено в работе Цицейки [7] при исследовании геометрии
двумерных поверхностей в 3 . Позже оно было переоткрыто А.Б. Шабатом и А.В. Жибером [8] в результате классификации интегрируемых случаев уравнения Клейна-Гордона.
В той же работе для этого уравнения была построена иерархия высших симметрий и законов сохранения. Представления Лакса для (1) нашел А.В. Михайлов (см. [9] ). Отметим,
что высшие симметрии уравнения (1) имеют порядки, равные 6 + 1 и 6 − 1, где  ∈  .
Удивительный факт состоит в том, что именно эти числа являются выделенными при описании характеристической кольца для уравнения (1). По-видимому, этот факт указывает
на тесную связь между алгеброй высших симметрий уравнения и его характеристическим
кольцом, т.к. такая же ситуация имеет место для уравнения синус-Гордона (см. [3, 4]).
В работе [4] для уравнений вида
 =  ()
(2)
были введены операторы 1 и 2 , порождающие характеристическое кольцо Ли для уравнения (2):
∞
∑︁

1 =
−1 ( )
,
(3)


=1
2 =

,

(4)
A.U. Sakieva, Characteristic Lie ring of the Zhiber-Shabat-Tzitzeica equation.
c Сакиева А.У. 2012.
○
Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-97005, 12-01-31208) и ФЦП “Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России” на 2009-2013 годы (соглашение №8499).
Поступила 25 апреля 2012 г.
155
156
А.У. САКИЕВА
где в нашем случае  =  + −2 . Здесь  – оператор полного дифференцирования по .
Заметим, что операторы 1 и 2 линейно независимы при  () ̸= 0.
Обозначим через  линейное пространство, натянутое на всевозможные коммутаторы
длины не больше чем  − 1, где  = 2, 3, .... Причем в этом пространстве линейная комбинация берется с коэффициентами, зависящими от гладких функций конечного числа динамических переменных, а набор элементов 1 , 2 , ... называется линейно зависимым,
если существует набор функций 1 , 2 , ... такой, что они не все тождественные нули, и
выполняется равенство 1 1 + 2 2 + ... +   = 0. В противном случае набор является
линейно независимым. Например, 2 = {1 , 2 } – линейное пространство, порожденное
элементами 1 , 2 , dim 2 = 2. Будем считать 1 и 2 операторами длины 1. Тогда 3
состоит из элементов пространства 2 и элемента 3 = [2 , 1 ], т.е. 3 = {1 , 2 , 3 }.
Cледовательно, 4 = 3 + {[2 , 3 ] , [1 , 3 ]} и т.д.
Введем () = dim( ) − dim(−1 ). Будет показано, что кольцо Ли для уравнения (1)
бесконечномерно, причем () = 1, если  = 6 − 1,  = 6,  = 6 + 1,  = 6 + 3,  = 1, 2, ...
и () = 2 при  = 6 + 2,  = 6 + 4,  = 1, 2, .... Следовательно, кольцо Ли для уравнения (1) является характеристическим кольцом медленного роста. Отметим, что структура
линейных пространств  при  6 10 была исследована в [4].
Далее будем пользоваться следующим утверждением, доказательство которого можно
найти, например, в [4].
Лемма 1. Пусть векторное поле  имеет вид
 = 1  1 + 2  2 + 3  3 + ...,  =  (, 1 , 2 , ...),  = 1, 2, 3, ...
Тогда [ , ] = 0, если и только если  = 0.
2.
Характеристическое кольцо уравнения Жибера-Шабата-Цицейки
Введем следующие обозначения для кратных коммутаторов:
1 ,... = 1 ...−1  , где   = [,  ] .
Теорема 1. Для уравнения Жибера-Шабата-Цицейки (1) справедливы равенства:
() = 2,  = 6 + 2,  = 6 + 4,  = 1, 2, ...;
(5)
() = 1,  = 6 − 1,  = 6,  = 6 + 1,  = 6 + 3,  = 1, 2, ....
(6)
При этом верны следующие равенства:
6+2 = 6+1 ⊕ {1...121 , 21...121 },
6+4 = 6+3 ⊕ {1...121 , 21...121 },
6−1 = 6−2 ⊕ {1...121 },
6 = 6−1 ⊕ {1...121 },
6+1 = 6 ⊕ {1...121 },
6+3 = 6+2 ⊕ {1...121 }.
¯ 8 , 9 , 10 , 
¯ 10 , ...6−1 , 6 , 6+1 , 6+2 ,
Т.е. операторы 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 
¯ 6+2 , 6+3 , 6+4 , 
¯ 6+4 , ... образуют базис характеристического кольца Ли  урав
нения (1), где
 = 1 ... причем 1 = ... = −2 =  = 1, −1 = 2,
¯  = 1 ... причем 2 = ... = −2 =  = 1, 1 = −1 = 2.

Операторы 1 , 2 определены выше. Для 1 и 2 выполнены соотношения:
[ , 1 ] = −( + −2 )2 ,
(7)
[ , 2 ] = 0.
(8)
Введем оператор длины 2: 3 = [2 , 1 ]. Используя тождество Якоби и соотношения
(7),(8), получим:
[ , 3 ] = −( − 2−2 )2 .
(9)
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО ЛИ УРАВНЕНИЯ ЖИБЕРА-ШАБАТА-ЦИЦЕЙКИ. . .
157
Предположим, что оператор 3 линейно выражается через операторы 1 и 2 , тогда
имеем:
3 = 1 1 + 2 2 .
(10)
Применим к обеим частям последнего равенства оператор  ,используя соотношения
(7),(8),(9), получим:
− ( − 2−2 )2 =  (1 )1 − 1 ( + −2 )2 +  (2 )2 .
(11)
Cравним коэффициенты при линейно независимых операторах 2 и 1 , получим:
− ( − 2−2 ) = −1 ( + −2 ) +  (2 )
(12)
и
 (1 ) = 0.
(13)
Равенство (12) противоречиво, так как  =  (,  ,  , ...), и  (2 ) содержит  ,  , ....
Cледовательно, оператор 3 = 21 линейно не выражается через 1 и 2 . Значит, линейное пространство 3 – трехмерно, т.е. 3 = {1 , 2 , 3 }.
¯ 4 = [2 , 3 ], для которых выполнено:
Введем операторы длины 3: 4 = [1 , 3 ] и 
[︀
]︀
¯ 4 = 2 [ , 1 ] − [ , 3 ]
 , 
(14)
и
[ , 4 ] = ( − 2−2 )3 − ( + −2 ) [2 , 3 ] = (2 − −2 )3 − 2( + −2 )1 .
(15)
Следовательно,
¯ 4 = 21 − 3 .

Оператор 4 = 121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, получаем
4 = {1 , 2 , 3 , 4 }.
¯ 5 = [2 , 4 ]. Используя тождество
Рассмотрим операторы длины 4: 5 = [1 , 4 ] и 
¯
Якоби и соотношения (7),(8) и (15), получаем 5 = −4 и
[ , 5 ] = (2 − −2 )4 − ( + −2 ) [2 , 4 ] = 3 4 .
(16)
Оператор 5 = 1121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, следовательно, 5 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 }.
¯ 6 и [3 , 4 ]. Согласно тождеству Якоби,
Введем операторы длины 5: 6 = [1 , 5 ] , 
¯ 6 выполнено равенство:
[3 , 4 ] = 5 . Нетрудно показать, что для 
[︀
]︀
¯ 6 = 0.
 , 
(17)
¯ 6 = 0. Для 6 получаем:
Следовательно, согласно утверждению леммы 1, 
[ , 6 ] = [1 , 3 4 ] − ( + −2 ) [2 , 5 ] = 3 5 .
(18)
Значит, оператор 6 = 11121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка,
и имеем 6 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
¯ 7 = [2 , 6 ] , [3 , 5 ] . Нетрудно покаРассмотрим операторы длины 6: 7 = [1 , 6 ] , 
зать, что [3 , 5 ] = 6 , [2 , 6 ] = 6 ,
[ , 7 ] = 3 6 − ( + −2 ) [2 , 6 ] = (2 − −2 )6 .
(19)
Следовательно, 7 = 111121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка,
7 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.
¯ 8 = [2 , 7 ] , [3 , 6 ] , [4 , 5 ]. Согласно
Введем операторы длины 7: 8 = [1 , 7 ] , 
¯
¯ 8 . Для 8 и 
¯ 8 выполнены
тождеству Якоби, [3 , 6 ] = 8 − 7 , [4 , 5 ] = 27 − 
следующие соотношения:
[︀
]︀
¯ 8 = (4 + −2 )6
 , 
(20)
и
¯8.
[ , 8 ] = (2 − −2 )7 − ( + −2 )
(21)
158
А.У. САКИЕВА
Т.е. пространство 8 получается из 7 добавлением
двух
линейно независимых элементов{︀
}︀
¯ 8 = 2111121 , т.е. 8 = 7 ⊕ 8 , 
¯8 .
8 = 1111121 и 
[︀
]︀ [︀
]︀
¯ 9 = [2 , 8 ] , 1 , 
¯ 8 , 2 , 
¯ 8 , [3 , 7 ] ,
Рассмотрим операторы длины 8: 9 = [1 , 8 ] , 
[4 , 6 ] .
Согласно тождеству Якоби, [3[︀, 7 ] =]︀−8 , [4 , 6 ] [︀= 8 . ]︀
[︀
]︀
¯ 8 = 27 + 
¯ 8 , 1 , 
¯ 8 = 8 .  , 
¯ 9 = 0, следоТакже нетрудно показать, что 2 , 
¯ 9 = [2 , 8 ] = 0.
вательно, согласно леммы 1, 
Для 9 получаем:
[ , 9 ] = ( − 2−2 )8 − ( + −2 ) [2 , 8 ] = ( − 2−2 )8 .
(22)
Значит, 9 = 11111121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и
9 = 8 ⊕ {9 }.
[︀
]︀
¯ 10 = [2 , 9 ] , 3 , 
¯ 8 , [3 , 8 ] , [4 , 7 ] ,
Введем операторы длины 9: 10 = [1 , 9 ] , 
[5 , 6 ], для которых выполнены следующие соотношения:
¯ 10 , [4 , 7 ] = −9 − 
¯ 10 ,
[5 , 6 ] = 29 + 
[︀
]︀
¯ 10 , 3 , 
¯ 8 = −38 .
[3 , 8 ] = 
¯ 10 имеем:
Для операторов 10 , 
[︀
]︀
¯ 10 = ( + 4−2 )8 + ( − 2−2 ) [2 , 8 ] = ( + 4−2 )8
 , 
(23)
и
¯ 10 .
[ , 10 ] = ( − 2−2 )9 − ( + −2 )
(24)
¯ 10 = 211111121 линейно не выражаются через опеЗначит, операторы 10 = 111111121 и 
{︀
}︀
¯ 10 .
раторы меньшего порядка, и 10 = 9 ⊕ 10 , 
Можно показать, что базис характеристического кольца, порожденного элементами 
и  , всегда можно выбрать из элементов вида 1 2 ...  .
¯  = [2 , −1 ]. Доказательство проВведем следующие обозначения:  = [1 , −1 ] , 
ведем методом математической индукции. Предположим, что для  =  − 1 выполняются
следующие равенства:
[︀
]︀
[︀
]︀
 , 6(−1)−1 = (2 − −2 )6(−1)−2 − ( + −2 ) 2 , 6(−1)−2 ,
(25)
[︀
]︀
[︀
]︀
 , 6(−1) = 3 6(−1)−1 − ( + −2 ) 2 , 6(−1)−1 ,
(26)
[︀
]︀
[︀
]︀
 , 6(−1)+1 = 3 6(−1) − ( + −2 ) 2 , 6(−1) ,
(27)
[︀
]︀
[︀
]︀
 , 6(−1)+2 = (2 − −2 )6(−1)+1 − ( + −2 ) 2 , 6(−1)+1 ,
(28)
[︀
]︀
[︀
]︀
 , 6(−1)+3 = ( − 2−2 )6(−1)+2 − ( + −2 ) 2 , 6(−1)+2 ,
(29)
[︀
]︀
[︀
]︀
 , 6(−1)+4 = ( − 2−2 )6(−1)+3 − ( + −2 ) 2 , 6(−1)+3 ,
(30)
¯ 6(−1) = 0, 
¯ 6(−1)−1 = −6(−1)−2 ,

(31)
¯ 6(−1)+1 = 6(−1) , 
¯ 6(−1)+3 = 0,

(32)
[︀
]︀
[︀
]︀
¯ 6(−1)+2 = 6(−1)+2 , 2 , 
¯ 6(−1)+2 = 26(−1)+1 + 
¯ 6(−1)+2 ,
1 , 
(33)
[︀
]︀
[︀
]︀
¯ 6(−1)+4 = −6(−1)+4 , 2 , 
¯ 6(−1)+4 = 26(−1)+3 − 
¯ 6(−1)+4 .
1 , 
(34)
Проверим выполнение равенств (25) – (34) для  = .
[︀
]︀
Введем операторы
длины
6
−
2:

=

=

,

и
6−1
1
6(−1)+5
6(−1)+4
[︀
]︀
¯
¯
6−1 = 6(−1)+5 = 2 , 6(−1)+4 . Имеем:
[︀
]︀ [︀
[︀
]︀]︀
[︀
]︀
¯ 6−1 =  , 2 , 6(−1)+4 = −  , 6(−1)+4 ,
 , 
(35)
¯ 6−1 = −6(−1)+4 . Для 6−1 выполнено:
cледовательно, 
[ , 6−1 ] = (2 − −2 )6−2 − ( + −2 ) [2 , 6−2 ] = 3 6−2 .
(36)
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО ЛИ УРАВНЕНИЯ ЖИБЕРА-ШАБАТА-ЦИЦЕЙКИ. . .
159
Это означает, что оператор 6−1 = 1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и 6−1 = 6−2 ⊕ {6−1 }, таким образом (6 − 1) = 1.
¯ 6 = [2 , 6−1 ]. Имеем:
Рассмотрим операторы длины 6 − 1: 6 = [1 , 6−1 ] , 
[︀
]︀
¯ 6 = 0,
 , 
(37)
¯ 6 = 0. Также имеем:
и следовательно, согласно леммы 1, 
[ , 6 ] = [1 , 3 6−2 ] − ( + −2 ) [2 , 6−1 ] = 3 6−1 .
(38)
Значит, оператор 6 = 1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и 6 = 6−1 ⊕ {6 }. Таким образом, (6) = 1.
¯ 6+1 = [2 , 6 ], для которых выполВведем операторы длины 6: 6+1 = [1 , 6 ] , 
нено:
[︀
]︀
¯ 6+1 = 3 6−1 ,
 , 
(39)
¯
следовательно, 6+1 = 6 .Нетрудно показать, что
[ , 6+1 ] = (2 − −2 )6 .
(40)
Это означает, что оператор 6+1 = 1...121 линейно не выражается через операторы меньшего порядка, и 6+1 = 6 ⊕ {6+1 }. Получаем (6 + 1) = 1.
¯ 6+2 = [2 , 6+1 ]. Имеем:
Рассмотрим операторы длины 6 + 1: 6+2 = [1 , 6+1 ] , 
[︀
]︀
¯ 6+2 = (4 + −2 )6
 , 
(41)
и
¯ 6+2 .
[ , 6+2 ] = (2 − −2 )6+1 − ( + −2 )
(42)
¯
Значит, операторы 6+2 = [1 , 6+1 ] = 1...121 и 6+2 = [2 , 6+1
{︀ ] = 21...121 }︀линейно
¯ 6+2 . Таким
не выражаются через операторы меньшего порядка, 6+2 = 6+1 ⊕ 6+2 , 
образом, (6 + 2) = 2.
[︀
]︀
¯ 6+3 = [2 , 6+2 ] , 1 , 
¯ 6+2 ,
Введем
операторы
длины
6
+
2:

=
[
,

]
,

6+3
1
6+2
[︀
]︀
¯ 6+2 .
2 , 
Нетрудно показать справедливость равенства:
[︀
[︀
]︀]︀
¯ 6+2 = (8 − −2 )6 ,
 , 2 , 
(43)
[︀
]︀
¯ 6+2 = 26+1 + 
¯ 6+2 .
значит, 2 , 
[︀
[︀
]︀]︀
¯ 6+2 = (2 − −2 )6+1 − ( + −2 )
¯ 6+2 ,
 , 1 , 
(44)
[︀
]︀
¯ 6+2 = 6+2 .
и значит, 1 , 
¯ 6+3 имеем:
Для операторов 6+3 и 
[︀
]︀
¯ 6+3 = 0
 , 
(45)
и
[ , 6+3 ] = ( − 2−2 )6+2 ,
(46)
¯ 6+3 = 0, и значит на этом шаге в базис характетогда, согласно леммы 1, 
ристического кольца добавляется один оператор 6+3 = 1...121 , таким образом,
6+3 = 6+2 ⊕ {6+3 }. Значит, (6 + 3) = 1.
¯ 6+4 = [2 , 6+3 ] , для
Рассмотрим операторы длины 6 + 3: 6+4 = [1 , 6+3 ] , 
которых выполнено:
[︀
]︀
¯ 6+4 = ( + 4−2 )6+2 ,
 , 
(47)

−2

−2 ¯
[ , 6+4 ] = ( − 2 )6+3 − ( +  )6+4 .
(48)
Cледовательно, пространство 6+4 получается из 6+3{︀ добавлением
}︀ двух элементов:
¯
¯
6+4 = 1...121 и 6+4 = 21...121 , т.е. 6+4 = 6+3 ⊕ 6+4 , 6+4 . Таким образом,
(6 + 4) = 2.
Введем операторы длины 6 + 4:
160
А.У. САКИЕВА
[︀
]︀ [︀
]︀
¯ 6(+1)−1 = [2 , 6+4 ] , 1 , 
¯ 6+4 , 2 , 
¯ 6+4 .
6(+1)−1 = [1 , 6+4 ] , 
Справедливо cледующее соотношение:
[︀
[︀
]︀]︀
¯ 6+4 = ( − 8−2 )6+2 ,
 , 2 , 
[︀
]︀
¯ 6+4 = 26+3 − 
¯ 6+4 .
следовательно, 2 , 
Также имеем:
[︀
[︀
]︀]︀
¯ 6+4 = (− + 2−2 )6+3 + ( + −2 )
¯ 6+4 ,
 , 1 , 
[︀
]︀
¯ 6+4 = −6+4 .
откуда получаем, что 1 , 
Из равенства
]︀
[︀
¯ 6(+1)−1 = (− + 2−2 )6+3 + ( + −2 )
¯ 6+4
 , 
(49)
(50)
(51)
¯ 6(+1)−1 = −6+4 .
следует 
Для 6(+1)−1 имеем:
[︀
]︀
 , 6(+1)−1 = 3 6+4 .
(52)
Значит, оператор 6(+1)−1 = 
не выражается через операторы меньшего
{︀ 1...121 линейно
}︀
порядка, и 6(+1)−1 = 6+4 ⊕ 6(+1)−1 . Значит, (6( + 1) − 1) = 1.
Таким образом теорема доказана.
Автор выражает благодарность И.Т. Хабибуллину за постановку задачи и постоянное
внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. E. Goursat Recherches sur quelques ´quations aux d´
riv´
es partielles du second ordre, Annales de
la facult´
 des Sciences de l’Universit´
 de Toulouse 2 s´
rie, tome 1, n0 1 (1899) P.31–78.
2. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика.
1982. Т. 51. № 1. С. 10–22.
3. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х.Квадратичные системы, симметрии, характеристические и
полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ
УрО АН СССР. 1991. С. 14–32.
4. Жибер А.В., Муртазина Р.Д.О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. 2006. Т.7. № 2. С. 131–136.
5. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа  и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. 23 с.
6. Гюрсес М., Жибер А.В., Хабибуллин И.Т. Характеристические кольца Ли дифференциальных
уравнений // Уфимский мат. жур. 2012. Т. 4. № 1. С. 53–62.
7. Tzitz´
ica G. Sur une nouvelle classe de surfaces // Comptes rendus Acad. Sci. Т. 150. 1910. P. 955–
956.
8. Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады
АН СССР. 1979. Т. 247. № 5. С. 1103–1107.
9. A.V. Mikhailov Pis’ma Zh.Eksp. // Theor.Fiz. 1979. V. 30, № 7. P. 443–448.
Альфия Ураловна Сакиева,
Институт математики c ВЦ УНЦ РАН,
ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
E-mail: alfiya85.85@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
462 Кб
Теги
шабата, кольцо, уравнения, характеристических, цицейки, жибера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа