close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации.

код для вставкиСкачать
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.9
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО
ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИИ
Аннотация. Рассмотрен численный метод коллокации для решения объемного
сингулярного интегродифференциального уравнения на диэлектрическом теле,
расположенном в прямоугольном волноводе. Также рассмотрена обратная задача определения эффективной диэлектрической проницаемости тела. Представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации. Представлены результаты численных расчетов для решения сингулярного
интегродифференциального уравнения методом коллокации и численные результаты определения эффективной диэлектрической проницаемости тела
в волноводе.
Ключевые слова: обратная электромагнитная краевая задача, интегродифференциальное уравнение, метод коллокации.
Abstract. Numerical collocation method for solving singular integro-differential
equation on dielectric body located in rectangular waveguide is considered. Inverse
electromagnetic boundary value problem for determination of effective permittivity
of the body is also considered. The formulas of matrix coefficients for collocation
method are presented. Numerical results for solution of singular integro-differential
equation by collocation method as well as numerical results for determination of effective permittivity of the body in waveguide are presented.
Keywords: inverse electromagnetic boundary value problem, electromagnetic scattering, integro-differential equation, collocation method.
Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является
актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов и малых размеров образцов), что приводит
к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров.
При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной
электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее
время одной из самых актуальных проблем в электродинамике. Решение этих
задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне
строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений и часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур [1–3].
Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов
решения указанного круга задач. Одним из перспективных методов является
метод объемных сингулярных интегральных уравнений [4–6]. Краевая задача
сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегродиффе-
54
№ 4 (12), 2009
Физико-математические науки. Математика
ренциального уравнения [6–8]. Здесь оператор задачи получается эллиптическим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности).
На этом пути удается доказать теорему о существовании и единственности решений в L2 нелинейного интегрального уравнения, теорему о существовании и единственности решений обратной краевой задачи, предложить и
доказать сходимость численного метода для решения интегрального уравнения и обратной краевой задачи [6–8].
Настоящая статья посвящена разработке численного метода для решения интегрального уравнения и обратной краевой задачи. Применяется метод
коллокации [9] с аналитическим суммированием медленно сходящихся рядов
в функциях Грина.
Метод коллокации
Рассмотрим вопрос о построении схемы метода коллокации для решения объемного сингулярного интегродифференциального уравнения, к которому сводится краевая задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле Q , расположенном в прямоугольном волноводе [6–8]. Пусть
в декартовой системе координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b,    x3  } –
волновод с идеально проводящей поверхностью P . В волноводе расположено объемное тело Q ( Q  P – область), хаpактеpизующееся постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной 3  3 -матрицей-функцией (тен

зором) диэлектрической проницаемости  ( x) . Компоненты  ( x) являются


ограниченными функциями в области Q ,   L (Q) , а также  1  L (Q) .
Будем формулировать метод не для сингулярного интегрального уравнения, а для интегродифференциального уравнения. Этот подход оказывается
эффективным в силу более удобного представления интегралов. Будем пред
полагать, что тензор диэлектрической проницаемости тела  ( x) удовлетворя1



 ( x)  
 ( x)  
ет условиям: 
 I  обратим в Q и 
 I   L (Q), где I – еди 0

 0

ничный тензор.
Введя обозначения
1


 ( x)  
  ( x)  

 I  , J : 
 I E ,
 0

 0

перейдем к следующему уравнению:


AJ  J ( x)  k02 GE ( x, y )J ( y )dy  grad div GE ( x, y )J ( y )dy  E0 ( x) ,

Q

(1)
Q

где E – неизвестное электрическое поле; E0 – известное внешнее электрическое поле (распространяющаяся волна в волноводе); k0 – волновое число
вакуума, k02  2 00 ;  – круговая частота.
55
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Компоненты тензора Грина GE ( x, y ) имеют вид [6]:



x y
G1E 
2
e nm 3 3
n
m
n
m
cos x1 sin
x2 cos
y1 sin
y2 ;
ab n0 m 1  nm (1  0n )
a
b
a
b
GE2 
2
e nm 3 3
n
m
n
m
sin
x1 cos
x2 sin
y1 cos
y2 ;
ab n 1 m0  nm (1  0m )
a
b
a
b
 
GE3 



 


2
e
ab n 1 m1
 
(2)
x y
 nm x3  y3
 nm
sin
n
m
n
m
x1 sin
x2 sin
y1 sin
y2 .
a
b
a
b
2
(3)
(4)
2
 n   m 
2
В этих выражениях  nm     
  k0 , при этом ветвь квад a   b 
ратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 .
Запишем GEm с выделенной особенностью при x  y :
GEm 
1 eik0 | x  y|
 g m ( x, y ), x, y  P ,
4 | x  y |
(5)
где функция g m  C  (Q  P ) [10, с. 132]. Отсюда, и в силу симметрии функций Грина GEm ( x, y )  GEm ( y, x) (m  1, 2, 3) имеем

Утверждение 1.2. Тензор Грина GE допускает представление
GE 
1 eik0 | x  y|  
I  g ( x, y ), x, y  P ,
4 | x  y |
(6)


где матрица-функция (тензор) g  C  (Q  P ) и g  C  ( P  Q ) .
Такое представление функции Грина удобно для теоретического исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, так как

не содержит алгоритма вычисления g .
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3
 li J i ( x)  k02  G( x, y) J l ( y)dy 
i 1

Q


div x G ( x, y ) J ( y )dy  E 0l ( x), l  1, 2, 3.
xl

Q
Будем искать компоненты приближенного решения J в виде
J1 
N

k 1
1k f k1 ( x), J 2 
где f ki – базисные функции.
56
N

k 1
 2k f k2 ( x), J 3 
N
 3k fk3 ( x),
k 1
(7)
№ 4 (12), 2009
Физико-математические науки. Математика
Ниже проводится построение функций f ki . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Разобьем тело Q
на элементарные параллелепипеды (рис. 1):
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  x2  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1};
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0, , n  1 .
Z
Y
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
X
4
3
Рис. 1
Будем считать, что шаг по каждой координате постоянен:
h :| xi,k  xi,k 1 | . Наряду с обычной нумерацией нам удобно будет ввести
i
i
(i = 1, 2, 3):
трехиндексную нумерацию базисных функций. Определим f klm
1, x   klm ,
i

f klm
0, x   klm .
Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L32 (Q )  L2 (Q )  L2 (Q )  L2 (Q) .
Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов
1
2 3
 k ,  k ,  k удобно представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
B1 

B2  .
B3 
57
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Элементы столбцов Bk и матриц Akl определяются из соотношений:
Bki  E0k  xi  ;
 

ij
Akl
  kl fil x j   kl k02 G k ( x j , y ) fil ( y )dy 
Q

xk

 xl G ( x j , y) fi ( y)dy,
l
l
(8)
Q
где координаты точек коллокации имеют следующий вид:
xi   xi1 , xi 2 , xi 3  , xi1   i1  1/ 2  h1 , xi 2   i2  1/ 2  h2 , xi3   i3  1/ 2  h3 ,
k , l  1, 2, 3; i, j  1, , N .
Таким образом, представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения сингулярного интегродифференциального уравнения.
Пусть
X1 
Y2 
x1
x
y
, X 2  2 , Y1  1 ,
a
b
a
y2
h
h
, H1  1 , H 2  2 ,
b
b
a
тогда компоненты тензора Грина примут вид
G1E 
 x  y
2   e nm 3 3
cos nX1 sin mX 2 cos nY1 sin mY2 ;
ab n 0 m1  nm (1  0n )
(9)
GE2 
 x  y
2   e nm 3 3
sin nX1 cos mX 2 sin nY1 cos mY2 ;
ab n1 m 0  nm (1  0m )
(10)
 
GE3 
 


2
e
ab n 1 m 1
 
 nm x3  y3
 nm
(11)
sin nX1 sin mX 2 sin nY1 sin mY2 .
Введем обозначения для используемых функций:
r ( x, y;  ) 

sin nx cos ny
 n( n 2   2 )
 p( x, y; )  q( x, y; ) (0  x, y  ) ;
n 1
p ( x, y;  ) 

4 (1  e 2 )
2



 (2  x  y )
 x  y
 e  (2  x  y )  e  ( x  y )  sign( x  y )(e
e
) ;
q ( x, y ;  ) 
1
4 2
   x  y  sign( x  y)(  x  y )  ;
q0 ( x, y )    x  y  sign( x  y )(  x  y );
58
№ 4 (12), 2009
s ( x , y;  ) 


Физико-математические науки. Математика
sin nx sin ny
n2   2
n 1
 e
4

 x  y
e
 (2  x  y )
 e  ( x  y )  e  (2  x  y )
1  e 2
( x  0, y  0, x  y  2) ;
e
s

d ( x , y;  ) 

x
4
 x  y
e
 (2  x  y )
 sign( x  y)  e
 ( x  y )
 e  (2 x  y )
1  e 2
( x  0, y  0, x  y  2) .
Так как базисные функции равны 1 только внутри элементарного параллелепипеда  klm , интегралы в интегральном уравнении вычисляются
аналитически. Проинтегрировав компоненты тензора Грина по элементарному параллелепипеду, будем иметь:
G1I 
2
 

0
f nm
( x3 )
2 n 1 m1  2nm nm
 cos m(i2  1) H 2  
GI2 
2
cos nX1 sin mX 2  sin n(i1  1) H1  sin ni1H1  cos mi2 H 2 
H1  f 00m ( x3 )

2 m1  02m m
 
0
f nm
( x3 )
n 1 m1
 2nm nm

2
sin nX1 cos mX 2  cos ni1H1  cos n(i1  1) H1  
  sin m(i2  1) H 2  sin mi2 H 2  
GI3 
2
sinmX 2  cos mi2 H 2  cos m(i2  1) H 2  ;
H 2  f n00 ( x3 )
sin nX1  cos ni1H1  cos n(i1  1) H1  ;
2 n 1  n20 n
 


0
f nm
( x3 )
2 n 1 m1  2nm nm
sin nX1 sin mX 2 
  cos ni1H1  cos n(i1  1) H1  cos mi2 H 2  cos m(i2  1) H 2  ,
где
 


 exp   x   i  1 h  
3
3
3 nm  exp    x3  i3h3   nm  ,


если x3   i3  1 h3 ;

 exp    i h  x     exp    i  1 h  x  

3 3
3 nm
3
3
3 nm ,
0
f nm
( x3 )  
если x3  i3h3 ;


 2  exp    x3  i3h3   nm   exp    i3  1 h3  x3   nm ,


если i3h3  x3   i3  1 h3 .






После суммирования медленно сходящихся рядов (выделения особенности) получим:
59
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
G1I 
nH
mH 2
8   f nm ( x3 )

cos nX1 sin mX 2 cos ni1* H1 sin mi2* H 2 sin 1 sin
2
2
2
2
 n1 m1 nm nm


2 H1  f nm ( x3 )
mH 2

sin mX 2 sin mi2* H 2 sin
2
2
2
 m 1  0m m

 8b 2  1
nH
cos nX1 cos ni1* H1 sin 1  p ( X 2 , i2 H 2 ,  n ) 
 i3 ( x3 ) 
4
2
  n 1 n

 p  X 2 , (i2  1) H 2 ,  n    p( X 2 , i2 H 2 ,  n )  p  X 2 , (i2  1) H 2 ,  n   

a2
 H
ika 
 q0 ( X 2 , i2 H 2 )  q0  X 2 ,(i2  1) H 2    p  1 , H1i1*  X1 ,

 

  2
4
ika 
H
 q  1 , H1i1*  X1 ,

 
 2

ika 
ika  
H
H
p  1 , H1i1*  X1 ,
 q  1 , H1i1*  X1 ,


 
 
 2
 2

2 H1b 2  
ikb 
ikb 

 p  X 2 , (i2  1) H 2 ,
p X ,i H ,

4   2 2 2  
 



ikb 
ikb   


 q  X 2 , i2 H 2 ,
  q  X 2 , (i2  1) H 2 ,
  ;
 
  


GI2 
8   f nm ( x3 )

2

2
n 1 m 1 nm nm

cos mX 2 sin nX1 cos mi2* H 2 sin ni1* H1 sin
2 H 2  f nm ( x3 )

2

n 1
 2n0 n
sin nX1 sin ni1* H1 sin
mH 2
nH
sin 1 
2
2
nH1

2
 8a 2  1
mH 2
i3 ( x3 ) 
cos mX 2 cos mi2* H 2 sin
 p( X1, i1H1,  m ) 
4
2
  m1 m

 p  X1 , (i1  1) H1 ,  m   
b2
4
 q0 ( X1 , i1H1 )  q0  X1 , (i1  1) H1   
 H
ikb 
ikb 
H
  p  2 , H 2i2*  X 2 ,
 q  2 , H 2i2*  X 2 ,


 
 
 2
  2
ikb   2 H 2 a 2
H
 q  2 , H 2i2*  X 2 ,

 
 2

4
ikb 
H

p  2 , H 2i2*  X 2 ,
 
 2
 
ika 
 p  X1 , i1H1 ,   

 
ika 
ika 
ika   



 p  X1 , (i1  1) H1 ,
  q  X1 , i1H1 ,
  q  X1 , (i1  1) H1 ,
  ;
 
 
  



60
№ 4 (12), 2009
GI3 
Физико-математические науки. Математика
nH
mH 2
8   f nm ( x3 )

sin nX1 sin mX 2 sin ni1* H1 sin mi2* H 2 sin 1 sin
2
2
2
2
 n1 m1 nm nm

 8b 2  1
nH
 i3 ( x3 ) 
sin nX1 sin ni1* H1 sin 1  p ( X 2 , i2 H 2 ,  n ) 
4
2
  n 1 n

 p  X 2 , (i2  1) H 2 ,  n   
a2
4
 q0 ( X 2 , i2 H 2 )  q0  X 2 , (i2  1) H 2   
 H
ika 
ika 
H
  p  1 , H1i1*  X1 ,
 q  1 , H1i1*  X1 ,


 
 
 2
  2
ika 
ika   
H
H
 p  1 , H1i1*  X1 ,
 q  1 , H1i1*  X1 ,
,

 
  
 2
 2
где
 


 exp   x   i  1 h  
3
3
3 nm  exp    x3  i3h3   nm  ,


если x3   i3  1 h3 ;

 exp    i h  x     exp    i  1 h  x  

3 3
3 nm
3
3
3 nm ,
f nm ( x3 )  
если x3  i3h3 ;


  exp    x3  i3h3   nm   exp    i3  1 h3  x3   nm ,


если i3h3  x3   i3  1 h3 .






Здесь также обозначено
i1*  i1  0,5, i2*  i2  0,5, i3*  i3  0,5, j1*  j1  0,5, j2*  j2  0,5, j3*  j3  0,5;
1, h i  x3  h3  i3  1 ,
i3  x3    3 3
0, иначе.
В точке коллокации значения проинтегрированных компонент тензора
Грина будут иметь следующий вид:
G*1 
 sin
8   f nm ( h3 j3* )
cos nj1* H1 sin mj2* H 2 cos ni1* H1 sin mi2* H 2 
2
2
 n1 m1 nm nm

nH1
mH 2 2 H1  f nm (h3 j3* )
mH 2


sin
sin mj2* H 2 sin mi2* H 2 sin
2
2
2
2 m 1  02m m

 8b 2  1
nH
 i3 j3 
cos nj1* H1 cos ni1* H1 sin 1  p j2* H 2 , i2 H 2 ,  n 
4
2 
  n 1 n



61
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
a2 
 p j2* H 2 , (i2  1) H 2 ,  n  
q ( j* H , i H )  q0 j2* H 2 , (i2  1) H 2  
 4  0 2 2 2 2





 H
ika 
ika 
H
  p  1 , H1i1*  H1 j1* ,
 q  1 , H1i1*  H1 j1* ,


 
 
 2
  2
ika 
ika  
H
H
 p  1 , H1i1*  H1 j1* ,
 q  1 , H1i1*  H1 j1* ,


 
 
 2
 2


2 H1b 2   *
ikb 

p j H ,i H ,
4   2 2 2 2  


ikb 

p  j2* H 2 , (i2  1) H 2 ,

 

ikb 
ikb   

 *
 q  j2* H 2 , i2 H 2 ,
  q  j2 H 2 , (i2  1) H 2 ,
  ;
 
  


G*2 
 sin
8   f nm (h3 j3* )
cos mj2* H 2 sin nj1* H1 cos mi2* H 2 sin ni1* H1 
2
2
 n 1 m 1 nm nm

mH 2
nH
2 H 2  f nm (h3 j3* )
nH
sin 1 
sin nj1* H1 sin ni1* H1 sin 1 
2
2
2
2 n 1  2n0 n

 8a 2  1
mH 2 
p j1* H1 , i1H1 ,  m 
cos mj2* H 2 cos mi2* H 2 sin
 i3 j3 

4

2
  m1 m



b2 
 p j1* H1 , (i1  1) H1 ,  m  
q j* H , i H  q0 j1* H1 , (i1  1) H1  
 4  0 1 1 1 1




 

 H
ikb 
ikb 
H
  p  2 , H 2i2*  H 2 j2* ,
 q  2 , H 2i2*  H 2 j2* ,


 
 
 2
  2
ikb 
ikb  
H
H
 p  2 , H 2i2*  H 2 j2* ,
 q  2 , H 2i2*  H 2 j2* ,


 
 
 2
 2


2H 2a2   *
ika 

p j H ,i H ,
4   1 1 1 1  


ika 

p  j1* H1 , (i1  1) H1 ,

 

ika 
ika   

 *
 q  j1* H1 , i1H1 ,
  q  j1 H1 , (i1  1) H1 ,
  ;
 
  


G*3 
8   f nm (h3 j3* )
sin nj1* H1 sin mj2* H 2 sin ni1* H1 sin mi2* H 2 
2
2
 n1 m1 nm nm
 sin
62

 8b 2  1
nH1
mH 2
nH
 i3 j3 
sin
sin nj1* H1 sin ni1* H1 sin 1 
4
2
2
2
  n 1 n

№ 4 (12), 2009
Физико-математические науки. Математика

 

  p j2* H 2 , i2 H 2 ,  n  p j2* H 2 , (i2  1) H 2 ,  n  



a2 
q j* H , i H  q0 j2* H 2 , (i2  1) H 2  
4  0 2 2 2 2



 

 H
ika 
ika 
H
  p  1 , H1i1*  H1 j1* ,
 q  1 , H1i1*  H1 j1* ,


 
 
 2
  2
ika 
ika   
H
H
 p  1 , H1i1*  H1 j1* ,
 q  1 , H1i1*  H1 j1* ,
.

 
  
 2
 2
Здесь i3 j3 – символ Кронекера.
Для вторых производных в точке коллокации имеем:
1

G11
nH
8   nf nm ( h3 j3* )
cos nj1* H1 cos ni1* H1 sin 1 sin mi2* H 2 
2
2
2
a n 1 m1 m nm

 sin mj2* H 2 sin
mH 2
mH 2
8a  1
 i3 j3

sin mi2* H 2 sin mj2* H 2 sin
3
2
2
 m1 m


 

  d H1 j1* , H1 (i1  1);  m  d H1 j1* , H1i1;  m  ;


2

G22
mH1
8   mf nm (h3 j3* )
cos mj2* H 2 cos mi2* H 2 sin
sin ni1* H1 
2
2
2
b n 1 m1 n nm

 i3 j3

nH
8b  1
sin ni1* H1 sin nj1* H1 sin 1 
2
3 n 1 n

 

  d H 2 j2* , H 2 (i2  1);  n  d H 2 j2* , H 2i2 ;  n  ;


1

G12
nH
8   f nm (h3 j3* )
sin nj1* H1 cos ni1* H1 sin 1 sin mi2* H 2 
2
ab n1 m1  nm
2

 cos mj2* H 2 sin

mH 2
mH 2
8a 
 i3 j3

sin mi2* H 2 cos mj2* H 2 sin
2
2
2
 b m 1

 

  s H1 j1* , H1 (i1  1);  m  s H1 j1* , H1i1;  m  ;


2
1
G21
(i1 , i2 , j1 , j2 )  G12
( j1 , j2 , i1 , i2 ) .
Функции d ( x, y; ) и s ( x, y; ) были определены выше. После суммирования медленно сходящихся рядов получаем экспоненциально сходящиеся
ряды.
63
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Результаты расчетов решения объемного сингулярного
интегрального уравнения методом коллокации
На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов решения объемного
сингулярного интегрального уравнения методом коллокации.
0,5
0,495
0,495-0,5
0,49
0,49-0,495
0,485
0,485-0,49
0,48
0,48-0,485
0,475
0,475-0,48
0,47
0,47-0,475
0,465
0,465-0,47
0,46-0,465
0,46
Р7
0,455
0,45
0,455-0,46
0,45-0,455
Р4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Р1
Рис. 1 Модуль компоненты E3 в сечении x3  4,1 (время на вычисление
коэффициентов матрицы при m  9 : 2 ч 58 мин 56 с на 100 процессорах.
Время на решение СЛАУ: 24 с на восьми процессорах)
0,5
0,495
0,495-0,5
0,49
0,49-0,495
0,485
0,485-0,49
0,48
0,48-0,485
0,475
0,475-0,48
0,47
0,47-0,475
0,465
0,465-0,47
0,46
Р10
0,455
Р7
0,45
1
0,46-0,465
0,455-0,46
0,45-0,455
Р4
2
3
4
5
6
7
8
9
Р1
10
Рис. 2 Модуль компоненты E3 в сечении x3  0,6 (время на вычисление
коэффициентов матрицы при m  10 : 5 ч 22 мин 32 с на 100 процессорах.
Время на решение СЛАУ: 30 с на восьми процессорах)
64
№ 4 (12), 2009
Физико-математические науки. Математика
Расчет проводился при значениях параметров: a  1 , b  1 , c  1 , a1  0 ,
b1  0 , c1  0 , a2  1 , b2  1 , c2  1 , k0  1 . Суммировалось 500 членов во всех
рядах. Выбиралось E 0  x    0, 0,1 . Расчеты показывают высокую эффективность предложенного метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения и необходимость применения суперкомпьютеров. Расчеты выполнялись на суперкомпьютере СКИФ-ГРИД полигона
Т-60 «Чебышев» в НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова.
Результаты расчетов для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериала
Будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе. Рассмотрим изотропный случай и будем считать, что

  x    , где  – неизвестная константа (эффективная диэлектрическая проницаемость) образца. Предположим, что  a  k0   b . В этом случае в вол-
 2  0 ,
новоде может распространяться только одна мода, потому что Im 1
 2   k 2  2 a 2  0 и Im   j   0 для всех p, j за исключением p  1 и
p
0
1
j  2 . Мы также предполагаем, что
x i 2  x


E0  x   e2 A i0 sin 1 e 1 3 .
a
a

Здесь A  – (известная) амплитуда распространяющейся волны. Мы
   известен из эксперимента. Таким обра-
предполагаем, что коэффициент Q1
зом, имеем

C
1 
,
0
 E, f 
где
C

(12)
    A  
i0b10 Q1
k02
f  e2 sin
;
(13)
y1 i1 2  y3
e
,
a
(14)
скобки обозначают скалярное произведение в пространстве L2  Q  :
 E, f    E  y  f  y  dy .
(15)
Q
Расчет производим по итерационной формуле:
En1  En 
1
 
A
f
2
 E , f   E
n
n


 E0  C  A0 En  .
(16)
65
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В качестве начального приближения выбираем E0  E0 . На рис. 3–6
представлены результаты расчетов эффективной диэлектрической проницаемости в зависимости от величины измеренного коэффициента прохождения
для различных образцов, а также анализ сходимости итерационного процесса.
Рис. 3 Зависимость погрешности расчета электрического поля   max En1  En
от количества итераций n в формуле (16) при значениях параметров: A    1 ,
    0,99 , a  2 , b  1 , c  2 , a  0 , b  0 , c  0 , a  2 , b  1 , c  2 , k  2,5
1
1
1
2
2
2
0
Q1
Рис. 4 Зависимость относительной эффективной диэлектрической проницаемости
 от величины измеренного коэффициента прохождения   
Q1
0
при значениях параметров: A    1 , a  2 , b  1 , c  2 , a1  0 ,
b1  0, 25 , c1  0,5 , a2  1 , b2  0,75 , c2  1,5 , k0  2,5
66
№ 4 (12), 2009
Физико-математические науки. Математика
Рис. 5 Зависимость относительной эффективной диэлектрической проницаемости
 от величины измеренного коэффициента прохождения   
Q1
0
при значениях параметров: A    1 , a  2 , b  1 , c  2 , a  0,5 ,
1
b1  0, 25 , c1  0,5 , a2  1,5 , b2  0,75 , c2  1,5 , k0  2,5
Рис. 6 Зависимость относительной эффективной диэлектрической проницаемости
 от величины измеренного коэффициента прохождения   
Q1
0
при значениях параметров: A    1 , a  2 , b  1 , c  2 , a  0 ,
1
b1  0 , c1  0 , a2  2 , b2  1 , c2  2 , k0  2,5
Результаты, представленные на рис. 3, показывают высокую скорость
сходимости итерационного процесса. Графики, представленные на рис. 4–6,
иллюстрируют возможность расчета относительной эффективной диэлектрической проницаемости материала при различном положении и размерах образца внутри волновода.
67
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. S h e s t o p a lo v , Y u . V . Volume Singular Integral Equations Method for Determination of Effective Permittivity of Meta- and Nanomaterials / Yu. V. Shestopalov,
Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2008). – Cambridge, USA, 2008. – P. 291–292.
2. S h e s t o p a lo v , Y u . V . Development of Mathematical Methods for Reconstructing
Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic
Wave Scattering, October 22–25. – Antalya, Turkey, 2008.
3. S m i r n o v , Y u . G . Method of Volume Singular Integral Equation for Determination
of Permittivity of Dielectric Body in a Waveguide / Yu. G. Smirnov // Proceedings of
Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2009). – M., 2009.
4. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998.
5. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
6. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 2–10.
7. С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.
8. S m i r n o v , Y u . G . Inverse Boundary Value Problem for Determination of Permittivity of Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral
Equation / Yu. G. Smirnov // IEEJ Transactions on Fundamentals and Materials. – 2009. –
V. 129. – № 10. – Р. 675–680.
9. В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. –
С. 68–78.
10. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : Радиотехника, 1996.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
E-mail: _medv@mail.ru
68
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
№ 4 (12), 2009
Физико-математические науки. Математика
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: smirnovyug@mail.ru
УДК 517.9
Медведик, М. Ю.
Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 4 (12). – С. 54–69.
69
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
414 Кб
Теги
решение, методов, уравнения, коллокациям, сингулярного, объемного, численного, интегрального
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа