close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численный метод в задаче о распространении электромагнитных ТЕ-волн в двухслойной нелинейной волноведущей структуре.

код для вставкиСкачать
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов, Е. А. Широкова
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНОВЕДУЩЕЙ СТРУКТУРЕ
Аннотация. Рассматривается распространение электромагнитных волн в волноведущей структуре, состоящей из двух плоских слоев с нелинейной средой.
Задача сводится к краевой задаче сопряжения на собственные значения в четырехсвязной области. Предложен численный метод для решения указанной
задачи. Приведены результаты расчетов.
Ключевые слова: задача сопряжения в многосвязной области, нелинейное
обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.
Abstract. The article considers electromagnetic wave propagation in a two nonlinear
layers’ plane waveguide. The problem is reduced to a boundary conjugation problem in a quadruply-connected domain. A numerical method for solving the problem
is proposed. Some numerical results are shown.
Key words: conjugation problem in a multiply-connected domain, nonlinear ordinary differential equation, Cauchy problem.
Введение
В работе рассматривается задача о распространении ТЕ-волн в плоском
двухслойном диэлектрическом волноводе. Волновод помещен между двумя
полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Диэлектрическая проницаемость в каждом из двух слоев зависит от
2
электрического поля по закону Керра: ε = εconst + α E , где εconst – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости, α – коэффициент нелинейности. Задача сводится к отысканию постоянных распространения электромагнитной волны в рассматриваемой волноведущей структуре. Предложен численный метод (который будем называть «метод задачи Коши») отыскания собственных значений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через два однородных, изотропных, немагнитных диэлектрических слоя. Диэлектрическая проницаемость в слоях зависит от электрического поля по закону Керра. Слои
расположены между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой
системе координат Oxyz и h = h1 + h2 . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости ε1 и ε 4 соответственно ( ε1 и ε 4 – произвольные
действительные постоянные). Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде
 ( x, y, z , t ) = E ( x, y, z ) cos ωt + E ( x, y, z ) sin ωt ;
E
+
−
 ( x, y, z, t ) = H ( x, y, z ) cos ωt + H ( x, y, z ) sin ωt ,
H
+
−
66
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
где ω – круговая частота; E+ , E− , H + , H − – вещественные искомые
функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E , H [1]: E = E+ + iE− ;
H = H + + iH − . Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot H = −iωεE; rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0 , x = h1 , x = h1 + h2 и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞
в областях x < 0 и x > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет
2
вид ε = εi + αi E , где i = 2,3 и εi , αi – произвольные постоянные. Будем
искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 показана геометрия задачи.
x
h1 + h2
h = h1
ε = ε4
2
ε = ε3 + α 3 E
2
ε = ε2 + α 2 E
0
z
ε = ε1
Рис. 1
Рассмотрим
T
ТЕ-поляризованные
волны
(
E = 0, E y , 0
T
)
,
T
H = ( H x ,0, H z ) , где () – операция транспонирования. Легко показать,
что компоненты полей E и H не зависят от переменной y . Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред z , гармонически зависят от z .
Тогда компоненты полей E , H имеют вид
H y = H y ( x ) eiγz , E x = E x ( x ) eiγz , E z = E z ( x ) eiγz .
(2)
Подставив компоненты (2) в уравнения Максвелла (1), выполнив норεj
d
d
γ
мировку в соответствии с формулами x = kx ,
= k , γ = , ε j =
(j = 1,
ε0
k
dx
dx
α
2, 3, 4), α i = i (i = 1, 2), где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и
ε0
67
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k 2 = ω2με0 с μ = μ0 , обозначив E y ( x ) ≡ Y ( x ) и опуская значок тильды, получаем следующее уравнение [2]:
Y ′′ ( x ) = γ 2Y ( x ) − εY ( x ) ,
(3)
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).
Будем искать действительные решения Y ( x ) уравнения (3). Полагаем
γ действительным (так что E
2
не зависит от z) и
x < 0;
ε1 ,

2
ε 2 + α 2Y , 0 < x < h1;
ε=
ε3 + α3Y 2 , h1 < x < h1 + h2 ;

x > h1 + h2 .
ε 4 ,
(4)
Считаем, что функция Y дифференцируема в слоях так, что
Y ( x ) ∈ C ( −∞; + ∞ ) ∩ C1 ( −∞; ∞ ) ∩ C 2 ( −∞; 0 ) ∩
∩C 2 ( 0; h1 ) ∩ C 2 ( h1; h ) ∩ C 2 ( h; + ∞ ) .
(5)
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Введем
обозначения:
k12 = γ 2 − ε1 ,
k22 = ε 2 − γ 2 ,
k32 = ε3 − γ 2 ,
k42 = γ 2 − ε 4 .
Для ε = ε1 в полупространстве x < 0 из (3) и (4) получаем уравнение
Y ′′ = k12Y , его общее решение Y ( x ) = A1e− k1x + Aek1x , в силу условия на бесконечности получаем
Y ( x ) = Aek1x ,
Y ′ ( x ) = Ak1e k1x .
(6)
Для ε = ε 4 в полупространстве x > h1 + h2 из (3) и (4) получаем уравне-
−k x−h
k x −h
ние Y ′′ = k42Y , его общее решение Y ( x ) = B1e 4 ( ) + Be 4 ( ) . В силу условия на бесконечности получаем
Y ( x ) = Be
− k4 ( x − h )
, Y ′ ( x ) = − Bk4 e
− k4 ( x − h )
.
(7)
Постоянные A и B в (6) и (7) определяются граничными условиями.
Из формул (6) и (7) легко видеть, что выполняется неравенство
γ > max ε1 , ε 4 .
(
)
Внутри слоя 0 < x < h1 уравнение (3) принимает вид
(
)
Y ′′ = − k22 + Y 2 Y .
68
(8)
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Внутри слоя h1 < x < h1 + h2 уравнение (3) принимает вид
(
)
Y ′′ = − k32 + Y 2 Y .
(9)
3. Условия сопряжения
Как известно, касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границах раздела сред. В нашем случае касательными компонентами являются E y и H z . Учитывая сказанное, получаем для функций Y и Y ′
следующие условия сопряжения:
[Y ]x=0 = 0 , [Y ]x=h1 = 0 , [Y ]x=h1+h2 = 0 ,
[Y ′]x=0 = 0 , [Y ′]x=h1 = 0 , [Y ′]x=h1 +h2 = 0 ,
(10)
где [ f ] x = x = lim f ( x ) − lim f ( x ) .
0
x→ x0 −0
x→ x0 + 0
Пусть Y0 := Y ( 0 ) , Yh := Y ( h ) и постоянная Yh считается известной, тогда B = Yh , A = Y0 . Далее, используя (5), (6), получаем
Y ′ ( h ) = −k4Yh , Y ′ ( 0 ) = k1Y0 .
(11)
Сформулируем задачу сопряжения (задачу Р): необходимо найти собственные значения γ и собственные функции Y ( x; γ ) , удовлетворяющие
уравнениям (8), (9) и условиям (6), (7), (10).
4. Линейный случай
В случае, когда все четыре среды линейны, можно вывести точное дисперсионное уравнение. Это дисперсионное уравнение окажется полезным для
тестирования метода задачи Коши, описанного ниже.
Внутри слоя 0 < x < h1 решение уравнения (3) имеет вид
Y ( x ) = C11 sin k2 x + C12 cos k2 x , Y ′ ( x ) = k2 ( C11 cos k2 x − C12 sin k2 x ) . (12)
Внутри слоя h1 < x < h1 + h2 решение уравнение (3) имеет вид
Y ( x ) = C21 sin k3 x + C22 cos k3 x , Y ′ ( x ) = k3 ( C21 cos k3 x − C22 sin k3 x ) . (13)
Пользуясь условиями сопряжения (10) и решениями (6), (7), (12), (13),
получаем
 A = C12 ,

 Ak1 = k2C11 ,
C11 sin k2 h1 + C12 cos k2 h1 = C21 sin k3h1 + C22 cos k3h1 ,

k ( C cos k h − C sin k h ) = k ( C cos k h − C sin k h ) ,
2 1
12
2 1
3 21
3 1
22
3 1
 2 11
C21 sin k3 ( h1 + h2 ) + C22 cos k3 ( h1 + h2 ) = B,

k3 ( C21 cos k3 ( h1 + h2 ) − C22 sin k3 ( h1 + h2 ) ) = − Bk4 .
69
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Предполагая, что cos k2 h1 ≠ 0 и cos k3h1 ≠ 0 , получаем дисперсионное
уравнение в такой форме:
( k22k4 + k1k32 ) tg k2h1 tg k3h2 − k3 ( k1k4 − k22 ) tg k2h1 +
+ k2 ( k32 − k1k4 ) tg k3h2 − k2 k3 ( k1 + k4 ) = 0 .
(14)
Уравнение (14) удобно переписать одним из следующих способов:
k1k4 − k22 ) tg k2 h1 + k2 ( k1 + k4 )
(
tg k3h2 = k3
;
( k22k4 + k1k32 ) tg k2h1 + k2 ( k32 − k1k4 )
k32 − k1k4 ) tg k3h2 − k3 ( k1 + k4 )
(
tg k2 h1 = k2
,
k3 ( k1k4 − k22 ) − ( k22 k4 + k1k32 ) tg k3h2
(15)
(16)
или
(

)
 + πn ;
(
)
(
)  k3

k32 − k1k4 ) tg k3h2 − k3 ( k1 + k4 )  πm
(
1

+
h1 = arctg k2
,


2
2
2
k2
 k3 ( k1k4 − k2 ) − ( k2 k4 + k1k3 ) tg k3h2  k2



k1k4 − k22 tg k2 h1 + k2 ( k1 + k4 )
1

h2 = arctg k3

k3
k22 k4 + k1k32 tg k2 h1 + k2 k32 − k1k4


где n ≥ 0 , m ≥ 0 – целые числа.
Из представлений (17), (18) легко видеть, что γ < min
(
(17)
(18)
)
ε 2 , ε3 . Окончательно получаем, что в линейном случае выполняется неравенство
max ( ε1 , ε 4 ) < γ 2 < min ( ε 2 , ε3 ) ,
причем левая часть этого неравенства справедлива и для нелинейного случая.
5. Описание метода задачи Коши
Будем считать, что h1 задано, а h2 изменяется. Опишем метод нахождения
γ
( (
γ ∈ max
в зависимости от
) )
h2 . Будем считать, что
( )
h2 ∈ 0, h∗
( ) и ( max (
ε1 , ε 4 , γ∗ . Разбиваем интервалы 0, h∗
и
) )
ε1 , ε 4 , γ∗
на n и m частей соответственно. Поскольку Yh известно, то для всякого
( (
γ j ∈ max
) )
ε1 , ε 4 , γ∗
( )
и hi∗ из формулы (12) найдем Y j′ hi∗
(как легко
видеть из (12), значения Yh и Yh′ от h не зависят, но так писать удобнее). Теперь можно решать задачу Р следующим образом. На отрезке x ∈  h1 , hi∗ 


70
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
можно поставить задачу Коши для уравнения (9) с начальными условиями
( )
Yh , Y j′ hi∗ и γ = γ j . Решив ее, получим Yij ( h1 ) , Yij′ ( h1 ) – значения функции
Y и ее производной Y ′ в точке x = h1 . Теперь мы можем поставить задачу
Коши на отрезке x ∈ [ 0, h1 ] для уравнения (8) с начальными условиями Yh1 ,
Yij′ ( h1 ) и γ = γ j . Решив ее, получим значения Yij ( 0 ) , Yij′ ( 0 ) – значения
функции Y и ее производной Y ′ в точке x = 0 . С другой стороны, из (6) и
(12) нам известно, что Y ( 0 ) = A и Y ′ ( 0 ) = γ 2 − ε1 A . Используя полученные
результаты для γ = γ j , приходим к выводу, что A = Yij ( 0 ) . Сконструируем
(
)
функцию F hi∗ , γ j = Yij′ ( 0 ) − γ 2j − ε1Yij ( 0 ) . Можно показать, что функция
( )
F hi∗ , γ непрерывна по γ [3].
hi∗
Пусть для заданного
(
F hi∗ , γ j
(
)
F hi∗ , γ j +1
)
γj
существуют такие
(
и
γ j +1 , что
)
< 0 . Это значит, что существует γ j ∈ γ j , γ j +1 такое, что γ j яв-
ляется собственным значением рассматриваемой задачи о распространении
волн. Значение γ j может быть найдено с любой степенью точности, например методом дихотомии.
Пусть γ j есть предельное1 значение для γ j (где γ j определяется некоторым итерационным процессом, например методом дихотомии). Тогда γ j
есть собственное значение задачи Р, которому соответствуют толщины hi∗ и
h1 слоев и собственная функция Y x; γ j , определенная на x ∈ ( −∞, +∞ ) .
Обозначим через f ( x )
(
Θ
(
)
сужение функции f ( x ) на множество x ∈Θ .
)
Тогда собственная функция Y x; γ j удовлетворяет следующим условиям:
(
1) Y x; γ j
(
2) Y x; γ j
(
γ 2j − ε1  ;

) [0,h ] – решение уравнения (8);
1
3) Y x; γ j
) h ,h  – решение уравнения (9);
(
) h ,+∞ ) = Yij ( hi∗ ; γ j ) exp  − ( x − hi∗ )
4) Y x; γ j
1
(
) ( −∞,0] = Yij ( 0; γ j ) exp  x


∗
1 i 
∗
i
γ 2j − ε 4  ;

(
Ясно, что указанный предел существует, если F hi∗ , γ
)
)
непрерывна по γ и
F hi∗ , γ меняет знак при переходе от γ j к γ j+1 .
71
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(
5) функция Y x; γ j
)
удовлетворяет условиям сопряжения (9) в точках
x = 0 , x = h1 , x = h1 + hi∗ .
Отметим, что описанный в данной работе метод обладает важными достоинствами:
– метод прост в реализации (все известные математические пакеты могут решать задачу Коши);
– метод позволяет находить собственные значения с любой заданной
точностью;
– метод может быть применен для изучения не только керровской нелинейности;
– метод может быть обобщен на произвольное число слоев.
6. Численные результаты
На рис. 2–4 изображены графики дисперсионных кривых. При расчетах
использованы следующие значения параметров: A = 1 (см. (6)); ε1 = 1 ; ε 4 = 1 ;
h1 = 1 . На рис. 2–4 вертикальная ось соответствует изменению γ , а горизонтальная – изменению h2 .
Рис. 2. ε 2 = 2 , ε3 = 2,5 , α = 0, 02 , β = 0, 01
Заключение
Рассматриваемая задача на собственные значения для керровской нелинейности (и даже для обобщенной керровской [4]) может быть решена точно:
дисперсионное уравнение выписывается в эллиптических функциях. Однако
исследование такого дисперсионного уравнения не является тривиальной задачей и будет усложняться при увеличении числа слоев. В то же время такие
многослойные структуры (линейные), носящие название одномерных фотонных кристаллов, активно изучаются в настоящее время [5, 6]. Все это оправдывает разработку численных методов решения указанного класса задач.
72
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Рис. 3. ε 2 = 2 , ε3 = 2,5 , α = 0, 02 , β = 0, 05
Рис. 4. ε 2 = 2,5 , ε3 = 2 , α = 0, 02 , β = 0, 03
Список литературы
1. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / L. G. Oganes’yants,
P. N. Eleonskii, V.P. Silin // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.
2. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В Валовик., Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2010. –
264 с.
3. П о н тр я г и н , Л. С . Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 312 с.
4. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. –
Т. 56, № 5. – С. 587–599.
5. J o a n n o p o u l o s , J . D . Photonic crystals: Molding the flow of light / J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. Meade. – Princeton : Princeton University
Press, 2008. – 304 p.
6. L o u r t i o z, J . - M . Photonic crystals / J.-M. Lourtioz et al. – Berlin : Springer-Verlag
Berlin Heidelberg, 2005. – 430 p.
73
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Victorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Широкова Екатерина Алексеевна
аспирант, Пензенский
государственный университет
Shirokova Ekaterina Alekseevna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: ekaterina_shirokova88@mail.ru
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Валовик, Д. В.
Численный метод в задаче о распространении электромагнитных
ТЕ-волн в двухслойной нелинейной волноведущей структуре / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов, Е. А. Широкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). –
С. 66–74.
74
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа